針對第一節中受測者心像表徵型式及操作方式、點軌跡的心像呈現方 式、圖形結構與符號的參照、圖形結構與符號的變換等四部分的結果中，本 節將依不同媒介工具的特質及教學上可能的意義對結果予以討論。
一、動畫組受測者的心像建構與連結符號表徵
動畫組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，以圖形操作及軌跡圖形 的心像表徵型式為主，可以激發出半數以上的人注意到整體連續的性質；在 點軌跡的心像呈現方式上，86% 的受測者有正確且連續的軌跡圖形；在圖 形結構與符號的參照上，大部分的人可以掌握住圖形結構並進而以符號表示 特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上，75% 受測者可以掌握住表 達參數式的關鍵因素：A 點自轉角為 2θ，並有效利用此關鍵因素，進而順 利表達參數式。
由動畫組在此四部分的表現情形上，動畫觀察容易激發出受測者產生整 體連續的心像及促進掌握軌跡圖形的結構，並幫助受測者掌握連結符號過程 中所需要的關鍵因素，進而達到與符號的變換。
動畫觀察的特質為：受測者有參考物可以觀察、動畫可以整體連續的完 整呈現出圖形結構的變化。因此容易幫助受測者產生整體連續的心像操弄，
並促進受測者掌握住圖形結構及變化關係，進而掌握住與符號轉換的關鍵因 素。
由 Vinner 所提出的概念心像來看動畫組的受測者所建構的心臟線的概 念心像。心智圖形是指動點軌跡的圖形結構，概念性質則是指角度與動點圖 形結構的關係。動畫觀察可以有效幫助受測者建構出正確且連續的點軌跡的 心像呈現，並可以幫助受測者建立出「A 點自轉角為 2θ」的概念性質。動
畫組的受測者利用此概念心像進而擬定出有效連結符號表徵的策略，進而容 易表達出正確的參數式，達到與符號表徵的變換。
依左台益(2006) 所提出的幾何認知雙碼訊息處理模式中，提到視覺化 主要在表徵歷程進行，構圖主要在參照歷程中進行，推理會在變換歷程中進 行。動畫觀察可以幫助受測者將動點的圖形表徵成正確且連續的點軌跡的心 像呈現；受測者在兩種情形的構圖中，容易掌握住圖形結構而與符號順利參 照；在參數式的推理中，容易因掌握住表達參數式的關鍵因素，進而與符號 順利變換。
由動畫組受測者的心像建構與連結符號表徵的研究結果中，研究者提出 利用類似本研究的動畫來教學時，教學上可能的意義。就學生的認知上，動 畫可以激發學生產生整體連續的心像，所以教學上，可以避免傳達過多有關 軌跡的離散訊息，使得學生在語意與心像的連結上產生困擾。就數學本質上
，動畫可以促使學生掌握住圖形結構及變化關係，所以教學上，教師可能只 需要提點一下如何以數學方式表達圖形的概念及連結符號過程中的關鍵因 素，學生便可以容易掌握到連結符號的關鍵因素，進而幫助學生將圖形表徵 變換成符號表徵。
二、實物組受測者的心像建構與連結符號表徵
實物組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，半數以上的人只注意到 局部離散的性質；在點軌跡的心像呈現方式上，有 65%的受測者可以產生 正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，大部分的人可以掌握 住圖形結構並進而以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上
，70 %受測者可以掌握住表達參數式的關鍵因素，但其中有 1/5 的受測者不 能有效利用關鍵因素，進而無法順利表達參數式。
由實物組在此四部分的表現情形上，實物操作容易激發出受測者產生局 部離散的心像及促進掌握軌跡圖形的結構，並幫助大部分的受測者掌握連結 符號過程中所需要的關鍵因素，進而達到與符號的變換。
實物操作的特質為：受測者有參考物可以觀察、受測者必須操作才能讓 實物呈現出圖形結構的變化。因此受測者容易受操作因素或物件性質的影響
，而容易產生局部離散的心像操弄，且可能造成錯誤的點軌跡的心像呈現型 式；由於有參考物的觀察，受測者容易掌握住圖形結構及變化關係，進而使 得大部分的受測者可以掌握住與符號轉換的關鍵因素。
實物操作可以幫助受測者建構出連續的點軌跡的心像呈現，但不一定為 正確的圖形。並可以幫助受測者建立出「A 點自轉角為 2θ」的概念性質。
實物組的受測者利用此概念心像進而擬定出有效連結符號表徵的策略，進而 容易表達出正確的參數式，達到與符號表徵的轉換，但部分受測者可能會受 到物件性質的影響如點軌跡的心像呈現型式錯誤而導致無法順利利用「A 點 自轉角為2θ」的概念性質而擬定出有效的連結符號表徵的策略。
實物操作可以幫助受測者將動點的圖形表徵成連續的點軌跡的心像的 呈現，但可能容易會產生錯誤的圖形；受測者在兩種情形的構圖中，容易掌 握住第一種情形的圖形結構而與符號順利參照，較不容易掌握住第二種情形 的圖形結構。在參數式的推理中，容易掌握住表達參數式的關鍵因素，但亦 會受到物件性質的影響而導致無法有效利用關鍵因素，所以在符號變換上，
能掌握住表達參數式的關鍵因素及有效利用關鍵因素的受測者，比較容易順 利將圖形與符號變換成功。
由實物受測者的心像建構與連結符號表徵的研究結果中，研究者提出利 用類似本研究的實物操作來教學時，教學上可能的意義。就學生的認知上，
實物操作會讓學生容易產生局部離散的心像，所以教學上，必須先讓學生熟 悉實物的操作，才能幫助學生建立出比較正確且連續的心像。就數學本質上
，熟悉後的實物操作可以促使學生掌握住圖形結構及變化關係，但卻可能會 受到物件性質的影響而不能專注在利用關鍵因素的符號發展。所以教學上，
教師可能需要提點一下數學方式表達的概念並加強闡述軌跡圖形、圖形與連 結符號間的關鍵關係，學生便可以有效掌握到連結符號的關鍵因素，進而幫 助學生將圖形表徵變換成符號表徵。
三、語意組受測者的心像建構與連結符號表徵
語意組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，半數以上的人只注意到 局部離散的性質；在點軌跡的心像呈現方式上，有 40%的受測者可以產生
正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，約 60%的人可以掌 握住圖形結構及以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上，
60%的受測者不能掌握住表達參數式的關鍵因素，進而只有約 1/3 的人可以 順利表達參數式。
由語意組在此四部分的表現情形上，語意描述容易激發出受測者產生局 部離散的心像，且不能有效掌握軌跡圖形的整體結構，並讓大部分的受測者 無法掌握連結符號過程中所需要的關鍵因素，進而無法達到與符號的變換。
語意描述的特質為：受測者沒有參考物可以觀察、受測者必須提取舊經 驗來構圖，才能呈現出圖形結構的變化。因此受測者容易因舊經驗的複雜，
而容易產生局部離散的心像操弄。由於沒有參考物的觀察，受測者不容易掌 握住軌跡圖形的整體結構、圖形結構及變化關係，進而使得大部分的受測者 可以不能掌握住圖形與符號變換的關鍵因素。
語意描述容易使部分受測者建構出離散的點軌跡的心像呈現，大部分 的受測者會呈現出不正確的圖形，其中點軌跡心像呈現型式為不正確連續之 橢圓、圓等熟悉的幾何圖形，則很難幫助受測者建立出「A 點自轉角為 2θ
」的概念性質。動畫組的受測者利用此概念心像擬定出連結符號表徵的策略 時，容易因掌握不到表達參數的關鍵因素，進而因計算錯誤而表達出不正確 的參數式。
語意描述不容易幫助受測者將動點的圖形表徵成正確且連續的點軌跡 的心像呈現；受測者在兩種情形的構圖中，較不容易掌握住第一種情形及第 二種的圖形結構，進而與符號順利參照的人數約佔 50%。在參數式的推理 中，較不容易掌握住表達參數式的關鍵因素，所以在符號轉換上，能掌握住 表達參數式的關鍵因素及有效利用關鍵因素的受測者只佔總體的1/3。
由語意組受測者的心像建構與連結符號表徵的研究結果中，研究者認為 語意描述是傳統教學上常使用的教學方法，教學上可能的意義。就學生的認 知上，語意描述會讓學生容易產生局部離散的心像，所以教學上，必須充分 解釋或以實例表達，才能幫助學生建立出比較整體連續的心像。就數學本質 上，語意的描述不能促使學生掌握住圖形結構及變化關係。所以教學上，教 師可能需要仔細說明數學方式表達的概念並加強闡述軌跡圖形、動點圖形結 構、圖形結構與連結符號間的關鍵關係，才能使學生有效掌握到連結符號的
關鍵因素，進而幫助學生將圖形表徵變換成符號表徵。