第一節 數學教師的專業發展

第二章 文獻探討

數學教師的教學改善，應該是教師專業發展歷程的一部分，專業發 展的內涵支撐著教學轉變，使它能不斷地提升及修正。我們必須理解數 學教學專業發展的意義和理論架構，才能實際引領教學實施的轉變。而 數學教師實務社群則提供絕佳的學習教學環境。本章將探討這些相關主 題的研究文獻，並提出個人數學教學概念和身份重構的架構與內涵。

第一節 數學教師的專業發展

數學教學就像傳道一樣，經常被視為需要一些天賦，而且很多非專 業人士質疑教學專業訓練的必要性。例如，Noddings(1992, p.200)就曾表 示”許多人相信任何一個相當知道學科事實的人，都能在高中教這一 科。他們懷疑對教學實施而言，真的存在一個知識實體”。但是，也有 人主張”數學教學是複雜且專業的活動，應不斷地在活動中及活動後做 反思，才能持續地精進與成長”(黃凱旻, 2002, p.11)。而且，數學教師對 教學知能的瞭解和掌握，深深地影響教學活動的形式和學生學習的成果 (陳松靖, 2001)。個人認為，對於獻身教學專業的教師們來說，「專業發 展」是每日工作效能提昇之鑰；教師對專業發展歷程與內涵的重視，可 反映其心理內在「固守技術上高標準」的期許。由於，改善數學教學活 動和促進數學教師的專業成長是目前教育改革的重要課題，個人以為，

只有先提升數學教師的教學專業素養，才有更好的機會落實這些改革想 法。

雖然，教育家和數學家共同分擔培育教師的責任，但是，他們之間 卻又缺乏真正的合作，致使數學教師的專業性一再地被質疑。此外，在 大學或教育中心的師資培育訓練，不同於真實場域中的專業教育，致使 師資培育的內涵無法強調專業的實際面(Noddings, 1992)。由於這些因

素，教學一直被視為半專業(Semi-Profession)，在爭取他人認同教師的專 業地位時，勢必會面臨一些挑戰。例如，教師評鑑(Teacher Evaluation)，

即是對於控制和專業化的一種挑戰。Bird(1988, p.19)曾寫道”為授證而作 的評估，不全然為概念或技術層面，這也是一個策略，用來建立專業組 織，才能得到大眾尊敬，擁有成員的支持、認可及確立領導權”。

（一）專業發展的意義

Noddings(1992)表示，當我們要對專業有所了解時，須先區別「專業 主義(Professionalism)」和「專業化(Professionalization)」。專業主義猶如符 合專業之標準和實務，是關於此項職業技術和表現的要求；對照於此，

專業化乃指職業身份與知能形成的歷程。本世紀專業重心已明顯由強調 利他及服務的專業主義，轉移到以權力、特權為特徵的專業化，強調獲 得掌控權的專業才能依理想推展事業，使專業歷程為更多人帶來利益。

就教師這個半專業身份而言，猶如護士一般，要想更像一個被他人確認 的專業是需要一些必然的改變。從半專業改變成完全的專業不僅困難，

尚須承受專業主義和專業化間拉扯的張力。在此過程中，教師會感覺自 己面臨許多壓力，為能晉身高度專業之工作，他們似乎被迫得放棄「獻 身學生全人教育」的中心使命。

專業的面貌包括：選取和管制、專門知識、利他主義或服務、特權 和身份階級、同事關係以及自治權(Bledstein, 1976；Flexner, 1915)。關於 專業所抱持的利他主義或利己觀點，Noddings(1992, p.202)曾指出”所有的 專業都一直被正式譯碼成公眾服務，但半專業（如護理和教學）經常被 認為比全專業（如醫藥和法律）的對等人物更為利他”。尤其，教育是 一個良心事業，雖然人類的互動都有良心的成分，但沒有哪一個其它的 專業比教育背負更多的道德責任(Sichel, 1988)。因此，我們強調”數學教 師有必要培養與學生的信任關係，才能教他們數學和指引他們生活的方

向”(Noddings & Greeno, in press)。如何產生信任？選取和管制可掌控人們 進入專業領域的過程，培育者高標準的期望可監控專業的品質。門檻並 非純然為利己而設立，這和特權的獲取、身份階級的建立、以及發展同 事關係等，都是息息相關的。利己觀點可促使教師不斷提升其專業素養 及實務，因而引動教學專業的發展。而來自社會的信任可以使教師更能 自主地進行教學，因此，教師的專業化也促進了利他主義的實踐。

對教學這個職業而言，個人專業(Individual Professional)是指教師能 夠掌控與學生、家長的關係，意即，數學教師的高教學自主可減低管理 者的干涉，使其有更大的空間來選擇與判斷課程素材、教學方法、學生 之診斷與評量，甚至教室的管理(Noddings, 1992)。這表示，教師須發展 一般適合真實教室教學的管理技巧，以其專業導正學校教育，並平衡各 方（如家長、行政管理者）的要求。自主權是教師專業教學的後盾，絕 非僅靠契約或規章的授予，須要有管理者的認可及教師的自我管控來加 以保障。除此之外，專業發展須依賴持續進行的教師知識和教學能力的 研究，不僅可幫助教師教室的教學，也能了解教師如何做教學準備。然 而，Noddings(1992)指出光用數學知識是無法充分描述數學教師的專業知 識，還要特別留意轉化學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge，簡 稱 PCK)、教學知識、學生知識、及其間之交互作用關係。

關於數學教師的專業化，個人重視的是，如何將教師的教學知識與 學生的認知整合，以提升教室中的教學品質。但是，在教學實施過程中，

我們還須格外留意數學教學中教師與學生間的互動，最終，教師仍須將 學習的發展交回給學生，由他們自主學習，如此才能真正達成數學教學 的「易學性」和「樂學性」目標。當我們探究數學教師專業發展的意義，

指出教學應邁向全專業方向之時，是需要數學教師和培育者共同合作 的。

（二）專業發展的內涵

“教師專業發展的內涵即為教師必須具備的各種內在的知能，這些 知能在教師專業發展的歷程中會持續地轉變”(黃凱旻, 2002, p.11)。數學 教師充實其專業內涵的目的應是為了實施教學。就如同學生的數學學習 成功不能只在知識面著手一般，教師發展的專業內涵也不應祇注意知識 與技能層面，教學的態度、信念與價值觀等都是有深遠影響的要素，這 些也應是專業發展的內涵之一。國內學者饒見維(1996)在綜合與分析多 位國內外研究者的相關立論之後，建議將教師專業內涵區分為通用知 能、學科知能、教育專業知能和教育專業精神等四大領域。以此來評檢 數學教師的教學知能時，指的是數學教師應具備與數學教學相關的概念 性、程序性知識及其後設認知；此外在情意領域則關切數學教師來自人 格特質的態度、信念及評價和欣賞數學的價值觀。而影響教師教學的因 素除認知和情意兩個面向之外，尚有社會溝通、對話與互動的技能。因 此我們可以說，分析一個數學教師的教學歷程時，應包括認知、情意和 社會等三個層面內的成分。

以教師信念方面的研究為例，Raymond(1997, p.555)定義教師的數學 信念為”個人對數學系統公式化的判斷及來自數學上的經驗，可以包括 數學、數學學習以及教數學特質的信念”。文中並進一步論述，想測試 一位教師的數學信念的內涵，尤其是與數學教學較為相關的部分，可以 提問下列問題：

1. 你認為什麼是學生學習數學最好的方式？

2. 好的數學教學應具備哪三個最重要的特徵？

3. 你如何知曉何時達成一個成功的數學章節(Lesson)教學？

4. 在數學課堂上，你的學生參與的是哪一種形式的工作(Tasks)？

另外，Ernst(1989)將信念分為傳統、偏向傳統、均衡混合、偏向非 傳統、及非傳統等五個層級。而且，一位教師對數學本質的觀點，會對

教學實施產生重大的影響(Dossey, 1992)。Kaplan(1991)認為信念和實施應 是一致的，當排除其他因素的干擾時，具深度信念的教師會經常且普遍 地實施其所信，而具表層信念的教師只會淺薄地呈現這些信念。從以上 的論述，我們發現教師的教學型態受信念的影響極大。一位教師必須有 機會發展出合適的數學信念，再依此決定出師生皆樂於接納的數學教學 型態。因為，教師對數學本質的認知及信念，會影響其呈現數學教學的 手法，所以，問題不在於「什麼是最佳教學方法？」而是「真正的數學 到底為何？」(Hersch, 1986)。當我們視數學信念為教師專業發展的內涵 之一時，似乎不該輕忽 Thompson(1992)提出的信念與實施的關係。他認 為教師的信念和他們教學實施間的關係並非是簡單線性的，而應該是互 動或辯證(Dialectical)的關係。

Mau和D^/Ambrosio(2003)進一步建議，學生須有一個學習的反思旅 程，很多時候這旅程會促使學生考慮一些與學習數學相關的問題，也會 促使他們重新檢視自己的數學學習過程。一種有效的做法是，讓學生經 驗”被教導的反逆轉(Reversal)”，即在沒有人告知如何解題的情形下，試 著自己體會如何思考與解決數學問題。一開始先給問題，鼓勵他（她）

們在群體合作中解題，然後在教師引導之下進行全班學生的討論，以重 新檢視他（她）們自身數學思考的正確性。這種教學環境能否發揮促進 學生學習的功效，端賴數學教師如何展現其教育專業的精神，也就是需 搭配教師個人的人格和教學特質。進行這種數學教學，不但要留意自身 溝通、對話與互動的社會技能，還須兼顧學生的數學思考習慣和感受，

不會因為害怕得不到學校教師、同儕的認同，而放棄自己的想法。也就 是說，數學教師要設法避免社會目標凌駕數學目標之上。

數學教學的專業認知成長內涵應包括：學生學習的知識、數學和教 學實施，並視學生的學習為目標，以數學為基底設計支撐數學教師日復 一日的課堂教學實施和教學脈絡。Shulman(1987)則認為教師知識可以大

致分成七類，包括學科內容、一般教學、課程、學科教學（即 PCK）、

學習者、教學脈絡和教育目標。而教師的 PCK 就是，以最有用的表徵，

和最有效的類比、闡述、舉例、解釋或示範等形式，將學科內容知識用 可理解的方式教給學生(Shulman, 1986, 1987)。個人比較重視的是數學教 師 PCK 的獲得與發展，因為，它直接關係著教師面對學生時教學的形 式與內涵。但是，大部分數學教師的 PCK 應是從實際教學場域之中逐 漸累積而學得，因此，針對在職教師的專業發展，數學教學概念部分似 應將焦點放在對 PCK 的了解與學習上。即使是我們用心於數學本質的 知識探究，或想釐清關於學習者認知方面、學習心理方面的狀況，最終 還是要回到教學現場，將理解的學校課程嵌入合適的教學脈絡，才能實 現所欲達成的教學目標。這一切似乎都與教師的 PCK 有密切的關係。

就如 Shulman(1986)所說，PCK 是教師知識最重要的一環，它能識別教學 上特殊的知識本質，亦是教學專業獨特的知識範疇。所以，教師透過數 學教學知識與其實際數學教學行動的互動，應可促成教師個人 PCK 的 成長。當我們要設計某個單元的數學教學活動時，一般會整合相關的單 元教學概念，經由教學推理進到教學行動，以建構出數學教學概念。個 人的實際步驟是，先回溯單元所涵蓋的數學知識，考慮一般教學知識和 有關學習者的知識如何運用在這個特定單元上，而形成對這單元獨特的 數學 PCK。

數學教師的教學概念應是包括對以上所述情意、社會、認知三個層 面的觀念和行動。教學概念的發展對資深數學教師而言，重點似應放在 以信念的轉換引動教學實施的轉變，尤其重要的是認知面 PCK 的深化。

當我們特別從認知的 PCK 下手時，就有機會轉變自己的數學教學活動。

（三）專業發展和教學轉變

為了提升數學教學的效能，教師的專業發展（或成長）應是一個持

續向前推進的歷程。藉著對 Saxe, Gearhart 和 Nasir (2001)所做「教師專業 成長計畫對照」的研究進行分析，可以看到以不同關注點進行數學教師 專業的發展，會導致不同的結果。其中，重視根源面的 IMA（Integrated Mathematics Assessment，整體數學評估）計畫比起較重視執行面的 SUPP

（Collegial Support，大學支援）團體在學生評估測驗上有較高的平均成 績。從這兩個教師專業成長計畫的對照中，我們可以體會，當我們花很 多力氣在做執行面的檢討，像是如何實行、有何結構方法等，雖然，部 份解決了老師們實際的困難；但是，卻不能忽略根源或基本層面的探 究，也就是說，需要先去理解所教數學更深層的內涵、學生的思考和學 習動機的引導，這樣才能從教學概念認知面的數學理解和學習者的認知 出發，延伸到教室的教學實施。個人認為教師數學教學概念上的有機重 構歷程，應更甚於單純教學策略的領悟，也就是教師專業內涵的發展應 該著重教學概念的轉換，這也應該是引動教學轉變最主要的元素。

除了教學概念的認知面可以引動教師教學的轉變之外，教師個人的 數學教育信念與價值，也是啟動教學轉變的潛在元素。對個人來說，課 堂教學並非僅僅為了建構學生的數學概念，因為，學生接觸數學的經驗 是發展而來的，若教師能在課堂上透過重新建構自己的教學概念，並藉 此引導學生開展有價值的數學經驗，這才是教學轉變應該努力的方向。

當個人再次思考數學學習的本質，不論是從實質的應用面、思維的訓 練、或情感的欣賞層面，來省思數學教學活動，也就能調整自己數學教 學專業發展的方向和教學的目標，以改善數學課堂的教學實施。

但是，數學教師如何了解教學概念該在什麼地方著力重構？應該先 去掌控教學中的哪些部分？更重要的可能是，你的數學教學帶給學生哪 些豐富或愉悅的收穫？透過思考這些問題的答案，應可引動數學教師重 新檢視其教學的實質內涵和學習的本質。教師專業發展是以對數學教學 的認知為主，情意及社會層面為輔，在教師 PCK 獲得實質成長的情況

下，數學教學轉變便能朝著預設的目標前進。至於，如何促使一位資深 數學教師轉變存在多年的教學概念？又要如何釐清可以朝向什麼方向 和內涵尋求教學轉變？以下就來分析一下相關的數學教師專業發展模 式。

（四）專業發展的理論架構

1. Simon 的學-教六循環（Learning Cycles）

Simon(1994)提出情境探索(Situation Exploration)和概念辨識(Concept Identification)兩階段的學習循環。在一個學習循環期中，學生須對數學 情境做探索，並進而對所抽離出的概念做辨識。然後，這個新的數學想 法會在往後不同的脈絡中再次被自然地喚起，如此又發動學習循環的另 一個來回反覆的過程。因此，這個架構的循環觀點強調，新的學習「總 是」環繞著先前知識的應用而拓展。我們將此學習數學的循環理論平行 運用在教師的學習數學教學上，從建構(Constructivism)觀點看來，這與 學生如何學數學應是相似的。所以，依據 Simon 的主張，教師應以自己 學數學的經驗(Cycle One)為基底來探索，藉反思促成對數學本質的學習 (Cycle Two)和人們如何學數學的理解(Cycle Three)。再應用前述循環綜 合、抽離出對學生學習的理解(Cycle Four)，接著，進入實際擬定教學計 畫的階段(Cycle Five)，最後，到達教學實施的探索期(Cycle Six)。循環期 的推展途中經常會折返(Cycling Back)到之前的循環裡，好讓教師們有機 會再以新的方式探索數學和數學教學的歷程與內涵。

Simon 認為數學教師學習的架構是建立在遞迴式的數學學習架構 上，這個架構的基礎得自 Karplus 的 Learning Cycles，再結合社會學的構 成主義觀點，而形成兩階段的反覆應用循環。原本 Karplus 等人(1977) 提出的學習循環是三階段，包含一個探究期、概念辨識期，和觸發新探

究的應用期。Simon 則另外加入 Brousseau(1986, 1987)的教室學習觀點，

從中轉化出數學教學學習環的心得。他主張數學教師的部分角色要將原 本欠缺脈絡的數學想法，嵌進一個能讓學生進行探索、形成猜測並驗證 的解題或工作脈絡中。這樣的觀點強調，真正學習是發生在接納學生自 由（或自主）地對情境知識的回應裡，並在此情境下由教師促成學習的 發展。如此，學生不僅是一位實作的參與者(Practitioner)，還能自成為一 位理論家(Theoretician)，視數學概念為個人知識重新組織的結構物件，

並運用此物件來解決數學問題。

據此理論個人有兩點心得：一是關於數學教師的專業發展理論具體 成形的過程，另一是關於教師選取教學活動的準則與它跟學生互動的關 係。就如 Simon(1994, p.75)所說”一個學習的建構觀點並不能直接轉化成 任何特定的教學模式，數學教育者必須發展一個奠基的理論架構，讓它 能與建構主義相合，並能對數學效能有所貢獻”。因此，除了可以從建 構論得出教師專業發展的理論架構之外，還能從他們對學生學習知識的 理解中，轉化出數學教師教學實施所應扮演的角色和應具備的教學概 念。Brousseau(1986, 1987)強調，如果學生只被導向到某些特定的回應，

那 麼 真 正 的 學 習 便 沒 有 發 生 ； 但 是 ， 如 果 老 師 沒 有 教 學 的 意 圖 (Intension)、沒有計畫、沒有給予發展問題的情境，學生也就什麼都不會 做、什麼都不會學了。因此，”數學教師是以自身對有用數學知識的認 知，加上對學生現存知識之理解，決定選取哪些數學工作和課堂之組織 方式”(Simon, 1994, p.74)。這樣看來，數學教師必須更仔細思考教學實施 中的教師活動與學生活動，這對達成教學目標是相當重要的。另外，

Simon 還強調教師對自己教學實施的察覺。他認為數學教學是一個目標 導向的活動，其中目標和追求目標的進展，是在與學生的互動中持續地 被修正。因此，教師對教學活動的設計，應帶著可被修正的變通性，教 學反思之時應特別重視教學互動的成效，在重新組織、重新具體化的過 程中，修正下回的教學實施。

2. Tzur 的四焦點模式（A Four-Foci Model）

Tzur (2001)將數學教育參與者的專業發展分成四個層次，此四層次 分別對應於四個不同的角色：學生、教師、師資培育者、師資培育者的 指導者。據此形成不同層次，但卻彼此連通的數學師資培育者的四焦模 式(Four-Foci Model of Teacher Educator)，而層次間的區分是奠基於不同的 反思本質與內容。從學生角色的「學數學」到擔任數學老師的「教數學」， 將層次向外提升的關鍵在於反思之「質」（內容、層次、複雜性）的突 破。同樣地，層次躍升亦發生於教師、師資培育者、師培指導者的身份 轉換過程中。在內層中進行反思可釀成概念的重整，也就可能提昇到更 高的外層。但是，從內層到外層的發展並不僅僅是一個單純的線性延 展，必須在概念上做「質」的跳躍與提升，擴展反思的內容、層次、和 複雜性。每個焦點都比起前一個在質上有所不同，且它會收納內層，藉 由對內層的實施與互動而反思，抽離和精煉出更明確、複雜的教學思考 方式。

並有辦法形成架構和確切的想法”(ibid, p.277)。Tzur 個人積極面對數學活 動，在學生時代解題會自動連結數學心像，參與研究的當下同時擔任兼 職或全職教師，並研發研究計劃的新教材以及向教師們作推廣介紹，以 致於驅使自己去指導數學教師的教學，承擔師資培育的部分工作。他藉 助參與學術研究、教學、和培育師資的經驗，並在這一連串的角色變化 之中，反思自己過往經驗的片段，而重整出對數學師資培育的這些重要 觀點。在綜合 Dewey(1933)、Piaget(1970)和 Schön(1983)三人的觀點後，

他提出這個四焦點模式。

經由上面的探討，我們可以知道 Tzur 認為由學數學到教數學，能力 提昇的關鍵在於明瞭數學在每人眼中的不同，教學活動須依教師對學生 學習成效之反思而持續調整的。這樣的用心來自老師預想學生的數學學 習效果，所以，願意讓教學更有彈性。但是，就個人來說，對教學成效 的注意焦點似可加上另一層，也就是當教師判斷教學活動對學生是否有 效的當下，似可透過師生溝通的方式設法讓學生也成為教學活動設計的 潛藏提供者。也就是與學生溝通「對這一切的想法是什麼？」，讓學生 自己經由探究而部份主導課堂數學教學活動的走向。個人認為，由學生 自己的想法出發應會是一個有效的做法。

3. Zaslavsky 等人的三層次模式（The Three-Layers Model）

Zaslavsky, Chapman 和 Leikin(2003)提出一個中學在職數學教師專業 發展計畫的三層次架構，這個設計是源自學和教的建構觀點。過程中，”

實務社群的成員像似扮演師資培育者的角色，因而對教師教學知識的成 長有所貢獻”(Zaslavsky & Leikin, 2004, p.5)。這個三層次模式涉及三個不 同的數學教育者：數學教師（簡記為 MTs）、數學師資培育者（簡記為 MTEs）、師培者的指導者（簡記為 MTEEs），主要是透過教學和研究的 相關實務，思考成為數學師資培育者的過程。其中，實務社群的理論被 用來作為分析工具，以了解教師的專業成長和潛在師資培育者之間多樣 學習的方式。

此模式反映了 Dewey(1933)「師生反思性活動是思考的升級」的主 張，讓反思和行動結構的理論更為實際；又加上 Schön(1983)提出的「對 行動及行動中的兩種反思概念」，可有效地促進教師對教學實務認知的 成長。在他們看來，”學習是個人或群體的一個持續理解個人經驗與環 境互動之過程，而教師和培育者亦有同等的學習身份，須不斷地反省他 們的工作”(ibid, p.6)。因此，他們調整並延展 Jaworski(1992, 1994)的教學

三 元 組 (Teaching Triad) 及 Steinbring(1998) 的 教 與 學 自 主 系 統 模 式 (Autonomous Systems Model)，並將兩者結合成這個三層次模式，以檢視 社群中各個不同成員學習過程之間的互動。

由這個三層次模式裡，我們清晰地看到數學教師於教學實務中的學 習，教師的專業知識是在實務社群裡、社會脈絡中持續地發展。因此，

如果數學教學的改革需要教師在專業發展方面扮演一個有活動力的角 色，那麼，就必須為他們提供相對的機會，才能幫助教師從自己的實務 中看出（透）轉變的可能性。另外，當教師在觀察學生工作和反思他們 的學習過程時，也可以建構出個人的理解，使他（她）能接續調整更適 合學生的學習環境。學生自主式學習過程和教師自治的互動教學過程應 是相互依賴、並存的兩個系統，經由這樣的互相依賴，我們才能明瞭教 師「由教而學」的關鍵。

4. 反思理論

在前述三個與數學教師專業發展相關的理論架構之中，我們清楚感 受到「反思或省思(Refection)」所扮演的重要角色。Kathryn 和 Murray(1999) 認為反思是成功事業發展的核心，他們視互動和反思為學習教學概念不 可缺少的動力。另外，Calderhead 和 Gates(1993)也指出反思能夠使教師 分析、討論、評鑑和改變他們的實務，能使教師評價隱藏在教室實務中 與道德和倫理相關的議題，使教師為自我專業發展和教學自主負責，幫 助教師發展教學實務的個人理論。

Dewey(1933)指出人們在思考的同時也會改進思考。他認為，人們在 特定的活動裡界定出特別的結果，而且經由反思那些非預期的結果來解 釋新的抽象概念。這樣的教學應包括，分析學生的概念理解狀況，刺激 擾動不安的經驗，以及導引活動與結果間關聯的反思式思考(Reflective

Thinking)。Piaget(1970)則主張知識是真實世界的複製。了解(to Know)就 是將實體轉化，以便於理解一個特定狀況是如何被引動的，並檢驗行動 能否成功地產生新基模。這些都是個體內部的抽象運作，必須以心智來 加以結構。教師需仔細觀察學生的行動，才能分析他們現存的基模；並 鼓勵學生反思和轉化其現存的基模。Schön(1983)強調由活動中反思的結 果須再次反思，並產生有用的描述。後續結果的反思會賦予之前的描述 某些意義。所以，反思是一個遞迴運用「在行動中反思」(Recursively Applying Reflection-in-Action)的持續歷程。教師個人的教學反思即可透過 一個目標導向的教學活動被有意圖的引導。

反思的發展一般有兩個主要見解，一是 Dewey(1933)「確認問題、

依方法和工具分析、將結果一般化」的三步驟說；另一是 Schön(1983) 提 出 的 在 行 動 中 反 思 （ Reflection-in-Action ） 和 對 行 動 進 行 反 思

（Reflection-on-Action）。如果我們以此反思模式來思考數學教師的教學 專業發展，似應先確認數學教學問題的類別，並在實務社群中與他人進 行互動的反思，然後在個人教學實施中做行動中的反思。如此，透過提 升教師的教學反思層次，應可促進教學專業的發展。荷蘭現實數學教育 (Realistic Mathematics Education, Goffree & Dolk, 1995，以下簡稱 RME)的 觀點也相當著重教師對數學教學的反思能力發展。從教師個人、到教 學、再到學理，共區分為個人直接或間接經驗覆頌的普羅反思(Lay Reflection)、個人實務經驗的自我反思(Personal Reflection)、教學中各面向 問題的教學反思(Pedagogical Reflection)以及與一般化理論聯繫的學理反 思(Theoretical Reflection)。

當教師經由與他人的協同合作來發展教學概念時，反思應該可以發 揮多層面的效用。Jaworski(2001)認為，對發展和促進數學教學這個專業 來說，數學教師和數學教育者同時是參與者，也是學習者，因此，最好 彼此建立共同學習的伙伴關係，意即，一開始即強調雙方都參與行動及

反思。Jaworski 主張惟有透過教師的學習與反思才能轉變課堂的數學教 學，因此，她提醒我們應注意專家教師關於有效數學教學的見解，以及 這些見解是如何由反思得來的。Jaworski(1999)明確地指出，專家教師的 教學知識與他們如何反思和發展學理有關，也與數學知識的特殊本質有 關。Jaworski(1999)並進一步指出，教學應以學生學習為起點，而教師和 師資培育者應歷經由低到高的反思三層次，即有效幫助學生學習的課堂 數學活動，教師思考教學活動的發展，和師資培育的培育角色與培育活 動 。 她 引 用 Cooney(1994) 數 學 功 力 (Mathematical Power) 和 教 學 功 力 (Pedagogical Power)的構念，加上第三層的培育功力(Educative Power)，以 分別對應上述三層次中應具備的教育能力。

由於教師的專業發展經常不是孤軍奮戰的，從自我反思進展到教學 或學理層次的反思時，若能在一個教師的教學實務社群中進行，在這樣 的合作脈絡下可能會有更好的成效。下面我們就來看看教師的實務社群 和教學改變的關係。

第二節 數學教師的實務社群

（一）實務社群的意義和應用

近年來學習理論的取向逐漸由個人轉至社群的觀點。傳統對學習的 看法認為學習發生在個體之內的心智，是一種知識內化的過程。這種個 體取向的學習觀點，明顯地忽視來自他人教導的結果，對學習者與所處 社會特性間的關係，未能夠做更深入的探索。而以社群為焦點的學習理 論則設法釐清學習者和社群、他人之間的關聯。

Lave 和 Wenger(1991)認為學習發生於社會共同參與的形式中，與其 問是哪一種認知過程和概念化結構，不如問哪一種社會參與形式，應更

能提供適當的脈絡激發學習。他們所提出的社會學習理論(Wenger, 1998) 有四個組成要素（簡稱 CPMI）：社群(Community)、實務(Practice)、意義 (Meaning)和身份(Identity)。它強調學習是全人活動、逐漸參與社會實務 的過程，所以，學習即是「實務社群(Community of Practice，以下簡稱 COP)」不可分割的部分。個人在整體實務中了解學習，了解關係的多樣 性，包括與社群及世界的關係。在 COP 中，學習是參與者的共同行動，

在這行動和實務中，成員須逐漸理解參與社群的意義和身份。

COP 包含”個人、活動、和世界間的相互關連，提供既有知識的根 本條件”(Lave & Wenger, 1991, p.98)。Wenger(1998, p.134)又進一步闡明，

COP 是”在組織中由類似工作情境中的個人所建立的非正式關係，成員 之間彼此分享共同的心智模式”。COP 另外還有一個伴隨的發展，”當社 群 中 包 含 學 習 在 內 時 ， 此 社 群 即 是 一 個 學 習 社 群 (Learning Community)”(ibid, p.214)。社群在進行實務運作時，”身份和實務之間存 在一個意義深遠的關聯，COP 的形成也可說是一種身份協商的歷程，因 為，實務需要在社群形成後才能發展，社群內成員彼此接受共同的約 定，互相承認他人的參與身份”(ibid, p.149)。COP 是演進的學習社群，當 觀察 IBM 公司發展實務社群的情形後，我們發現 COP 大致歷經潛伏期、

建構期、契合期、熱絡期和持續期等五階段的發展。當 COP 的特質在 各階段中轉變時，個人在 COP 參與的長期身份關係(Identity)亦持續發展 和轉變，學習的核心精義是成為一專業實踐者(Masterful Practitioner)，而 非學習實踐方法。因此，在 Wenger(1998)的社群學習理論中，身份和實 務是 CPMI 四元素中的主要元素，它們兩者間的相互關聯格外值得留意。

教師社群的組成來自共同的背景、規範與價值，包括對教育的信念 和對教師專業的價值肯定與執業規範。數學教師在社群中進行教學專業 的互動應是為了增進學生的數學學習。彼此之間的對話亦具有對專業內 涵的反省與檢討，而除了專業數學教學知識的分享外，教師之間願意透

過協同合作來解決專業問題。因此，教師在樂於與同僚分享自己的教學 實務經驗的同時，也會回饋同僚的分享。所以，在教師社群之中，若以 四元素 CPMI 中特別重視的身份和實務兩者來看，個人認為數學教師的 教學身分轉換似可引動教學概念的重構，並影響教室的教學實施。

（二）教師社群的互動和教學轉變

Lerman(2001)從 COP 和身份轉換、活動理論、以及後現代主義等三 個不同的研究觀點，探討數學教師教學的專業發展。他認為教師研究應 該從信念與認知的發展（或轉變）的觀點，轉移到教師在其教學脈絡中 學習的觀點。也就是說，教學概念的轉變和專業發展，應是教師在其身 處脈絡中的學習與發展歷程。教學 COP 可提供參與教師極佳的學習脈 絡，並從中檢驗自身的教學實施，提升反思的品質。但是，教師 COP 如何引動教學概念的轉變？Wenger(1998, p.156)指出”在 COP 中，老手用 敘事和參與兼具的方式，交付過去的經驗且提供未來的方向；實務本身 會賦予故事生命，而彼此投入和參與實務可讓這些故事成為個人經驗的 一部分”。因此，個人認為參與教師在教學 COP 的投入情形將對教學概 念的轉變造成重要影響。

參照 Lave 和 Wenger(1991)在書中所舉的幾個 COP 實例，我們知道 社群的互動對成員的影響是漸次發酵的。因為，”COP 是一個動態脈絡，

可將新的心像轉變成知識，因此，它是知識獲得和創造的特有場所；若 能在 COP 中一直保持經驗和能力之間張力的流動，就能使 COP 變成一 個學習社群”(Wenger, 1998, p.214)。COP 對教師們來說，猶如一個學習教 學概念的支援組織，藉成員間的互動而能協助教師專業的發展。在這樣 的一個數學教學的學習社群中，”成員藉助熟悉、可理解的事物，更加 認識自己和自己的專業知能，同時藉陌生、難懂的部分，更加了解自己 不是哪種人或不認同哪一種知能”(ibid, p.153)。在這樣的教學學習進程

中，老手負責提供教學實施計畫及報告活動成果，其他成員或是進一步 詢問問題，或是回應看法、提出建議和批判。當此社群裡有師資培育者 時，通常還能幫助成員們連結教學實施與相關學理。此一教學學習社群 的建構，開啟了參與討論成員進一步教學成長的空間，也常能從討論中 激發出更多調整教學活動的想法。

藉由教師教學 COP（即教學的學習社群）的定期聚會，討論教師活 動的設計，反思教學實施的成效，並學習引入教學的專業知能。誠如 Adler(1996)所說，教學並非經由教育課程習得，乃是持續參與以課程為 其一部分之教學社群而得。教師個人也因為參與這樣的一個學習社群，

更能體會到教學學習社群對改善教學的助益。這樣的助益可能來自社群 成員的回饋與批判、社群組織的運作，而參與者在平衡理論和實務的同 時，也可能就同時引動了教學實施的轉變。這種教學概念與身份的轉化 歷程，相當符合 Lave 和 Wenger(1991)的核心主張，意即，視教師教學實 務和身份的發展是教育環境（如學校、教室）與教學的一個主要部分。

讓教師的教學概念和身份在社群中建構、成長，而其內涵也較能被大多 數人所接受、了解。

在研究自己的數學教學問題期間，社群的經常性聚會，就像是讓教 師與支持成長的團體進行諮商。”在這種參與學習社群實務的過程中，

同時建構與社群相融合的身份，除了看做了些什麼，更主要的是看我們 的身份及相對的詮釋”(Wenger, 1998, p.4)。尤其是，當某位成員正面臨重 新建構數學教學內容、方法、進程時，能跟有經驗的教師群及師資培育 者談論數學教學的主題，說說教室規範的建立，並請成員們一起查核試 驗性的教學實施，這個互動的學習歷程對個人及社群都是有價值的。這 也會是一個機會，讓在職數學教師在專業進修中「再次學習如何教數 學」，並與教室的教學實施，做一個有效的整合，同時進行教師對教學 的直接（專業進修）和間接（教學實施）的兩種學習。

第三節 數學教師教學身分和教學概念的重構

（一）教師的教學身分和教學概念

Castle 和 Aichele(1994)認為數學教師專業成長的形式有很多種，可是 能造成真正有意義而持久的品質改變，則是經由教師想要尋求較好教學 方法的自主性活動。為了尋求較佳的教學方法，個人反覆推敲相關的教 師專業發展文獻，將教學改變的重心放在自己教學身份和教學概念內涵 的重構上。教學身份的轉換受教師 COP 中互動的影響較大，透過社群 成員對特定單元教學活動的討論與批判，使個人對教學中教師應扮演的 角色逐漸有一個比較清晰的輪廓。就如 Wenger(1998, p.13)指出”透過在 個人和群體間的相互構成之複雜關係，身份一直在發展和轉變”，而且”

已發展的身份會賦予實務意義”(ibid, p.155)。這個特殊的教學 COP 提供 個人教學身份發展的脈絡，進而從社群身份建構教學身份，讓研究者的 數學教學概念能夠再組織化和再脈絡化。教學概念重構的內容和方向是 以 Simon 的學-教環、Tzur 的四焦模式、和 Zaslavsky 等人的三階層模式 為架構，特別著力於教與學的反思，而發展出以學生探究、辨識、觸發 為取向的數學學習活動架構，亦即將數學教學活動的內涵和方式，放在 與學生的互動中持續地進行調整。

教學身份(Pedagogical Identity, Bishop, Seah, & Chin, 2003, p.733)就是 教師依自我的價值觀而決定如何扮演課堂中的角色，以促進學生的數學 學習，而成為自己期望中的教師類型和教學風格。教學概念則同時呈現 在教學的構思與實施面，包含單元設計的想法、實施策略的決定、及教 學活動的進行等。關於教師教學身份的表徵，依據 Chin, Leu 和 Lin(2001) 的見解，是透過某些價值相隨的教學插曲（擔任催化劑），一方面展現 教師個人的教學風格和價值，另一方面經由旁人的理解也帶動教師本人

對教學身份的自覺。數學教師在課堂上扮演的角色，也許帶著一點像導 演或畫家這樣的藝術色彩，以反映出其個人特有的教學風範。反思教師 角色的細節和敏銳關心之處，更能顯現出一位教師個人對某些教學或教 育身份的偏好。譬如，有的數學教師認定自己在課堂上須滿足低成就學 生的需求，而扛起學生學習成果的全部責任，扮演教學結果的承擔者 (Chin & Lin, 2001)。”數學教師各自對數學和教學的價值觀(Values)，被視 為他們教學身份的表徵”(Bishop et al., 2003, p.749)。這樣的教學身份涉及 數學、教學、學習、和課程，是加強教師課堂教學之教育標準的基礎(Chin

& Lin, 2000)。

教師認為適當的課堂活動、教學方法、教學步驟和教學結果，都屬 於其數學教學概念的一部分。個人以一段課堂觀察日誌加以說明（教材 內容為高中第一冊 2-2 有理數與實數）：

我對實習老師細細講述這單元整份教材的教學設計，希望他知道不僅是看 教材單元的內容有哪些，以及須練習什麼樣的題目；除此之外，尤須注重 整份教材的結構、前後如何呼應，以及題目對概念了解可以怎麼產生最大 的幫助。說明中有一點是，個人在教分點公式時不以演繹法介紹，改用歸 納法促成學生的認知。這與課本十分不同，課本上的分點公式介紹，是直 接以一般情形讓學生代數計算出分點數值，即給予線段左右端數值為 r,s，

並設分點兩段左右比為 m：n，則算出此分點為 ( )

n m

ms r nr

n s m r m

+

= + + −

+ ；最

後再告知若為中點，則 m=n=1，故得中點公式

2 s

r+ 。個人覺得這樣進行教 學，學生比較不能深刻體會其數學概念的深層意義，故改變教授的順序。

先由已學過的特殊情形（即中點概念）開始。

教師（即研究者）：數線上由左到右的兩點坐標分別為 r 和 s，則如何求其 中點坐標？

（學生們一起說中點為 2

s r+

） 教師：為什麼？請告訴我怎麼來的。

（某位學生用計算距離來說明，其他同學表示想法相同。這時沒人提及 加權平均的概念。）

教師：再請大家找出三等份的左方第一個分點之數值，寫下答案並作觀察。

（當她們算出

3 s r

2 + 時，教師則進一步提示留意式子中的 2，1，3 是從何 而來，並請學生試著自行解釋其數學意義。）

教師：你們感覺這樣交錯使用 2，1 比重，合不合理？接著試試再猜測三 等份的第二個等分點坐標應如何？

（讓大家發表比重的意義，並說出另一分點的猜測值，及猜測的理由。）

教師：將你猜的分點坐標與原本的距離公式相驗證、比對，寫出一般 m：

n 的公式，並說明 m 與 n 代表的意義。

（92 年 10 月 8 日課堂觀察日誌摘錄）

在這樣的教學活動中，個人扮演提問者的角色，不同於傳統教學的 示範或傳達者。因為，個人想激勵學生對所接觸的數學內容有更深入的 理解，希望讓她們試著解讀數學知識，而能在面對數學時擁有自然接納 的態度。會形成這樣的教學實施，是由於反思自己的教學經驗與學生的 學 習 成 效 。 互 動 與 反 思 可 以 引 動 教 師 教 學 概 念 的 再 概 念 化 ， 誠 如 Tzur(2001)的說明，模式中的核心想法是對行動的反思而發展，再輔以 自身經驗片段的呈現和分析之重新概念化而得。互動發生在課堂師生 間、在教師社群的成員之間，互動結果是個人反思及社群反思的焦點與 結果。經由這種反思和互動歷程可精煉出某些教師身份及教學概念並試 行課堂教學，在教師調整其教學身份、重組（重構）其教學概念時，自 然會去計畫下一次的課堂教學實施，並由觀察實施的結果啟動下一回合 的教學反思。

當我們思考教師的教學身份時，會結合一個個不斷深入的步驟，進 行遞迴探索，再經由真實的教室教學活動來檢視和調整。教師以初始的 教學身份決定教學型態，其中，數學教學概念則被視為數學教師對教學 知識認知的構念，成為支配課前的計畫和課堂的教學活動以及課後反思 的基礎，它是教師教學知識和教學思維的系統化(陳松靖, 2001)。

（二）身分和概念重構的架構

如果數學教學概念是教師對數學知識、數學教學知識和學生學習知 識系統化、結構化的認知，那麼教學概念的重構就是這些認知的轉化和 發展。因此，一位數學教師對教學應有知識與實施的認知，在經驗一些 學習或教學的活動後，會對既有的和新進的知識再做認同、調整和評 估，以修正或轉化已有的教學概念，藉以引發解決教學問題的教學思維 和發展有效的教學實作方案(陳松靖, 2001)。但是，教師的角色並不是只 單純地促進數學學習，尚須整合更寬廣的教育考量。教師如果想靈活地 (Flexibly)支持學生的數學學習，就得針對問題所掌控的主題和工作，形 成更具條理的一貫性理解。例如 Skott(2004)主張教師應運用數學和後設 數學(Meta-Mathematical)概念，以教室實作為導向而發展出更具體的教學 法，如此在處理學生學習數學的問題時，才能更為有效。

關於發展數學教師的教學專業，Cooney(1994)認為，教師不僅得具 備數學知識、教與學數學的知識，還要知道「如何」使用這些知識來轉 化教學，亦即數學教師須同時具備數學功力(Mathematical Power)和教學 功力(Pedagogical Power)。Zaslavsky 等人(2003)則進一步提出一個培育數 學師資培育者的三階層模式，包括教學功力、培育功力、和輔導功力 (MTEEs’ Educative Power, 即培育師培者的能力)。教師幫助學生培養數學 功力，當他們試著自主地解數學題時，能反思並形成數學想法。這目標 須借助數學教師具備的教學功力來達成，即教師能觀察並設法從中構思 出更合適學生學習的環境。教師教學功力的作用平行於師資培育者和其 指導者的培育功力，因為，他們在教師專業發展課程中，也要對進行的 師資培育活動和成效作觀察，同樣須具備能夠為學習者（即準教師、在 職教師）變化學習數學教學環境的能力。個人認為 Zaslavsky 等人(2003) 所說的教學功力，應該是指教師依教學目標建立合適的學習環境，擬定 教學實務中可行方案的能力，尤其是能兼顧學生的認知心理層面。實務 問題的解決與改進有賴理論的支持，理論的內涵則透過實作來檢視，兩 者相輔相成，互相影響(黃凱旻, 2002)。個人想讓學生快樂地自主學習數

學，為了實踐這個目標，須設法連結學理與實務，展現個人的數學教學 功力，才能從中發展合適的教學活動。

對於上面提及的教師教與學的努力，由本章第一節（四）的分析，

我們可以體認到教師的反思力是促使教學改變的關鍵。教師須在教學中 反思學習活動的成效，以提昇教學功力；培育者須在帶領教師學習教學 的活動中反思師資培育活動的成效，以提昇培育功力。這些觀點後來匯 聚出有關數學教師教學身份及概念發展的五功力說，即數學功力、教學 功力、培育功力、輔導功力和反思功力。就一位在職數學教師而言，個 人的教學概念重構將著重於數學、教學及反思三方面的轉變。在 COP 引動數學教師的教學互動和反思的過程之中，同時提升個人的數學、教 學和反思的功力，藉此教學能力品質的提升，應可引發教學身份和概念 的轉化和發展，也就是促成身份和概念的重構。重構的目標在於，呈現 教學功力（內含數學和後設數學功力）的多元面向和提升教學反思的層 次。以國內九年一貫新課程標準來看，強調以學習者為主體，以知識的 完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標(教育部, 2003)。它期望 學生具備形成數學問題、解決數學問題、及欣賞數學的能力。數學教師 則當帶領學生學習新的數學概念、新的演算規則，甚至舊題材的新表示 方式，且須藉由舊有的數學經驗來統合成新的直覺或邏輯經驗。這時，

唯有依靠教師敏銳的觀察與分析，建構適當的教學鷹架，以連通其新舊 經驗。

個人為了進一步理解學生學習數學的本質，在反思教學成效之時，

試著從認識論的觀點來剖析數學知識，因而明白學習環境中建構和社會 化調適的重要性，那是學生獲得數學客觀知識的重要通路。在社會建構 理論的研究中提到我們能知道世界，並非直接觸及它的本體，而是透過 在社會環境中一直不斷同化、適應的擺盪過程，獲得一個經驗上的似真 實體。教室可被視為社會互動的場所，在教師的引導下，學生重構先前

已發展的概念和程序(Skott, 2004)。因此，教學功力的多元面向若以課堂 師生互動而言，個人認為除了傳統的「老師講，學生聽」之外，在尊重 學生想法的教學概念下，應可加入「教師聽，學生講」的互動學習情境。

Skott(2004)認為這樣的互動應關注以下幾點：

1. 教師能獨立且自發地運用課室的資源，包括學生的理解、小組討論 等，並維持個人和群體的學習機會。

2. 教師引發的課室對話和互動，可提供較大的學習潛能。

3. 教師所做的內容總括，有利於提升學生的數學學習層次。

4. 教學想真正觸及數學豐富的內涵，須在心像上設法將學生的數學猜 想過程具體化，此時，證明或反駁是不可或缺的活動。

以下說明個人教學概念重構的實質內容。

（三）身分和概念重構的內涵

當研究者的教師身分轉變（資深教師與實習輔導老師）時，也正是 個人的教學學習歷程進入較為緊密發展的階段。教學多年累積的經驗與 進修的啟發，加上需要指導實習教師的數學教學，這多重現實一再地衝 擊著個人既有的數學教學概念。讓研究者在反思個人的教學實施時，特 別想要釐清：教師個人特質、教學理念、學生學習架構等。因此，個人 更加留意自己在課室中的教學身份，及如何重整已有的教學概念，並加 入一些教學的試驗性想法。以下說明個人「四取向」試驗性（或試探性）

的教學構思內容：

1. 傾向非傳統型的數學教學信念，認同學習的促進者、佈置者、和檢核 者的教師教學身分

教師的教學身分可以反映在課前的設計、課堂的實施及課後的反思 檢討。個人抱持「教師的教學應該讓學生喜愛數學的內涵，並產生足夠 的學習自信」的信念，而自我的教學身分就是用來彰顯這樣的數學教學 信念，教學的內容和方式則是為了引導學生體驗和領悟數學易學和學習 樂學的價值，以落實成為一位「關懷學習的教師」。

雖然，有很多老師視數學為一些規則的匯集，我們可以用”as a set of rules to follow”來形容大多數教師對自身習得數學的觀點，致使他們努力 教學生這些規則。因為，自己以前是這樣學數學的，而在學習成為教師 的訓練期間也認同這樣的教學技巧，所以，就很自然地用由來習慣的講 述方式進行教學活動。但是，也有一些數學教師認同數學知識的形成是 一個動態的過程，他們認為”數學知識是可變動的、問題導向的、以及 可 持 續 擴 展 的 ； 發 現 數 學 的 過 程 可 令 人 感 到 驚 奇 、 相 關 、 存 疑 和 美”(Raymond, 1997, p.557)。

根據許多數學教師的研究（例如 Thompson, 1992），個人相信教師在 數學方面的信念及對數學的了解是影響教學實施的潛藏重要成分。然 而，除了從教師教學知識和信念的角度來重新思考自己的教學之外，從 學生學習的角度來重新看待數學教學，或許能有更大的啟示。不同於傳 統教師的信念及課堂的教學實施，深思熟慮的教師認真思索的是，雖然 經常教導規則能帶領學生達到正確的解答，但是，對學生而言，這些未 必是其學習的起點。因此，若依教師經驗直接告知學生，解題有哪些可 能的做法和比較方法的優劣，這樣或許能讓教師覺得安心，但是，學生 能否真正體驗到解題過程中的更深刻數學內涵？這似乎無法只經由教 師教授規則即可釐清的。因為，我們沒有站在學生的角度來考量數學解 題的本質，就不容易讓教學的數學內容進入學生的心中。想想看，如果 教學能將「帶給學生正確解答」提升至「幫助學生自行開發解題之鑰」， 或許會使數學學習更充滿生命力。

由於研究者扮演的教師角色是為了想達成「學生自主學習」的目 標，所以，將自己（教學身份）定為一位學生學習的促進者、佈置者、

和檢核者。希望，課堂的學習活動重心由教師轉至學生。因此，師生或 學生之間對數學本質的認知、課堂數學的探討、模式建立、及概念的形 成等，都要透過協商和溝通來建立、凝聚共識，以引領學生探究數學知 識的內涵。在這樣的學生數學探究活動中，教師要促進學生的自主學 習，鼓勵學生探究及反思，並檢核學生所形成數學概念的精確性和深 度，同時，又須確保學生的數學學習會伴隨生產力。

Krummheuer(1983)建議，老師應學習去理解他們學生的觀點和幫助 他們理解老師的觀點，二者才能達到教學的共同目標。而實際的協商是 發生在老師和學生之間，重視判斷什麼是可接受的數學與什麼是數學教 學可接受的方式。這裡所指的實際協商是發生在課堂學習進行的當下，

全視課室正在進行的主題及學生的回應而定，無從事先得知細節。而 且，協商就是讓學生去建構自己的數學知識。亦即”從學生的眼光來描 述這些合理的事件，鼓勵學生以其原始的想法來解決問題”(Arcavi &

Schoenfeld, 1992, p.328-329)。而且，”在嘗試解決問題的期間，老師必須 跟隨學生的想法，老師的角色完全不同於傳統教學”(Wittmann, 1995, p.367)。所以，數學教學的設計應緊扣著孩子本身的知識獲得過程及心 理發展狀態這兩個層面。

教師在以學生為導向的教學活動中，需要一方面鼓勵學生的直觀猜 測與分享，另一方面激發學生將自然語言轉化成數學語言。前者可以讓 學生投入解題歷程，後者可以促使學生提升數學理解的層次。這兩項工 作需要教師透過課堂溝通，肯定學生個人想法的價值，彰顯提升理解層 次的重要性。教師想要扮演好促進者、佈置者、和檢核者的角色，必須 比以往更加看重學生自我形塑的能力。數學對話可以引出學生的數學心 像，透過對學生心像的檢核，應可逐漸地引導其發展個人的數學理解。

而 伴 隨 的 教 室 數 學 溝 通 形 式 ， 似 可 從 單 向 (Uni-Directional) 、 輔 助 (Contributive) 的 方 式 ， 轉 向 反 思 (Reflective) 、 教 導 (Instructive) 的 方 式 (Brendefur & Frykholm, 2000)。

2. 結合數學學習的知識、情意、動機層面，引入學習的前導架構和知識 的歷史脈絡

教學與動機有密切的關係，當你遇到有動機的學生時，教室內充滿了活力 而顯得生氣盎然；你也會拿出你對學科內容的熱情，並且想要與學生展開 學習之旅。身為一位教師當然會遇到問題，不過仔細聆聽你自己以及你學 生的聲音，適當的解決之道就會浮現(李慕華譯, 2000, p.92)。你的責任並不 是要協助他們在生活當中保持領先，而是要協助他們過他們的生活(ibid, p.96)。

上述摘自《反思教學》書中的一段話，可說明引起動機對學生獲取 數學深層理解的重要。為了培養學生的學習動機，教學的策略是以學習 前導架構幫助學生由自己開展學習的歷程，再以知識的歷史脈絡承接。

因為，學生的學習除了要有動機外，若能讓情意與知識交錯互動應該會 比較有成效。Whitaker(1979)認為，情意因素並非孤立，而是與認知因素 交錯夾纏，同時會影響數學思考。

提供學習的前導架構是想要讓學生轉變看待高中數學的觀點，同時 在知識面與情意面發揮引動的效果。用數學問題引出數學學習的主題內 容，它能提供學生一個整體的概念學習架構。這種做法取自 Ausubel 的 構念，即在學習之前讓學生先了解學習內容的整體架構。

數學知識的歷史脈絡可以是學生接觸數學概念的起始點，認知歷 史脈絡下的數學學習可以多了前人成果所賦予的意義。因為，”解題者 調遣知識、追憶知識、評估知識是否有使用的價值，如何使用已知推 測未知等等，皆與情意有關”(邱守榕, 1996, p.10)。這些面對解題時調遣 的知識並非現代人所獨創，它們有歷史進展的源頭，也就是說，學生

所學的數學是數學發展史中的一段。所以，在課堂上談論知識的歷史 脈絡應是很自然的事，知悉所學內容的起源背景本應與學習相容。提 供知識的歷史脈絡，主要想幫助學生產生更強的動機、興趣去學這些 內容，立意在情意面。而且數學史是數學文化發展的活記錄，數學文 化則在社會對數學史的認識中發展。數學史對數學教學的意義、作用 與重要性不但具有地方色彩，且已成為國際性的議題。大家都在探討：

如何在數學課堂中使用數學史料，促進學生的學習興趣，以及提高學 習的品質(Nelson, Joseph, & Williams, 1993)。

其實，數學史在每個人的數學學習經驗中都佔了一席之地，而其 中更隱含情意的元素。諸如，欣賞數學家投身發展數學知識的孜孜不 倦精神、感受數學知識對世界文明的貢獻、及體會數學家揭露美妙數 學知識的發現過程。如果讓學生也像研究者一樣領略這種心靈的悸 動，說不定那會激發她們對數學和學習數學的熱忱。此外，當史料融 入教學時，除了激起學生的學習動機之外，數學家的示範解題想法也 應該能豐富學生的數學思維，而數學家對問題持續不懈的努力也會有 提升學習情意的作用。

3. 從數學的易學性與學生的樂學性，構思概念的啟蒙例

荷蘭的現實數學教育觀(RME)認為「數學是一種人類的活動」，所以 學 生 應 該 有 機 會 藉 由 數 學 化 生 活 中 的 現 實 經 驗 來 「 重 新 創 始 (Reinvention)」數學概念(Freudenthal, 1991)。數學的一個重要面貌是，它 是自然和社會現象的抽象化結果。具象化的數學在生活中是處處可見，

陳佩正(2000, p.20)做了一些詮釋：

教學若從生活周遭發展教材，學生就會因為經常接觸而能夠產生足夠的聯 想。這也符合人類文明發展的過程：人類當然是由身邊的東西學習，甚至 應該說人類最原始的智慧就是來自於和大自然的互動。但是隨著科技發展

，人類卻將自己和大自然區隔得越來越遠，學習竟然變成一種只侷限於四

面牆壁內的聽講行為，或許這就是文明進步的負面效果吧！

個人並不想讓學生只是無奈地接受僅僅侷限於四面牆壁的聽講，但 是，如何將大自然搬到課堂裡？先引導學生進入一些似真的生活情境，

或許有助於他們發展有延展性的抽象數學知識。有許多研究者也主張，

以生活情境解題為導向的數學活動設計。例如，Idrus(1993)以及 Ostwald 和 Chen(1994)的研究均指出，在課堂中進行生活情境解題可為學生帶來 知識的深度理解。不同於傳統講述，教師是將知識直接傳輸給學生，生 活情境解題可提供豐富的、多元的學習脈絡。這些觀點可以讓研究者運 用在自己的數學教學課中，鼓勵學生重新創始所接觸的數學內涵，在解 題的脈絡中獲得數學知識。一般說來，這樣的學習情境通常會比脫離脈 絡(Out of Context)，而由教師直接交付數學內容更有成效。而且，學生也 比 較 可 能 將 這 樣 的 知 識 運 用 到 新 情 境 中 (Chappell & Hager, 1992) 。 Kemp(1995)指出，學生若能在真實生活情境中應用和測試所學理論，就 更能獲利。這種利益並非只有學生得到，教師本身亦有所得(Steinbring, 1998)。

為了要引入生活情境解題的教學材料，個人認為應著力於設計數 學概念的啟蒙例。什麼是概念啟蒙例？在鄭英豪(2000)的研究中，指出 概念啟蒙例為學生學習抽象數學概念時，預先建立的一個具體心物，

以作為參照對象，好減輕抽象學習的困難，並提供學習折返的支撐。

他同時提出，好的啟蒙例至少要具備樂學、易學、代表、和發展四個 屬性。樂學性意指啟蒙例須能引起學生學習的樂趣，因此，最好是常 常接觸的素材，例如生活現象、好玩的遊戲等。易學性則強調啟蒙例 要銜接學生的認知層次，使學生能夠很快進入狀況，所以問題的數學 挑戰性不宜太高。代表性是說啟蒙例提供的情境應能真正代表欲學的 數學概念，如此即可降低日後產生概念錯誤的機會。最後，啟蒙例的 發展性是，先設想在學習歷程中學生碰到困難得折回再向前發展，這

時必須要有一個具體可參照的對象，才能找到調整與發展的基礎，因 此，啟蒙例必須是一個能讓學生在數學學習過程中不斷地折回的參照 點。

概念啟蒙例並不一定要有生活的背景，但是，個人認同數學概念本 來自生活，是個人由日常做數學的經驗中將數學概念引出(Skott, 2004)。

在最近十年間，數學教育的研究開始注意到數學學習的社會和歷史面，

讓教育決定和教學實施盡量不與生活脫節。另外，也因為生活例較能讓 學生體驗學習的樂學和數學的易學性。在教學實施中使用概念的啟蒙例 時，個人還想試著連結此概念背後的認知理論，希望能對學生的新概念 學習帶來更多的附加利益。

目前，似乎沒有特別針對高中數學單元的生活情境概念啟蒙例之相 關探討。雖然，已有學理的支持，卻很少關於發展數學教師教學概念方 面的研究。在本研究中，個人想透過行動研究的持續探索，來連結數學 概念與學生生活經驗。結合生活情境的數學概念，或能促使學生在剛開 始接觸一個核心數學觀念時，更容易激發出解決問題的想法或策略。希 望，同時能達成易學與樂學的教學目標。當然，學生並不一定在一開始 就使用正規的數學方法，比較有可能的卻是直觀的、有些疏漏的自我嘗 試。Case(1975, 1978)依據 Piaget 認知發展理論，提出當學習者所處的學 習環境要求他所掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但過 於簡化的解題策略，就是所謂的學童法。不僅小學生，中學生也使用自 己的方法解題。Booth(1981)也發現英國中學生處理數學問題時，往往不 用課堂上老師教的方法，而用自己較有感覺、有信心的方法，這就是「學 童法(Child Method)」。例如，”學生認為相加就是「合併起來」的意思，

因此會有 2a+5b=7ab 的錯誤型態出現”(Booth, 1986, p.24)。但是，不論學 生是否一下子就抓到概念的核心，生活情境卻能夠讓學生較自然地投入 其中，正是學生將舊有基模連繫上新知識的好脈絡，這對推動由學生自

己開始數學學習的自主及探究之學習模式應是有助益的。

4. 調整教學活動的結構和內容，透過自學素材、學前評量、課堂探究，

引動學生的自主學習

一般而言，教師努力教導學生，希望他們藉由觀看教師示範而自行 模擬，藉此習得數學概念。但是，實際情形卻是學生也許藉模擬而轉移，

卻無法在他們面對新情境時使用這些數學概念。教師會執著於規則教 導，除了教師原本學習經驗的影響外，不熟悉學生的數學思考特性似乎 也是一個潛藏的因素。因此，教師要設法了解學生的數學學習特質，並 在心理層面提升對學習自主模式的認同。近幾年來，從數學教育的改革 紀錄文件，例如美國 National Council of Teachers of Mathematics(NCTM, 1989, 1991)、以及國內九年一貫課程綱要(教育部, 2003)，我們都看到教 師教誨學生的焦點，從以往加強程序練習和對定義的記憶，轉而強調師 生間的數學探究以及概念的理解。這種趨向非傳統型的教學風格，應有 助於提高教師對學習自主模式的認同。

個人是想以自學、學前評量及課堂探究的教學策略，來支撐學生的 學習自主活動，引動學生由本身出發，獲取較深度的數學理解。學生的 自主學習至少應該包括學習數學的強烈動機、發展自己合適的數學學習 方式，以及對數學內容進行更深入的探究。個人以自學素材、學前評量 做為引起學習動機的觸媒，除了動機面的考量外，亦在知識面以學習的 前導架構讓學生更容易進入新知識的學習進程。學習前導架構不但是協 助學生自主學習的學習材料，它也是課堂正式學習前的預備活動，因 此，這個教學設計也呼應 Skemp 應鞏固已開發新領域之主張。

自學、學前評量的引動下，接著，再以課堂學生探究的氣氛營造來 延續這個引動效果。課堂探究的成效被視為教師專業身份的一種鑑識方 式，教師須在課堂上與學生及課程互動，具備對學生細微行動反思後立

即作回應的能力。教師經常傾聽且回應學生的想法，這種與學生對談他 們想法的動作，被 Steinberg 等人(2004, P.237)評估為”不僅是課堂活動改 變的指引，在結合其他因素下，還能建立改變的機制”。因此，個人在 重視學生自我數學理解的教學信念影響下，改變傳統教師講述的教學模 式為學生探究數學活動的自主學習模式。

當個人的教學概念認可學生自我理解的重要性，課堂即以探究的形 式進行，內容則跟隨學生的想法而調整。問題是，學生能否在自己的數 學探索中獲得足夠多的數學理解？因為，在課堂探究的活動中，數學理 解的深度受學生自主決定的比重，比一般教師導向的班級為高，所以，

教師有必要對學生的數學理解及發展出來的數學功力，再次慎重地檢 核。學生的眼光也許獨特、也許淺薄，我們不能在開放學生進行課堂探 究的同時，輕忽學生獲取數學內容的厚實與否，如此反倒違背個人教學 的初衷。

有研究者認為“數學感是一種高層次的思維，它的思維網路連結得 很快，它能對結果的合理性作敏銳的判斷和詮釋，同時能在思考過程中 自我調整”(李源順和林福來, 1998, p.6)。當課室形成協商的氣氛，學生的 想法被引出，討論的主角就是學生，學習是否充足完整的責任已由學生 來承擔。此時，學生如果沒有強烈的數學感作為支撐，討論很有可能後 繼無力，結果不是由老師直接講述，就是討論內容流於表層知識。我們 如果想要有實質的學生探究及學習成效，必須設法培植學生深厚的數學 感。如何培養學生的數學感？李源順和林福來(1998, p.6~7)曾提及：

若能強調直觀，並且讓學生對所學的數學作合理的判斷與聯結，學生對數

學的感覺就會加強。所謂合理判斷，就是對數學性質和問題能適時的提問 合理的結果是什麼，以及結果為什麼是合理的。當學生對數學能作合理判 斷時，他才能在思維過程中適時調整解題策略。…所謂聯結，就是要能將 數學概念與自然現象、生活經驗及過去所學概念聯結，如此數學的知識網 路才會寬廣，才能對所學的數學有強烈的感覺。

課堂探究活動如果重視學生的直觀，由學生自己判斷，學生在看問 題時就不會只停留在最起始的學童法。除學生提升了對課堂探究品質的 認知之外，教師在這件事情上所能發揮的作用也不能忽視。雖然，學生 才是學習的主角，但是，教師在幫助學生進行學習的課室討論的引導上 也扮演關鍵的角色。依此看來，以學生探究為主、教師促進、佈置、檢 核為輔的教學策略，應該可以讓教學注入更多的活水。

總結來說，個人的教學身份和教學概念的重構，是在反思、醞釀及 實踐三個層面中進行。對教學的反思是引動改變的源頭，它在整個重構 過程擔任檢核和提升的任務，而反思的素材許多是來自教師實務社群的 互動，若沒有這層社群的醞釀，可能無法實際精煉個人教學反思的內 容。最後，個人以「一年三階段的循環」引動重構的歷程。在下一章，

研究者將詳細說明這為期一年的三階段教學行動研究的進程。

本行動研究的最終目的是：提升自我的數學功力、教學功力和反思 功力。數學功力的提升是指個人比起以往，在數學解題中抽取更為深入 的數學概念，更加注重概念間的數學連結，也就是逐漸將所學數學知識 透過深層理解形成綿密的網絡。教師有更進一步的數學理解，抓到數學 世界中的核心圖像，將對數學教學形成較好的刺激，也就是說，個人數 學功力的提升亦促成教學功力的成長。因為，較熟悉數學知識的本質，

又能以同理心看待學生的數學理解歷程，以致有辦法找出適合自身教學 風格的教師教學活動與學生學習活動。反思功力則借助前兩項功力的提 昇，設法在方法、內容與層次上尋求突破。反思功力與前兩項功力是相 輔相成的，個人因反思功力的深化而能促成數學和教學功力的提升，也 因數學和教學功力的提昇，而更清楚知道自己該如何又為何需要進行教 學反思。這種遞廻、互動的歷程，又讓反思功力更上一層。

綜上所述，個人教學概念重構的「五元素」包括：界定教學身份、

增強學習動機、潛藏情意成分、強調概念啟蒙、及調整教學技巧以引發 學生探究。此五元素與教學設計和教學實施的關係，如圖二所示。

學習的前導架構 學前 評量 自學

素材 概念

啟蒙例 教學設計

＋

歷史脈絡

動機增強情意潛藏

教學實施

＋

知識面

圖二 教學概念重構元素示意圖