結論與未來展望

第四章：控制器設計

說明本研究之控制器設計方式及推導過程。

第五章：模擬與實驗結果

介紹實驗設備-四輪 6 軸機器手臂車。藉由模擬與實驗驗證此控制器應 用於協同搬運上之效能。

第六章：結論與未來展望

根據整體研究效果及實驗的目標達成程度進行結論，並說明未來目標。

10

第二章 機器人學理論基礎

本章節主要推導本研究使用的四輪 6 軸機器手臂車模型，在本研究中 所使用之四輪 6 軸機器手臂車是由五個部組成，分別為機器手臂、與分別安 裝於兩側前方之主動驅動輪(有一自由度可控制輪子的轉速)、以及兩側後方 之自由輪。主動驅動輪直接安裝於兩組獨立之 AI 馬達且具有共同之軸心，

藉由對其之驅動來控制機器人進行相關運動；自由輪則是用於平衡用，而不 以動力驅動。

圖 2-1 四輪 6 軸機器手臂車

2.1 輪型機器人之結構分析並推導運動模型

本章節之目的在於獲得機器人之運動方程式，圖 2-2 為四輪車示意圖。

主動驅動輪

11

圖 2-2 四輪車示意圖

首先定義，

O

_m為手臂基座，與主動驅動輪共同之軸心距

d

_m，

O

_m也是四輪車 的參考點，



_m座標系為固定於

O

_m且其

X

_m軸沿四輪車中心線，

2 h

_m為兩輪之 間的距離，



_1m

, 

_2m為兩車輪的轉速(角速度)，

r

_m為車輪之半徑，其中下標與 上標的 m: 可為 f 或 l 分別代表跟隨者機器人與領導者機器人。此外因本研 究考慮四輪車運動於平坦之二維平面，因此相對於地面之高度不應有所變化，

只考慮 XY 二維平面。

下一步將推導車輪的轉速與車(

O

_m)相對於



_m座標系的

X

_m軸方向速度

om

m

x

^、

Y

_m軸方向速度^m

y

_om之間的關係(translational velocities of the

O

_m represented by



_m:^m

x

_om^，m

y

_om)(body-fixed linear velocities)。

2hm

X

m

Y

m

d

m

v

1

=r

m

ω

1m

O

m 中心線

v

2

=r

m

ω

2m

軸心

ω

12

13

14

2.2 跟隨者機器人與領導者機器人之間的關係

下一步要在貫性座標系中探討跟隨者機器人與領導者機器人之間的關係，圖 2-4 為跟隨者機器人與領導者機器人之間的關係示意圖。

圖 2-4 跟隨者機器人與領導者機器人之間的關係示意圖

首先定義，

p

_f

 [ x

_f

, y

_f

, 

_f

]

^T為跟隨者機器人的姿態，其中

( x

_f

, y

_f

)

^為隨者機

器人的位置，



_f 為速度方向(

X

_f )和正 X 軸(

X

)的夾角，

p

_l

 [ x

_l

, y

_l

, 

_l

]

^T為 領導者機器人的姿態，其中

( x

_l

, y

_l

)

為領導者機器人的位置，



_l為速度方向

(

X

_l)和正 X 軸(

X

)的夾角。而跟隨者機器人與領導者機器人的手臂基座連 線(

O

_f

O

_l )和 X 軸的夾角為



_fl，且

O

_f

O

_l

 d

_fl (即兩機器人手臂基座之間的的 距離)，



_f^為

X

_f 和

O

_f

O

_l 的夾角，



_fl為

X

_l和

O

_f

O

_l的夾角(即兩機器人之間的 相對方位角 relative bearing angle)。

再定義一狀態向量(或稱 formation specification vector)

S  [ d

_fl

, 

_fl

]

^T 。

X

Y

O

O

f

Xf

X

X

X_l

O

_l

15

16

17

18

19

在(2-16)式中，我們(跟隨者機器人)可透過配備於移動機器人上的機械手 臂得知領導者機器人和跟隨者機器人之間的距離

d

_fl^{與透過藍芽得知領導者} 機器人和跟隨者機器人之間的相對方位角



_fl^，且

C

^{為控制律，故狀態}

d

_fl^、 狀態



_fl^及

C

為已知。且由於本研究為了減少機器人之間的資訊傳輸，只透

過藍芽傳相對方位角



_fl給跟隨者機器人，即跟隨者機器人無法知道領導者 機器人的速度資訊，所以 L 為未知。所以本研究加入適應律估測領導者的 狀態。並且通過 Lyapunov 理論及 Barbalat 引理設計跟隨者的控制器與證明 系統穩定性。在下一章，介紹控制器理論，包含 Lyapunov 理論及 Barbalat 引理與適應性控制。

20

第三章 控制器理論

3.1 Lyapunov 穩定度理論

在非線性控制中，我們可以使用 Lyapunov 穩定度的分析方式來判斷一 個系統在平衡點的穩定與否。

以一個非線性系統為例

)

, ( x t f

x  

(3-1)

而我們希望此系統的狀態可以在平衡點附近保持其穩定性，因此根據其狀態 選擇一正定的 Lyapunov 函數(3-2)，且只有在平衡點時

V (t, x) = 0

。

0 ) , ( t x 

V

(3-2)

接著將(3-2)對時間作一次微分得到

V ( x t , )

^，再對

V ( x t , )

^{可能的情況進行探討。}

如果

V ( t , x )  0

^{則系統狀態發散；如果}

V ( t , x )  0

則系統狀態為有界，但不保 證會漸進穩定；如果

V ( t , x )  0

則確保系統狀態收斂至平衡點。

我們在進行系統的穩定度分析時通常可能只能確保

V ( t , x )  0

^，很難證 明到

V ( t , x )  0

。在這種情況下要判斷系統究竟是不是漸進穩定就需要 Barbalat 引理來做更進一步的分析。

3.2 Barbalat 引理

Barbalat 引理(形式一)：如果有一函數

g(t)

^{，其積分在}

t→∞

^{時是有界的，即} 式(3-3)



 



 t

t

g d

0

( )

lim  

(3-3)

且 g(t)為單調遞減函數，則當

t→∞

時

g(t) →0，

即式(3-4)。

21

0 ) (

lim 





g t

t (3-4)

若是不易直接證明

g (t)

^{為非遞增函數，可從}

g (t )

^{存在且有界來得到}

g(t)

^為單 調遞減函數的結果。

Barbalat 引理(形式二)：如果有一函數

h ( t )  L

₂即為平方可積函數

，

即式(3-5)



 



 t

t

h d

0

)

2

(

lim  

(3-5)

且

h (t )

^及

h )  ( t  L

_{即為有界函數，則當}

t→∞

^時

h(t) →0，

即式(3-6)。

0 ) (

lim 





h t

t (3-6)

3.3 適應性控制

適應控制(adaptive control)是屬於非線性控制的一種。最早在 1950 年代 被提出，其概念是控制器能根據外界環境變化，再經由回授調整控制器特性 的一種適應環境的控制器。適應控制至今已經發展得相當成熟，也有相當多 的文獻提出新的適應控制架構，而在適應控制中可分為兩大類：一是自我調 變適應控制器(self-tuning adaptive controller)，圖 3-1；另一種是參考模型適 應控制器(model reference adaptive control)，圖 3-2。

圖 3-1 自我調變控制器示意圖 系統 估測器

控制器

u r

y

22

圖 3-2 參考模型控制器示意圖

若是控制器中會使用到系統中的未知參數時，我們需要設計一個估測器 來估測系統中的未知參數，並把估測結果供給控制器使用，這樣的控制架構 稱為自我調變控制器。自我調變控制器可以容易得結合不同的控制器與估測 器，使用上較為彈性。而缺點則是無法保證估測到的參數的正確性，以及在 適應的過程中通常系統的暫態響應也會較差。而參考模型控制器運作方式則 是先設計一個參考的閉迴路模型，其輸出表示受控系統期望的響應，與真實 響應比較後得到誤差再藉由適應律調整控制器使得受控系統輸出動態符合 期望，優點則是不管估測到的參數的正確性，保證系統的穩定性及誤差的收 斂。

系統 適應律

控制器

u

y

_m 參考模型

r

y

＋

－

e

23

考慮在第二章所推導出的編隊控制 formation specification vector 動態方 程式，並考慮系統的不確定量(模型的不確定項、parameter drift phenomenon、

與外界干擾)，可將(2-16)重新整理如下所示：

首先定義正定函數(positive definite function)

V

、估測誤差

L ~

與誤差

e

為

24

由(4-11)式，我們可以選擇適應律為(4-12)式:

Ge

L ˆ  

_(4-12)

再將適應律代回(4-11)式整理後可得(4-13)式:

d

25

26

e  d

^max，這即為“parameter drift” phenomenon，說明了適應律(4-12)式不夠 強健(is not robust to bounded disturbances(

d

))。

為了確保沒有發散信號，我們使用 sigma-modification scheme 來修正適應律 (4-12)式為:

ˆ ) ˆ G ( e k L L    

_L

(4-14) 再將適應律(4-14)式代回(4-11)式整理後與可得(4-15)式:

27

~ )

(

^{2 2}



  





F

L e

V

(4-17)

並且定義一集合

~ }

: ˆ ) , {(

:

^{2 2}



 





m

e L e L

F ，若狀態在此集合外即



 



²

2

~

F

L

e

，則 ~ ) ] 0

[( ²



²

 



 

 

L

F

e

V

，狀態會進入此



_m集合且永

遠在



_m^{內，進入此}



_m^{集合後雖然}

V  0

^，集合



_mis compact in the

~ ) , ( L e

space，保證了

L ~

，

e

^{是有界的不會發散。}

4.2 協同搬運控制流程

在設計完跟隨者機器人的控制器與穩定度分析完之後，我們說明移動機 器人協同搬運是如何運作的，圖 4-1 為控制流程圖。

圖 4-1 控制流程圖

首先我們(跟隨者機器人)能透過手臂長度及物體長度算得兩機器人間的 距離

d

_fl與透過藍芽得知兩機器人間的相對方位角



_fl，此距離與相對方位角

28

的初始值即為 ^T

flin fl

in

d

_in

S  [ ,  ]

，接著給領導者機器人一路徑(此路徑可以是事 先規劃的或是 on line 規劃的(若有感測器)，在此研究是採取事先規劃的方式)，

領導者機器人一沿著路徑行走後，

d

_fl^與



_fl就會改變，於是就有誤差

S S

e 

_in



，式(4-3) ，之後便可透過式(4-12)或式(4-14)得到適應律

L ˆ

_及透過 式(4-9)得到控制律

C

，最後將控制律

C

透過式(2-15)與式(2-7)轉換成車輪轉 速



_1f

, 

_2f 來控制跟隨者機器人來跟隨領導者機器人，進而達到協同搬運。

接下來說明

d

_fl如何取得，圖 4-2 為協調搬運系統。

圖 4-2 協調搬運系統

圖 4-2 中 A，B 兩點( ) 分別為 A 馬達與 B 馬達的轉軸軸心，C 點( ) 為手臂末端點，



_A，



_B分別為 A 馬達與 B 馬達所轉的角度，可由馬達的編

物體

A B

C B

A C

29

碼器取得，A 馬達的 0 度配置在水平方向，B 馬達的 0 度配置在垂直 AB 桿，

A 點亦是手臂基座

O

_m。所以我們可以用幾何關係求得手臂基座(A 點，

O

_m) 到手臂末端(C 點)的水平距離

AC

//

( t )

為

) 90 ) ( ) ( cos(

)) ( cos(

) (

//









 AB t BC t t

t

AC 

_A



_A



_B ^(4-18)

其中

AB

及

BC

分別為 AB 桿長及 BC 桿長，

t

為時間。

由於本研究僅考慮水平方向的運動又因為機構上的限制，



_A，



_B有如下限 制，

0

^

 

_A

 120

^，

 30  

_B

 90

，



_A

 

_B

 90

^。另外為了在搬運過程中 維持兩機器人的手臂末端點在同一水平高度利用藍芽傳遞



_B使得兩機器人 的



_B是一樣的。所以兩機器人的手臂基座(A 點，

O

_m)到手臂末端(C 點)的水 平距離也是一樣的。

所以我們可以得到兩機器人手臂基座間的距離

d

_fl

(t ) )

( 2 )

( t AC

//

t

d

_fl



+物體長度 (4-19)

可以得到兩機器人手臂基座間的距離的初始值

d

_fl

d

_fl

( 0 )

in



) 0 ( 2 ) 0

( AC

//

d d

_{fl fl}

in

 

+物體長度

 2 BC

+物體長度 (4-20) 以上物體長度，AB 桿長及 BC 桿長為已知。

30

接下以一簡單例子(直線搬運)說明在搬運過程中，手臂及車子速度的變化關 係，如圖4-3。圖中綠色線段代表圖4-2的 AB 桿，紅色線段代表圖4-2的 BC 桿，黑色線段代表馬達0度基準，黃色線段代表物體長度，粉紅色線段代表 兩機器人手臂基座間的距離

d

_fl，藍色箭頭代表 A 馬達所轉的角度



_A，紫色 箭頭代表 B 馬達所轉的角度



_B。

如圖4-3(a) 代表搬運前



_A

 90

^0，



_B

 0

^，跟隨領導者機器人與領導者機器 人速度為 0。

圖4-3(b) 代表跟領導者機器人開始往右前進，



_A變小



_B變大，

90







_B

A





^，

d

_fl變長，所以跟隨領導者機器人速度頇變快以保持粉紅色線

段不變。跟隨領導者機器人速度變快後如圖4-3(c)，



_A逐漸變大，



_B逐漸變 小，

d

_fl逐漸變短。但若跟隨領導者機器人速度變得太快就會如圖4-3(d)所示



A超過

90

^，



_B是負的，

d

_fl變超短，此時跟隨領導者機器人速度就要變慢。

當

d

_fl，



_A，



_B維持不變時即回到圖4-3(a)，但跟隨領導者機器人與領導者機 器人以一樣的速度直線搬運著物體。

31

(a)

(b)

(c)

物體

A

B C

A B C

領導者機器人 跟隨者機器人

人

物體

A

B C

A C B

領導者機器人 跟隨者機器人

人

A

A B

C

A C

領導者機器人 跟隨者機器人

人

A 逐漸變短

物體

A

32

(d)

圖 4-3 搬運過程說明圖 物體

A B

C

A C B

跟隨者機器人

人 領導者機器人

33

第五章 模擬與實驗結果

在此小節中，首先介紹實驗設備與相關參數後，再將第四章中所設計的控 制器進行模擬與實際應用於移動機器人之協同搬運上。由於搬運的路徑不外 乎是直線前進或轉彎，轉彎路徑可由圓弧組成，所以我們透過給予三種不同 路徑(分別為直線、圓以及八字型路徑(eight-shape path))於領導者機器人，來 確認其效能。

5.1 實驗設備

本研究使用由三緯國際 XYZprintingd 公司所出產之產品四輪 6 軸機器 手臂車作為移動機器人協同搬運之實現平台，如圖 5-1 所示，其手臂關節及 車輪主動驅動輪由 AI 智慧型伺服馬達(A1-16 馬達)構成，其機器人控制板 為 此 公 司 以 Arduino AtMega1280 為 基 底 所 開 發 出 來 的 MCU 主 控 板 Y-01(RC2200)，包含著可控制 A1-16 馬達的連接埠外，還有各式感測器之 連接埠，如圖 5-2 所示。

圖 5-1 四輪 6 軸機器手臂車之外觀

34

圖 5-2 控制板

A1-16 智慧型伺服馬達(圖 5-3(a))由減速齒輪、DC 馬達及嵌入式控制板 所組成，其規格如下，操作電壓 12V，最大轉矩為 25 Kg-cm，無負載轉速為 70+/-10 rpm，重量為 60 +/- 2 g，尺寸為 50 x 32 x 40 mm。

以下為 AI 馬達優點：

1. 回饋角度，速度及各項資訊給控制器或電腦。

2. 整合簡單，只要控制板有串列傳輸埠，便可控制 AI 伺服馬達。

2. 整合簡單，只要控制板有串列傳輸埠，便可控制 AI 伺服馬達。

在文檔中 結合領導者-跟隨者型編隊控制與適應率於移動機器人協同搬運之實現 (頁 17-59)