計算方法

在定溫下，元件的載子分佈與電流等穩態特性可藉由位能、電子準費米能階 與電洞準費米能階來描述。位能與電子電洞準費米能階分別遵守泊松方程式 (Poisson equation)與電子電洞連續方程式(Continuity equations)。而在考慮元件溫 度變化時(在固定的環境溫度下)，我們還須引入功率守恆方程式來考慮元件和環

( ) ( )

蕭客萊-瑞德-霍爾復合(Shockley-Read-Hall recombination)、歐傑復合(Auger Recombination)與輻射復合(Radiative recombination)[ 7 ]，可表示成:

( )

x R

( )

x R

( )

x R

( )

x

為階躍函數(Step function)，將(2.13)與(2.14)中的m_hh替換成m_lh即可得到

)

hω rlh 。

G代表由外加照光 ，或是光子循環效應(Photon recycling effect) 等 其他因素所造成的電子電洞對生成率。外加照光的假設將在章節

Laser

G G_pr

3-3中提及，而 5

光循環效應的部分會在章節2-3中說明。Jn與Jp分別代表電子與電洞電流，電流模 型的說明在下個章節中詳細說明。

泊松方程式描述的是位能分佈，其邊界條件即為外加偏壓。連續方程式描述 的是準費米能階的分佈，於此我們假設在元件的兩個端點，表面復合速率(Surface recombination rate)無窮大。所以在此兩端點的載子濃度為熱平衡時的載子濃度，

亦即在此兩端點，電子與電洞的準費米能階是相同的。

2-2 電流模型

在本篇論文中，我們利用漂移擴散電流模型(Drift-Diffusion current model)來 描述塊材中的電子電洞電流。載子受電場分佈影響而移動造成漂移電流，而載子 濃度分佈不均產生的擴散現象則造成擴散電流，可表示如下:

( ) ( ) ( ) ( )

dx x qD dn dx

x x d

qn x

J_n =− μ_n φ + _n ， (2. 15)

( ) ( ) ( ) ( )

dx x qD dp dx

x x d

qp x

J_p =− μ_p φ − _p ， (2. 16) 亦可表示成:

( ) ( ) ( )

dx x x dE

n x

J_n = μ_n ^fc ， (2. 17)

( ) ( ) ( )

dx x x dE

p x

J_p = μ_p ^fv ， (2. 18)

在異質界面處，當傳導帶與價電帶的偏差值小於 時，能障不大，載子 可輕易的藉由吸收聲子來越過能障，所以此電流可以用漂移擴散電流來描述。然 而當傳導帶與價電帶的偏差值大於 時，聲子無法有效地提供載子越過能障 所需的能量，漂移擴散電流無法描述載子遇見能障時的移動行為。此時我們改以 熱激發電流模型(Thermionic emission current model)與穿隧電流模型(Tunneling current model)來描述異質界面間的電流。值得一提的是，使用熱激發電流模型與 穿隧電流模型將使得電子電洞費米能階在異質界面處不連續。

T k_B 2

T k_B 2

我們考慮如圖 2. 1的異質接面，當載子遇到能障時，可以用下列方式通過能 6

障[ 8 ]:

(1) 能量大於能障的載子可直接通過。

(2) 能量低的載子以穿隧效應通過。

Thermionic Current

Tunneling Current

圖 2. 1 熱激發電流與穿隧電流示意圖。

常溫下(300 K)，熱激發電流為流過界面的主要電流成分，所以在常溫下，

對於一般元件模擬來說，僅考慮熱激發電流會是一個不錯的近似。我們假設只有 能量高於能障的載子可以通過能障，不會被能障反射，也就是只考慮電流路徑(1)。

此時電流只和溫度、能障高度、界面兩側的載子等效質量與準費米能階有關，如 圖 2. 2、圖 2. 3，電子電流表示如下[ 9 ]:

←

→ +

= _{n, n,}

n J J

J ， (2. 19)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ−

−

→ = A T F

J_{n, n}^*_,1 ² ₁

T k

E

B

CB 1, ， (2. 20)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

← A T F

J_{n, n}^*_,2 ² ₁

* ,

*

, = Am i

A_{ni ci}

Δ

− T k

E

B

CB 2, ， (2. 21)

(2. 22)

2 ,

=1

7

1 ,

ECB

Δ

2 ,

ECB

Δ Ec

Efc

Material 1 Material 2

圖 2. 2 熱激發電子電流相關參數示意圖。

同理，電洞電流可表示如下:

←

→ + ,

= _{p, p}

p J J

J ， (2. 23)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ−

→ = A T F

J_p, ^*_p,1 ² ₁

T k

E

B

VB 1, ， (2. 24)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ− T k

E

B VB 2,

−

← = A T F

J_{p, p}^*_,2 ² ₁ ， (2. 25)

(

^*_{, ,} m_v^*_,LH,i

)

i

*

,i vHHi

p Am

A = + ， =1 ,2 (2. 26)

2 ,

EVB

Δ

1 ,

EVB

Δ

Material 2

Ev

Efv

Material 1

圖 2. 3 熱激發電洞電流相關參數示意圖。

但當溫度下降時，熱激發電流會隨著溫度急遽下降，此時穿隧電流將和熱激 發電流相當，甚至遠大於熱激發電流，所以在低溫的狀態下我們必須同時考慮熱 激發電流與穿隧電流[ 8 ]。穿隧電流並不是在每個異質界面都有，如圖 2. 4，我

8

們將在圈起的這幾個異質接界面把穿隧電流加入計算。

Band diagram

cm

Material 1 Material 2

圖 2. 5 穿隧電子電流相關參數示意圖。

如圖 2. 5，我們以W.K.B.近似(W.K.B. Approximation)來考慮當能量為 的 電子遇到能障時的穿透率

其中穿透率為1 的部分是在描述熱激發電流，而其他部分描述的則是穿隧電流。

Material 1 Material 2

圖 2. 6 穿隧電洞電流相關參數示意圖。

( ) ( )

射復合的總光子數的比值為光萃取效率(Extraction efficiency, η )。 _xp

光子在元件內部被吸收的機制有很多種，像是在金屬電極上的損耗、寄生損 耗、自由載子吸收、在主動層的吸收…等等。其中主動層吸收光子後產生電子電 洞對，此電子電洞對有機會再透過輻射復合產生光子。所以我們定義光子循環效 率(Photon recycling efficiency, η )為在主動層被吸收的光子數與無法逃脫元件_pr 的光子總數的比值。

循環效率可以表示成:

( )

∫ ( )

=

∫

device whole

layer active

pr x dx

dx x α α

η (2. 31)

當我們考慮光子循環效應時，應考慮在主動層中被吸收的光子所產生的電子 電洞對。所以如章節2-1中所提及，電子電洞對生成率G應加上一項 來描述光 子循環的現象。為了簡化計算的過程我們假設 在主動層內各點是定值而得到:

Gpr

Gpr

( )

∫

∫

−

=

layer active

layer active xp pr

pr dx

dx x R G

) (

1 η

η

(2. 32)

2-4 冷卻功率

由上述計算的結果，我們可以定義冷卻功率(Cooling power, Pcooling)：為了維 持元件操作於某一穩態條件下，外界所需輸入的功率，

in out

cooling P P

P = − (2. 33)

需要注意的是，當使用雷射為輔助激發源時，會因為產生光電流而可能造成電流 為負值。

當電流壓差乘積為正時，定義輸入功率與輸出功率為:

Pumping Laser JV

in P P

P = + ，

Emission，

out P

P = (2. 34)

而當電流壓差乘積為負時，定義輸入功率與輸出功率為:

Pumping Laser

in P

P = ，P_out =−P_JV +P_Emission (2. 35)

當我們考慮不完全出光時，式(2. 34)與(2. 35)的P_Emission須修正成η_xpP_Emission。

12

2-5 功率守恆

在章節2-1到2-4的計算之中，我們可以獲得在某一操作溫度下元件的冷卻功 率。然而，若是我們想要求得元件在某環境溫度下可以降溫多少度時，我們則需 把熱傳導與熱輻射列入考慮。我們考慮在環境溫度維持在Te，元件溫度為T的穩 態下，功率守恆要求流進元件的功率等於流出元件的功率，即：

Emission Heat

Blackbody Pumping

Laser

JV P P P P

P + + + = (2. 36)

其中 為電路對元件的所作的功， 為元件經由外加照光每秒所獲

得的能量， 為元件所獲得的熱輻射功率， 為元件每秒經由傳導所獲 得的能量， 為元件每秒以輻射復合的方式所放出的能量。可分別表示如下:

PJV

P

P

Pumping Laser

P

Blackbody

Emission

PHeat

JV

P_JV = ， (2. 37)

( ) ( )

∫∫

= I x a x d dx

P_{LaserPumping h}ω, _hω, _hω ， (2. 38)

(

^{T4 T4}

)

P_Blackbody =εσ _e − _， ^{(2. 39)}

(

T T

)

h

P_Heat = _e− ， (2. 40)

(

x

)

d dx r

P_Emission ⁼

∫∫

_hω^, _hω _hω ， (2. 41)

其中I

(

_hω,x

)

是雷射光照強度，a

(

_hω,x

)

是元件對雷射光的吸收率。將此功率守 恆方程引入自洽運算後，我們即可求得元件達到穩態時的平衡溫度。

2-6 數值方法

章節2-1中，式(2. 1)-(2. 3)並沒有解析解，所以必須以數值方法來求得φ

( )

x 、 與 的解。我們把連續的空間切割成不連續的點，以有限差分(Finite

( )

^x

E_fc

( )

x E_fv

13

difference method)的方式來求解。在塊材的部分，點與點之間的距離為 2 奈米，

[

_{i i}

]

發電流及穿隧電流來描述。

的形式後，以數值方法Newton-Raphson method 來求解。

將式(2. 55)中 f_n

( )

x 以其一階泰勒展開式帶入，整理後得到

從式(2. 57)可看出，在輸入一組舊的參數x^j後，可得到一組新的參數x^j+1，

( )

x x _{{ }}n ( )^j

j

j x M x f x

x _j

=

−

+¹ = + ¹

， (2. 59)

當我們得到x^j+1後，又可以再利用x^j+1得到x^j+2，如此反覆疊代直至x 收斂為止。

而x⁰則可視為初始值(Initial guess)，合理地選擇初始值才能讓程式適當的收斂。

整體運算流程如圖 2. 9:

輸入材料參數P 、環境參數與邊界條件 ⁰

18

輸入初始值x ⁰ xj

計算(2. 59)，得到φ 、_i^j+1 E_fc^j+_,¹_i、E_fv^j+_,i¹和T^j+1

+1

xj

利用T^j+1，重新計算材料參數P ^j+1

否

1 , ¹

1

+

=

+ +

j j

P x^{j j}

1 1, ⁺

+ j

j P

x

1 1, ⁺

+ j

j P

x

將x 、^j+1 P 帶入式(2. 4)-(2. 7) (載子濃度)、^j+1 式(2. 8)-(2.14)(復合率)和 式 (2. 17)-(2. 30)(電流)

是 收斂判定

輸出

圖 2. 9 數值運算流程圖。

在文檔中 半導體電激發光致冷元件之降溫極限的探討 (頁 17-32)