教學與動機有密切的關係，當你遇到有動機的學生時，教室內充滿了活力 而顯得生氣盎然；你也會拿出你對學科內容的熱情，並且想要與學生展開 學習之旅。身為一位教師當然會遇到問題，不過仔細聆聽你自己以及你學 生的聲音，適當的解決之道就會浮現(李慕華譯, 2000, p.92)。你的責任並不 是要協助他們在生活當中保持領先，而是要協助他們過他們的生活(ibid, p.96)。
上述摘自《反思教學》書中的一段話，可說明引起動機對學生獲取 數學深層理解的重要。為了培養學生的學習動機，教學的策略是以學習 前導架構幫助學生由自己開展學習的歷程，再以知識的歷史脈絡承接。
因為，學生的學習除了要有動機外，若能讓情意與知識交錯互動應該會 比較有成效。Whitaker(1979)認為，情意因素並非孤立，而是與認知因素 交錯夾纏，同時會影響數學思考。
提供學習的前導架構是想要讓學生轉變看待高中數學的觀點，同時 在知識面與情意面發揮引動的效果。用數學問題引出數學學習的主題內 容，它能提供學生一個整體的概念學習架構。這種做法取自 Ausubel 的 構念，即在學習之前讓學生先了解學習內容的整體架構。
數學知識的歷史脈絡可以是學生接觸數學概念的起始點，認知歷 史脈絡下的數學學習可以多了前人成果所賦予的意義。因為，”解題者 調遣知識、追憶知識、評估知識是否有使用的價值，如何使用已知推 測未知等等，皆與情意有關”(邱守榕, 1996, p.10)。這些面對解題時調遣 的知識並非現代人所獨創，它們有歷史進展的源頭，也就是說，學生
所學的數學是數學發展史中的一段。所以，在課堂上談論知識的歷史 脈絡應是很自然的事，知悉所學內容的起源背景本應與學習相容。提 供知識的歷史脈絡，主要想幫助學生產生更強的動機、興趣去學這些 內容，立意在情意面。而且數學史是數學文化發展的活記錄，數學文 化則在社會對數學史的認識中發展。數學史對數學教學的意義、作用 與重要性不但具有地方色彩，且已成為國際性的議題。大家都在探討：
如何在數學課堂中使用數學史料，促進學生的學習興趣，以及提高學 習的品質(Nelson, Joseph, & Williams, 1993)。
其實，數學史在每個人的數學學習經驗中都佔了一席之地，而其 中更隱含情意的元素。諸如，欣賞數學家投身發展數學知識的孜孜不 倦精神、感受數學知識對世界文明的貢獻、及體會數學家揭露美妙數 學知識的發現過程。如果讓學生也像研究者一樣領略這種心靈的悸 動，說不定那會激發她們對數學和學習數學的熱忱。此外，當史料融 入教學時，除了激起學生的學習動機之外，數學家的示範解題想法也 應該能豐富學生的數學思維，而數學家對問題持續不懈的努力也會有 提升學習情意的作用。
3. 從數學的易學性與學生的樂學性，構思概念的啟蒙例
荷蘭的現實數學教育觀(RME)認為「數學是一種人類的活動」，所以 學 生 應 該 有 機 會 藉 由 數 學 化 生 活 中 的 現 實 經 驗 來 「 重 新 創 始 (Reinvention)」數學概念(Freudenthal, 1991)。數學的一個重要面貌是，它 是自然和社會現象的抽象化結果。具象化的數學在生活中是處處可見，
陳佩正(2000, p.20)做了一些詮釋：
教學若從生活周遭發展教材，學生就會因為經常接觸而能夠產生足夠的聯 想。這也符合人類文明發展的過程：人類當然是由身邊的東西學習，甚至 應該說人類最原始的智慧就是來自於和大自然的互動。但是隨著科技發展
，人類卻將自己和大自然區隔得越來越遠，學習竟然變成一種只侷限於四
面牆壁內的聽講行為，或許這就是文明進步的負面效果吧！
個人並不想讓學生只是無奈地接受僅僅侷限於四面牆壁的聽講，但 是，如何將大自然搬到課堂裡？先引導學生進入一些似真的生活情境，
或許有助於他們發展有延展性的抽象數學知識。有許多研究者也主張，
以生活情境解題為導向的數學活動設計。例如，Idrus(1993)以及 Ostwald 和 Chen(1994)的研究均指出，在課堂中進行生活情境解題可為學生帶來 知識的深度理解。不同於傳統講述，教師是將知識直接傳輸給學生，生 活情境解題可提供豐富的、多元的學習脈絡。這些觀點可以讓研究者運 用在自己的數學教學課中，鼓勵學生重新創始所接觸的數學內涵，在解 題的脈絡中獲得數學知識。一般說來，這樣的學習情境通常會比脫離脈 絡(Out of Context)，而由教師直接交付數學內容更有成效。而且，學生也 比 較 可 能 將 這 樣 的 知 識 運 用 到 新 情 境 中 (Chappell & Hager, 1992) 。 Kemp(1995)指出，學生若能在真實生活情境中應用和測試所學理論，就 更能獲利。這種利益並非只有學生得到，教師本身亦有所得(Steinbring, 1998)。
為了要引入生活情境解題的教學材料，個人認為應著力於設計數 學概念的啟蒙例。什麼是概念啟蒙例？在鄭英豪(2000)的研究中，指出 概念啟蒙例為學生學習抽象數學概念時，預先建立的一個具體心物，
以作為參照對象，好減輕抽象學習的困難，並提供學習折返的支撐。
他同時提出，好的啟蒙例至少要具備樂學、易學、代表、和發展四個 屬性。樂學性意指啟蒙例須能引起學生學習的樂趣，因此，最好是常 常接觸的素材，例如生活現象、好玩的遊戲等。易學性則強調啟蒙例 要銜接學生的認知層次，使學生能夠很快進入狀況，所以問題的數學 挑戰性不宜太高。代表性是說啟蒙例提供的情境應能真正代表欲學的 數學概念，如此即可降低日後產生概念錯誤的機會。最後，啟蒙例的 發展性是，先設想在學習歷程中學生碰到困難得折回再向前發展，這
時必須要有一個具體可參照的對象，才能找到調整與發展的基礎，因 此，啟蒙例必須是一個能讓學生在數學學習過程中不斷地折回的參照 點。
概念啟蒙例並不一定要有生活的背景，但是，個人認同數學概念本 來自生活，是個人由日常做數學的經驗中將數學概念引出(Skott, 2004)。
在最近十年間，數學教育的研究開始注意到數學學習的社會和歷史面，
讓教育決定和教學實施盡量不與生活脫節。另外，也因為生活例較能讓 學生體驗學習的樂學和數學的易學性。在教學實施中使用概念的啟蒙例 時，個人還想試著連結此概念背後的認知理論，希望能對學生的新概念 學習帶來更多的附加利益。
目前，似乎沒有特別針對高中數學單元的生活情境概念啟蒙例之相 關探討。雖然，已有學理的支持，卻很少關於發展數學教師教學概念方 面的研究。在本研究中，個人想透過行動研究的持續探索，來連結數學 概念與學生生活經驗。結合生活情境的數學概念，或能促使學生在剛開 始接觸一個核心數學觀念時，更容易激發出解決問題的想法或策略。希 望，同時能達成易學與樂學的教學目標。當然，學生並不一定在一開始 就使用正規的數學方法，比較有可能的卻是直觀的、有些疏漏的自我嘗 試。Case(1975, 1978)依據 Piaget 認知發展理論，提出當學習者所處的學 習環境要求他所掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但過 於簡化的解題策略，就是所謂的學童法。不僅小學生，中學生也使用自 己的方法解題。Booth(1981)也發現英國中學生處理數學問題時，往往不 用課堂上老師教的方法，而用自己較有感覺、有信心的方法，這就是「學 童法(Child Method)」。例如，”學生認為相加就是「合併起來」的意思，
因此會有 2a+5b=7ab 的錯誤型態出現”(Booth, 1986, p.24)。但是，不論學 生是否一下子就抓到概念的核心，生活情境卻能夠讓學生較自然地投入 其中，正是學生將舊有基模連繫上新知識的好脈絡，這對推動由學生自
己開始數學學習的自主及探究之學習模式應是有助益的。
4. 調整教學活動的結構和內容，透過自學素材、學前評量、課堂探究，
引動學生的自主學習
一般而言，教師努力教導學生，希望他們藉由觀看教師示範而自行 模擬，藉此習得數學概念。但是，實際情形卻是學生也許藉模擬而轉移，
卻無法在他們面對新情境時使用這些數學概念。教師會執著於規則教 導，除了教師原本學習經驗的影響外，不熟悉學生的數學思考特性似乎 也是一個潛藏的因素。因此，教師要設法了解學生的數學學習特質，並 在心理層面提升對學習自主模式的認同。近幾年來，從數學教育的改革 紀錄文件，例如美國 National Council of Teachers of Mathematics(NCTM, 1989, 1991)、以及國內九年一貫課程綱要(教育部, 2003)，我們都看到教 師教誨學生的焦點，從以往加強程序練習和對定義的記憶，轉而強調師 生間的數學探究以及概念的理解。這種趨向非傳統型的教學風格，應有 助於提高教師對學習自主模式的認同。
個人是想以自學、學前評量及課堂探究的教學策略，來支撐學生的 學習自主活動，引動學生由本身出發，獲取較深度的數學理解。學生的 自主學習至少應該包括學習數學的強烈動機、發展自己合適的數學學習 方式，以及對數學內容進行更深入的探究。個人以自學素材、學前評量 做為引起學習動機的觸媒，除了動機面的考量外，亦在知識面以學習的 前導架構讓學生更容易進入新知識的學習進程。學習前導架構不但是協
個人是想以自學、學前評量及課堂探究的教學策略，來支撐學生的 學習自主活動，引動學生由本身出發，獲取較深度的數學理解。學生的 自主學習至少應該包括學習數學的強烈動機、發展自己合適的數學學習 方式，以及對數學內容進行更深入的探究。個人以自學素材、學前評量 做為引起學習動機的觸媒，除了動機面的考量外，亦在知識面以學習的 前導架構讓學生更容易進入新知識的學習進程。學習前導架構不但是協