結論與未來展望

合[9]，並且這樣的結合有效加快滑動模式控制之收斂速度以及減小跳切現象。

同時也發現指數律的特性與可變步長適應控制中的增益值特性相同，於是在 本研究中更進一步的將指數律與可變步長適應滑動模式控制作結合。

1.5 論文架構

本論文一共分為六個章節，內容分別如下。

第一章：緒論

了解機械手臂控制中前人之研究，以及說明研究目的。

第二章：機器人學理論基礎

介紹機器人學中運動學及動力學，並推導本研究使用的機械手臂模型。

第三章：控制器理論設計

介紹本研究所設計之控制器基本理論。

第四章：控制器設計

說明本研究之控制器設計方式及過程推導。

第五章：實驗結果與討論

藉由實驗驗證此控制器應用於機械手臂上之效能。

第六章：結論與未來展望

針對本研究內容進行總結，並針對不足之處提出未來目標。

9

第二章 機器人學理論基礎

2.1 機械手臂運動學

本研究所使用之機器手臂為 Selective Compliance Assembly Robot Arm (SCARA)型機械手臂，包含兩個轉動關節、一個移動關節與末端夾爪，圖 2-1 為其模型示意圖。SCARA 機器手臂的特點是第三軸移動軸只影響機械手 臂末端高度，而一、二軸共同影響著末端的水平位置，由於垂直位置和水平 位置彼此獨立不會互相影響，所以在分析和操作上來的相對容易。

圖 2-1 SCARA 機械手臂示意圖

2.1.1 Denavit–Hartenberg 參數

在機器手臂的控制中，為了了解各個馬達的角度與機器手臂末端位置之 間的關係，我們會用到兩種方法。分別是將各軸馬達的角度換算成末端位置 的正向運動學(forward kinematic )；以及將末端位置換算成各軸角度的逆向 運動學(inverse kinematic)。在計算正逆向運動學之前，我們必須先了解每個 連桿的幾何性質，最常見的方式即是使用 Denavit-Hartenberg(D-H)參數描述 每個連桿的幾何參數。

在定義 D-H 參數之前我們要先定義好每個連桿的座標系，在習慣上我 們會將基座定為座標系 0，每個關節的旋轉軸或移動軸定為 z 軸，x _i軸與 z _i-1

10

軸垂直，x _i軸與 z _i-1軸相交，手臂末端與前一軸座標系相同。決定完座標系 後，我們可以描述連桿的幾何性質。以第 i 個連桿為例，其中共有四個幾何 參數需要定義：a_i表示沿 x _i-1方向上 z _i-1到 z _i的距離；α_i表示繞 x _i-1方向上 z

i-1到 z _i的角度；d_i表示沿 z _i方向上 x _i-1到 x _i的距離；θ_i表示繞 z _i方向上 x _i-1 到 x _i的角度，如圖 2-2。

圖 2-2 第 i 個連桿的 D-H 參數示意圖

接下來依照上述方式對 SCARA 機戒手臂進行座標定義，座標系 0 定在基座 上，座標系 1 定在第 2 軸的軸心上，座標系 2 定在第 3 軸的質心上，座標系 3 定在機械手臂末端，如圖 2-3。並建立 D-H 參數表方便後續推導正向運動 學，表 2-1。

圖 2-3 SCARA 機戒手臂幾何參數定義 θ₂

z₁ y₁

x₁

y₀ x₀

Δd3

θ1

z₀

d₁

a₁ a₂ y₂

z₂

x₂

z₃ y₃

x₃ d₃

11 標系的平移和旋轉矩陣得出每個軸之間的轉換矩陣(transformation matrix)。

依照當下的座標系對 z i軸旋轉 θi角，移動 di距離，再對 x i軸移動 ai距離，

12

13

23 

0

r

31

0

r

32 

0

r

33

1

r

12 2 1

1c a c

a d_x  

12 2 1

1s a s

a d_y  

3 3

1 d d

d

d_z   

2.1.3 逆向運動學

在操作機械手臂時，我們會先決定機械手臂末端的位置，再計算每個馬 達該轉到的角度並進行控制，此計算過程即為逆向運動學。通常求解方式分 為代數法、幾何法、數值法等。代數法在求解過程中相當複雜，但是不會用 到幾何空間概念；而幾何法的困難程度會受到機構複雜度影響，通常會將代 數法和幾何法一起使用；數值法則是使用數值方法迭代求解，優點是不用通 過複雜的線性代數計算，缺點是求解過程需要花費較多的時間。

由於 SCARA 機械手臂的結構容易分析，所以本研究使用幾何法求解。

首先機械手臂末端之 z 軸座標只與第三軸馬達移動量相關，所以可視為二軸 平面手臂，圖 2-4。在已知機械手臂末端座標 E(x_e, y_e, z_e)情況下計算出 θ₁與 θ₂。

14

圖 2-4 二軸平面手臂示意圖

在計算逆向運動時會遇到兩個困難點：一是對於同一個機械手臂末端座 標點求得的解可能是多組解如圖 2-5，通常會以加入限制條件的方式求得唯 一解；第二個困難點是解的型式，我們需要特別留意分數型式的項次並且確 保不會有分母為零的情況發生，解決方式則是盡量以桿長作為分母的函數或 是對機械手臂的工作空間做限制避開奇異點。

圖 2-5 逆向運動學多組解示意圖

接下來我們根據圖 2-6 開始推導逆向運動學，為了得到唯一解我們對 θ₂ 加入大於零的限制條件。

15

16 程式來描述系統的動態方程式。Lagrange 方程式是一種基於能量守恆的觀點 所推導出來的用以描述物體運動行為的方程式。

其中 L 是拉格朗日函數(Lagrangian)定義為動能減掉位能。q 為廣義座標中位 置向量，以本研究而言 q 為三個關節的旋轉及移動量q[1 2 d ]3 ^T。

17 座標系 0 表示。將上述(2-12)、(2-15)、(2-16)、(2-17)代入(2-13)中就得到了

18

19

20

21

第三章 控制器理論

3.1 Lyapunov 穩定度理論

在非線性控制中，我們很難用古典控制的分析方式來判斷一個系統的穩 定與否，這時 Lyapunov 穩定度的分析方式是一個不錯的選擇。

以一個非線性系統為例

) , ( x t f

x  

(3-1)

而我們希望此系統的狀態可以在平衡點附近保持其穩定性，因此根據其狀態 選擇一正定的 Lyapunov 函數(3-2)，且只有在平衡點時 V (t, x) = 0。

0 ) , ( t x 

V

(3-2)

接著將(3-2)對時間作一次微分得到 (t, x)，再對 (t, x)可能的情況進行探討。

如果 (t, x) > 0 則系統發散；如果 (t, x) ≤ 0 則系統狀態為有界，但不保證 會漸進穩定；如果 (t, x) < 0 則確保系統狀態收斂至平衡點。

我們在進行系統的穩定度分析時可能只能確保 (t, x) ≤ 0，很難證明到 (t, x) < 0。在這種情況下要判斷系統究竟是不是漸進穩定就需要 Barbalat 引理來做更進一步的分析。

Barbalat 引理：如果有一函數 g(t)，其積分在 t→∞時是有界的(3-3)









 t

t g d

0 ( )

lim   (3-3)

且 g(t)為單調遞減函數，則當 t→∞時 g(t) →0(3-4)。

0 ) (

lim 



 g t

t (3-4)

若是不易直接證明 g (t)為非遞增函數，可從

g (t )

存在且有界來得到 g(t)為單 調遞減函數的結果。

但是到目前為止並沒有一個通用的方式來協助我們找到一個一定符合 穩定條件的 Lyapunov 函數 V(t, x)，而找不到適當的 Lyapunov 函數也不代表

22

系統就是不穩定的。

3.2 滑動模式控制

滑動模式控制(sliding mode control)的主要想法是將系統狀態拉至滑動 面(sliding surface)上，而在滑動面上的狀態會自動收斂至平衡點，如圖 3-1 所示。滑動模式控制的最大優點就是擁有良好的強健性，可以抑制干擾對系 統的影響；而缺點則是當系統狀態收斂至滑動面上後，滑動模式的控制量會 有明顯的跳切現象(chattering)。

圖 3-1 系統狀態隨時間收斂至滑動面再到平衡點

以一個二階線性系統為例，其動態方程式如下：

bu ax x 

 (3-5)

為了使系統狀態收斂至平衡點，也就是 x 與 最後會收斂到 0，因此定義滑 動函數(sliding function)為：

x x

s  (3-6)

其中為正實數。當 s = 0 時我們可以解出 x = e^-t，所以當 t→∞時，x→0，

並且收斂速度受到影響。

我們可以根據系統模型(3-5)及滑動函數(3-6)設計出控制律，

sw

eq u

u

u  (3-7)

其中，

x(∞)

x(0)

23

接下來使用 Lyapunov 穩定度分析，首先選擇 Lyapunov 函數為(3-8)式，

再將(3-8)式對時間作一次微分得到(3-9)

24 有相當多文獻對滑動模式控制加以改良，而本節要引入指數律(exponential law)於滑動模式控制中[9][15]，並說明加入指數律後如何改善收斂速度及減

將(3-10)積分可以得到滑動函數從初始狀態收斂到滑動面上的上升時間(rise time) t_r。由(3-11)可以看出滑動函數的收斂速度除了跟初始狀態相關外，還

將指數律(3-12)加入到(3-10)可以得到(3-13)

sp

e s

E( ) (1) ^ ，0 1^，R^， pN^ (3-12)

25

適應控制(adaptive control)是屬於非線性控制的一種。最早在 1950 年代 被提出，其概念是控制器能根據外界環境變化，再經由回授調整控制器特性 的一種適應環境的控制器。適應控制至今已經發展得相當成熟，也有相當多 的文獻提出新的適應控制架構，而在適應控制中可分為兩大類：一是自我調 變控制器(self-tuning controller)，圖 3-3；另一種是參考模型控制器(model reference control)，圖 3-4。

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圖 3-3 自我調變控制器示意圖

圖 3-4 參考模型控制器示意圖

若是控制器中會使用到系統中的未知參數時，我們需要設計一個估測器 來估測系統中的未知參數，並把估測結果供給控制器使用，這樣的控制架構 稱為自我調變控制器。自我調變控制器可以容易得結合不同的控制器與估測 器，使用上較為彈性。而缺點則是無法保證估測到的參數的正確性，以及在 適應的過程中通常系統的暫態響應也會較差。而參考模型控制器運作方式則 是先設計一個參考的閉迴路模型，其輸出表示受控系統期望的響應，與真實 響應比較後得到誤差再藉由適應律調整控制器使得受控系統輸出動態符合 期望。

系統 適應律

控制器 u

y_m

＋ e

－

參考模型

r y

＋

－ 系統

估測器

控制器 u y

r ＋ e

－

27 矩陣(skew-symmetric)，並且對任一向量 x(4-2)皆成立。

 ^{M ( q )}

^

^{2 C ( q , q )}  ^x

^

⁰

28

29

切換函數 s_i收斂至滑動面上的同時，u_sw,i的大小也會從 K_i /δ_i以指數函數收斂 至 K_i；換句話說，在一開始誤差大時控制器會有較大的增益，使得暫態響應 速度加快；並且在系統收斂至滑動面時減小增益使得跳切現象不會過於激 烈，同時又可以符合原先控制器的設計參數讓系統保持穩定。

關於指數律參數之選擇，首先我們判斷系統滑動函數的範圍，接著繪出 s_i－u_sw,i 特性曲線圖。從圖中可以看出 u_sw,i有著上下邊界分別為 K_i/δ_i和 K_i； 調整α_i可以決定 U 型曲線的寬度，調整 p_i可以使得 U 型曲線的底部尖銳或 平坦，如圖 4-1、圖 4-2。

而本篇論文對於指數律的參數選擇過程則是先設計 δ_i決定 u_sw,i 的最大 值。接著判斷出系統在沒有指數律時 s_i的範圍，再調整 α_i和 p_i使得 U 型曲 線的範圍有效的包含著 s_i的範圍，這樣才能確保指數律有完整的發揮效用；

同時使 U 型曲線在 s_i接近 0 時是平滑的，這是為了避免當 s_i已經收斂到接近 0 時控制量 u_sw,i卻有很大跳動。

圖 4-1 p=1 時，不同 α 的 s_i－u_sw,i特性曲線圖 K_i/_i

K_i

|u_sw,i|

s_i

30

圖 4-2 α=1 時，不同 p 的 s_i－u_sw,i特性曲線圖

4.2 可變步長適應滑模控制結合指數律

在適應律中的步長(step-size)通常會設為常數，步長的大小會影響估測參 數的收斂速度。而在文獻中也有將此步長設為變數的研究[12][13][14]。在這 些研究中會將此步長設計為誤差的函數，並且有著當誤差大時步長隨之變大 以便加快收斂速度；以及誤差小時步長隨之變小，以保持內部穩定。因為雖 然誤差收斂至一個很小的值，可時同時又乘上了很大的步長並且積分。這會

在適應律中的步長(step-size)通常會設為常數，步長的大小會影響估測參 數的收斂速度。而在文獻中也有將此步長設為變數的研究[12][13][14]。在這 些研究中會將此步長設計為誤差的函數，並且有著當誤差大時步長隨之變大 以便加快收斂速度；以及誤差小時步長隨之變小，以保持內部穩定。因為雖 然誤差收斂至一個很小的值，可時同時又乘上了很大的步長並且積分。這會

在文檔中 應用可變步長適應滑模結合指數律演算法於機械手臂追跡之控制器設計 (頁 18-66)