3-1 模擬假設與參數
在第二章中我們已經提到了一些模擬模型所使用的假設:
(1) 關於邊界條件，在章節2-1中我們假設元件兩端點的表面復合速率為無窮大。
另外，在章節2-2中我們說明了在異質材料界面上，根據不同的溫度而考慮不 同的造成電流的機制。在2-6中則詳述了數值上在處理材料界面時所作的假 設。
(2) 在章節2-3中提到了光子循環效率與其所造成的電子電洞對生成率的計算方 式。在主動層中，我們假設所有吸收了光子的電子都會從價電帶躍遷至傳導 帶。主動層所放出的光子波長小於其他非主動層的能隙，這些光子在非主動 層中無法提供電子從價電帶躍遷至傳導帶的能量，故在非主動層我們使用自 由載子吸收係數作為其吸收係數。在本論文的模擬中，假設吸收係數和溫度 無關。
針對模擬所使用的參數我們還作了以下假設:
(3) 假設載子的溫度和元件的晶格溫度相等。
(4) 關於載子復合率，在主動層中我們考慮輻射復合、歐傑復合以及蕭客萊-瑞德 -霍爾復合，但在非主動層中，我們只考慮蕭客萊-瑞德-霍爾復合。
(5) 材料的介電係數和溫度與熱膨脹係數有關:
(
eT)
K
rε εT α
ε 0 = =0 1+ (3. 1)
其中熱膨脹係數αe也是溫度的函數，但因為αe的數量級很小，使得溫度對介 電係數的影響不大，因此本論文中忽略膨脹係數對溫度的變化。
(6) 熱輻射功率和輻射係數(Emissivity)有關，而輻射係數和元件材料及其表面有 19
關，由於無從計算其值，模擬上我們把輻射係數當作一變數輸入，探討輻射 係數對元件降溫的影響。
(7) 光萃取效率和元件材料的折射率及其表面有關，但本論文中沒有實際上去討 論這些因素，而是把光萃取效率當作一個變數輸入，討論光萃取效率對冷卻 功率及元件降溫的影響。
表3. 1至表 3. 6為模擬所使用的參數，參數定義請詳見第x頁的符號說明:
參數符號 單位 數值
A Acm-2K-2 120
kB JK-1 1.38×10-23 ε0 Fcm-1 8.854×10-14
σ Wcm-2K-4 5.67×10-12
ga 2
gd 4
Ea eV Ec-kT
Ed eV Ev+kT
m0 Kg 9.11×10-31
表3. 1 基本參數。
20
GaAs
參數符號 單位 數值
α cm-1 8654
εr 12.4(1 + 1.20 × 10-4T) τn s 1.3×10-6×(300/T)1.5 τp s 1.2×10-6×(300/T)1.5
Cn cm6s-1 3.76×10-31+1.58×10-32×exp(T/164.70) Cp cm6s-1 1.32×10-31+4.45×10-32×exp(T/95.31)
mc* m0 0.063
mv-hh* m0 0.51
mv-lh* m0 0.082
Eg eV 1.519-5.405×10-4×T2/(T+204) Nc cm-3 7.64×1013×T1.5 Nv cm-3 1.87×1015×T1.5 μn cm2V-1s-1 8000×(T/300)-1 μp cm2V-1s-1 370×(T/300)-2.3
表3. 2 GaAs 的各項材料參數。
AlxGa1-xAs
參數符號 單位 數值
α cm-1 10
εr 12.85×(1+(5.97-1.76x) ×10-6T)/(1+(5.97-1.76x) ×10-6T *300) τn s 10-8×(300/T)1.5
τp s 10-8×(300/T)1.5 mc* m0 0.063+0.083x mv-hh* m0 0.51+0.25x
mv-lh* m0 0.082+0.068x
Eg eV 1.519+1.155x+0.37x2-5.405×10-4×T2/(T+204) Nc cm-3 4.82×1015×T1.5×(0.063+0.083x)1.5
Nv cm-3 4.82×1015×T1.5×((0.51+0.25x)1.5+(0.082+0.068x)1.5) μn cm2V-1s-1 2300×(T/300)-2
μp cm2V-1s-1 146×(T/300)-3
表3. 3 AlGaAs 的各項材料參數。
21
InP
參數符號 單位 數值
εr 11.76(1 + 2.26 × 10-4T) τn s 10-8×(300/T)1.5 τp s 5×10-7×(300/T)1.5
mc* m0 0.08
mv-hh* m0 0.6
mv-lh* m0 0.089
Eg eV 1.421-4.9×10-4×T2/(T+327) Nc cm-3 1.1×1014×T1.5 Nv cm-3 2.2×1015×T1.5 μn cm2V-1s-1 4200×(T/300)-1 μp cm2V-1s-1 250×(T/300)-2.2
表3. 4 InP 的各項材料參數。
In1-xGaxAs
參數符號 單位 數值
εr 12.4×(1+1.20× 10-4T)x+15.13*(1+4.52×10-6T) ×(1-x) τn s 10-6×(300/T)1.5
τp s 10-6×(300/T)1.5
C cm6s-1 1.2×10-28+1.97×10-31×exp(T/45.69) mc* m0 0.023+0.037x+0.003x2 mv-hh* m0 0.41+0.1x
mv-lh* m0 0.026+0.056x
Eg eV 0.42+0.63x -(5.8/(T+300)-4.19 /(T+271)) ×10-4T2x - 4.19×10-4T2/(T+271)+0.48x2 Nc cm-3 4.82×1015×T1.5×(0.023+0.037x+0.003x2)1.5
Nv cm-3 4.82×1015×T1.5×((0.41+0.1x)1.5+(0.026+0.056x)1.5) μn cm2V-1s-1 11178×(T/300)-1.57
μp cm2V-1s-1 211×(T/300)-1.35
表3. 5 InGaAs 的各項材料參數。
22
GaxIn1-xP
參數符號 單位 數值
εr 11.76×(1+2.26× 10-4T)(1-x)+11.1*(1+4.65×10-6T) x τn s (10-8×(300/T)1.5)(1-x)+(2×10-7×(300/T)1.5)x τp s (5×10-7×(300/T)1.5)(1-x)+(10-7×(300/T)1.5)x mc* m0 0.08×(1-x) +(1.12×0.222)1/3x mv-hh* m0 0.6×(1-x)+0.79x
mv-lh* m0 0.089×(1-x)+0.148x
Eg eV (1.42-4.9×10-4T2/(T+327))(1-x)+(2.34-6.1×10-4×(T2/(T+460)))x Nc cm-3 (1.1×1014×T1.5)(1-x)+(3.4×1015×T1.5)x
Nv cm-3 (2.2×1015×T1.5)(1-x)+(3.6×1015×T1.5)x μn cm2V-1s-1 (10-8×(300/T)1.5) ×(1-x)+(2×10-7×(300/T)1.5)x μp cm2V-1s-1 (5×10-7×(300/T)1.5) ×(1-x)+(10-7×(300/T)1.5)x
表3. 6 GaInP 的各項材料參數。
3-2 操作在逆偏下的電激發光二極體
電激發光二極體操作在正偏壓下時，其主動層中累積大量的載子，這些過量 的載子使得主動層的電子電洞復合率大增，放出大量光子。隨著這些光子的逃脫，
能量以光的形式離開元件，使得元件溫度得以下降。一般來說，當電激發光二極 體操作在逆偏壓下時，主動層中電子電洞生成率遠大於復合率，無法有效的以光 的形式把能量帶離元件。如圖 3. 1，從電子電洞對生成到離開元件的過程中，其 能量變化為:
a. 電子吸收相當於主動層能隙的能量Eg，躍遷至傳導帶。
b. 電子和電洞分別再吸收ΔEc和Δ 的能量後，可以離開主動層。 Ev
c. 受到電場的影響，電子與電洞分別向元件兩端移動，最後離開元件。在移動 的同時，電子電洞會釋放出一些能量，分別為ΔEc'和ΔEv'。
在這整個電子電洞對從生成到離開元件的過程中，其能量變化為:
23
24
) (
xatleftend)
E(
xatrightend EE E E E E E
v c
v c v c g
' '
+
=
Δ
− Δ
− Δ + Δ +
= Δ
(3. 2)
0 1 2 3 4 5
x 10-5 Band diagram
cm Eg
a.
b.
b.
Ec
Δ
Ev
Δ
'
Ec
Δ
'
Ev
Δ
ΔE c.
c.
圖 3. 1 載子將能量帶離元件的示意圖。
當逆偏偏壓不大及披覆層的摻雜濃度不高時，ΔE會是正值，也就是能量被 載子帶離元件。所以我們期待元件工作在上述條件下，且在主動層中有很高的電 子電洞生成率，使得有足夠多的電子電洞對可藉由上述過程將能量帶離元件而達 到冷卻效果。
i-GaAs active layer, 100 nm i-Al0.25Ga0.75As, 50 nm
i-Al0.35Ga0.65As, 50 nm
p-Al0.35Ga0.65As, 50 nm, Na=1e16 p-Al0.25Ga0.25As, 100 nm, Na=1e16
n-Al0.35Ga0.65As, 50 nm, Nd=1e16 n-Al0.25Ga0.25As, 100 nm, Nd=1e16
圖 3. 2 以 GaAs 為主動層且披覆層摻雜濃度低的電激發光二極體結構。
模擬所使用的元件結構如圖 3. 2，材料的相關參數如表 3. 2與表 3. 3。我們 假設主動層中有很多缺陷，使得電子電洞對更容易產生，以獲得更大的電子電洞 對生成率。計算上，我們將主動層的載子生命期設為一較小的值
(τn,τp =10−9 ~10−11)來模擬主動層中缺陷很多的狀況。
在此，冷卻功率的計算方式為:
( )
q J E J
q V J
Pcool rad ⎟⎟⎠− total − rad Δ
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= hω
(3. 3)
把主動層載子的生命期調小可以提高主動層的電子電洞對生成率，但在小的 負偏壓下，這樣的生成率還沒有大到可以提供足夠的電流來達到可觀的冷卻功率。
而當負偏壓稍大時，ΔE小於零，元件也不會有冷卻的效果。，其結果如圖 3. 3 所示。
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -20
-15 -10 -5 0 5x 10-10
V Current Density (A/cm2 )
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -2
-1 0 1 2x 10-10
V Cooling Power (W/cm2 )
圖 3. 3 元件在逆偏壓下的電流與冷卻功率。
3-3 照光對冷卻功率的影響
本章節將討論當電激發光二極體操作在正偏壓下時，照光對其冷卻功率的影 響。照光的目的在於，希望藉由照射光子能量和主動層能隙相符的雷射光 (hω=Eg)，使主動層中的電子電洞對增加。根據費米-迪拉克分佈，當能量靠近 傳導帶與價電帶的能階全被填滿時，其餘的電子電洞勢必吸收熱能，存在於一能
25
量較高的狀態，如圖 3. 4。所以電子電洞復合時，所釋放的光子的平均能量必大 於主動層能隙，如圖 3. 5，希望可以把更多的能量以光的形式帶走而達到更高的 冷卻功率。其中 hω 為放出光子的平均能量。模擬所使用的元件結構如圖 3. 6，
材料的相關參數如表3. 2與表 3. 3。照光部分，我們假設使用一理想單頻光源，
其光子能量等於主動層載子的能隙，入射光子在主動層中被完全吸收，且光子在 主動層是均勻地被吸收的。雷射光的輸入功率與光激發電流 及其相對應的因 照光而產生的額外的電子電洞對生成率 的關係可以表示成:
JG
Laser
G
layeractive Laser layeractive
Laser G
Pumping
Laser qG L L
J q
P hqω hω =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= hωG
(3. 4)
( )
En
( )
E p EE 圖 3. 4 載子濃度隨能量的分佈。
26
E
gω
=
h h
ω> E
g圖 3. 5 電子電洞復合時，所釋放的光子的平均能量大於產生電子電洞對所須吸 收的能量。
i-GaAs active layer, 100 nm i-Al0.25Ga0.75As, 50 nm
i-Al0.35Ga0.65As, 50 nm
p-Al0.35Ga0.65As, 50 nm, Na=1e18 p-Al0.25Ga0.25As, 100 nm, Na=1e18
n-Al0.35Ga0.65As, 50 nm, Nd=1e18 n-Al0.25Ga0.25As, 100 nm, Nd=1e18
圖 3. 6 以 GaAs 為主動層且披覆層摻雜濃度高的電激發光二極體結構。
27
1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 0
10 20 30 40 50
V Cooling Power (W/cm2 )
GLaser=0 GLaser=1021 GLaser=1025 GLaser=1026 GLaser=5*1026
圖 3. 7 在光萃取效率為 1，元件溫度 300 K 下，照射雷射光對元件的冷卻功率 的影響。
圖 3. 7是在光萃取效率為 100%的假設下探討照射雷射光是否可以提高冷卻 功率。從圖中我們可以看出 小於1026時，照射雷射光並不能有效提高冷卻 功率。這是因為在不照射雷射光的情況下( = 0)，冷卻功率的峰值發生在偏 壓為1.44V的時候，此時主動層的電子電洞對輻射復合率高達 4×1026，因此 小於1026的話，對於提高冷卻功率的峰值是沒什麼幫助的。當 的值和1026
相當時，雷射光才有提高冷卻峰值的作用。在 高達5×1026時，可以明顯看 到冷卻峰值提高。
Laser
G
Laser
G
G
Laser
G
Laser
G
Laser
此外，在有雷射光照射時，冷卻峰值會稍微向高偏壓的方向偏移。這可以透 過圖 3. 8來說明。由於此元件的載子注入效率(Injection efficiency，η ，注入主inj
28
動層的載子數目與注入元件的載子總數的比值)與內部量子效率(Internal quantum efficiency，η ，主動層內輻射復合的電子電洞對數目與總復合的電子電洞對數IQE 目的比值)都趨近 1，所以在此我們假設元件的載子注入效率與內部量子效率皆為 1 來討論，亦即不考慮漏電流、蕭客萊-瑞德-霍爾復合與歐傑復合。圖 3. 8說明 主動層區域中，電子電洞對的注入、生成與複合的總合應為零。
X: number of electron hole pair injected into the active region per second
Y: number of electron hole pair generated in the active region per second by laser pumping.
X+Y: number of electron hole pair
radiatively recombined in the active region per second.
Device Active Layer X
Y
X+Y
圖 3. 8 載子注入效率、與內部量子效率皆為 1 時，主動層載子守恆示意圖。
冷卻功率可以大概估算成:
( )
(
g)
Cooling X qV Y E
P = hω − + hω − ， (3. 5)
當V <Eg時， hω −qV比 hω −Eg大，此時元件的冷卻功率主要來自於注入的 載子。照射雷射光會使得元件在低偏壓下有股逆電流，使得在偏壓不大的區間裡，
照射雷射光反而使得冷卻功率降低。而在V >Eg時， hω −qV比 hω −Eg小，
此時元件的冷卻功率主要來自於吸收雷射射光後再復合的載子，所以當 時，
雷射光強度越強，冷卻功率會越高，使其冷卻功率的峰值向高偏壓的方向移動。
Eg
V >
然而，一般光激發光的致冷元件所使用的雷射光強度大約是1 mW，這大約
對應到GLaser= 1021 cm-3s-1。從模擬結果看來，雷射光強度須高達100 W 才能有效
29
提升元件的冷卻功率，所以可以說在電激發光二極體上打雷射光對於提升其冷卻 功率幫助不大。
圖 3. 9顯示在有雷射光照射和沒有雷射光照射的情形下，不同的光萃取效率 對冷卻功率的影響。光萃取效率越低，冷卻功率的峰值也越低。但由於光子循環 效率高達0.99(參考式(2. 31)、表 3. 2與表 3. 3)，元件仍保有相當的冷卻功率。
1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45
0 10 20 30 40 50
V Cooling Power (W/cm2 )
ηex=1, GLaser = 0 ηex=0.8, GLaser = 0 ηex=0.6, GLaser = 0 ηex=0.4, GLaser = 0 ηex=1, GLaser = 5*1e26 ηex=0.8, GLaser = 5*1e26 ηex=0.6, GLaser = 5*1e26 ηex=0.4, GLaser = 5*1e26
圖 3. 9 元件溫度 300 K 下，光萃取效率對冷卻功率的影響。
3-4 電極接面阻抗
在前面的討論裡，我們都沒有把電極與元件的界面考慮進去。但實際上，在 電極與元件的界面上也會有能量的損耗。電極接面阻抗(Contact resistance，ρ) 會使冷卻功率降低，甚至使元件喪失冷卻的效果。在這個章節中我們將討論在章 節3-3中所討論的元件所能容忍的最大電極接面阻抗，亦即，多大的電極接面阻 抗會使冷卻功率降至零。
30
首先，將冷卻功率修正為:
， (3. 6)
Contact Cooling
Cooling P P
P' = −
電極接面阻抗所造成的功率損耗可以表示成:
， (3. 7)
其中 為通過電極的電流密度。
ρ
2 C Contact J
P =
2
JC
另外考慮通過元件的電流和通過電極的電流相等:
， (3. 8)
C C D
DJ A J
A =
31
D D C
其中J 為通過元件的電流密度，而A 和A 分別為元件和電極的截面積。
當電極所造成的功率損耗和元件本身的冷卻功率相當時，整體將不再有冷卻
的效果(PCooling' ≤0)。此時的電極接觸大小為:
2
2 = cooling
C
cooling P
J P
max ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
D D
C
J A
ρ A 。 (3. 9)
由此可見，電極和元件的截面積相等時，能容忍較大的電極接面阻抗。當電
由此可見，電極和元件的截面積相等時，能容忍較大的電極接面阻抗。當電