第三章 ，方法
3.4 結合半監督式分群演算法
將使用者提供的配對限制(paiewise constraints)整合至分群演算法中，這種方 式稱為半監督式分群演算法。我們將經由相似度轉換方法產生的新屬性與屬於 search-based 的半監督式分群法結合，進一步提升分群的準確性，同時利用配對 限制彌補相似度轉換法所採用的假設其可能遺漏的部分資訊。Cop K-means[8]是 search-based 半監督式分群法的代表之一，它是改良自 K-means 演算法，在尋找 分群的過程中，資料被分類至任一分群時皆不可違背配對限制，進而影響分群的 過程與結果。然而，這樣的做法完全依賴配對限制，若是使用者提供的配對限制 之中存在少許錯誤，將會引導分群演算法至錯誤的結果。參考 2002 年由 Kleinberg 和 Tardos[25] 提出的代價函式，由於 Kleinberg 和 Tardos 提出的方法僅考慮 MUST-link 類型，我們進一步加入 CANNOT-link，延伸設計一組基於參考分群 中心的代價函式，將其與目標函式合併，使得在最佳化目標函式的過程中，同時 能最小化違反配對限制的資料數量，並判斷使用者所提供的配對限制是否合適。
我們首先定義下方用來描述代價函式的名詞與其表示方法。1. 令ℳ表示 MUST-link 所形成的集合，𝒞表示 CANNOT-link 所形成的集合；2. 存在任意兩 點 r、s，連接此二點的鏈結以link(r, s)表示；3. 令 CSET 表示中心所形成的集合；
4. L(r)、L(s)分別表示所屬的分群；5. Cr、Cs分別表示點 r 與點 s 所在分群對應 的中心。
考慮成對資料與配對限制的關係，基於參考分群中心的代價函式必須考慮下 列兩種情況，分別是：違反 MUST-link 和違反 CANNOT-link。
定義違反 MUST-link 的代價函式：
Costℳ = 1
2[dist(r, Cs) + dist(s, Cr)], if link(r, s) ∈ ℳ ∧ L(r) ≠ L(s)
考慮違反 MUST-link 的情形，亦即任兩筆資料彼此關係屬於 MUST-link 卻被分 類至不同的分群中。若是要滿足正確的配對限制，最直接的方法是改變其中一筆
29
資料所屬分群，強迫將兩筆資料歸類至相同分群。因此，違反配對限制所需的代 價被設定為：鏈結上的任一點 r，與另一點 s 所屬的中心 Cs，此兩點的距離關係 dist(r,Cs)。代價函式等同於計算符合正確配對限制的目標函數值。我們將同時考 慮鏈結上的兩點，最後取兩者的平均值。
定義違反 CANNOT-link 的代價函式：
Cost𝒞 = 1
2 �∀x∈CSET,x≠Cmin rdist(r, x) +∀x∈CSET,x≠Cmin sdist(s, x)�, if link(r, s) ∈ 𝒞 ∧ L(r) = L(s)
考慮違反 CANNOT-link 的情形，亦即任兩筆資料彼此關係是屬於 CANNOT-link 卻被分類至相同的分群中。與違反 MUST-link 的情況相同，代價函式的目的在 於計算符合正確配對限制的目標函數值。若是要滿足正確的配對限制關係，最直 接的方法是將鏈結上的其中一點移動至剩餘分群中最接近的一群，強迫將兩筆資 料歸類至不同分群。因此，違反配對限制所需的代價將被設定為：鏈結上的任一 點 r，考慮扣除 Cr後從 CSET 中剩餘的質心 Cx，挑選出兩點距離關係 dist(r,Cx) 最小者。相同的，我們仍需考慮鏈結上的兩點，最後取兩者的平均值。
完成違反 MUST-link 和違反 CANNOT-link 之代價函式的定義，我們將代價 函式合併至原始的目標函數中：
Obj′ = �(r − Cr)2
r∈V
+ � Costℳ
link(r,s)∈ℳ
+ � Cost𝒞
link(r,s)∈𝒞
我們將此方法命名為：freq K-medoids with cost function，如圖 3-6。雖然在 3.3 節中將 K-medoids 方法稍做修改為 freq K-medoids，不再以尋找最佳化目標函數 的結果做為最佳解，改用最頻繁出現的結果當作最佳解，但在資料分類的過程中，
採用合併代價函數後的目標函數，依然可依據配對限制提供的資訊將資料分類至 更為正確的分群，最小化違反配對限制的數量。
30
Algorithm: freq K-medoids with cost function
Input：Data, ℳ← MUST-link constraints, 𝒞← CANNOT-link constraints Method:
1. Let C1, C2… Ck be the initial cluster center.
2. repeat until convergence
2a. Assign data point to cluster h so that objective function value is minimized.
2b. 𝐡 = arg min�∑ (r − Cr∈V r)2+ ∑link(r,s)∈ℳCostℳ+ ∑link(r,s)∈𝒞Cost𝒞� 2c. For each cluster h, update its medoids.
2. until medoids remain unchenged
圖 3-6. freq K-medoids with cost function 方法
31