研究者分為四個部分探討受測者心像的建構及連結符號表徵的情形

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第伍章動畫、實物、語意三種媒介工 具之研究結果與討論

本章的實驗發現主要回應研究問題 1：個體對於動畫觀察、實物操作、

語意描述的三種不同媒介工具的型式，其建構心臟線參數式的歷程中，心像的建構及連結符號表徵的情形。

研究者分為四個部分探討受測者心像的建構及連結符號表徵的情形。第一部分在探討受測者心像表徵型式及操作方式；第二部分在探討受測者對於動點軌跡的心像呈現型式；第三部分在探討受測者構圖時，對於圖形結構與符號的參照關係；第四部分在探討受測者推理時，對於圖形結構與符號的變換關係。研究者依據受測者在問卷上所回應的資料作分析。

第一節為横向分析研究發現，針對受測者心像表徵型式及操作方式、點軌跡的心像呈現型式、圖形結構與符號的參照、圖形結構與符號的變換等四個部分，作三組受測者的心像建構及連結符號表徵情形的橫向的比較分析。

第二節為縱向分析研究發現，主要針對三組中，具有不同參數式型式的受測者，依其心像表徵型式、點軌跡的心像呈現型式、圖形結構與符號的參照、

圖形結構與符號的變換等四部分的序列發展情形，作縱向的比較分析。第三節針對横向分析研究發現及縱向分析研究發現作結果的分析與討論。

第一節橫向分析之研究發現

研究者想觀察每一位受測者心像建構與連結符號表徵的情形，所以研究者先將受測者編碼，動畫組受測者以D 為代碼，實物組受測者以 P 為代碼，語意組受測者以 V 為代碼。而內部性質的編碼，是研究者與兩位研究生及一位專家共同編製並一起討論受測者所屬編碼。

一、受測者的心像表徵型式及操作方式 (1)心像表徵型式

研究者依據皮亞傑所提出的三種抽象化類型：經驗抽象、擬經驗抽象

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、反思抽象，分類受測者在一開始的初始心像表徵型式。研究者將受測者心像表徵型式為靜態圖形者視為受測者透過經驗抽象作思考，心像表徵型式為圖形操作者視為受測者透過擬經驗抽象作思考，心像表徵型式為軌跡圖形者視為受測者透過反思抽象作思考。研究者將受測者所呈現的圖形或文字做編碼，但不考慮圖形或文字的正確性，先大方向把靜態圖形編為1，圖形操作編為 2，圖形軌跡編為 3，無圖形編為 0；再依圖形或文字的細部性質做分類：滾動銅板的外圍軌跡編為(a)，滾動銅板的圓心軌跡編為(b)，兩銅板的接觸點軌跡編為(c)，長擺線軌跡編為(d)，以文字語意表達編為(v)，觀察圖形性質和關係編為(p)。以表 5-1 做編碼的介紹。

依據表5-1，研究者將動畫組、實物組、語意組中，受測者的心像表徵型式做編碼，並以表5-2 呈現動畫組、實物組、語意組中，每一位受測者的心像表徵情形，方便之後的分析與探討。

圖形型式圖形性質

靜態圖形圖形操作軌跡圖形

編碼代號

1 2 3

細部編碼 (a)：滾動銅板的外圍軌跡。(b)：滾動銅板的圓心軌跡。(c)：兩銅板的接觸點軌跡。(d)：長擺線軌跡。(v)：以文字語意表達。(p)：觀察 圖形性質和關係。

表5-1：心像表徵型式編碼表

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動畫組心像表徵實物組心像表徵語意組心像表徵

D1 2 P1 1 V1 2(p)

D2 2 P2 2 V2 2 D3 2 P3 1 V3 2

D4 2 P4 2(V) V4 2

D5 2+3(a) P5 2 V5 2

D6 2 P6 2 V6 2(p)

D7 2+3(b) P7 2 V7 2

D8 2+3(b) P8 2 V8 2

D9 3(c) P9 2 V9 2

D10 2+3(b) P10 2 V10 2

D11 3(v) P11 2 V11 3(a) D12 3(c) P12 2 V12 2

D13 1 P13 3(a)(b) V13 2

D14 1 P14 2+3(b) V14 2+3(a)(b)

D15 0 P15 3(c) V15 2

D16 2(v) P16 2 D17 2(v) P17 2 D18 2(v) P18 2 D19 2(v) P19 2

D20 3(c) P20 2+3(a)

由表 5-2，先不論細部性質，以圖形的性質為主，可以統計出。動畫組：0 佔 5%、1 佔 10%、2 佔 65%、3 佔 40%；實物組：0 佔 0%、1 佔 10%

、2 佔 80%、3 佔 20%；語意組：0 佔 5%、1 佔 0%、2 佔 93%、3 佔 13%

。根據統計數據，可以圖5-1 表示各組心像表徵型式的分佈的情形。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

動畫組實物組語意組

空白靜態圖形圖形操作軌跡圖形表5-2：第一個實驗活動之心像表徵型式編碼分佈表

圖5-1：第一個實驗活動之心像表徵型式分佈圖

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動畫組的受測者之心像表徵型式以圖形操作及軌跡圖形為主。實物組及語意組的受測者之心像表徵型式以圖形操作為主。

從圖5-1 的觀察中，三組受測者的心像表徵型式都以圖形操作佔整體的比例最高。在實物組與語意組中，軌跡圖形在整體所佔的比例上，兩組差異不大；動畫組中，軌跡圖形在整體所佔的比例上就明顯高於其它兩組。顯示出動畫組比其它兩組容易注意到圖形的軌跡，而實物組與語意組則比較傾向操弄圖形，顯示出實物的操作與透過語意思考都容易讓受測者在心像中操弄圖形。研究猜測可能的原因在於，動畫組可以看到完整的滾動過程，而實物組及語意組只能自己摸索兩銅板滾動的情形，所以動畫組比較容易注意到圖形的軌跡，或是在操弄圖形後也注意到圖形的軌跡如D5、D7、D8、D10 等幾位受測者。

動畫組與實物組都有部分受測者只注意到靜態圖形如D13、D14、P1、

P3，但語意組則沒有受測者注意到靜態圖形。顯示出動畫組與實物組的受測者在觀察銅板滾動時，可能會受到物件性質的影響，而只注意到銅板的外型，而語意組的受測者可能因為沒有參考物可以觀察，促使語意組的受測者

，其心像表徵型式傾向操弄圖形。

(2) 受測者心像的操作方式

問卷第一部分的問題：「滾動的銅板繞固定銅板一圈時，本身自轉幾圈

」。研究者以題目做目標導向的方式，迫使受測者操弄其心像來擬定解題策略以回應問卷上的問題。受測者解題時所依據的，通常分為觀察銅板上的圖案變化或觀察銅板上的定點位置變化。研究者認為觀察銅板是代表受測者注意到整體的變化，觀察銅板上的定點則代表受測者注意到局部的變化。從受測者的構圖中，可以將圖形的型式分為連續型及離散型兩種。以表5-3 說明受測者操作圖形的方式。

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心智圖形操作特色

整體連續局部連續整體離散局部離散

研究者依受測者的整體解題策略，將受測者心像操作的性質分為整體連續、局部連續、整體離散、局部離散，解題所注意到的面向區分為注意相對位置及注意接觸弧長相等的性質。研究者將整體連續編碼為Ⅰ、局部連續編碼為Ⅱ、整體離散編碼為Ⅲ、局部離散編碼為Ⅳ；注意相對位置編碼為a

、注意接觸弧長相等的性質編碼為b，自轉一圈編為 1，自轉 2 圈編為 2，

例如受測者注意到了銅板圖案的變化，及銅板圖案的相對位置，並認為銅板自轉 2 圈，研究者將其編碼為 2Ⅰa；受測者注意到銅板上某定點的離散變化而沒有注意到點的相對位置，並認為銅板自轉1 圈，研究者將其編碼為 1

Ⅳ。研究者將各組受測者心像操作的情形以表5-4 來表示。

動畫組心像操弄實物組心像操弄語意組心像操弄

D1 1Ⅲ(a) P1 1Ⅳ V1 1Ⅳ

D2 1Ⅳ P2 1Ⅳ(b) V2 2Ⅳ(a)

D3 1Ⅱ P3 1Ⅰ V3 2Ⅳ(a)

D4 2Ⅰ(b) P4 1Ⅳ V4 1Ⅳ

D5 2Ⅰ(a) P5 2Ⅲ+Ⅳ V5 2Ⅳ(a) D6 2Ⅰ(a) P6 1Ⅳ V6 2Ⅳ(a)(b) D7 1Ⅳ(a)(b) P7 1Ⅳ(b) V7 1Ⅲ

D8 1Ⅱ P8 1Ⅳ V8 1Ⅱ

D9 2Ⅱ P9 2 (a)Ⅰ V9 2 (a)Ⅰ D10 2 (a)Ⅰ P10 1Ⅳ V10 1 (a)Ⅲ

表5-4：第一階段心像操作方式編碼分佈表表5-3：第一個實驗活動之心像操作方式例圖

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D11 2 (a)Ⅲ P11 2 (a)Ⅰ V11 1Ⅱ D12 1Ⅱ P12 1Ⅱ V12 1 (a)(b)Ⅳ D13 2 + (a)Ⅰ Ⅱ P13 2Ⅳ V13 2Ⅳ D14 2 (a)Ⅰ P14 1Ⅳ V14 1Ⅲ D15 2 (a)Ⅰ P15 2 (a)Ⅰ V15 2 (a)Ⅰ D16 2 (a)Ⅰ P16 1Ⅳ

D17 2 (a)Ⅰ P17 1 (a)Ⅰ D18 2 + (a)Ⅰ Ⅱ P18 1Ⅰ D19 2Ⅰ P19 1Ⅳ D20 1Ⅱ P20 1Ⅱ

由表 5-4 統計出各組心像操作方式的比例情形，動畫組：Ⅰ佔 55%、

Ⅱ佔10%、Ⅲ佔 10%、Ⅳ佔 10%，實物組：Ⅰ佔 30%、Ⅱ佔 10%、Ⅲ佔 5%

、Ⅳ佔60%，語意組中：Ⅰ佔 13.3%、Ⅱ佔 13.3%、Ⅲ佔 20%、Ⅳ佔 53.3%

。正確答案為銅板自轉兩圈，研究者統計各組的答對率，動畫組：65%，實物組：25%，語意組：53.3%。綜合以上統計，為探討三組的差異情形，以圖5-2 表示各組的分佈情形。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

整體連續局部連續整體離散局部離散答對率

由圖 5-2 可以觀察出，動畫組的操作方式有 58%屬於整體連續型，顯示出動畫組的受測者在解題時，心像的操作是比較偏向整體且連續的操作方式

，在表 5-3 中，動畫組的受測者，其編碼為Ⅰ者常伴隨(a)的編碼，如 D15

、D16、D14，顯示出操作方式為整體連續型的受測者容易注意到相對位置的變化。實物組的操作方式雖有 30%的受測者為整體連續型，但局部離散型佔整體的 60%，整體而言，實物組的操作方式是偏向局部離散型。在表

圖5-2：第一個實驗活動之心像操作方式分佈圖

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5-3 中，實物組的受測者只有 4 位(佔整體的 20%)激發出注意相對位置的想法，顯示出實物操作的方式不容易讓受測者注意到相對位置的變化。語意組的操作方式就明顯偏於局部離散，在表 5-4 中，語意組的受測者有 8 位(佔整體的 54%)激發出注意相對位置的想法，顯示出語意組的心像操作方式雖不偏向於整體連續，但仍會注意到相對位置的變化。

對於以上統計結果的原因，研究者認為可能動畫呈現出整體滾動的過 程，因此受測者注意到了滾動的銅板的整體變化，心像的操作方式比較偏向整體連續，而容易注意到了相對位置的關係，又動畫所呈現的滾動方式為正確的，導致動畫組的答對率比其它兩組高。語意組雖然操作方式偏向於局部離散，但有半數的人也會注意到相對位置的關係，研究者認為可能受測者在畫出滾動的銅板上的定點位置變化後，經由提取出類似的舊經驗，發現相對位置關係是判斷的關鍵因素，導致答對率近五成。實物組的操作方式偏向於局部離散，但答對率卻是三組中最低，研究者認為可能受測者在操作銅板上產生困難，例如銅板會滑動、手會遮到銅板….等，因此受測者受到物件性質的干擾，導致不容易注意到相對位置的關係。

二、受測者對於點軌跡的心像呈現型式

本部分在探討受測者的點軌跡的心像呈現型式，研究者觀察受測者所畫出的軌跡圖形、關於軌跡圖形的文字描述、數學方式表達的意願、關於軌跡的數學性質，將編碼的方式陳述於下。

研究者將受測者畫出的軌跡圖形分為正確與不正確，再依軌跡的型式分為連續型及離散型，編碼方式為：圖形正確且連續編為1，圖形正確且離散編為 2，圖形不正確且連續編為 3，圖形不正確且離散編為 4；對於圖形的不一樣的軌跡圖形，將圓型編為C，橢圓編為 E，拋物線編為 P，例如：受測者的軌跡圖形為平滑的封閉曲線且為心型，則編碼為1；軌跡圖型為一些不連續的點構成且為心型，則編碼為2。對於受測者的文字描述分為兩種，

第一種為直接由圖形轉譯，例如：長得像愛心、心臟線等的描述，第二種為對圖形的結構做一些性質上的描述，例如：圖形為對稱且有結點、點會繞出去再繞回原處，研究者將第一種編碼為T，第二種編碼為 S。對於受測者是否想用數學方式表達，Y 表是，N 表否。關於受測者想到的數學性質，研究

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者依數學性質的類型分為以下四種編碼方式，a 表示座標：泛指一切有關引入座標系的答案，如極座標、方程式、解析幾何…等；b 表示弧角關係：指有明顯注意到接觸弧長或角度相等的答案；c 表示電腦工具：指有提到有 GSP 之類的電腦軟體輔助；d 表示參數關係：指有牽涉到參數表達的答案，

如參數式、三角函數…等。受測者在同一種類型的編碼可能不唯一，如圖形的描述有包含第一、二種，則編碼則為TS，關於各組的編碼結果，以表 5-5 做呈現。

動畫組軌跡型式編碼生軌跡型式編碼生軌跡型式 D1 1 T Y a P1 3P T Y cd V1 3 T N a D2 1 T Y d P2 1 Y ad V2

D3 1 S N ad P3 1 T Y ad V3 4 T Y cd D4 1 T Y bd P4 1 S Y a V4 1 S Y a D5 1 T Y ad P5 3M S Y ad V5 1 T N a D6 1 TS Y d P6 3 S N d V6 1 T N a D7 1 T Y ad P7 1 T Y ad V7 1 T Y a D8 1 S Y d P8 1 T Y d V8 2S N cd D9 1 T Y a P9 1 T Y acd V9 1 T N D10 1 T Y a P10 1 T N d V10 3P S Y a D11 3E T Y a P11 1 T Y a V11 3E T Y a D12 3E T Y ad P12 1 S Y ad V12 4 N a D13 1 T Y d P13 3C TS Y ad V13 1 T Y ad D14 1 T Y d P14 1 T Y c V14 3P T Y cd D15 1 T Y d P15 1 T N V15 3 S Y d D16 1 T Y P16 4 T N a

D17 3E T N P17 1 S Y c D18 1 T Y a P18 1 T Y abd D19 1 T Y cd P19 3M T N acd D20 1 S Y d P20 3C TS Y a

由表 5-4 的編碼結果，可以統計出，動畫組：1 佔 85%、3 佔 15%，T 佔85%、S 佔 25%，Y 佔 90%、N 佔 10%，a 佔 45%、b 佔 5%、c 佔 5%、d 佔65%。實物組：1 佔 65%、3 佔 30%、4 佔 5%，T 佔 70%、S 佔 35%，Y

表5-5：第一個實驗活動之軌跡的心像呈現型式編碼分佈表

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佔75%、N 佔 25%，a 佔 65%、b 佔 5%、c 佔 25%、d 佔 65%。語意組：1 佔40%、2 佔 6.7%、3 佔 26.7%、4 佔 26.7%，T 佔 60%、S 佔 26.7%，Y 佔 60%、N 佔 40%，a 佔 60%、b 佔 0%、c 佔 20%、d 佔 33.3%。研究者想探討三組在圖形認知及提取數學概念的差異性，將軌跡圖形與文字描述的分佈圖以圖5-3 表示；將數學表示意願及數學性質以圖 5-4 表示。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

正確且連續正確且離散不正確且連續不正確且離散直接轉譯局部描述

0%

20%

40%

60%

80%

100%

座標方法弧角關係電腦輔助工具參數方法

想用數學方法表達不想用數學方法表達

由圖5-3 中，從 1：正確且連續的軌跡圖形、2：正確且離散的軌跡圖形

、3：不正確且連續的軌跡圖形、4：不正確且離散的軌跡圖形中，其各自在三組中所佔的比例來看。動畫組的受測者所畫出的軌跡圖形的正確度最高，

而語意組的受測者所畫出的軌跡圖形的正確性最低且軌跡圖形為離散型的比例為三組中最高，實物組的受測者所畫出軌跡圖形為不正確且連續型的比

圖5-4：第一個實驗活動之軌跡數學性質分佈圖圖5-3：第一個實驗活動之軌跡型式分佈圖

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例為三組中最高。這些統計結果顯示出動畫觀察及實物操作，可以幫助受測者建構出較正確且連續的點軌跡的心像呈現型式，但實物操作亦容易產生不正確且連續的點軌跡的心像呈現型式。圖5-3 中，圖形的文字描述情形，三組並沒有特別顯著的差異。

造成上述結果的可能原因，研究者認為動畫是一個完整的連續圖，受測者容易觀察出紅點的整體軌跡；實物操作上，由於操作的因素會造成圖形的偏差，導致有些受測者不易觀察出紅點整體軌跡，而克服的方法，可能要多多熟練銅板的操作；語意組的受測者只能透過思考，由心像操作或構圖來觀察點軌跡，可能會造成部分受測者無法有連續的點軌跡的心像呈現。

由圖5-4 中，從 a：座標方法、b：弧角關係、c：電腦輔助工具、d：參數方法中，其各自在三組中所佔的比例來看，動畫組與實物組中，有很高比例的人數認為軌跡圖形可用參數方式表達，而語意組中，則傾向以座標方式表達軌跡圖形。從Y：想用數學方法表達與 N：不想用數學方法表達，其各自在三組中所佔的比例來看，動畫組最高，其次是動畫組，最低是語意組，

顯示出受測者在數學表達的意願上，動畫組最高，而語意組最低。

上述結果顯示出動畫組及實物組的受測者對於軌跡的數學形式傾向以動態型式的參數式來表達，而語意組對於軌跡的數學形式傾向於以靜態型式的座標方式來表達；實物組與語意組有大約1/5 的比例認為需要電腦輔助工具，顯示出此兩組的受測者較動畫組的受測者沒信心能掌握住軌跡圖形。由數學意願的結果來看，動畫觀察及實物操作可以增加受測者將圖形與符號表徵連結的意願。

三、圖形結構與符號的參照

本部分在探討受測者由觀察自己畫出的圖形結構後，與數學符號的參照連結情形。研究者由受測者畫出下列兩種情形的圖形：第一種情形為動圓滾動1/4 圈後的 A 點位置，第二種情形為動圓滾動 30 度後的 A 點位置，並由受測者觀察A 點位置的構圖，進而表達出 A 點的座標過程中，以構圖及座標表示的正確性來回應本部分的研究目的。

研究者由受測者構圖及以座標表示動圓滾動1/4 圈後的 A 點位置的答案

(11)

中，以P1 表示構圖正確、P0 表示構圖不正確、Q1 表示座標表示正確、Q0 表示座標表示不正確；由受測者構圖及以座標表示動圓滾動30 度後的 A 點位置的答案中，以R1 表示構圖正確、R0 表示構圖不正確、S1 表示

座標表示正確、S0 表示座標表示不正確。研究者將各組受測者的編碼結果以表5-6 呈現。

動畫組編碼情形實物組編碼情形語意組編碼情形 D1 P1 Q0 R1 S0 P1 P1 Q1 R0 S0 V1 P1 Q1 R1 S1 D2 P1 Q1 R1 S1 P2 P1 Q1 R1 S0 V2 P1 Q1 R1 S1 D3 P1 Q1 R1 S1 P3 P1 Q1 R0 S0 V3 P1 Q1 R1 S1 D4 P1 Q1 R1 S1 P4 P0 Q0 R0 S0 V4 P1 Q1 R1 S0 D5 P1 Q0 R1 S1 P5 P1 Q1 R1 S1 V5 P0 Q0 R0 S0 D6 P1 Q1 R1 S1 P6 P1 Q0 R0 S0 V6 P0 Q0 R0 S0 D7 P1 Q1 R1 S1 P7 P1 Q1 R1 S0 V7 P1 Q1 R1 S1 D8 P1 Q1 R1 S0 P8 P1 Q1 R1 S1 V8 P1 Q1 R1 S1 D9 P1 Q1 R0 S0 P9 P1 Q1 R1 S1 V9 P1 Q1 R1 S1 D10 P1 Q0 R0 S0 P10 P1 Q1 R0 S0 V10 P1 Q1 R1 S1 D11 P1 Q1 R1 S1 P11 P1 Q1 R1 S1 V11 P1 Q0 R0 S0 D12 P1 Q1 R0 S0 P12 P1 Q1 R1 S1 V12 P1 Q0 R0 S1 D13 P1 Q0 R1 S1 P13 P1 Q0 R1 S0 V13 P0 Q0 R0 S0 D14 P1 Q1 R1 S1 P14 P1 Q1 R1 S1 V14 P0 Q0 R0 S0 D15 P1 Q1 R1 S1 P15 P1 Q1 R0 S0 V15 P1 Q1 R1 S0 D16 P1 Q1 R1 S0 P16 P1 Q1 R1 S1

D17 P1 Q0 R0 S0 P17 P1 Q1 R1 S1 D18 P1 Q1 R0 S1 P18 P1 Q1 R1 S1 D19 P1 Q1 R1 S1 P19 P1 Q1 R1 S1 D20 P1 Q0 R1 S1 P20 P0 Q0 R0 S0

由表5-5 可以統計出三組在第一種情形及第二種情形中，構圖及座標表達的答對率，動畫組：P1 佔 100%、Q1 佔 70%、R1 佔 75%、S1 佔 65%；

實物組：P1 佔 90%、Q1 佔 80%、R1 佔 65%、S1 佔 55%；語意組：P1 佔 73.3%、Q1 佔 60%、R1 佔 66.7%、S1 佔 53.3%。以圖 5-5 呈現出各組答對率的分佈情形。

表5-6：各組構圖與座標表示的編碼情形

(12)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

動圓滾動1/4圈時，A點的圖形結構

動圓滾動1/4圈時，A點的座標

動圓滾動30度時，A點的圖形結構

動圓滾動30度時，A點的座標

動畫觀察能幫助受測者掌握住兩種情形的動點圖形結構。實物操作能幫助受測者掌握住較容易的第一種情形的動點圖形結構，第二種情形的掌握情形則與語意組的受測者差不多。三組在圖形與符號的參照上，表現情形並無特別顯著的差別。

由圖5-5 中，三組雖然沒有很明顯的差距，整體而言，動畫組的答對率是優於其它兩組，而語意組則是最差。由結果發現，動畫組在兩種情形的構圖正確性上是優於其它兩組，顯示出動畫觀察能幫助受測者掌握住圖形結構

。實物組在第一種情形的構圖及座標表示皆優於語意組，但在第二種情形的構圖及座標表示的答對率上非常接近，顯示出實物操作可以幫助受測者掌握住較容易的情形，但在較困難的情形下，實物組與語意組是呈現出差不多的情形。在第二種情形的構圖及座標表示的答對率差異上，三組沒有特別顯著的差異，顯示出三組的受測者在圖形與符號的參照上，表現情形差不多。

由上述結果中發現，動畫觀察可以讓受測者更能掌握住軌跡點的圖形結構，進而順利與符號參照。實物操作可以讓受測者掌握住較容易處理的軌跡點的圖形結構，但在較不易處理的情形中，則與只透過語意思考的受測者差不多，顯示出實物操作對於受測者處理某些容易的圖形結構是有正面的效果。

四、圖形結構與符號的變換

本部分在探討受測者在圖形結構與數學符號間的變換情形。由研究者觀圖5-5 第一個實驗活動之構圖及座標答對率分佈圖

(13)

察受測者從掌握住表達參數式的關鍵因素而能表達軌跡的參數式過程中，將關鍵因素設定為「掌握住A 點自轉角為 2θ」，即動圓滾動後的 A 點座標與動圓滾動前的A 點座標對於動圓圓心來說改變了 2θ，並以受測者表達軌跡參數式的型式來回應本部分的研究目的。將掌握住A 點自轉角為 2θ編碼為

Ⅰ、不能掌握住A 點自轉角為 2θ編碼為Ⅱ；正確的軌跡參數式為 1、計算錯誤的軌跡參數式為 2、特殊圖形參數式為 3、無填寫編碼為 0，並加上特別編碼做註解，C 表圓參數式、E 表橢圓參數式。根據此編碼方式，以表 5-7 呈現出各組受測者對於軌跡圖形與符號間變換的情形。

動畫組編碼情形實物組編碼情形語意組編碼情形

D1 0 P1 Ⅰ 2 V1 Ⅱ2

D2 Ⅰ1 P2 Ⅰ 1 V2 Ⅰ1

D3 Ⅰ1 P3 Ⅱ 0 V3 Ⅰ1

D4 Ⅰ1 P4 0 3C V4 Ⅱ2

D5 Ⅰ1 P5 Ⅰ 1 V5 Ⅱ2

D6 Ⅰ1 P6 0 3E V6 Ⅱ0

D7 Ⅰ1 P7 0 V7 Ⅰ1

D8 Ⅰ1 P8 Ⅰ1 V8 Ⅰ1

D9 Ⅱ3C P9 Ⅰ1 V9 0

D10 0 P10 Ⅰ2 V10 Ⅱ2

D11 Ⅰ1 P11 Ⅰ1 V11 Ⅱ2

D12 0 P12 Ⅰ1 V12 Ⅰ1

D13 Ⅰ1 P13 Ⅰ2 V13 Ⅱ 3E D14 Ⅰ1 P14 Ⅰ1 V14 Ⅱ 3C D15 Ⅰ1 P15 0 3C V15 Ⅱ 0 D16 Ⅰ1 P16 Ⅰ1

D17 Ⅱ0 P17 Ⅰ0 D18 Ⅰ1 P18 Ⅰ1 D19 Ⅰ1 P19 Ⅰ1 D20 Ⅰ1 P20 0 3C

由表5-7 中，可以統計出各組的比例分佈情形，動畫組：Ⅰ佔 75%、Ⅱ 佔10%，1 佔 75%、3 佔 5%，實物組：Ⅰ佔 70%、Ⅱ佔 30%，1 佔 50%、2 佔10%、3 佔 20%，語意組：Ⅰ佔 33.3%、Ⅱ佔 60%，1 佔 33.3%、2 佔 33.3%

表5-7：第一個實驗活動之參數式的編碼分佈表

(14)

、3 佔 13.4%。依據統計結果，以圖 5-6 表示各組參數式表達的情形。

0%

20%

40%

60%

80%

掌握到A點自轉角變化

沒有掌握到A點自轉角變化

參數式型式1：正確之參數式

參數式型式2：計算錯誤的參數式

參數式型式3：圓、橢圓之類的特殊參數式

動畫組及實物組的受測者較語意組的受測者容易掌握住表達參數式的關鍵因素。動畫組的受測者較其它兩組的受測者更易發展出心臟線的參數式

；實物組的受測者因為有部分雖掌握住表達參數式的關鍵因素，但無法有效利用之，以致於表達參數式的答對率低於動畫組的受測者；語意組的受測者則是不易掌握主表達參數式的關鍵因素，以致於表達參數式的答對率低於其它兩組的受測者。

由圖5-6 中，從Ⅰ：掌握住 A 點自轉角為 2θ編碼為、Ⅱ：不能掌握住 A 點自轉角為 2θ，其在三組中所佔之比例中，可以觀察出動畫組與實物組掌握住「A 點自轉角為 2θ」的比例人數明顯高於語意組，顯示出動畫觀察與實物操作可以幫助受測者掌握住表達參數式的關鍵因素。

由各組表達表數式的型式中，動畫組正確性最高，其次是實物組，再由表 5-7 觀察出，實物組中有 20%的人雖掌握住「A 點自轉角為 2θ」，但卻計算錯誤或根本不會寫如 P1、P10、P13、P17 等受測者，而動畫組及語意組沒有這個現象，顯示出動畫組與語意組的受測者可以有效利用「A 點自轉角為2θ」的關鍵因素進而成功表達參數式。由表 5-5 中，P1、P10、P13、

P17 等受測者中，P1 及 P13 的點軌跡心像呈現型式皆為錯誤類型，研究者推測造成受測者知道關鍵因素卻不能有效利用之的原因可能在於部分實物組的受測者會受到物件性質的影響例如點軌跡圖形的錯誤，而無法集中注意在A 點自轉角為 2θ的關鍵因素上。由表 5-7 觀察出，實物組有 20%會寫出圓錐曲線的參數式，語意物則有 13.3%的人有此情形，明顯高於動畫組的

圖5-6：第一個實驗活動之參數式型式的分佈圖

(15)

5%，顯示出實物操作容易令部分受測者產生軌跡圖形的認知錯誤。

由以上結果來看，可以發現到動畫觀察可以幫助受測者掌握表達參數式的關鍵因素，並有效利用關鍵因素進而順利達到參數式的表達；實物操作也可以幫助受測者掌握表達參數式的關鍵因素，但並非都能有效利用關鍵因素進而達到參數式的表達；語意描述比較不能幫助受測者掌握表達參數式的關鍵因素，造成容易因計算錯誤而無法順利表達參數式。

(16)

第二節縱向分析之研究發現

本發現在探討不同的心像表徵型式、點軌跡的心像呈現型式、圖形與符號的參照、關鍵因素的掌握是如何影響受測者建構出不同參數式型式。研究者將追溯受測者一開始所產生的心像表徵型式、點軌跡的心像呈現型式，到引入座標系後的第二種情形的構圖與座標的參照、掌握到表達參數式的關鍵因素，最後表達出參數式等五個階段。研究者主要在探討不同參數式型式之受測者在各階段所受的影響及五個階段的縱向序列發展情形。

一、動畫組的受測者之縱向分析

為探討動畫組之受測者的縱向發展情形，研究者將受測者先依參數式型式做一個分類，以表5-8 表示動畫組中，不同參數式型式的受測者，其關鍵因素的掌握、圖形與符號的參照情形、點軌跡的心像呈現型式、心像表徵型式的編碼情形。

受測者參數式型式關鍵因素圖形與符號參照點軌跡心像表徵 D2 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 D3 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 D4 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 D5 1 Ⅰ P1 Q0 R1 S1 1 2+3(a) D6 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 D7 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2+3(b) D8 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S0 1 2+3(b) D11 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 3E 3(v) D13 1 Ⅰ P1 Q0 R1 S1 1 1 D14 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 1 D15 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 0 D16 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S0 1 2(v) D18 1 Ⅰ P1 Q1 R0 S1 1 2(v) D19 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2(v) D20 1 Ⅰ P1 Q0 R1 S1 1 3(c) D1 0 0 P1 Q0 R1 S0 1 2 D10 0 0 P1 Q0 R0 S0 1 2+3(b) D12 0 0 P1 Q1 R0 S0 3E 3(c) D17 0 Ⅱ P1 Q0 R0 S0 3E 2(v) D9 3c Ⅱ P1 Q1 R0 S0 1 3(c)

表5-8：動畫組之縱向編碼分佈表

(17)

(一) 不同階段的建構對參數式型式的影響

研究者想探討不同階段的建構對參數式型式的影響，首先由表5-8，先不論主碼裡的附碼補充，並將心像表徵型式含兩種主碼的類型，採較高數字者，如類型為2+3(b)視為類型 3。依表 5-8 可以發現各階段對參數式型式的關係情形，以圖 5-7、圖 5-8、圖 5-9、圖 5-10 呈現出各階段對參數式型式的影響。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

正確的參數式計算錯誤的參數式特殊圖形參數式空白

無圖形靜態圖形圖形操作軌跡圖形

0%

20%

40%

60%

80%

100%

正確且連續正確且離散不正確且連續不正確且離散

圖5-7：動畫組之參數式型式與心像表徵型式的關係圖

圖5-8：動畫組之參數式型式與點軌跡心像呈現的關係圖

(18)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

兩者皆不正確只有構圖正確只有座標正確兩者皆不正確

0%

20%

40%

60%

80%

100%

掌握A點自轉角為2倍公轉角無掌握A點自轉角為2倍公轉角空白

由以上結果來看，參數式型式為計算錯誤參數式的受測者為0 位，參數式型式為3：特殊圖形參數式的受測者只有一位，人數過少的原因，研究者只討論參數式型式為空白及參數式型式為正確的參數式之受測者。

由圖5-8 中，顯示出動畫組的受測者中，順利表達出參數式的受測者，

亦有高比例的人數具有正確且連續的心像呈現型式。具有不正確且連續的點軌跡之心像呈現型式的受測者，可能會影響受測者不易掌握住圖形結構，如 D12、D17 在第二種情形的構圖上失敗，因此傾向不去表達參數式。

由圖 5-7 顯示出，在心像表徵的影響性上，表達正確的參數式及空白的受測者，其心像表徵的類型以圖形操作為主，雖有部分人會產生軌跡圖形，

但皆為非動圓上定點的軌跡，無關於本活動的點軌跡，所以在動畫組中，心像表徵型式對參數式型式的影響不大。

由圖 5-9 顯示出，在圖形與符號的參照上，表達正確參數式的受測者，

有很高比例的人數在第二種情形下可以順利構圖及表達座標；表達空白的受圖5-10：動畫組之參數式型式與掌握關鍵因素的關係圖

圖5-9：動畫組之參數式型式與第二種情形的構圖及座標表達的關係圖

(19)

測者則有很高比例的人數在二種情形下無法順利構圖及表達座標。由以上結果顯示出，第二種情形的構圖及座標的表達狀況會影響參數式型式的表現，

能掌握動圓上定點的圖形結構及表達其座標，會大大地影響受測者表達參數式的正確性。

由圖 5-10 顯示出，在關鍵因素對參數式型式的影響上，表達正確參數式的受測者都能掌握住 A 點自轉角與公轉角的關係；表達空白的受測者則是無法掌握住 A 點自轉角與公轉角的關係或根本不知道關係。顯示出動畫組的受測者若無法掌握住關鍵因素的受測者，亦無法表達出正確的參數式型式，但只要掌握住關鍵因素，則都可以順利將圖形與符號做變換。

由以上結果發現，除了一開始的心像表徵型式對於參數式型式沒有顯著的影響外，其餘各階段的情形都對參數式的型式有影響。

(20)

(二)不同階段的序列性發展情形

為了探討動畫組之受測者在不同階段的序列發展情形，研究者以圖 5-11 來表示動畫組之受測者在五個不同階段的發展情形。

由圖 5-11 中，可以發現大部分動畫組的受測者在一開始的心像表徵型式主要以圖形操作和軌跡圖形為主；當問題迫使受測者注意點軌跡時，容易產生正確且連續的點軌跡圖形；當問題迫使受測者注意點的局部圖形結構時

，容易具有正確的圖形結構及表達正確的點座標；當問題迫使受測者將點軌跡的圖形與符號變換時，可以順利掌握到連結符號的關鍵因素，接著可以順利的表達出點軌跡的參數式以達到圖形與符號的變換。有半數以上的受測者以此路徑的順序而達到圖形與符號的變換。

40%

不正確且離散

兩者皆正確心像表徵型式

點軌跡心像呈現

第二種情形之構圖與表達座標

表達參數式之關鍵因素

參數式型式 0 1 2 3

5% 10% 45%

100% 100% 88.9% 11.1% 75% 25%

17.6%

64.7%

5.9%

11.8% 66.7% 33.3%

66.7% 100% 100%

33.3%

50% 50%

100% 100% 50% 50%

20% 75% 0% 5%

15% 75% 10%

15% 5% 60%

20%

85% 0% 15% 0%

無圖靜態圖形圖形操作軌跡圖形

正確且連續正確且離散不正確且連續

兩者皆不正確只有構圖正確只有座標正確

空白掌握角度關係無掌握角度關係

圖5-11：動畫組縱向序列圖

兩者皆正確不正確且離散

(21)

由上面的現象可以發現，動畫觀察可以有效讓受測者建構出正確的點軌跡心像並幫助受測者掌握住點的局部圖形結構，且可以有效地將特殊情形的圖形與符號順利參照，並可以從參照過程中，掌握到表達參數式的關鍵因素，進而順利將軌跡表達成參數式。在受測者的認知中，可以容易地掌握到動點的整體圖形及局部圖形的結構，所以動畫觀察是能幫助受測者在心像中建構出動點圖形的結構。在第二種情形中的圖形與符號的參照過程中，受測者容易順利地將點位置與座標參照成功，並可以掌握到表達參數式的關鍵因素，顯示出動畫觀察是能幫助受測者注意到動點圖形結構的改變與角度變化的關係。

對於以上現象的結果與意義，研究者認為動畫模擬出銅板及銅板上一定點的完整的滾動過程，根據 Paivio 的雙碼理論提及：當個體感官系統接收到非語文刺激，便將其編碼與原有的心像表徵連結，而後產生反應。所以藉著動畫觀察可以激發出受測者在心像中產生對應的圖形操作。當問題具有目標導向時，動畫可以幫助受測者注意到動點圖形結構的變化，激發出受測者操弄心像以掌握住圖形結構的變化關係。研究者認為動畫不斷的播放，且研究者在問卷中有提示參數為角度，以致於受測者在不斷注意到動點與角度變化的關係的過程中，容易讓大部分的人可以正確掌握到其關係。

二、實物組的受測者之縱向分析

為探討實物組之受測者的縱向發展情形，研究者將受測者先依參數式型式做一個分類，以表5-9 表示實物組中，不同參數式型式的受測者，其關鍵因素的掌握、圖形與符號的參照情形、點軌跡的心像呈現型式、心像表徵型式的編碼情形。

實物組參數式型式關鍵因素圖形與符號參照點軌跡心像表徵 P2 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S0 1 2 P5 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 3M 2 P8 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 P9 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 P11 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 P12 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2

表5-9：實物組之縱向編碼分佈表

(22)

P14 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2+3(b) P16 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 4 2 P18 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 P19 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 3M 2 P1 2 Ⅰ P1 Q1 R0 S0 3P 1 P10 2 Ⅰ P1 Q1 R0 S0 1 2 P13 2 Ⅰ P1 Q0 R1 S0 3C 3(a)(b)

P4 3 0 P0 Q0 R0 S0 1 2(V) P6 3 0 P1 Q0 R0 S0 3S 2 P15 3 0 P1 Q1 R0 S0 1 3(c) P20 3 0 P0 Q0 R0 S0 3C 2+3(a)

P3 0 Ⅱ P1 Q1 R0 S0 1 1 P7 0 0 P1 Q1 R1 S0 1 2 P17 0 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2

研究者想探討不同階段的建構對參數式型式的影響，首先由表5-9，先不論主碼裡的附碼補充，並將心像表徵型式含兩種主碼的類型，採較高數字者，如類型為2+3(b)視為類型 3。依表 5-9 可以發現各階段對參數式型式的關係情形，以圖5-12、圖 5-13、圖 5-14、圖 5-15 呈現出各階段對參數式型式的影響。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

圖5-12：實物組之參數式型式與心像表徵型式的關係圖

圖5-13：實物組之參數式型式與點軌跡心像呈現的關係圖

(23)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

兩者皆不正確只有構圖正確只有座標正確兩者皆正確

0%

20%

40%

60%

80%

100%

由圖 5-13 可以發現，表達計算錯誤的參數式及表達特殊圖形參數式之受測者，其點軌跡的心像呈現為不正確且連續的圖形所佔的比例明顯高於另外兩種參數式型式之受測者，由這個結果中，顯示出受測者具有不正確且連續的點軌跡的心像呈現型式，會影響受測者傾向錯誤的符號變換。但研究者發現參數式型式為空白的受測者，其點軌跡的心像呈現型式皆為為正確且連續的圖形，不過僅有1/3 的受測者掌握到表達參數式的關鍵因素，顯示出有正確且連續的圖形並不一定可以幫助受測容易掌握到動點圖形結構與角度變化的關係，研究者認為造成此結果的原因在於，實物操作上的困難，使得這些受測者雖知道動點整體的圖形結構，卻不易馬上掌握到動點變化的局部圖形結構與角度的關係，因此對於圖形與符號的變換就顯得不知所措。

由表5-9 可以發現，表達正確參數式的受測者，有 70%的點軌跡心像呈現型式為正確且連續型，但有3 位的點跡心像呈現型式卻並非是正確且連續型，其中 P5 與 P19 的編碼為 3M：不正確且連續型，圖形為多結點封閉曲

圖5-14：實物組之參數式型式與第二種情形的構圖與座標表達的關係圖

圖5-15：實物組之參數式型式與掌握關鍵因素的關係圖

(24)

線；P16 的編碼為 4：不正確離散型，這三位受測者雖有不正確的軌跡的心像呈現，但卻能順利與符號變換，顯示出不正確的點軌跡圖形並不影響這些受測者對於圖形結構與符號之變換。研究者認為可能造成此結果的原因在於

，多結點封閉曲線不像橢圓或圓等幾種曾經學習過的幾何圖形，在表達參數的過程中，受測者依然要仔細觀察動點的圖形結構，逐漸熟悉動點局部圖形結構及動點圖形結構的變化。P16 雖不能馬上知道軌跡的整體圖形，但藉著不斷的畫出動點變化的圖形結構，逐漸熟悉動點局部圖形結構及動點圖形結構的變化，因此促進受測者掌握住連結符號表徵的關鍵因素。

由圖 5-12 可以發現，在心像表徵的影響性上，四種參數式型式之受測者，其心像表徵的類型以圖形操作為主，雖有部分人會產生軌跡圖形，但皆為非動圓上定點的軌跡，無關於本活動的點軌跡，所以在實物組中，心像表徵型式對參數式型式的影響不大。

由圖 5-14 可以發現，在圖形與符號的參照上，表達正確參數式的受測者在第二種情形下的狀況會有很高的比例可以有正確的構圖及座標表達，而計算錯誤的受測者及表達特殊圖形參數式有很高的比例呈現錯誤的構圖及座標表達，而空白的受測者的情形比較分散。由以上結果顯示出，第二種情形的構圖及座標的表達狀況會影響參數式型式的表現，能掌握動圓上定點的圖形結構及表達其座標，會大大地影響受測者表達參數式的正確性。

由圖 5-15 可以發現，在關鍵因素上對參數式型式的影響上，表達正確參數式的受測者，其關鍵因素皆為掌握 A 點角度變化；計算錯誤參數式的受測者，其關鍵因素也皆為掌握 A 點角度變化；表達特殊圖形參數式的受測者，其關鍵因素則皆呈現空白；空白參數式的受測者，其關鍵因素有一半可以掌握A 點角度變化，另一半則無法正確掌握 A 點角度變化。顯示出實物組的受測者若無法掌握住關鍵因素，亦無法表達出正確的參數式型式，但就算掌握住關鍵因素，也不一定可以順利將圖形與符號做變換。研究者推測可能的原因是因為受測者可能受到物件性質或操作因素的影響而無法有效利用關鍵因素發展出正確的參數式。

由以上結果發現，除了一開始的心像表徵型式對於參數式型式沒有顯著的影響外，其餘各階段的情形都對參數式的型式有關係。

(25)

(二)不同階段的序列性發展情形

為了探討實物組之受測者在各階段的發展情形，研究者以圖 5-16 來表示實物組之受測者在五個不同階段的發展情形。

由圖5-16 中，研究者發現大部分實物組的受測者在一開始的心像表徵型式主要以圖形操作為主；當問題迫使受測者注意點軌跡時，容易產生正確且連續或不正確且連續的點軌跡圖形；當問題迫使受測者注意點的局部圖形結構時，容易具有正確的圖形結構及表達正確的點座標或具有不正確的圖形結構及表達不正確的點座標等兩極化的情形產生；當問題迫使受測者將點軌跡的圖形與符號變換時，大多數的人在第二種情形的正確構圖下，可以順利掌握到連結符號的關鍵因素，接著可以順利的表達出點軌跡的參數式以達到圖形與符號的變換，但有少部分的人雖掌握到關鍵因素，卻不能順利達到圖形

心像表徵型式

點軌跡心像呈現

第二種情形的圖形與符號的參照

表達參數式之關鍵因素

參數式型式 0 1 2 3

0% 10% 70% 20%

50% 71.4% 7.2% 50% 50%

15.4%

53.8%

30.8% 66.7% 33.3%

66.7% 100%

33.3%

50% 50%

7.1%

100% 21.4% 100%

15% 50% 15% 20%

25% 5%

70%

50%

15% 0%

35%

65% 0% 30% 5%

71.4%

50% 21.4%

無圖靜態圖形圖形操作軌跡圖形

空白掌握角度關係無掌握角度關係

圖5-16：實物組縱向序列圖

100%

(26)

與符號的變換。

由上面的現象可以發現，實物操作可能會產生兩極化的效應，所以利用實物操作的方式，順利的話可以掌握住動點的圖形結構，但不順利的話，

反而會產生更大的困難。在受測者的認知中，雖不一定容易掌握到動點的整體圖形，及局部圖形的結構，但若掌握到動點的局部圖形結構，也容易令受測者掌握到表達參數式的關鍵因素。這個現象顯示出，實物操作是可以幫助受測者掌握到動點圖形結構變化與角度的關係。

對於以上現象的結果與意義，研究者認為實物操作的過程，可能會受到操作因素如滑動或銅板性質的影響而對受測者產生不同的認知，以致於有兩極化的情形產生。根據 Paivio 的雙碼理論提及：當個體感官系統接收到非語文刺激，便將其編碼與原有的心像表徵連結，而後產生反應。所以藉著實物操作可以激發出受測者在心像中產生對應的圖形操作，如果實物操作不正確，在心像中可能會產生不正確的圖形操作。當問題具有目標導向時，正確的實物操作可以幫助受測者注意到動點圖形結構的變化，激發出受測者操弄心像以掌握住圖形結構的變化關係，但不正確的實物操作則可能讓受測者注意到錯誤的圖形結構，而影響建構參數式的情形。

三、語意組的受測者之縱向分析

為探討語意組之受測者的縱向發展情形，研究者將受測者先依參數式型式做一個分類，以表 5-10 表示語意組中，不同參數式型式的受測者，其關鍵因素的掌握、圖形與符號的參照情形、點軌跡的心像呈現型式、心像表徵型式的編碼情形。

語意組參數式型式關鍵因素圖形與符號參照點軌跡心像表徵 V2 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 0 2 V3 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 4 2 V7 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 1 2 V8 1 Ⅰ P1 Q1 R1 S1 2 2 V12 1 Ⅰ P1 Q0 R0 S1 4 2 V1 2 Ⅱ P1 Q1 R1 S1 3 2(p) V4 2 Ⅱ P1 Q1 R1 S0 1 2 V5 2 Ⅱ P0 Q0 R0 S0 1 2 V10 2 Ⅱ P1 Q1 R1 S1 3P 2

表5-10：語意組之縱向編碼分佈表

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V11 2 Ⅱ P1 Q0 R0 S0 3E 3(a) V13 3 Ⅱ P0 Q0 R0 S0 1 2 V14 3 Ⅱ P0 Q0 R0 S0 3P 2+3(a)(b)

V6 0 Ⅱ P0 Q0 R0 S0 1 2(p) V9 0 0 P1 Q1 R1 S1 1 2 V15 0 Ⅱ P1 Q1 R1 S0 3 2

研究者想探討不同階段的建構對參數式型式的影響，首先由表 5-10，

先不論主碼裡的附碼補充，並將心像表徵型式含兩種主碼的類型，採較高數字者，如類型為 2+3(b)視為類型 3。依表 5-10 可以發現各階段對參數式型式的關係情形，以圖5-17、圖 5-18、圖 5-19、圖 5-20 呈現出各階段對參數式型式的影響。

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正確且連續正確且離散不正確且連續不正確且離散圖5-17：語意組之參數式型式與心像表徵型式的關係圖

圖5-18：語意組之參數式型式與點軌跡心像呈現的關係圖

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由圖 5-18 可以發現，表達正確參數式的受測者，以點軌跡為不正確且離散型所佔的比例較高，研究者觀察其它組的情形，發現在實物組中，P16 的受測者之點軌跡亦屬於不正確且離散型，且最後表達正確的參數式。這個結果顯示出不正確且離散之點軌跡的心像呈現並不會造成與符號表徵連結錯誤的問題，反而促進了符號變換。研究者認為造成此結果的原因在於，受測者雖不能馬上知道軌跡的整體圖形，但藉著不斷的畫出動點變化的圖形結構，逐漸熟悉動點局部圖形結構及動點圖形結構的變化，因此促進受測者掌握住連結符號表徵的關鍵因素。計算錯誤參數式之受測者，以點軌跡為不正確且連續型所佔的比例較高，加上研究者觀察表 5-10 中，發現在語意組中

，沒有表達出正確參數式型式的受測者中，發現點軌跡心像呈現型式為不正確且連續的圖形的受測者佔了 50%，相對於表達正確參數式型式之受測者只佔了0%，顯示出不正確且連續的點軌跡圖形會影響受測者不易順利將圖形與符號變換成功。而無法表達出參數式之受測者，其點軌跡以正確且連續型所佔的比例較高，顯示出有正確且連續之點軌跡心像呈現型式並不一定促圖5-19：語意組之參數式型式與第二種情形的構圖與座標表達的關係圖

圖5-20：語意組之參數式型式與掌握關鍵因素的關係圖