價格為比較基準，與模型計算出之價格進行比較，詳細設定將會在第三章說明。
資料參數估計的部分，本研究參考 Eom, Helwege, and Huang (2004) 之設定，詳細 估計方式亦在第三章說明。
第三節 全文架構
全文共分四章節，各章內容簡述如下：
第一章 – 緒論，內容包括研究背景、研究架構及全文架構等三節。
第二章 – 文獻探討，內容包括 Merton (1974) M 模型、Geske (1977) G 模型、
Longstaff and Schwartz (1995) LS 模型、Leland and Toft (1996) LT 模型、
Collin-Dufresne and Goldstein (2001) CDG 模型、Chang (2012) CDGtree 模 型、及 CDGtree 模型與 CDG 模型之數據模擬與比較等七節。
第三章 – 參數估計與實證結果，內容包括資料選取及數據來源、模型參數估計、
及實證結果等三節。
第四章 – 結論，內容為全文研究做總結。
第二章 文獻回顧
本章將會逐一介紹本研究所討論之六個公司債結構式評價模型之設定及性質，
並針對 Chang (2012)之模型作較詳盡之解說及與 CDG 模型之比較，證明 Chang (2012)之 CDGtree 模型可以取代 CDG 模型。模型介紹依序為 Merton (1974)、Geske (1977)、Longstaff and Schwartz (1995)、Leland and Toft (1996)、Collin-Dufresne and Goldstein (2001)、以及 Chang (2012)之模型。
本研究之參數設定為求完整性已經過統一，因此使用之符號會與原文獻有所 不同，且為避免文章過於冗贅，資將各模型較常出現之參數於表 2.1 作較詳盡之整 理與解說，方便讀者對照。圖中○者表示參數有使用於該模型。
表 2.1 各模型參數表
參數 解釋 M G LS LT CDG CDG
tree 債券屬性參數
𝑇 債券到期日 ○ ○ ○ ○ ○ ○
𝑐 票息利率 ○ ○ ○ ○ ○ ○
𝐾 公司總負債面額；違約門檻 ○ ○ ○ ○ ○
𝑤 本金回復率 ○ ○ ○ ○ ○
𝑤𝑐 票息回復率 ○ ○
公司屬性參數
𝑉𝑡 公司資產於時間點 t 之總市值 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 𝐸𝑡 公司權益於時間點 t 之總市值 ○
𝐷𝑡 公司負債於時間點 t 之總市值 ○ ○
𝛿 公司支付率 ○ ○ ○ ○ ○ ○
𝜇𝑉 公司報酬率(Q 測度) ○ ○ ○ ○
𝜎𝑉 公司報酬率之標準差 ○ ○ ○ ○ ○ ○
𝑑𝑍 𝑉
5
S
公司稅稅率 ○利率參數
𝑟(𝑡) 𝑡 到期的常數無風險利率 ○ ○ ○
𝐷(𝑟𝑡, 𝑡𝑖) 對於 𝑡𝑖 到 𝑡 之折現因子 ○ ○ ○
𝑎 利率回歸速度 ○ ○ ○
𝑏 長期利率平均 ○ ○
𝑟𝑡 𝑡 時點之瞬時無風險利率 ○ ○ ○
𝜎𝑟 利率之標準差 ○ ○ ○
𝑑𝑍𝑟 𝑟𝑡 之維納隨機過程 ○ ○ ○
𝜌 𝑑𝑍𝑉及𝑑𝑍𝑟之相關係數 ○ ○ ○
運算符號
𝑛 標準常態機率密度函數 ○ ○
𝑁 標準常態累積機率函數 ○ ○ ○ ○ ○
𝑁𝑖
i 維常態累積機率函數
○第一節 Merton (1974) M 模型
Merton (1974)首先假設公司資產於𝑄測度下服從：
𝑑𝑉𝑡= (𝑟 − 𝛿)𝑉𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑉𝑡𝑑𝑍𝑉
並假設公司債為零息債券且總發行量為 𝐾 ，在到期日 T 時公司必須支付給債權人 之價值為 min(𝐾, 𝑉𝑇) ，其中 𝑉𝑇 為到期日之公司價值。若將公司債視為一無風險 債券減去一個以公司資產為標的之賣權成本，便可運用 Black-Scholes 選擇權定價 模型之公式，導出零息債券之價格，此處以 𝐵𝑃𝑀_𝑧𝑒𝑟𝑜 表示。而為符合一般含息債 券之設定，Eom, Helwege, and Huang (2004) 將含息債券拆解為多個零息債券之組 合，其面額及到期日皆符合含息債券附息日及還本日之設定。以一半年付息一次，
本金為 1 之含息債券為例，其評價公式為：
𝐵𝑃𝑐𝑜𝑢𝑝𝑜𝑛(𝑇) = ∑𝑐
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第三節 Longstaff and Schwartz (1995) LS 模型
Black and Cox (1976) 提出一首次通過 (first passage) 之概念，當公司資產首次達 到某一違約門檻 𝐾 時，公司即發生違約。此外，早期之研究如 M 及 G 模型為降 低計算之繁雜度，皆假設利率為一固定常數，然而此假設明顯地與實證不符，因 此 Longstaff and Schwartz (1995) 便延伸 Black and Cox (1976) 之研究，發展出一套 同時考慮首次通過時間模型及 Vasicek (1977) 隨機利率之雙變數結構式評價模型。
兩個隨機過程分別為：
𝑑𝑉𝑡
𝑉𝑡 = 𝜇𝑉𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉, 𝑑𝑟𝑡= 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑍𝑟.
根據Itô’s Lemma 與定義𝑦𝑡= ln 𝑉𝑡，可得到下列均數回歸動態過程：
𝑑𝑦𝑡 = (𝑟𝑡− 𝛿 −𝜎𝑉2
2) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉.
LS 模型假設當公司資產低於一違約門檻𝐾時會發生違約，亦即當𝑙𝑡= 𝑘 − 𝑦𝑡 > 0 (其中𝑘 ≡ ln (𝐾)) 時，違約會發生。相較於 Black and Cox (1976) 假設違約發生時 債權人可即時拿回本金且無違約成本，LS 模型假設當違約發生時，債權人僅能拿 回本金乘以一外生回復率 w 之部分。然而 Collin-Dufresne and Goldstein (2001) 認 為，LS 模型對於計算違約機率之推導有誤，因此於其文獻中附錄為 LS 模型作修 正，本研究之模型亦使用該部分做為計算架構。
在考慮回復率及違約機率下，LS 之零息債券評價公式為：
𝐵𝑃𝐿𝑆_𝑧𝑒𝑟𝑜(𝑙0, 𝑟0, 𝑇) = 𝐷(𝑟0, 𝑇)(1 − (1 − 𝑤)𝑄𝑇(𝑙0, 𝑟0, 𝑇)),
其中 𝑙0 ≡ 𝐾/𝑉0 ； 𝑄𝑇代表在 T-forward 測度下，自時間點 0 看零息債券於時間點
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𝑟𝑚𝑎𝑥 至最低利率 𝑟𝑚𝑖𝑛 做均等切割之總個數並定義 𝑟𝑖 ≡ 𝑟𝑚𝑖𝑛+ 𝑖∆𝑟； Δ𝑟 為均等 切割後之單位利率差； 𝜋(𝑟𝑡, 𝑡|𝑟𝑠, 𝑠) 表期望值為 𝐸𝑠𝑇[𝑟𝑡] 變異數為 𝑉𝑎𝑟𝑠𝑇[𝑟𝑡] 之常 態分配機率密度函數，即利率樹狀節點 𝑟𝑡 於時間點 𝑡 之條件發展機率值；
𝜇(𝑟𝑡, 𝑡|𝑙𝑠, 𝑟𝑠, 𝑠) 與 𝛴(𝑟𝑡, 𝑡|𝑙𝑠, 𝑟𝑠, 𝑠) 為已知利率節點 𝑟𝑡 之對數槓桿比 𝑙𝑡 條件期望 值與變異數； 𝐵𝑎𝑇 ≡ (1 − 𝑒−𝑎𝑇) 𝑎⁄ 則為 V 模型無風險債券計算因子。
經由拆解含息債券成為多個零息債券組合，便可得到評價含息債券之 LS 模型 (假設本金為 1)：
𝐵𝑃𝐿𝑆(𝑙0, 𝑟0, 𝑇) =𝑐
2∑[𝐷(𝑟0, 𝑡𝑖)(1 − (1 − 𝑤𝑐)𝑄𝑇(𝑙0, 𝑟0, 𝑡𝑖))]
𝑛
𝑖=1
+ 𝐷(𝑟0, 𝑇)(1 − (1 − 𝑤)𝑄𝑇(𝑙0, 𝑟0, 𝑇)). (2.3)
第四節 Leland and Toft (1996) LT 模型
Leland and Toft (1996) 同樣也延伸了首次通過時間模型之研究，探討結構式模 型之發展，對於違約成本之設定也與 LS 模型相同，然而其發現 LS 模型對於破產 之判斷係由一外生違約門檻決定，此設定並無法說明在實務上股東在經考量之後 決定技術性破產，將公司讓與債權人之情況；且認為引進隨機利率，僅僅造成模 型更趨於複雜，與固定利率之設定相比計算結果相差並不大。因此 LT 在其模型中，
加入一個內生且獨立於時間之違約門檻 𝑉𝐵 ，並修改對債券之設定，將其票息及 本金視為一連續發放之過程，此設定下可使流通在外負債為一固定值，維持穩定 之槓桿比例；並將利率設為一固定之常數。在假設公司資產隨機過程為 𝑑𝑉𝑡= (𝑟 − 𝛿)𝑉𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑉𝑡𝑑𝑍𝑉 ，且在時間 𝑇 之內碰觸到違約門檻之下，到期可以拿到一個回 復價值 𝑤𝑉𝐵。
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第五節 Collin-Dufresne and Goldstein (2001) CDG 模型
Collin-Dufresne and Goldstein (2001)延續了 LS 模型之研究，並加入一穩定槓桿比 率之概念，同時以雙因子馬可夫過程 (two-factor Markov process) 修正了計算違約 風險之部分，因此在經過參數上之調整後，可直接變形為 LS 模型。
同 LS 模型，CDG 模型假設公司資產與利率隨機模型如下：
𝑑𝑉𝑡= (𝑟𝑡− 𝛿)𝑉𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑉𝑡𝑑𝑍𝑉, 𝑑𝑟𝑡= 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑍𝑟.
並將公司資產及負債取自然對數，得到 𝑦𝑡= ln 𝑉𝑡 與 𝑏𝑡= ln 𝐷𝑡 。接著應用 Itô’s Lemma 得到下列均數回歸動態過程：
𝑑𝑦𝑡 = (𝑟𝑡− 𝛿 −𝜎𝑉2
2 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉, 𝑑𝑏𝑡 = 𝜅[𝑦𝑡− 𝜈 − 𝜙(𝑟𝑡− 𝑏) − 𝑏𝑡]𝑑𝑡,
其中 𝜅 、 𝜈 、 𝜙 為均數回歸之參數，估計方式將於第三章第二節有更詳盡說明；
𝑦𝑡− 𝜈 − 𝜙(𝑟𝑡− 𝑏) 可視為 𝑏𝑡 之長期平均，當 𝑏𝑡 低於長期平均時公司將會提升 門檻，即提高公司槓桿比率，反之亦然。此表示公司將會將槓桿比率維持在某一 穩定水準之內。最後令 𝑙𝑡≡ 𝑏𝑡− 𝑦𝑡= ln𝐷𝑉𝑡
𝑡 ，即對數槓桿比率。當 𝑙𝑡 ≤ 0 時，表 示 𝐷𝑡 ≤ 𝑉𝑡 ，公司未發生違約；反之公司違約。再將對數槓桿比率取全微分可得 到以下式子：
𝑑𝑙𝑡= 𝜅[𝑦𝑡− 𝜈 − 𝜙(𝑟𝑡− 𝑏) − 𝑏𝑡] 𝑑𝑡 − (𝑟𝑡− 𝛿 −𝜎𝑉2
2 ) 𝑑𝑡 − 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉
= 𝜅 [−𝜈 − 𝜙(𝑟𝑡− 𝑏) −𝑟𝑡− 𝛿 −𝜎𝑉2
𝜅 2 − 𝑙𝑡] 𝑑𝑡 − 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉.
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𝑉𝑎𝑟𝑠𝑇[𝑙𝑡] = ((1 + 𝜅𝜙)𝜎𝑟
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第六節 Chang (2012) CDGtree 模型
CDG 模型改善了以往結構式模型對於到期日較長之債券不易達到違約條件之缺陷，
但依舊無法解釋實務中公司可能於短時間內突然達到違約條件 (無論是否可預測) 之現象。Chang (2012) 認為，股價突發性之跳躍將會引發公司價值及負債比率隨 之跳躍，此外，當公司發行新債、贖回舊債，抑或舊債到期時，也都會對槓桿造 成一個跳躍之影響。因此其在文獻中，以 CDG 模型為基礎，並考慮於風險中立測 度下加入 Amin (1993) 之跳躍擴散樹狀模型，令公司資產服從一對數常態跳躍擴 散過程，同時考慮以 HW 利率隨機過程模型替代 V 模型，以期令利率期間結構與 市場觀測值更為接近，各式詳列如下：
𝑑𝑉𝑡
𝑉𝑡 = (𝑟𝑡− 𝛿 − 𝜆𝑀) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑍𝑉 + (𝐽 − 1) 𝑑𝑃𝑡, 𝑑𝑟𝑡 = 𝑎 [𝜃(𝑡)
𝑎 − 𝑟𝑡] 𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑍𝑟 ≡ 𝜇𝑟𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑍𝑟, 其中 𝑑𝑃𝑡 為一獨立卜瓦松計數過程，其跳躍強度設定為 𝜆 且
{𝑑𝑃𝑡 = 0 with probability (1 − 𝜆 𝑑𝑡) 𝑑𝑃𝑡 = 1 with probability 𝜆 𝑑𝑡 ,
𝜃(𝑡) 為一確保 Hull-White 利率隨機過程所產生之利率期間結構與市場上所觀察 到之利率期間結構一致之時間函數。此外，CDGtree 模型亦令跳躍之幅度大小服從 一對數常態分配，即 ln 𝐽 ∼ 𝑁(𝜇𝐽 , 𝜎𝐽2) ，此即表示 𝐽 − 1 為發生 Poisson 事件時資 產之變動百分比，而漂移項減去 𝜆𝑀 則為維持資產於風險中立測度下之平賭性質。
故可推得 𝑀 ≡ 𝐸[𝐽 − 1] = 𝑒𝜇𝐽+𝜎𝐽2⁄2− 1。
接著，仿照 CDG 模型的步驟，運用 Itô’s Lemma 及取得對數槓桿比率後，可 得到：
𝑑𝑙𝑡 = 𝜅 [−𝜈 − 𝜙 (𝑟𝑡−𝜃(𝑡)
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到 Dai (2009) 之均值追蹤演算目的，並令未包含跳躍之三元分支之機率介於 [0,1]
19
{
21
結合 𝑋𝑡 與 𝑟𝑡 兩樹狀即可形成一三維樹狀模型如圖 2.3 所示，在回溯推算過 程時，我們必須考慮下一期 (2𝑀𝐽+ 1) × 3 節點之報酬。假設於各節點上其報酬 為 PO(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) ，則此模型之回溯推算過程可描述如下：
PO(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) = 𝑒−𝑟𝑡Δ𝑡[ ∑ 𝑃𝜃𝑟𝑡∑ 𝑃(𝑘)PO (𝑋𝑡+ 𝑘𝜎𝑋√Δ𝑡, 𝑟𝜃(𝑟𝑡))
𝑘 𝜃=𝑢,𝑚,𝑑
],
其 中𝑘 為 介 於 [ 𝑚(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) − 𝑀𝐽, 𝑚(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) + 𝑀𝐽] 之 間 之 整 數 。 要 注 意 對 於 不 同 之 (𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 節點，因為 𝜇𝑋 ，對於中間分支本模型也會推得不同之 𝑚 值，所以𝑚 = 𝑚(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 為 (𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 之函數。
針對含息債券之評價，相較於 CDG 模型假設違約發生後債權人需於期末方能 拿回部分本金之設定，CDGtree 為符合跳躍擴散特性，改以 Duffie and Singleton (1999) 所提出之 RMV (recovery of market value) 方法做計算，其假設於違約發生 時，債權人可立即收到當時債券價值之一特定比例，而合約即刻終止，此特定比 例即公司價值之回復率。由於此模型之對數槓桿比 𝑙𝑡 為負債與資產之對數比，故 其隱含一內生決定之公司價值。當違約發生時，其剩餘價值之比例為：
𝑙𝑡 = 𝑘𝑡− 𝑦𝑡 ⇒ 𝑙𝑡 = ln (𝐷𝑡
𝑉𝑡) ⇒ 𝑉𝑡
𝐷𝑡 = exp(−𝑙𝑡),
此 exp (−𝑙𝑡) 可視作此公司之內生回復率。換言之，若違約發生時，債權人可即刻 拿到當時公司債價值之 𝑒−𝑙𝑡 比例。
default boundary
23
回本金乘上𝑤)，我們假設每當進入到違約區域時 (假設在 [𝜏, 𝜏 + Δ𝑡]時間間隔區間，
其中 𝜏 為破產時點)，則緊接下一期可拿到本金乘上𝑤𝑒−𝑟𝜏(𝑇−(𝜏+Δ𝑡))，便等同於 CDG 模型在到期時可以拿到殘餘價值 𝑤 。因此含息公司債價格 𝐵𝑃(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 之回溯推 算過程需修改為：
𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡)
= 𝑒−𝑟𝑡Δ𝑡{ ∑ 𝑃𝜃𝑟𝑡
𝜃=𝑢,𝑚,𝑑
[∑ 𝑃(𝑘) ( 𝐵𝑃(𝑖𝑛𝑑)𝐼{𝑙(𝑖𝑛𝑑)≤0}
+𝑤𝑒−𝑟𝑡(𝑇−(𝒕+∆𝒕))𝐼{𝑙(𝑖𝑛𝑑)>0})
𝑘
]} + 𝑐𝐼{𝑙(𝑖𝑛𝑑)≤0}.
同時，此模型亦可考慮有贖回或賣回之選擇權公司債。以可贖回之公司債為 例 ， 若 於 時 點 𝑡 下 公 司 債 可 以 𝐶𝑃𝑡 之 價 碼 贖 回 ， 則 前 述 公 司 債 價 格 𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 還需與 𝐶𝑃𝑡 比較，以反映其可贖回之情形：
𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) = min(𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡), 𝐶𝑃𝑡).
最後由上述過程推得之 𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡) 即為公司債之今日價格，於實證上 可藉由計算 𝐵𝑃𝐶𝐷𝐺𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑋𝑡, 𝑟𝑡)與實際公司債價格做比對，以校正模型設定之各項參 數值。
第七節 CDGtree 模型與 CDG 模型之數據模擬與比較
由於 CDGtree 模型係以 CDG 模型為基礎所構成，僅於跳躍擴散模型、隨機利率模 型、及回復率設定上有所不同。然而這些參數皆可輕易調整為與 CDG 相同之設定，
因此本節將證明 CDGtree 模型能夠模擬出與 CDG 相近之環境及計算結果，並且比 較跳躍與否及不同回復率設定之影響。
跳躍擴散模型部分，令 𝜆 = 0 、以及 𝜎𝐽 = 0 即可將跳躍分支消除，僅留下 基本三元樹之分支；利率模型部分，由 Appendix A 對於 HW 模型之敘述得知，將
V 模型所計算出之利率期間結構取代真實世界之利率期間結構時，HW 模型即為 V 模型；回復率之修正方式已於第二章第六節介紹過。
調整完模型設定之後，便可進行不同型態之 CDGtree 模型與 CDG 模型之數據 比較，本研究以本金為 1，到期日為 5 年之零息債券作為評價主體，並分別比較兩 種不同起始負債比之結果，參數上本研究沿用 Collin-Dufresne and Goldstein (2001) 之設定1。另外，此二模型之準確度取決於時間區隔 Δ𝑡 ，當 Δ𝑡 切割越細則模型
調整完模型設定之後，便可進行不同型態之 CDGtree 模型與 CDG 模型之數據 比較，本研究以本金為 1，到期日為 5 年之零息債券作為評價主體，並分別比較兩 種不同起始負債比之結果，參數上本研究沿用 Collin-Dufresne and Goldstein (2001) 之設定1。另外，此二模型之準確度取決於時間區隔 Δ𝑡 ，當 Δ𝑡 切割越細則模型