為本計畫之綜合整理與總結，並對未來研究方向提出建議。
圖 1-1 不同軸向速度之入流角
第二章 理論基礎與數值分析方法
彎矩與積層板曲率間的關係。
r = 半徑，iG = 偏斜，θs = 歪斜角，θnt = 螺距角，如圖2-10所示。
φ ＝ 螺葉所在位置角度，如圖2-7所示。
接著由弦長決定螺葉外緣的位置，前緣（leading edge）與後緣（trailing edge）的座標：
前緣
（camber surface）上，所以只要計算翼拱面的座標位置即可。翼拱面上的點座標可表示為：
nt
2-2-2 由變形量反算螺槳幾何參數
2-3 螺槳性能計算
本計畫使用有限元素軟體ABAQUS 配合螺槳性能計算程式 PSF2，以疊代法計算螺槳的 變形量、應力分佈以及KT、KQ等性能。首先以PSF2計算出螺葉上的壓力分佈，然後把壓力 分佈輸入到ABAQUS中，計算出螺葉的變形。螺葉變形後，其壓力分佈也隨之改變，於是再 把新的螺槳幾何輸入到PSF2，求出新的壓力分佈，然後再輸入ABAQUS 求出變形。如此反 覆的疊代如圖2-12所示，直到最後得到平衡的壓力分佈與變形量，計算即可終止。本計劃採 用的收斂標準為兩次疊代結果KQ相差低於2%，然後以最後兩個疊代結果平均作為最終解，
若收斂標準提升至1%，則計算量約提升兩倍。由於最佳化的計算量龐大，為節省計算量必須 犧牲計算的準確性，而降低收斂標準。在基因演算法最佳化搜尋中，只要能夠判斷兩個個體 間的優劣即可，準確性不需要太高，而相差2%已足以作為判斷依據，因此採用為2%為收斂 標準。
本計畫主要先以高歪斜（high skew）螺槳DTNSRDC 4498 [32]為計算對象，其螺槳幾何 參數列於表2-1。螺槳之有限元素模型如圖2-13所示，由八節點殼元素組成，共有225個元 素，所有節點都在翼拱面（camber surface）上。螺槳材料為Toho HTA1200碳纖維/ACD8801 環氧樹脂，材料係數如表2-2所示，為材料實驗結果。疊層纖維方向有-45、0、45、90等四 種選擇，其方向定義如圖 2-13 所示。疊層對中央面為對稱，由於螺葉上每個元素的厚度不 同，其疊層數也不同，如圖 2-14 所示。螺葉根部較厚，越往末端疊層數越少，而隨著翼斷 面形狀變化，螺葉前緣（leading edge）與後緣（trailing edge）也較薄。根部中央為最厚，
共有90層，為減少設計變數，每兩層限制為相同疊層角度，共12個變數。後8個變數為靠 近中央面的16個疊層角度，超過16層以上則其後之疊層以四個變數循環。例如疊層變數值 為 [12/11/10/9/8/7/6/5/4/3/2/1]的 螺 槳 ， 其 中 厚 度 為 60 層 的 元 素 之 實 際 疊 層 為 [112/102/92/122/112/102/92/82/72/62/52/42/32/22/12]s。
（2-5）式列出本計畫使用的螺槳性能參數定義，其中n 固定為 1708 (rpm)，當 J=0.889時Va = 7.716 (m/s)，當J＝0.6時，Va = 5.208 (m/s)。螺槳的設計J值為0.889，
此時KQ = 0.05204。J值所代表的是軸向速度與轉動方向速度的比值，在固定轉速下，J
下最終曲線遠高於原始設計曲線。由這兩條曲線可以看出疊層角度的影響很大，若沒有 妥善安排疊層角度，螺槳性能可能與原始設計有很大的差別，無法達到原始設計的要求 而與船舶主機不能搭配。除了達到原始設計的需求，更進一步我們希望能找出特別的疊 層，使複合材料螺槳的性能更優於一般金屬螺槳。
2-4 基因演算法
基因演算法是模仿大自然「物競天擇，適者生存」的法則，所建立的演算法。其主要架 構最早在 1975年由 Holland 提出[33]，其後又有許多相關研究印證或改良其功能，目前已廣 泛應用在各領域中。基因演算法的流程如圖2-16所示，首先將所有設計參數轉換為一長串的 基因碼，例如把纖維角度-45、0、45、90 轉為 1、2、3、4 或二進位的 00、01、10、11。然 後隨機給定基因碼產生初始族群，族群大小由設計者指定，從數個個體到一兩千個個體依問 題需要而定。接著算出所有個體的目標函數值，根據目標函數值來選取較優良的個體。選出 的個體再互相交換基因產生下一代個體，如同生物的交配行為。在決定下一代個體基因時，
有一定比例的基因發生突變，使新的基因可以不斷加入。突變發生率由設計者自訂，訂得高 搜尋範圍廣，但可能要多做很多不必要的計算；訂得低則要擔心收斂在局部最佳點的問題。
下一代個體的基因都決定後，再計算其目標函數值，然後回到選擇的步驟，再選出優秀個體 以產生下一代。如此循環直到達到收斂標準為止，停止搜尋的標準可以是達到某個目標函數 值，或搜尋超過指定的世代數，或者超過多少代以上沒有更好的個體出現，設計者依問題需 要決定其收斂標準。
基因演算法是一種簡單但功能強大的最佳化工具，文獻[30]列出其與一般最佳化工具的差 異在於：
1. 基因演算法對基因碼做搜尋而非對變數本身搜尋。因此不論變數多寡，變數本身的性 質如何，都可以在轉換基因碼時同時考慮。例如變數值有上下限，可以在編碼時把範 圍限定在上下限之間。離散性的變數如排序問題，也可以轉換成基因碼來進行最佳化 搜尋。
2. 基因演算法由整個族群的個體搜尋，而非由單一點搜尋。因此基因演算法比較不容易
收斂在局部的最佳點，而且可以同時找到多於一個的最佳點。
3. 基因演算法直接利用目標函數值來搜尋，而不使用微分或其他更複雜的方法。很多複 雜問題難以用微分等數學方法來做最佳化，基因演算法則不需要這些數學方法。甚至 不需要太多關於問題本身的資訊，只要能得到目標函數值就可以進行最佳化。
4. 基因演算法使用隨機法則（probabilistic transition rules），而非決定法則（deterministic
rules）。其利用隨機選擇作為工具，引導搜尋趨向最佳化。
由於以上異於一般最佳化方法的特質，基因演算法特別適合於以下最佳化問題：
1. 多變數、不連續變數或離散變數問題。
2. 最佳點不只一個，或欲搜尋全面的（global）最佳點。
3. 問題無法以微分方法最佳化，或者甚至無法以數學式表示的問題。
複合材料積層最佳化問題，早期多把角度及疊層當作連續變數進行最佳化[7]，然而在實 際應用上，疊層厚度多為固定，而角度則只有少數的選擇，如0、90、45、-45度等。而每一 層就是一個變數，通常會有超過10個以上的變數。疊層順序的問題，則是離散的變數問題，
無法以數學方法進行最佳化。因此，基因演算法非常適合用於複合材料積層結構的疊層角度、
順序最佳化。
雖然基因演算法適合複合材料的最佳化問題，但目前最大的問題在於計算量大。因為每 一代的所有個體都要計算其目標函數值，做一次最佳化搜尋可能需要執行數千次的有限元素 分析，對複雜結構來說計算量非常大。因此，本計畫提出一個簡化的方法，可以大幅提昇搜 尋效率且減少計算量，而又能夠兼顧搜尋的正確性。
2-5 回歸分析
在說明回歸分析之前，在此首先定義反應表面（response surface）。當給定所有變數值後，
可以得到一個反應結果，這個結果就是反應表面上的一個點。而所有變數值與其反應結果所 形成的表面，就是反應表面。在結構的設計上，通常要經過有限元素分析等計算才能得到反
應表面上的一個點。若要得到整個表面的資訊則要經過大量的計算，才能窺得表面的全貌。
回歸分析則是改以一個方程式來表示反應表面，使這個回歸模型的反應表面與原來的反應表 面非常接近，如此可以避開大量的計算。進行回歸分析時，首先給定取樣點，然後利用最小 平方差法（least square error）求取回歸方程式。取樣點與回歸曲面上的點之距離為誤差值，
最小平方差法就是找出一組最適當的係數使誤差值的平方和為最小值。文獻[24]以線性回歸
最終回歸模型可表示為(2-20)
ŷ = Xb (2-20)
一般線性回歸多使用多項式作為回歸分析的基底函數，若模型較為複雜，可以使用次數 較高的多項式來模擬，或以其他函數來模擬。本計畫考慮纖維方向的角度週期性特性，嘗試 以三角函數來模擬，與一般多項式的結果比較，準確度提高許多。
圖2-1 積層板所受面內力之圖示
圖2-2 積層板所受彎矩之圖示
圖2-3 積層板疊層圖
圖2-4 螺距之定義[31]
圖2-5 螺葉中央參考線及歪斜角示意圖[31]
圖2-6 螺葉偏斜之定義[31]
圖2-7 螺葉弦長之定義[31]
圖2-8 螺葉橫剖面圖[31]
圖2-9 螺葉厚度定義[31]
圖2-10 螺葉座標決定示意圖[31]
圖2-11 螺葉上座標點示意圖[31]
START
INPUT PROPELLER SHAPE TO PSF2
OBTAIN THE PRESSURE DISTRIBUTION
INPUT THE PRESSURE TO FEM
OBTAIN THE NEW PROPELLER SHAPE
CONVERGENCE
END
Yes
No
圖2-12 螺槳性能計算疊代流程
圖2-13 螺槳之有限元素模型
圖2-14 各元素疊層數分佈
0.6 0.7 0.8 0.9 J
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
10KQ
bronze original design
[452/452/452/452]3s [-452/-452/-452/-452]3s
圖2-15 螺槳性能計算結果
START
ENCODING DESIGNS
EVALUATE THE OBJECTIVE FUNCTION
CHOOSE THE FITTEST INDIVIDU ALS
GENE CROSS OVER
MUTATION
EVALUATE THE OBJECTIVE FUNCTION
CONVERGENCE
END
NO
YES
圖 2-16 基因演算法流程圖
表2-1 DTNSRDC 4498螺槳之幾何 [32]
Number of blades：5 Diameter : 0.305 m Hub-Diameter Ratio: 0.2 Expanded Area Ratio: 0.725 Section Meanline: NACA a=0.8
Section Thickness Distribution: NACA 66
Pitch Rake Skew r/R P/D Rake/D Degree C/D Camber/Ci Thickness/D
0.2 1.566 0. 0. 0.174 0.0402 0.0434
0.25 1.539 0. 4.647 0.202 0.0408 0.0396
0.3 1.512 0. 9.293 0.229 0.0407 0.0358
0.4 1.459 0. 18.816 0.275 0.0385 0.0294
0.5 1.386 0. 27.991 0.312 0.0342 0.0240
0.6 1.296 0. 36.770 0.337 0.0281 0.0191
0.7 1.198 0. 45.453 0.347 0.0230 0.0146
0.8 1.096 0. 54.245 0.334 0.0189 0.0105
0.9 0.996 0. 63.102 0.280 0.0159 0.0067
0.95 0.945 0. 67.531 0.210 0.0168 0.0048
1.0 0.895 0. 72.000 0.000 0.0000 0.0029
表2-2碳纖維 (graphite-epoxy)疊層之材料特性 Young’s modulus
(longitudinal) E1 = 1.12 × 1011 Pa Young’s modulus
(transverse) E2 = 1.05 × 1010 Pa Shear modulus G12 = 8.4 × 109 Pa
Poisson’s ratio 0.32
Ply thickness t = 1.55 × 10-4 m
第三章 複合材料結構最佳化方法之改良
( )
係數為1.5E8 Pa。上下面材疊層為對稱，各12層Kevlar/Epoxy，材料係數列於表3-1。纖維 方向有四個選擇，(1)-45度 (2)0度 (3)45度以及(4)90度。板的左端是固定邊界，右端為自由 邊界，受3方向外力而產生變形。接下來我們將探討自由端變形(y)與疊層角度間的關係。
圖3-2所繪的是三明治板的變形與角度關係，面材內部11層角度固定，只變化最外面一 個疊層。五條曲線分別是以下五種疊層：1. [θ/-45/-45/90/0/0/0/0/0/-45/45/45]、2. [θ/0/-45/-45/45/
-45/-45/90/0/0/45/90]、3. [θ/45/-45/45/-45/90/45/-45/0/-45/45/0]、4. [θ/90/0/-45/90/45/-45/90/90 -45/-45/90]以及 5. [θ/45/45/45/-45/45/90/-45/-45/-45/-45/90]的結果，這五條曲線顯示最外層疊 層角度的變化對結構變形量的影響有相似的趨勢。由於曲線平滑而且具有相似的趨勢，若以 回歸分析來模擬這個曲線應該會有不錯的結果。
進行回歸分析時，先以有限元素法計算三明治板自由端的變形量，在此隨機計算1000種 疊層作為取樣點，用以建立回歸模型。另外隨機計算3000種疊層做為測試點，用以測試回歸 模型的推廣能力。回歸分析使用的取樣點與測試點分布如圖 3-3 所示，上圖是取樣點分布，
進行回歸分析時，先以有限元素法計算三明治板自由端的變形量，在此隨機計算1000種 疊層作為取樣點，用以建立回歸模型。另外隨機計算3000種疊層做為測試點，用以測試回歸 模型的推廣能力。回歸分析使用的取樣點與測試點分布如圖 3-3 所示，上圖是取樣點分布，