結構式模型

結構式模型又稱公司價值模型，因為此類模型利用公司結構變數判定是否發生 違約，這些結構變數包括公司權益價值、資產與負債都可以透過股票市場及財務報 表取得相關資料。結構式模型自 Merton (1974)延伸 Black and Scholes (1973)提出的 選擇權評價模型開始，認為公司資產僅由權益及負債組成時，若負債發行期為

t

~

0 ，持有權益的價值就如同持有買權(C ，而持有負債價值則如同持有負債約定_t) 到期償還金額與賣出賣權所組成的投資組合(B−P_t)，不論買權或是賣權皆以公司價 值為標的物，以負債約定到期償還金額為執行價。自 Merton (1974)開啟結構式模型 的領域之後，後續相關研究大致分為兩類，第一類以擴散過程為基礎，放寬或修正 部分條件假設，這些條件架設包括到期才會發生違約、債券不發放債息或是利率固

定；第二類則在擴散過程之下加入跳躍概念，使得資產價格變動過程更能貼近現實。

一、Merton (1974)模型

在 Black and Scholes (1973)提出選擇權評價模型之後，Merton (1974)將此概念運 用至公司債評價，若公司債發行期0~t，到期公司價值小於負債約定到期償還金額

) ) (

(V t <B ，則公司發生違約事件，因此公司的信用風險在於可能無法清償負債。換 句話說違約不會發生在負債到期日之前，只會發生在負債到期日，而且公司債僅有 一種形式（排除不同等級、不同到期日之負債）。由於負債約定到期償還金額為已 知數，所以若知道公司價值的分配情況，則可進一步求算公司的違約機率。

Merton (1974)利用選擇權概念求算權益價值，此權益價值為歐式買權，再利用 公司價值減去權益價值，求得負債價值。假設如下：

1.沒有稅及交易成本，資產可以任意分割。

2.投資人具有足夠的資金，可以用市場價格買賣任何數量之資產。

3.借貸利率相同，資產放空所得資金可以完全使用。資產交易為時間連續。

4.MM資本結構無關論 ¹成立。

5.殖利率期間結構為水平且已知的。

6.公司價值服從隨機過程：dV =(

α

V −C)dt+

σ

Vdz

其中V 代表公司價值，

α

表示每單位時間公司的瞬間預期報酬率，若C≥0表示每 單位時間，公司支付債權人與股東的金額。若C<0表示每單位時間，公司有新的 融資。

σ

表示每單位時間公司報酬的瞬間標準差。dz為布朗運動。

7.負債只有一種形式， B 表示負債約定到期償還金額。

8.違約不會發生於負債到期之前。

令某一證券市場價值為Y ，此證券是公司價值與時間的函數Y =Y(V,t)，則可 以寫出該證券價值的動態過程：

1 Modigliani & Miller (1958)提出資本結構無關論，認為公司價值不會受到資本結構的影響。

y y y

yY-C dt Ydz

dY =(α ) +σ

α 代表每單位時間證券的瞬間預期報酬，y C_y代表每單位時間證券支付金額，以股 票而言相當於股利。σ 代表每單位時間證券報酬瞬間標準差，_y dz_y為布朗運動。根 據上述證券的動態過程,利用 Ito’s Lemma, 我們可將證券的動態過程寫為：

VYdz dt

Y Y C V Y

V

dY

σ

_VV

α

_{V t}⎥⎦⎤ +

σ

⎢⎣⎡ + − +

= ( )

2 1 _{2 2}

然後利用此證券(Y 、公司價值與無風險債券組成投資組合，三種投資的金額分別) 為W₁ ,W₂ ,W₃，而且該投資組合的累積投資金額為零(W₁+W₂+W₃=0)。如此便可以 求得該證券的偏微分方程(Partial differential equations, PDE)：

y t V

VV rV C Y rY Y C

Y

V + − − + +

= ( )

2 0 1

σ

^{2 2}

任何以公司價值及時間為函數的證券，其偏微分方程都可表示成上式。只要證券的 偏微分方程再加上邊界條件與起始條件即可解該證券價值。為了簡化計算，假設

=0

=C_y

C 。

若將此證券(Y 視為公司權益價值) f(V,t)，則權益價值到期值不是就是零，即 )

0 ) ( ( )

,

(V t MaxV t -B ,

f = ，其中(B 為負債約定到期償還金額。則公司權益價值可視) 為歐式買權，也就是以公司價值為標的物，執行價為負債約定到期償還金額(L 之) 歐式買權。此歐式買權的期初價值：

) ( )

( ) 0 ( ) 0 ,

(V V N d₁ Be N d₂

f = − ^−rt

t t

r B V

d ≡_⎢⎣^⎡ + + σ ) _⎥⎦^⎤ σ 2

( 1 ) ) 0 (

log( ²

1 ; ^d₂ ≡^d₁−σ ^t。

其中V(0)表示期初公司價值，t 為負債到期日， r 為無風險利率。

Merton (1974)根據負債價值等於公司價值減去權益價值的概念，將期初公司價 值減去權益期初價值，則可得到負債期初價值。另一種方式是依照到期時狀況來決 定負債價值，若V(t)>B則公司不會違約，債權人可以取得負債約定到期償還金額，

負債到期價值為(B ；若) V(t)≤B則公司違約，負債到期價值為V(t)，所以負債價值

到期值不是公司價值V(t)就是負債約定到期償還金額(B ，也就是兩者之中價值比) 較低的，以數學型式表達即D(V,t)=Min(V(t),B)，據此我們可以求出負債到期價值

) ( tV,

D 為負債約定到期償還金額(B 減歐式賣權) (P ： _t)

Pt

B 0 , t V B Max B B t V Max B

t V Min t

V

D( , )= ( ( ), )=－ (− ( ),− )= − ( − ( ) )= − . 表 2-1 公司價值、權益價值與負債價值的關係

到期狀況 價值

B t

V( )> V(t)≤B 到期價值 以選擇權表示

) , (V t

E V )(t -B ₀ Max(V(t)−B,0) Call _t )

, (V t

D B V(t) Min(V(t),B) B−Put_t )

V(t V(t) V(t) V(t) V(t)

此歐式賣權(P 以公司價值為標的物，執行價為負債約定到期償還金額_t) (B 之歐) 式賣權：P_t =Max(B−V(t),0)，且根據 Black and Scholes (1973)對選擇權的處理，此 歐式賣權期初價值為P₀ =−V(0)N(−d₁)+Be^−rtN(−d₂)。所以負債的期初價值：

) ( )

( ) 0 ( )

0 ,

(V Be P₀ V N d₁ Be N d₂ D = ^−rt − = − + ^{−rt 2}

若到期時公司價值小於負債約定到期償還金額，則公司發生違約；反之則否，

因此公司的信用風險在於負債到期時公司是否有能力支付債權人約定到期償還金 額(B ，也就是要視負債價值而定，Merton (1974)延伸 Black-Scholes Model 將負債) 價值以選擇權的方式表現，將信用風險視為選擇權，成為信用風險評價模型中結構 式模型的濫觴。

信用風險的另一種表現方式為計算違約機率，也就是計算到期時公司價值V(t)

2

) 0

0 ,

(V Be P

D = ^−rt − =Be^−rt −e^−rtE^Q[max(B−V(t),0)]

] 1 ) ( [ ]

1

[ _{{V(t) B}} ^{rt Q} _{{V(t) B}}

Q rt

rt Be E e E V t

Be⁻ − ⁻ _< + ⁻ _<

=

) ( ) 0 ( )]

( 1

[ N d₂ V N d₁ Be ^rt − − + −

= ⁻ =V(0)N(−d₁)+Be^−rtN(d₂)

小於負債約定到期償還金額B 的機率。Bielecki and Rutkowski (2002)利用違約機率 的概念，呈現負債期初價值的另一種型態。根據前述假設違約只會發生負債在到期 日，所以違約機率：p₀^Q =P(V(t)<B F₀)=N(−d₂)。若公司沒有違約，則負債到期價 值為B ；若公司違約，則負債到期價值為B

δ

₀^Q，所以負債期初價值：

) 1

( )

1 ( )

0 ,

(V Be ^rt p₀^Q B ₀^Qe ^rtp₀^Q Be ^rt p₀^Q ₀^Q

D = ⁻ − +

δ

⁻ = ⁻ −

ω

其中 ^{{ }}

) (

) ( ) 0 ( ) )

( (

) 1

) ( (

2 1 0

0 ) (

0 Be N d

d N V F B t V P B

F t

V E

rt P

B t V P

P

−

= −

= <^< ₋

δ 代表風險中立下違約發生時的回復率

(Recovery Rate)，

ω

₀^Q =1−

δ

₀^Q代表風險中立下違約發生時的減損比率。

假設公司的槓桿比率l₀ =Be^−rt V(0)，代表期初負債價值占公司價值的比率，

e rt

B ⁻ 表示沒有違約負債價值。我們利用槓桿比率將負債價值表達為：

) ( ) ) (

0 , (

4 3

1

0 N d N d

Be l V D

rt = ⁻ − + −

−

t t l

d σ σ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡− +

= ln( ) 2

2 0

3 ；d₄ =d₃−

σ

t

二、延伸 Merton 模型

Merton (1974)以擴散過程描述公司價值動態成為結構式模型的起源，爾後結構 式模型的研究大致分為兩類型，第一類型以擴散過程為基礎，放寬或修正部分條件 假設；第二類型則在擴散過程之下加入跳躍概念，使得資產價格變動過程更能貼近 現實。

第一類型：Black and Cox (1976)對於違約的定義則不再局限於負債到期時公司 價值小於負債價值，而是給定某外生臨界值，一旦公司價值低於此臨界值，公司便 無力償還負債而發生違約。這種修正負債只有在到期日才會發生違約的假設，進一 步 考 慮 負 債 到 期 日 之 前 就 有 可 能 發 生 違 約 的 模 型 ， 稱 為 首 次 通 過 模 型

(First-Passage-Time Model)。Geske (1977, 1979)則考慮一般公司債都有支付利息的條 件，當公司於支付利息日卻無法履約表示公司發生違約，因此違約有可能發生在各 付息日，放寬 Merton (1974)對於公司舉債不支付利息的假設。而 Merton (1974)對於 利率固定的假設，則有許多學者加以修正，包括 Shimko, Tejima and van Deventer (1993)及 Longstaff and Schwartz (1995)採用 Vasicek (1977)的單因子利率模型，Kim, Ramaswamy and Sundaresan, S. (1993)採用由 Cox, Ingersoll and Ross (CIR,1985)提出 之 CIR 模型，並將破產定義為現金流量不足支付利息費用。

第二類型：在擴散過程之下，公司價值只有可預期的變動，因此違約情形不會 突然發生，違約事件是可預測的。然而現實狀況下，許多公司的違約事件卻足以說 明此種假設並不合理，因為突然發生的好消息或壞消息，都有可能使得公司價值突 然大漲或是下跌，甚至於破產。因此公司價值的劇變(不論增加或是下降)，皆是訊 息面造成的未預期變動。這種未預期的變動，無法在擴散過程中表現出來，Merton (1976)首次提出跳躍擴散過程，假設跳躍風險是屬於可分散風險，放寬了擴散過程 無法反應公司價值突然劇烈的變化。

Mason and Bhattacharya (1981)的跳躍模型中，將跳躍發生假設為二項分配 (binomial distribution)。Zhou (2001)為了讓擴散過程能夠描繪公司價值突然劇烈變 動，原有的擴散過程加入跳躍改念，並假設跳躍擴散過程中跳躍頻率服從普瓦松過 程。在跳躍擴散過程下，不但信用價差期間結構的形狀更符合現實狀況，也能解釋 違約機率、回復率、信用價差實證上的規則；而且加入跳躍觀念後，公司價值能在 穩定減少下發生違約；同時也能在公司價值突然發生下降時發生違約，同時呈現預 期及未預期的違約。模型假設如下：

1.公司價值的動態過程為dV V =(

μ

−

λν

)dt+

σ

dW+(Π−1)dY。其中

μ

代表在沒有跳 躍時公司價值期望報酬，σ 表示在沒有跳躍時的公司價值報酬標準差， Π 為跳躍 幅度，服從對數常態，ln(Π)~ N(

μ

_π,

σ

_π²)，(Π−1)代表跳躍佔跳躍發生前公司價值，

期望值為

ν

=E(Π−1)=exp(

μ

_π +

σ

_π² 2)−1，dY 跳躍次數，服從普瓦松過程，平均

數=λ ，W標準布朗運動。d ,W dY與Π 互相獨立

2.公司價值動態過程中的跳躍部分為公司特有的風險，與市場無關。

3.MM 資本結構無關論成立。

4.完美、無摩擦市場，證券在連續時間交易，不存在套利機會。

5.負債到期時，若公司價值小於或等於門檻值(V ≤K)，則公司發生違約事件。

6.公司債違約時，債權人將於到期 T 收到債券面值的1−w(X_s)倍。s=min( T

τ

, )，τ 表 示違約時間。X =V K表示公司價值對門檻值比率，K 假設為負債總額。w表示 公司重整時，債券帳面價值減損比例，當w=0表示債權人收回面額，w=1標示債 權人完全損失。

7.短期無風險利率固定。

根據假設 1~7 所得出的模型，稱為簡化模型。若進一步放寬假設 5，令違約事 件可能發生在任何時點，則稱為一般模型。

(一) 簡化模型

假設一張債券於到期時支付一元本金且期間不支付債息，若公司有K 張債券，

當公司債到期時當V ≤K代表即違約，債權人取回債券價值1−w(X)；反之，若公司 債到期時V > K代表公司不會違約，債權人取回本金。所以到期支付一元的公司債 價值可以表示為：B(X,0)=I_X>1+(1−w(X))I_X≤1

風險中立下，公司債於期初價值：

] )) ( 1 ( [

) exp(

)

( = − _>1+ − _≤1

T

T T X

X

Q I w X I

E rT T

X, B

) 1 ( ] 1 )

( [ ) exp(

)

exp(−rT − −rT E^Q w X_T X_T < F_T^Q X

=

其中違約機率：F_T^Q(ξ X)≡Q(X_T <ξ X)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

−

−

−

⋅ −

=

∑

^∞= − 2 2

2 1

) 2 (

) ln(

) ln(

! ) )(

exp(

π

π

σ σ

μ σ

λν λ ξ

λ

i T

i r

N X i

T T

i

i

當資產減損w(X)=min(1 ,w₀ −w₁X)且負債僅於到期日才會發生違約時，公司債價值 可以表示為：

[ ]

⎩⎨

⎧ − + − −

−

=exp( ) 1 (1 ) ( ) (1 ) (( 1 ) ) )

(X,T rT F X 1-w F X F w w₁ X

B _T^Q _{0 T}^Q _T^Q ₀

2 )

! exp(

) ( )

exp( ²

0 1

i i i

i

i T X T

w −λ ⋅ λ μ ₊σ

+

∑

^∞

=

⎪⎭

⎪⎬

⎥⎫

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + − −

⋅ X

w N w N X

i i i i

0 i

i

σ

σ μ σ

σ

μ

² ln( 1 ₁) ln( ) ² )

ln(

(二) 一般模型

令違約事件發生時間：X 首次小於 1 的時間，令為_t τ ≡inf{ t X_t ≤1,t ≥0}，並假 設，若債券到期前不違約（τ ≥T ），債券持有人於到期日收取債券面額；若債券到 期前違約（τ ≤T ），債券持有人將於到期日收取債券面額1−w(X_τ)的比率。透過平 賭的觀念則債券價格可以表示為：

] ) ( [ ) exp(

) exp(

)

(X ,T rT rT E^Q w X I _T

B = − − − _τ ⋅ _τ≤

令初始X >1，以時間連續的方式，債券價格可以表示為：

令初始X >1，以時間連續的方式，債券價格可以表示為：

在文檔中 隨機利率下Lvy 過程在信用風險之應用：結構式模型 (頁 12-20)