跳躍風險可分散

0 ), ( (B V t Max

P_t = − 以公司價值為標的物，執行價為(B 。所以負債於期初之價值可) 以表示為「負債到期償還金額現值」減去「歐式賣權的現值」：D(V,0)=BP(0,t)−P₀。

因此我們求算負債價值之前，必須先計算歐式賣權價值。由於金融商品評價時 需 要 將 真 實 測 度 轉 換 到 風 險 中 立 測 度 ， 根 據 Laura (2005) 針 對 測 度 轉 換 之 Randon-Nikodym derivative 的一般式為：

∫ ∫

∫

∫ ∫

= ∫

= ^{− − − − +}

t R t

t R t

t

dx ds N x s H s

W d s G ds dx x s H ds s G

F

e dP t

P

d ₀^{( 2( )2)} ₀ ^{( ( , ) 1) ( )} ₀ ^{( ) ( )} ₀ ^{ln ( , ) ( , )} )

(

ˆ υ

η

限制條件 ⎥⎦⎤<∞

⎢⎣⎡

∫

^{G ds}

E ^t

0

2 ；

∫

R(H(t,x)⁻1)

υ

(dx)^<∞，其中G代表布朗運動風險溢酬，

H 代表跳躍風險溢酬，且若選擇適當的G與H，使得平賭(martingale)條件可以成立：

0 ) ( ) , ( ) 1 2 (

)

( 0 0 0

2

0 0

0 −

∫

−

∫ ∫

+

∫

−

∫

+

∫ ∫

− =

∫

^t R

t x t

t R t

s t

sds rds x dxds ds Gds e H s x dx ds

a

υ σ σ υ

則任何過程可以利用

η

(t)由測度轉P 到測度 Pˆ：Eˆ[e^kL(t)]=E[

η

(t)e^kL(t)]，使得資產在Pˆ 下滿足平賭。

接下來我們假設資產為 Lévy 過程之下對負債進行評價，第三節我們先依照 Merton (1976)假設跳躍風險為非系統風險，有可分散性，跳躍頻率由普瓦松過程延 伸至馬可夫調整普瓦松過程。第四節我們將跳躍風險假設為系統風險，不具分散 性，跳躍頻率由普瓦松過程延伸至馬可夫調整普瓦松過程。

第二節 跳躍風險可分散

在結構式模型中 Merton (1976)首先提出跳躍擴散模型，他認為跳躍風險源自於 和股價有關之新訊息的發生，這樣的新訊息都是公司特有的，也可能是該公司所屬 產業的。在 Merton (1976)的設定之下，跳躍風險是屬於可以藉由多角化投資組合來 分散的風險，因此不會有跳躍風險溢酬，即H(t,x)=1。所以由真實測度轉到風險中 立Q 測度的 Radon-Nikodym derivative 為：

∫

(二) 遠期測度下公司價值的動態過程

根據 Merton (1974)，「負債於期初之價值」可以表示為「負債到期償還金額現 值」減去「歐式賣權的現值」：（詳細推導請見附錄 4）

其中

_∑

^∞

[ ]

示風險中立下違約發生時的回復率(recovery rate)。

(五) 將信用風險以槓桿比率表達

2 2

, 3 ,

4_m d _m (0,t) m _x

d = − σ + σ ；

) ) 1 (

* B exp( t

B =

μ

^−m

λ μ

− 。

二、跳躍頻率服從馬可夫調整普瓦松過程

前一小節中我們假設資產價值的跳躍頻率服從普瓦松過程而推導出負債價值，

表示不論在何種經濟狀況之下，跳躍頻率始終維持固定(

λ

)，但是企業在不同的環 境之下，其價值劇烈變化的程度亦有不同，例如企業在經濟穩定時期，系統性風險 造成公司價值劇烈變動的機會低；但是在總體經濟不太穩定時期，例如 1997 亞洲 金融風暴或是美國次級房貸風暴時期，公司價值容易受到系統系風險的影響，產生 劇烈的變動。進一步說明，若 Fed 升息一碼，在經濟穩定時，造成的影響遍及全球 但公司價值並不容易有劇烈變化；但在次貸風暴發生之際，這樣舉動所產生的影 響，不僅遍及全球，而且公司價值更容易產生劇烈變化，甚至發生公司倒閉，例如 美國次級房貸風暴下的貝爾斯登(Bear Stearns)及北岩銀行(Northern Rock)。因此不同 的經濟情況之下，市場訊息使公司價值發生跳躍的機會與程度並不相同，換句話 說，不同的狀況之下，跳躍頻率應該不同，所以假設跳躍頻率為狀況相依將更符合 現實狀況。因此我們將中的跳躍頻率由單純的普瓦松過程延伸至馬可夫調整普瓦松 過程。

馬可夫調整普瓦松過程假設狀態有若干種，狀態的改變服從馬可夫過程，不同 的狀態之下資產價格不正常跳躍頻率服從普瓦松過程，但是參數不同，而且假設跳 躍頻率與跳躍幅度獨立。進一步說明，若市場上有兩種經濟狀態，第一個是經濟穩 定狀態，第二個是經濟相對不穩定狀況態。令經濟穩定下的跳躍頻率平均數為λ ，₁ 經濟相對不穩定狀態下的跳躍頻率平均數為λ ，兩種狀態的改變服從馬可夫過程。₂ 一般而言，經濟穩定下的跳躍頻率應該比經濟不穩定下的跳躍頻率小，即λ₁<λ₂， 也就是說新訊息發生頻率與經濟狀態有關，使得不同經濟狀態之下，資產價格發生 跳躍的頻率不同。若狀況只有兩種，跳躍頻率也有兩種，則稱為轉換跳躍擴散模型

(Switched Jump Diffusion Model)。

(一) 馬可夫調整普瓦松過程

雙重隨機普瓦松過程是指普瓦松過程Φ 的移轉速度與移轉機率都是隨機，而(t) 雙重隨機普瓦松過程的特例馬可夫調整普瓦松過程是標的狀況受到同質馬可夫鏈 所支配，所以不同的狀況之下會有不同的跳躍頻率。假設S(t)={1,2,3...I}代表時間t 時的狀況，共有I 種狀況，每一種狀況都有對應的跳躍頻率，狀況 i 下，跳躍頻率為

λ

i：

⎩⎨

⎧

≠

= =

Λ i j

j

i i , 0

λ

,

離開狀況i 到狀況 j 的速度稱為移轉速度(transition rate)Ψ( ji, )：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= ≠

Ψ

∑

≠ j i

j i

j i j i j

i ( , ), 其他

), , ( ) ,

(

α

α

假設

π

_i代表一開始在狀況i 的起始機率，P(m,t)=P(S(0)=i,S(t)= j,Φ(t)=m)表示時 間0~t，跳躍發生m次，由狀況移轉到狀況 j 的移轉機率(transition probability)。由 於移轉機率P(m,t)不易觀察，為了便於計算我們假設

∑

^∞

=

=

0

*( , ) ( , )

m

zm

t m P t

z P

我 們 利 用 Kolmogorov’s forward equation 求 解 上 式 ， 得 到 解 為 t

z t

z

P^*( , )=exp[Ψ−(1− )Λ] ，其中0< z<1。所以只要知道時間點t 的狀態變化，我們 就能知道跳躍頻率與移轉速度，進而可以求出P^*(z,t)。接著利用 Laplace transform，

我們便可以求出移轉機率 ^*( , ) ₀ ) !

,

( ₌

∂

= ∂_m^m P z t _z m

t z m

P 。

(二) 風險中立Q測度之下公司價值的動態過程

在跳躍風險可分散之下，本小節我們假設跳躍頻率服從馬可夫調整普瓦松過 程，而真實測度下的 Lévy 過程可以表示為：

∑ ∫ ∫

∫

∫

^{+ + −}

= ^Φ

=

t R t

n n

t P

1 t

sds dW s x x dx ds

a t

L 0

) (

0 0

0 ( ) ( )

)

(

σ υ

a 為漂移項，t W₁^P(t)為布朗運動項，x表示跳躍幅度，X ~N(

μ

_x,

σ

_x²)，Φ(ds)是緯度 I

I× 矩陣，代表跳躍頻率服從馬可夫調整普瓦松過程，期望值為Λds。 )

( )

(dx =Λf dx

υ

。

原本 Lévy 過程有三個隨機變數：布朗運動項、跳躍幅度與跳躍頻率，如今假 設跳躍頻率服從馬可夫調整普瓦松過程，在已知狀況i 移轉到狀況 j 之下，我們可以 觀察狀況i 移轉到狀況 j 的移轉速度Ψ( ji, )與跳躍頻率

λ

_i，因而決定跳躍m次的移轉 機率P(m,t)，所以移轉機率已經包含跳躍頻率的概念。換句話說，移轉機率是受到 狀況與跳躍次數所支配的隨機變數。因此在馬可夫調整普瓦松過程之下，Lévy 過程 的三個隨機變數，分別為「布朗運動」、「跳躍幅度」與「移轉機率」，我們假設這 三個隨機變數彼此獨立，所以處理測度轉換時，由真實測度轉換至風險中立Q 測度

的 Radon-Nikodym derivative，可以分開表示：

prob prob

X X W

W t

dP Q d dP

Q d dP

Q d dP

Q

d = (詳細推導請

見附錄 5)

(1)布朗運動的測度轉換為W₁^Q(t)=W₁^P(t)+Gt

(2)跳躍幅度的測度沒有轉換，在風險中立 Q 測度之下X^Q ~ N(

μ

_x,

σ

_x²)

(3)移轉機率的測度沒有轉換，在真實測度之下的移轉機率為P(m,t)，風險中立Q 測 度之下的移轉機率為Q(m,t)，Q(m,t)=P(m,t)。

因此 Lévy 過程在三個隨機變數測度轉換之後，可以表示為：

∑ ∫ ∫

∫

∫

∫

^{+ − + −}

= ^Φ

=

t R t

n n

t

t Q

1 t

sds dW s Gds x x dx ds

a t

L 0

) (

0 0 0

0 ( ) ( )

)

(

σ σ υ

接著，結合平賭條件之後可以得到風險中立Q 測度之下的 Lévy 過程：

∫ ∑

∫

∫

^{− − − + +Φ}₌

= ^{( )}

0 0 2

0 ( 1) ( )) ( )

( 2 ) (

t

n n

t Q

R 1 t x

s e dx ds dW s x

r t

L σ υ σ

(三) 遠期測度下公司價值的動態過程

已知風險中立Q 測度之下公司價值的動態過程與零息債券的動態過程，我們可

根據 Merton (1974)，「負債於期初之價值」可以表示為「負債到期償還金額現 值」減去「歐式賣權的現值」：（詳細推導請見附錄 6）

其中 ^{{ }}

∑∑∑

為了解釋股價突然劇烈變動造成的不連續性，Merton (1976)及 Zhou (2001)提出 股價跳躍概念，並認為造成股價異常驟變的新訊息僅與該企業有關，也就是說，新 訊息造成公司價值產生跳躍，此種新訊息屬於公司特有風險，又稱非系統風險，具 有可分散性質，例如新產品開發成敗、訴訟、經理人虧空公款、收到客戶大訂單…

等等。這類型訊息只會對該企業有影響，不會擴及其他企業或整個市場。由於風險 具有可分散性，因此沒有風險溢酬，跳躍發生並不會影響或有選擇權的評價。

然而 Jarrow and Rosenfeld (1984)實證發現， 資產價值跳躍確實會影響或有選擇 權的評價，並非如 Merton (1976)所假設跳躍屬於非系統風險而不會影響評價結果；

此外 Kim et al. (1994)也發現不論整體股市或是個股發生跳躍時，此種跳躍主要反應 系統風險而非公司特有風險。根據國際清算銀行對系統風險的定義，系統風險是指

在文檔中 隨機利率下Lvy 過程在信用風險之應用：結構式模型 (頁 29-37)