緒言

電纜(cables)、纜繩(wire rope)在受到扭轉及軸向壓力/或低張力下會形 成複雜的環狀和纏繞的現象，此現象稱為 hockles[2-5]，此外 DNA 的超螺 旋(supercoils)也相當於纜繩的 hockles 現象[3,6]。當電纜、纜繩發生環狀和 纏繞的現象時會導致機械的損毀或光纖電纜信號的衰減，文獻上有很多纜 繩 hockles 現象的研究[1,2,4-7]。文獻上通常將纜繩視為撓曲剛度很小的細 長梁[3-5,7,8,10]，並用梁受到扭轉及軸力時的側向挫屈來探討 hockles 發生 的準則(criterion) [9]。

文獻[9]用解析解探討兩端固定長度 的細長梁(如圖一所示)，將其一 端施加固定值的扭轉角

L

T



，然後逐漸施加軸向位移，當 超過某一固定值 後，該梁會發生挫屈，若繼續增加



，則該梁會有複雜的挫屈後行為，文獻 [9]稱上述的問題為先扭轉後壓縮問題(twist-shortening problem)。文獻[9]中 考慮了軸向變形、剪變形、撓屈變形、及扭轉變形，並假設梁斷面有相同

主撓曲剛度(即 ，其中 、 為斷面主軸的面積慣性矩)，應力應

變皆在彈性範圍內，且無均佈載重，外加負荷只在梁的兩端點。當

I

I

I

_y  _z 

I

_y

I

_z

0



時，

梁挫屈時會先產生平面內(in plane)的側向位移，即所謂的側向挫屈，當



0 時，梁挫屈時會直接產生平面外(out of plane)的挫屈現象，如圖一所示。文 獻[9]探討當



3



時，細長梁的挫屈負荷及挫屈後軸向壓縮量和軸力的關 係。相同的問題亦在文獻[1-3]中亦探討相同的問題，文獻[1-3]使用 Cosserat rod theory，假設細長梁不可伸縮、不考慮剪應變，所得的數值解與文獻[9]

的理論解都相當吻合。文獻[1,2]中亦以實驗探討在



0



-5 時，細長梁的



挫屈負荷及挫屈後行為，其實驗結果與理論解大致上有相同的趨勢，但在 初始挫屈時，兩者有相當的差異，且



越大，兩者的差異越大，文獻[2]認

為此差異可能是沒有考慮重力影響、沒有考慮摩擦力、沒有考慮剪變形、

沒有考慮材料非線性、及實際的邊界條件與分析的邊界條件不一致等原因 造成的。但文獻[2]中僅探討重力的影響，文獻[2]發現重力並無法解釋兩者 的主要差異。文獻[2]使用的 Cosserat rod theory，假設梁不可伸縮，且不考 慮扭轉與軸向變形間的非線性耦合[11]，但當扭轉率很大時，該耦合或許不 能忽略。故本文認為文獻[1,2]之實驗結果與理論分析的差異可能與未考慮 梁撓曲、扭曲及軸向應變間的耦合效應有關。因此本研究將考慮梁的撓曲、

扭曲及軸向應變間的非線性耦合效應，探討文獻[1-3]中細長梁先扭轉後壓 縮的問題，分析該梁的挫屈負荷及挫屈後行為。

文 獻 [12] 中 使 用 共 旋 轉 全 拉 格 蘭 日 (Corotational Total Lagrangian Formulation)有限元素法推導梁元素，以梁之正確的變形機制(Kinematics)及 完整非線性梁理論之二階一致線性化(consistent second order linearzaton)推 導含撓曲、扭曲及軸向變形間耦合效應之 12 個自由度的三維梁元素，由文 獻[12]的數值例題中可以發現其梁元素應用在空間梁結構的幾何非線性分 析及挫屈分析上有很精確的結果，文獻[11]中使用文獻[12]的梁元素探討一 端為固定端，另一端限制了側向位移及側向轉角之細長梁，受端點軸力與 扭矩作用下的挫屈負荷及挫屈後行為，其結果與文獻[1,13]的結果相當吻 合。

文獻[14]使用與文獻[12]相同的方法，但考慮了扭轉的翹屈剛度推導一 個 14 個自由度的三維梁元素，由文獻[11, 12, 14]的數值例題，可以發現其 梁元素應用在空間梁結構的幾何非線性分析及挫屈分析上有很精確的結 果，但在梁斷面之主慣性矩 、 相差很大時，需要使用很多的梁元素才 可以收斂到精確的結果。文獻[15, 16]中發現隨元素的數目的增加，元素節 點內力及剛度矩陣中含梁元素之長度、形心軸側向位移的一次微分、及扭

I

y

I

_z

轉角之項會趨近於零，若去掉這些會趨近於零的項，可以在梁斷面之主慣 性矩

I

_y、

I

_z相差很大時，用很少的元素得到精確的結果。

本研究將採用文獻[14]的三維梁元素，並去掉元素節點內力及剛度矩陣 中含梁元素之長度、剪心軸側向位移的一次微分、及扭轉角之項，以增加 收斂速率。本研究將以牛頓法及定弧長法的增量迭代法解非線性平衡方程 式。本文將分析文獻[1,2]中細長梁先扭轉後壓縮的問題，探討該梁的挫屈 負荷及挫屈後行為，並與文獻[1,2]的理論及實驗結果比較。本研究將考慮 重力及結構之初始不完美(initial imperfection)的影響。當應變不是很小時，

由工程應變及工程應力[17]與使用 Green strain 及 Second Piolla Kirchhoff stress [11, 14]推導出的梁之軸向力的二次項有些差異，此差異亦可能影響分 析的結果，所以本研究亦將比較兩者分析的結果。

在文檔中 三維挫屈梁之非線性分析 (頁 11-14)