[PolySi/Si/PolySi]板件之非線性解結果與線性解作比較。此外，本文將額外展 示非線性徑向位移之結果，並分別示於圖17 至圖 35 如下，分述如下。
§ 4-1 線性解結果與古典板之比較
在無電壓與極低電壓 (V=1)條件下，擬單層簡易支撐板件所解之各式幾何 回應（斜率、撓度、曲率）結果分別示於圖2(a)~(c)，其中，並分別納入文獻 [29]運用古典板理論求解無預拉伸力下純機械負荷所致之幾何回應解，以作一 比較。由圖 2 可發現，在低預拉伸力 (k =1)與無、低電壓效應下，各式回應 之結果皆與古典板理論之解吻合，且低電壓之結果亦與無電壓之結果相近，
也驗證本文所提方法的正確性。觀察預應力對於斜率解之影響則可發現，在 一輕微預應力即可讓斜率分佈明顯偏離古典板之曲線式分佈解，此現象尤以 臨邊界區更趨明顯，而板中心區大部分範圍則差異並不顯著。隨著
k 值之提
升，其與古典板之解的差異雖越大但差異比率減緩，至極大預應力時，其解 幾乎呈一斜直線狀分佈。易言之，在低拉伸力下，由於簡易支撐之故，斜率 於臨邊界區域呈明顯變化，代表結構呈一典型之板行為，但逐漸提升預拉伸 力時，板件之徑向分佈漸呈一斜直線，代表結構由板行為轉變為一典型之薄 膜行為。而在曲率解方面，無與極低電壓之結果，在一輕微預應力下，即與 古典板結果偏離，進而提升至k =5，曲率結果明顯產生相當大的變化，且已
漸接近於一平坦之水平式曲線分佈，由此可知預應力對於板件之曲率影響相 當劇烈，再繼續提升至k ≧
20 時，板件已呈近乎零曲率之水平直線結果，即 預應力不再對於板件之曲率有所影響。換言之，在低預拉伸力時，板件呈現 一典型板行為，但略微施加預拉伸力至k =5 時，板件已逐漸由板行為轉為薄
膜行為，再進一步提升預拉伸力時，板件將完全呈一零曲率之線性薄膜行為，與前述斜率結果相互呼應。
§ 4-2 線性解結果與夾固板件之比較
針對前述兩種不同板件在無電壓與極低電壓條件下所求解之幾何回應(中 心撓度，撓度，斜率，曲率)，分別示於圖 3、4，其中，並納入文獻[25]之結 果以作比較，藉以觀察典型夾固式板件與本文所得簡易支撐板件結果之差 異。從圖3、4 中可發現板件疊層之模數差異並未對所得結果造成明顯的影響，
故僅針對圖3 之結果作一討論，分述如下。
§ 4-2.1 中心撓度(W
0/P)結果
由圖 3、4(a)之中心撓度結果可發現，極低電壓與無電壓之結果近似，在 低預拉伸力(k =0.1~1)範圍內，其結果呈一水平分佈，亦表示中心撓度與面壓 之間呈線性關係，即文獻所提之板行為，但隨著預拉伸力的提高，其曲線開 始出現轉折且呈現非線性之比例關係(
W
0/ P 1 / k
2)，即由板行為逐漸轉為薄 膜行為。此外，可觀察簡易支撐板件在低預拉伸力(k =0.6)時，即產生轉折現 象，而夾固式板件雖然亦是在低預拉伸力(k =1)時產生轉折，但仍可比較出，簡易支撐板件較夾固式板件更為靈敏。此外，比較兩者之解可發現，夾固式 板件在板行為轉換為薄膜行為時，轉折較簡易支撐板件急劇，反之簡易支撐 板件較為圓滑緩和，代表兩者支撐條件之差異，即夾固式板件邊界擁有強化 加固板件之效果，故夾固式板件轉折較急劇，而簡易支撐板件結構較軟，故 轉折區域較為緩和。然而，提高預拉伸力，兩組曲線有漸近重疊趨勢，亦即 兩組曲線在高預拉伸下皆呈薄膜行為，支撐邊界條件對於板件已無明顯之影 響。
§ 4-2.2 斜率(/W
0)結果
圖 3、4(b)之斜率結果方面，文獻[25]之夾固式板件，在低預拉伸力時(k
=1)，其斜率之徑向分佈較為平緩，但隨著預拉伸力的提高，曲線有右移之趨 勢，並且對於預應力變動，斜率之曲線分佈有明顯差異，而在緊鄰邊界處(ξ
=1)，會有一急遽變化，即為文獻[25]所提之邊區效應，然而，本文所提之簡 易支撐板件，無論是極低電壓或純機械負載條件下之斜率結果，其斜率變化 並無此一現象，越近邊界斜率值越大，此乃兩者之最大差異。且其結果隨著 預拉伸力之提升，其對於預應力之變動曲線差異較不明顯，並逐漸由零預拉 伸力下之拋物線褪減為一線性斜直線，此行為明顯表示板件之全區域幾乎呈 薄膜行為，只在緊鄰支撐邊界有些微之板行為。同時也可發現隨著預拉伸力 之提升，兩組曲線除邊界區域外皆相當接近，在極高預拉伸力下結果尤其明 顯，與中心撓度解在極高預拉伸力條件下之情況類似。
§ 4-2.3 曲率(/P)結果
在圖 3、4(c)之曲率結果中可發現，極低電壓與無電壓條件之曲率結果，
僅在低預拉伸力 (k =1) 下略有些微差異，但整體之線型相同，並且與夾固式 板件同呈板行為，而當提高預拉伸力時，簡易支撐板件在預拉伸力
k =5 時，
已相當接近於零曲率水平式之薄膜行為，尤其以預拉伸力
k ≧
10 已極明顯，但夾固式板件在
k ≧
10 仍呈板行為，至極高預拉伸力時才漸轉為薄膜行為，即夾固式板件對於所承受之預應力之影響範圍較廣，直至
k ≧
20 才漸呈零解，也與簡易支撐板件曲率結果趨近，與前述在高預拉伸力下之情況類似，由此 更可觀察出簡易支撐板件對於預應力較夾固式板件更為靈敏。兩種支撐板件
之曲率解，明顯差異係在低預拉伸力條件下，於此情況下簡易支撐板件與夾 固式板件曲率解可發現呈曲線式但平行分佈，且橫跨板件全尺寸其差異為一 定值。推其原因，實由於圓形板件有軸對稱性，即座標定義為單一方向，與 樑之座標定義類似，故其物理現象實可以材料力學之古典樑理論加以解釋，
在古典樑理論中曲率與力矩為線性關係，因此如由力矩變化中觀察，則兩端 簡易支撐樑與兩端夾固式樑同樣在均佈負荷下，無論在哪一位置之力矩，實 可發現含有一固定常數差異，故其曲率也將呈一定值差異，進而可解釋均佈 負荷下簡易支稱與夾固板件之曲率解亦有此現象。
§ 4-2.4 撓度(W/W
0)結果
在圖3、4(d)之撓度結果中，夾固式板件其線型為一類似餘弦狀之曲線，
進而提高預拉伸力時，其線型隨著預應力提高而其分佈差異明顯，並逐漸由 板行為轉為薄膜行為，但仍可發現在鄰邊界區域有一劇烈之轉折，此乃為了 滿足斜率為零之夾固式邊界條件，而此一現象在文獻[25]中即有相當清楚之描 述。在本文所求之簡易支撐板件結果中，如同前述斜率與曲率所述，極低電 壓條件下與無電壓之結果相同，其撓度線型皆為一拋物線，即簡易支撐板件 如同前述斜率與曲率結果所述，大部分區域皆呈薄膜行為，亦可驗證前述之 結果。進而提高預拉伸力時，撓度數值結果並無太大之變化，即預拉伸力之 再提升已無法再對板件造成太大影響。同時，可在圖中觀察出，在極高預拉
伸力
k ≧20 下，兩組曲線有趨近之現象，皆呈拋物線型態，由此可知預拉伸
力之影響遠大於模數效應與支撐邊界效應影響，並與前述幾何回應解所述相 同。
§ 4-3 含壓電效應下線性解析解結果
針對含壓電效應下線性問題其所得之各式幾何回應(中心撓度、斜率、撓 度、曲率、面內應力)，並且納入前述兩種不同材質之板件結果相互比較，藉 以觀察在不同電壓條件下，對於兩種板件之影響差異，並分別示於圖5，6~8，
10~12，13~15 與圖 16。
§ 4-3.1 中心點撓度(W
0/P)結果
在各式電壓與不同板件條件下，無因次中心撓度對預拉伸力關係曲線如 圖5 所示。在圖 5 中可發現，無論電壓多少，皆如同前述 4-2.1 節所說，一開 始為線性關係之水平分布，並隨著預拉伸之提升，轉變為非線性之比例關係 (
W
0/ P 1 / k
2)，即為板行為逐漸轉為薄膜行為。此外，在低電壓(V=1) 下，無 論板件為何種材質，兩組曲線皆幾乎重疊，但隨著電壓之提升，中心撓度越 來越大，曲線轉折行為亦明顯提早出現，至較大電壓(V=8)時則可發現，當中 心撓度在低預拉伸力(k=0.1~1)區域，兩組板件曲線會有明顯差異，即高模數 比之中心撓度會略為下降，但是進而提高預拉伸力時，兩組板件之曲線又將 重疊，且不受電壓之影響。由此可知在低預拉伸力下，模數比效應與電壓效 應才可觀察出明顯之影響，反之，在高預拉伸力條件下，模數比與電壓效應 將遠不如預拉伸力之影響。此一情形，亦與實際之物理狀況吻合，即高模數 比之板件，其彎曲勁度(Dl , Dt)降低，因此在同一無因次負載(P)條件下，依其 之定義可知，實際上其所承受的實際面壓(p0)也會相對較低，故其中心撓度數 值結果將會低於低模數比之結果，此外，由於高預拉伸力之情況下，使板件 呈現薄膜行為，使得層間模數差異之影響降低，如同一單一材質之板件，故 兩組曲線將會重疊。§ 4-3.2 全域式斜率(/W
0)之結果
不同板件與各式電壓下，所得之斜率徑向分佈圖，如圖 6~8 所示。在圖 6 中可發現，無論電壓多少，皆如同前述4-2.2 節所述，斜率曲線介於拋物線與 斜直線之間，但在大部分區域都較接近薄膜行為式之斜直線分佈狀態，只在 緊鄰支撐邊界有些微之板行為曲線分佈，同時，兩種疊層材質板件之斜率結 果幾乎重疊，也由此可知板件之疊層材質效應對於其斜率並無明顯影響。且 隨著預拉伸力之提升，斜率受預應力之變動所產生之曲線差異較不明顯，並 逐漸由低預拉伸力下之拋物線轉變為一斜直線。而隨著電壓之提高，斜率數 值略為變動但不明顯，僅在高電壓(V=8)之條件下才清楚顯現其差異，高電壓 (V=8)之斜率結果中，其隨著預應力變動之曲線差異，較低電壓的曲線分佈差 異明顯，此乃由於壓電效應之關係，在高電壓下，其壓電力合遠大於預應力 當量，且由於預應力相當小，即預拉伸效應將不明顯，故其對於板件所造成 之斜率結果將降低，而斜率曲線將提高。此外，為觀察在不同電壓條件下，
含壓電效應與純機械效應之間的關係，本文另外檢視預拉伸參數與含壓電之 預拉伸參數關係曲線，如圖 9 所示，其中，可發現隨著純機械預拉伸力(k)提
升至
k≧10 時，無論電壓大小，所得之含壓電預拉伸參數將重疊，即機械預
拉伸力將遠大於壓電效應對於板件之影響。
此外，為更仔細觀察不同板件([PolySi/Si/PolySi]、[PolySi/SiO2/PolySi]) 在電壓改變時斜率解所變之影響，本文另取固定預拉伸力，以觀察在同一預 應力下，變動電壓所造成之斜率徑向分佈。如圖7、8 所示，壓電效應僅在於 低預拉伸力k=1 才能看見出影響(圖 7(a)、8(a))，且隨著電壓之提高會使曲線 偏離於類薄膜似斜直線曲線，即斜率略為下降且往左移之趨勢，且由於此一 情形產生，故在其邊界區域之斜率將提高，亦如同前述所說，壓電效應抵銷 了預拉伸效應，即緩和了預拉伸力對於大部份區域造成之薄膜行為。進而提
高預拉伸力時，將無法看出電壓改變之影響，即預拉伸效應遠大於電壓效應，
各式電壓下之斜率解也幾近重疊，並驗證上一段所述。
§ 4-3.3 全域式撓度(W/W
0)之結果
在各式電壓及不同板件情況下，全域式撓度徑向分佈圖，如圖 10~12 所 示。其中，在各式電壓下之撓度結果，皆呈一拋物線，且隨著電壓之提升，
僅在高電壓(V=8)之條件下有些微差異，即撓度對於預應力之變動差異，明顯 較低電壓之結果寬一些，此亦驗證了斜率結果，即高壓電下，壓電效應抵銷 了些微預拉伸效應。而在圖10 中也可發現，兩板件之撓度曲線接近重疊，即 不同材質之板件，其撓度結果幾乎無任何差異，且疊層材質效應並不明顯。
此外，為觀察不同板件在電壓改變時對於其撓度之影響，本文也將採如上述 斜率解(圖 7、8)之觀察方式，以檢視固定之預應力下的電壓變動之影響，如 圖 11~12 所示，在圖中清楚發現，在極低預拉伸力 k=1 條件下，隨著電壓提 高撓度有些許偏離，但其曲線仍相當接近，進而提高預拉伸力至
k=5 時，電
壓之變動已對撓度無太大影響，此乃由於預拉伸力之提升使板件大部分區域 皆呈薄膜行為，故電壓效應已無法造成影響，此外，更可觀察出，只有在低 預拉伸力之條件下，才可顯現電壓效應，反之，在高預拉伸力之情況下，疊 層效應及電壓效應已遠不如預拉伸力對於板件之影響。§ 4-3.4 全域式曲率(/P)之結果
不同板件與各式電壓條件下之曲率徑向分佈圖，如圖13~15 所示。其中，
各式電壓下之曲率結果顯示，其線型在低預拉伸力k=1 時呈一拋物線，而隨著 預拉伸力之提高，將逐漸接近一零解之水平線分佈，即板件漸呈零曲率之薄