結論與展望

本研究將採用文獻[14]的三維梁元素，此梁元素以共旋轉全拉格蘭日 (Corotational Total Lagrangian Formulation)有限元素法推導梁元素，以梁之 正 確 的 變 形 機 制 (Kinematics) 及 完 整 非 線 性 梁 理 論 之 二 階 一 致 線 性 化 (Consistent second order linearzaton)推導，並去掉元素節點內力及剛度矩陣 中含梁元素之長度、剪心軸側向位移的一次微分、及扭轉角之項，以增加 收斂速率，使用基於牛頓－拉福森(Newton-Raphson)法配合弧長控制法(Arc length control)的增量迭代法求解非線性平衡方程式。

採用工程應變及工程應力[17]與使用 Green strain 及 Second Piolla Kirchhoff stress [11, 14]推導出的梁之軸向力的二次項有些差異，在 4.2 節固 端梁受自重與端點扭角的問題中，軸向扭矩所得結果的差異極小，但對軸 向力採用 Green strain 所推導之軸向力則會明顯的大於 Engineering strain 所 推導之軸向力，(2.7.13)式中 Engineering strain 與 Green strain 所推導出的 之差異與扭轉率

f

a x

,



1 的二次方有關，因此當相同長度的細長梁扭轉角度越大 時，其軸向力的差異也就越大。

從 4.2 節可看出在先扭轉後壓縮的問題中文獻[2]的理論結果與本研究

不考慮自重的

-

的曲線在開始壓縮時皆有一明顯的轉折處，在考

慮自重與結構的初始不完美後，可以得到相似於文獻

[2]

實驗結果的平滑曲 線，而當軸向位移增加後考慮自重、不考慮自重及考慮結構的初始不完美 的曲線皆會漸漸相合。本研究推測在文獻

[2]

中沒有考慮摩擦力是造成實驗

L

T

 / P / P

_cr

結果的

-

曲線皆會低於理論結果的原因，因此考慮摩擦力將軸向 力平移一固定值，在細長梁端點轉角

L

T

 / P / P

_cr





5 的時候，本研究考慮自重與摩擦 力後，/

L

_T -

P

/

P

_cr曲線可以幾乎與文獻[2]實驗結果重合，但當



越小其 - 曲線之線型與文獻[2]之實驗結果差異越大，即使考慮自重、

梁結構之初始不完美(initial imperfection)、摩擦力以及實驗邊界條件與理論 不一至等因素，依然無法得到相同之

L

T

/

P

/

P

_cr

L

T

/ -

P

/

P

_cr曲線。

本研究僅考慮細長梁之斷面有相同主撓曲剛度(即 ，其中

、 為斷面主軸的面積慣性矩)，很少有文獻在探討斷面 的細長梁 之挫屈負荷及挫屈後行為，未來的研究可對有不同主撓曲剛度之細長梁做 進一步的探討。

I I

_y  _z 

z

y

I

I



I

I

y

I

_z

參 考 文 獻

[1] G. H. M. van der Heijden, S. Neukirch, V. G. A. Goss, J. M. T. Thompson,

“Instability and self-contact phenomena in the writhing of clamped rods”, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 45, pp. 161-196, 2003.

[2] V. G. A. Goss, G. H. M. van der Heijden, J. M. T. Thompson, S. Neukirch,

“Experiments on snap buckling, hysteresis and loop formation in twisted rods”, Experimental Mechanics, Vol. 45, No. 2, pp. 101-111, 2005.

[3] S. Goyal, N. C. Perkins, C. L. Lee, “Nonlinear dynamics and loop formation in Kirchhoff rods with implications to the mechanics of DNA and cables”, Journal of Computational Physics, Vol. 209, pp. 371-389, 2005.

[4] D. M. Stump, “The hockling of cables: a problem in shearable and extensible rods”, International Journal of Solids and Structures , Vol. 37, pp. 515-533 , 2000.

[5] J. Coyne, “Analysis of the formation and elimination of loops in twisted cable”, IEEE Journal of Ocean Engineering , Vol. 15, pp. 72-83, 1990.

[6] S. Goyal, N. C. Perkins, C. L. Lee, “Non-linear dynamic intertwining of rods with self-contact”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 43, pp. 65-73, 2008

[7] N. S. Ermolaeva, J. Regelink, M. P. M. Krutzen, “Hockling behaviour of single- and multiple-rope systems”, Engineering Failure Analysis, Vol. 15, pp. 142-153, 2008

[8] D. M. Stump, G. H. M van der Heijden, “Birdcaging and the collapse of rods and cables in fixed-grip compression”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 38, pp. 4265-4278, 2001.

[9] Y. Miyazaki, K. Kondo, “Analytical solution of spatial elastica and its application to kinking problem”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 34, pp.

3619-3636, 1997.

[10] Z. Tan, J. A. Witz, “On the deflected configuration of a slender elastic rod subject to parallel terminal forces and moments”, Mathematical and Physical Sciences , Vol. 449, No. 1936, pp. 337–349, 1995.

[11] W. Y. Lin, K. M. Hsiao, “A Buckling and Postbuckling Analysis of Rods Under End Torque and Compressive Load” , Computer Modeling in Engineering &

Sciences , Vol. 4, No. 2, pp. 259-271, 2003.

[12] K. M. Hsiao, W. Y. Lin, “A co-rotational fnite element formulation for buckling and postbuckling analyses of spatial beams”, Comput.Methods Appl.Mech.Engrg, Vol. 188, pp. 567-594, 2000.

[13] Y. Goto, X. S. Li, T. Kasual, “Buckling analysisof elastic space rods under torsional moment”, J. Engng. Mech. ASCE, Vol. 122, pp. 826-833, 1996.

[14] 詹弼修, “三維梁元素非線性分析之改進研究＂, 國立交通大學機械工程研

究所碩士論文, 臺灣, 新竹, 1997.

[15] 林文一, “薄壁開口梁之幾何非線性挫屈及挫屈後行為研究＂, 國立交通大 學機械工程研究所碩士論文, 臺灣, 新竹, 1999.

[16] 陳弘虎, “不對稱開口薄壁梁元素之一致性共旋轉推導法即其在挫屈分析的 應用＂, 國立交通大學機械工程研究所碩士論文, 臺灣, 新竹, 2002.

[17] 陳致中, “梁在軸力及彎矩作用下之挫曲研究＂, 國立交通大學機械工程研 究所碩士論文, 臺灣, 新竹, 2004.

[18] W. Y. Lin, K. M. Hsiao, “Co-rotational formulation for geometric nonlinear analysis of doubly symmetric thin-walled beams”, Comput.Methods Appl.Mech.Engrg, Vol. 190, pp. 6023-6052, 2001.

[19] K. M. Hsiao, H. H. Chen, W. Y. Lin, “Co-rotational finite element formulation for thin-walled beams with eneric open section”, Computer Methods in Applied Mechanics and Gingering, Vol. 195, pp. 2334-2370, 2006.

[20] M. A. Crisfield, “A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure That Handles Snap Through,” Computers and Structures, 13, pp. 55-62, 1981.

[21] 賴文斌, 三維梁非線性挫屈及挫屈後行為研究, 交通大學機械工程學系碩 士論文, 臺灣, 新竹, 1994.

[22] K. M. Hsiao, H. J. Horng , Y. R. Chen , “A Corotational Procedure That Handles Large Rotations of Spatial Beam Structures,” Computers and Structures, 27, No.6, pp. 769-781, 1987.

[23] 遊敬義, “雙對稱開口薄壁梁元素之一致性共旋轉推導法及其在挫屈分的應 用” , 國立交通大學機械工程研究所碩士論文, 臺灣, 新竹, 2001.

表一 圓形斷面常數

Section geometry of circle section

r

0.5

mm

) ( mm

²

A 0 . 78540

) ( mm

⁴

I

_y

0 . 04909

) ( mm

⁴

I

_z

0 . 04909

) ( mm

⁴

J 0 . 09817

) ( mm

⁶

I

_

0

) ( mm

⁶

yz

 ₀

) ( mm

⁶

K

_I

0 . 014317

4 r

4

I I

_{y z}







2 r

4

J 



24 7

⁶

4

I  r



表二 例題一之軸力與挫屈扭矩

P

cr

P / T /

_nb

T

_cr

-1 0.00070 -0.9 0.26312 -0.8 0.38230 -0.7 0.47999 -0.5 0.64776 -0.3 0.79661 0 1.00064 0.3 1.18990 0.5 1.31002 0.8 1.48274 1 1.59344 1.5 1.85598

2 2.09904

表三

方形斷面常數

Section geometry of square

section a



1 cm

表四 例題三固端梁受端點扭角的反力及中點側向為移(考慮自重)

Engineering strain Green strain

)

表五 例題三固端梁受端點扭角的反力及中點側向為移(不考慮自重)

Engineering strain Green strain

)

L

T

z

y x





圖一 細長梁的扭轉壓縮

X X

X

P Q y z

G 1 G

2

G 3

x x

S 2 S 3

x x

1 u

P v w

s

x x x x

x

x 3

P

2 1

S S

3 2

S 1

2 ( ,0 ,0)

P 

圖二 元素座標與元素截面座標

b a

b

圖三 旋轉向量圖

A B L T

X

₁G

 , P M

X

₂G

Cross section

X

₂S

X

₃S

r

圖四 細長梁 B 端承受一扭矩與軸向壓力

-1 0 1 2 0

1

2 Present

[1]

P/P _cr M nb /M cr

圖五 例題一細長梁之挫屈扭矩與軸力曲線圖

A B L T

X

₁G

 , M

X

₂G



Cross section

X

₂S

X

₃S

a

圖六 細長梁 B 端承受一扭矩

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8

1.0 Present

[5]

M/M cr

 /L _T

圖七 例題二細長梁受扭矩之

 / L

_T

- M / M

_cr之曲線圖

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0

1 2 3 4 5

  

 /L _T

圖八 例題二細長梁受扭矩之

 / L

_T

- 

(



)之曲線圖

0 1 2 3 4 5 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

M/M cr

 

圖九 例題二細長梁受扭矩之



(



)-

M

/

M

_cr之曲線圖

 ,

M P

A B

L T

X

₁G

X

₂G



Cross section

X

₂S

X

₃S

r

圖十 細長梁受端點轉角與位移

A B L T

X

₁G

 ,

M P

X

₂G

V

m

q

C

Cross section

X

₂S

X

₃S

r

0 1 2 3 4 5 6 0.0

0.5 1.0 1.5

Engineering strain Green strai n

M/M cr

 

圖十二 例題三不考慮自重下



-

M

/

M

_cr之關係圖(

L

_T



500)

0 1 2 3 4 5 6 0.0

0.5 1.0 1.5

Engineering strain Green st rain

M/M cr

 

圖十三 例題三考慮自重下



-

M

/

M

_cr之關係圖(

L

_T



500)

0 1 2 3 4 5 6 0

1 2 3 4 5

6 Engineering strain Green strain

P/P cr

 

圖十四 例題三

L

_T



500

mm

不考慮自重



(



)-

P

/

P

_cr之關係圖

-1 0 1 2 3 4 5 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

Engineering strain Green strain

P/P cr

 

500 300 400

) (mm L

_T

700 600

圖十五 例題三考慮自重



(



)-

P

/

P

_cr之關係圖

200 300 400 500 600 700 800 0

2 4 6

8 Engineering strain Green strain

P/P cr

L _T (mm)

0 1 5 2 3 4

) ( 



圖十六 例題三考慮自重下

L

_T 與

P

/

P

_cr之關係圖

200 400 600 800 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

3.0 Engineering strain Green strain

V m ( 10 -3 mm )

L _T (mm)

0 1 5 2 4 3

) ( 



圖十七 例題三考慮自重下

L

_T 與

V

_m之關係圖

A B L T

X

₁G

 ,

M P

X

₂G

V

m

q

C



Cross section

X

₂S

X

₃S

r

圖十八 細長梁考慮自重

B

端施加軸向轉角與軸向位移

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1.5

-1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9

Gravity Non-gravity Gravity - 0.0927 Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

圖十九 例題四之

P

/

P

_cr-



/

L

_T 曲線(



0)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4

Gravity

圖二十 例題四之

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(







)

No -gravity n Gravity - 0.2261 Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0

0.1 0.2

0.3 Gravity

Non-gravity

M/M cr

 L _T

圖二十一例題四之

M

/

M

_cr-/

L

_T 曲線(







)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1.0

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0

Gravity Non-gravity Gravity - 0.2296 Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

圖二十二 例題四之

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(



2



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.2

0.3 0.4 0.5 0.6

Gravity Non-gravity

M/M cr

 L _T

圖二十三 例題四之

M

/

M

_cr-/

L

_T 曲線(



2



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.6

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Gravity Non-gravity Gravity - 0.1454 Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

圖二十四 例題四之

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(



3



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.4

0.5 0.6 0.7 0.8

Gravity Non-gravity

M/M cr

 L _T

圖二十五 例題四之

M

/

M

_cr-/

L

_T 曲線(



3



)

0.0 0.2 0.4 -0.5

0.0 0.5 1.0 1.5

Gravity

圖二十六 例題四之

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(



4



)

No -gravity n

Gravity - 0.2687

Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

0.0 0.1 0.2 0.3 0 0.7

0.8 0.9 1.0

.4 gravity

Non-gravity Theoretical[2]

Exp.[2]

M/M cr

 L _T

圖二十七 例題四之

M

/

M

_cr-/

L

_T 曲線(



4



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

Gravity Non-gravity Gravity - 0.3715 Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

圖二十八 例題四之

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(



5



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.9

1.0 1.1 1.2

1.3 Gravity

Non-gravity Theoretical[2]

Exp.[2]

M/M cr

 L _T

圖二十九 例題四之

M

/

M

_cr-/

L

_T 曲線(



5



)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1.4

-1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8

Gravity

Initial improfection Theoretical[2]

Exp.[2]

P/P cr

 L _T

圖三十 例題四具初始不完美之非直梁

P

/

P

_cr-/

L

_T 曲線(



0)

X

₂G

Cross section

圖三十一 簡支梁兩端加彈簧限制側向轉角

A B

L T

X

₁G

P q



K K

X

₂S

X

₃S

r

L

T

n EI K



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

圖三十二 簡支梁兩端加彈簧之

P / P

_cr-/

L

_T 曲線(



0,

L

_T 300)

P/P cr

L _T

n

0 40 400

Gravity Non-gravity Theoretical[2]

Exp.[2]



在文檔中 三維挫屈梁之非線性分析 (頁 44-85)