第三章 演算與結果
第三節 結果
三之一 f(R)設計者模型
圖 3-10 為廣義相對論與專門設計的 f(R)模型在光子微擾演化上的比較。左上圖為波 數 k=0.1 Mpc-1時之演化，右上圖為波數 k=0.01 Mpc-1時，下圖為 k=0.001 Mpc-1。橫
圖 3-9 模型 D（n=2, Rc=10-7, μ=0.95）
F 的值在演算初期為無限小，直到在 log(a)= -0.97，時 log(F)=-322，然後迅速成長，當 a=1 時為 log(F)=-3.9。
軸為 log(a)，縱軸為光子密度微擾的對數值，紅線為由廣義相對論計算所得，綠色虛 線為由專門設計之 f(R)模型計算所得，藍色虛線為兩模型差異的對數值，其差異定 義為
值 值 廣義相對論 值 值 廣義相對論
。
其中 f(R)與廣義相對論的值為輸出數據，程式分別輸出廣義相對論與 f(R)重力理論計 算所得的數據，然後再計算此差異。此差異可精準至 10-7。
當 k=0.1 Mpc-1，兩模型在光子密度微擾上的差異在演化初期極小，但當 log(a)=-1.8
a=0.016 時成長至 10
-3，然後快速成長至 1。然當 k=0.1 Mpc-1時，差異在 log(a)=-0.79 或 a=0.16 時成長至 10-3，然後在 a=1 時達到 1。當 k=0.001 Mpc-1時，差異極小，當a=1 時，差異為 0.045。
圖 3-11 為兩模型在無質量中子與全部（包括光子、無質量中子、有質量中子與重子）
的微擾演化比較。左側為當 k=0.1, 0,01 and 0.001 Mpc-1的全部的微擾演化，右側三 圖為無質量中子微擾的演化。紅線為由廣義相對論計算所得，綠色虛線為由專門設 計之 f(R)模型計算所得，藍色虛線為兩模型差異的對數值。
對於全部的微擾演化，兩模型演算所得在 k=0.1 Mpc-1時相差甚巨：其自無限小成長 至 10-3之時為 log(a)=-1.8 或 a=0.016，而當 log(a)=-0.05 或 a=0.89 時差異的對數值達 到 0。 當 k=0.01 Mpc-1時，兩模型的差異稍小，在 a=0.39 時達到 10-3，而當 a=1 時 為 0.026。當 k=0.001 Mpc-1時差異更小，當 a=1 時兩模型差異尚未到達 10-3。
對於無質量中子微擾，其時間演化趨勢與差異和光子的相似，當 k=0.1 Mpc-1時，兩 模型的差異在 a=0.016 到達 10-3，在 a=0.66 時到達 1。當 k=0.01 Mpc-1時，兩模型的 差異在 a=0.01 附近發生跳躍，然後當 a=0.019 時到達 10-3。
由圖 3-11 可發現兩模型得差異約與 k2成正比：當 k 越大，兩模型之差異越大，當 k 越小，兩模型之差異越小。
K=0.1Mpc-1 K=0.01Mpc-1
圖 3-10 廣義相對論與 f(R)設計者模型在光子密度微擾上的演化比較。
在此三圖中，橫軸為 log(a)，縱軸為光子質量微擾的對數值。紅線為廣義相對論演算所得，綠色虛線 為 f(R)設計者模型演算所得，藍線為兩模型差異之對數值。差異定義為
值 值 廣義相對論 值 值 廣義相對論 。左上圖為 k=0.1 Mpc-1時，右上圖為 k=0.01 Mpc-1時，下圖為 k=0.001 Mpc-1。
K=0.001 Mpc-1
K=0.1Mpc-1
K=0.01Mpc-1
K=0.001 Mpc-1
K=0.1Mpc-1
K=0.01 Mpc-1
K=0.001 Mpc-1
圖 3-11 廣義相對論與 f(R)設計者模型在總質量與無質量中子微擾上的比較。
所測三圖為兩模型的全部的微擾在 k=0.1、0.01 與 0.001 Mpc-1 的時間演化比較，右三圖為無質量中 子微擾的。橫軸為 log(a)，縱軸為總質量或無質量中子微擾的對數值。紅線為廣義相對論演算所得，
綠色虛線為 f(R)設計者模型演算所得，藍線為兩模型差異之對數值。
almost 1. But in the case of k=0.001, the difference is more smaller, it reaches to 10-3 at the time of a=0.45, when a=1, the difference is 0.06.
圖 3-12 為兩模型在 CMB 能譜上之比較。上圖為兩模型的 CMB 能譜，紅線為廣義相 對論所得，綠色虛線為 f(R)設計者模型。橫軸為 l，縱軸為光子 TT 模式，以 l ( l +1)Cl/2 π (μK2)為單位。其差異顯示在下方兩張圖，橫軸為
l，縱軸為差異的對數值。紅線
為 TT 模式，綠色虛線為 EE 模式，藍色虛線為 TE 模式。左圖為所有計算中 l 的差異，圖 3-12 兩模型在 CMB 能譜中之比較。
上圖為兩模型的 CMB 能譜，紅線為廣義相對論所得，綠色虛線為 f(R)設計者模型所得。橫軸為 l，縱軸 為光子 TT 模式，單位為 l ( l +1)Cl/2π (μK2)。兩模型的差異顯示在下方兩張圖，橫軸為l，縱軸為差異的 對數值。紅線為 TT 模式，綠色虛線為 EE 模式，藍色虛線為 TE 模式。左圖為所有計算中 l 的差異，右 圖為小 l 區域的比較。
由圖中可見差異發生在小 l 處，TT 模式的差異在 l =10 處有峰值，其質約為 0.03，然 後隨 l 增大而減少，約於 l =350 降至零。其小 l 區域的詳細差異顯示於右圖。
三之二 對於其他四種模型
二之二節所介紹的四種模型，其在 k=0.01Mpc-1時的演算結果展示在圖 3-13 至圖 3-15。
由於模型 D 的演算結果與廣義相對論所得在輸出的數據上沒有差異，故不顯示。
圖 3-13 為模型 A 在 k=0.01Mpc-1時的結果、圖 3-14 為模型 B，圖 3-15 為模型 C。三 圖排序相同，左上圖為光子微擾、右上圖為全部的微擾、左下圖為無質量中子微擾，
橫軸為 log(a)，縱軸為微擾的對數值，紅線為廣義相對論的結果，綠色虛線為該模型 的演算結果，藍色虛線為差異。右下圖為光子能譜的差異。橫軸為 l，縱軸為差異的 對數值，紅線為 TT 模式、綠色虛線為 EE 模式，藍色虛線為 TE 模式。由圖可知：差 異都發生在小 l 處，圖片所示之外的範圍差異皆為零。
其餘三種模型的微擾演化展示在表 3-1 與 3-2。表 3-1 為模型 A、B、C 當 k=0.1 Mpc-1 時的光子微擾、無質量中子微擾與總值量微擾的演化；表 3-2 為模型 A、B、C 當 k=0.001 Mpc-1時的微擾演化，其中模型 D 的演化結果在輸出數據中與廣義相對論所得相同。
又，在 k=0.1 Mpc-1與 k=0.01Mpc-1中，光子微擾與無質量中子微擾的奇異點是因微 擾由正轉負所致。
由諸圖可見：廣義相對論與 f(R)重力理論的微擾演化在宇宙早期極小，但隨著宇宙 演化，差異也逐漸成長。
此三種模型與廣義相對論的差異隨著 k 增加而變大，與 f(R)設計者模型相似。當 k=0.1 Mpc-1時，三模型在光子微擾上的差異都達到 1，當 k=0.01 Mpc-1時，三模型在光子 微擾上的差異在 10-2之內，而當 k=0.001 Mpc-1時，光子微擾的差異小於 10-6。而全 部的微擾的差異小於其餘兩者，當 k=0.001 Mpc-1時，其差異小於 10-6，對於模型 B 與 C，差異甚至小於 10-8。
圖 3-13 模型 A 與廣義相對論在 k=0.01 Mpc-1時的微擾演化與 CMB 能譜上的比較
左上圖為光子微擾，右上圖為全部的微擾、左下圖為無質量中子。橫軸為 log(a)，縱軸為微擾與差異 的對數值，紅線為廣義相對論所得、綠色虛線為模型 A 所得、藍色虛線為差異。右下圖為光子能譜的 比較，橫軸為 l，縱軸為差異的對數值，紅線為 TT 模式、綠色虛線為 EE 模式、藍色虛線為 TE 模式。
光子能譜上的差異都小於 10-4，且集中在小 l 之處，超過圖片所示的範圍，其差異為零。
圖 3-14 模型 B 與廣義相對論在 k=0.01 Mpc-1時的微擾演化與 CMB 能譜上的比較
左上圖為光子微擾，右上圖為全部的微擾、左下圖為無質量中子。橫軸為 log(a)，縱軸為微擾與差異 的對數值，紅線為廣義相對論所得、綠色虛線為模型 B 所得、藍色虛線為差異。右下圖為光子能譜的 比較，橫軸為 l，縱軸為差異的對數值，紅線為 TT 模式、綠色虛線為 EE 模式、藍色虛線為 TE 模式。
光子能譜上的差異都集中在小 l 之處，超過圖片所示的範圍，其差異為零。
圖 3-15 模型 C 與廣義相對論在 k=0.01 Mpc-1時的微擾演化與 CMB 能譜上的比較
左上圖為光子微擾，右上圖為全部的微擾、左下圖為無質量中子。橫軸為 log(a)，縱軸為微擾與差異的 對數值，紅線為廣義相對論所得、綠色虛線為模型 C 所得、藍色虛線為差異。右下圖為光子能譜的比 較，橫軸為 l，縱軸為差異的對數值，紅線為 TT 模式、綠色虛線為 EE 模式、藍色虛線為 TE 模式。光 子能譜上的差異都集中在小 l 之處，超過圖片所示的範圍，其差異為零。
表 3-1 三種模型與廣義相對論在 k=0.1 Mpc-1時的微擾演化比較
Photon perturbations Radiation perturbations Total perturbations A
B
C
當 k=0.1 Mpc-2，模型 A、B、C 在微擾上與廣義相對論的差異在 log(a)=10-1.4，或 a=0.04 時達到 10-3，此值晚於 f(R)設計者模型。
在 CMB 能譜的差異中，四種模型與廣義相對論的差異都很小，模型 D 甚至為零，因 該模型的微擾演化自始至終都與廣義相對論的相同，所以這結果合理且可預期。對 於其餘三種模型，差異都發生在小 l 處，差異皆小於 10-4，而且隨著 l 增大而降至零。
Photon perturbations Radiation perturbations Total perturbations A
B
C
表 3-2 三種模型與廣義相對論在 k=0.001 Mpc-1時的微擾演化比較.
此研究用近似方法，修改 CAMB 以計算 f(R)重力理論在宇宙早期的微擾演化、輸出 光子微擾、無質量中子微擾與全部的微擾演化數據，比較廣義相對論與所測試的 f(R) 模型之差異。其中測試的模型為 f(R)設計者模型與其餘四種模型，前者用以比較顧 哲安等的結果，後者用以得到對 f(R)重力理論廣泛的結果。經由計算廣義相對論與 f(R)重力理論的差異，可推論以廣義相對論宇宙模型早期的演化作為 f(R)重力理論早 期的近似是否合理。
由廣義相對論與諸 f(R)重力理論模型的差異可知：對於一 f(R)模型，其與廣義相對論 的差異將隨著 k 值增加，這是由於(3.1)至(3.4)式中 k 與 k2乘上 f(R)的項所致。對於 f(R)設計者模型，其與廣義相對論在 CMB 能譜上的差異於小
l 時達到 10%，但對於大 l，其差異甚微。對於其餘四種模型，其與廣義相對論在 CMB 能譜上的差異也落於小 l 處，但皆小於 10
-4，模型 D 甚至與廣義相對論所得數據毫無差別。對於 CMB 能譜 的差異都落於小 l 處，其原因本研究尚無法推得。由比較結果可推斷模型 D 的演化行為最接近廣義相對論。這是由於 tanh 函數特性，
f(R)在演化早期非常小，直到演化晚期才劇烈成長，然到了 a=1 時，其數量級比起度 規微擾仍太小，故自始至終無法對微擾演化產生貢獻。
對於所測試的 f(R)模型，其微擾演化與廣義相對論所得在演化早期十分接近，差異 在 a=10-3之前小於 10-8，然此差異隨演化而增長，可能超過 10-3。對於 f(R)設計者模