結論與展望

本文以共旋轉有限元素推導法，殼元素來分析膜結構的皺折，由本 文分析之數值例題的結果，可得以下的結論：

(1)膜結構邊界受剪力側向挫屈後有很多不同平衡路徑，且膜結構受 力後的變形很敏感，差異很小的負荷條件，有可能會造成差異很大的 變形結果。

(2)由本文例題結果發現膜結構受剪位移時，若元素網格不夠密，則 膜結構皺折的數目太少。若欲得到精確的結果，應使用較密元素網格。

(3)本文對於平面膜結構產生側方向位移的機制為在分歧點加上挫 屈模態擾動，使膜結構有側方向的位移，本研究發現挫屈模態與膜結 構挫屈後皺折的的形狀差異很大。

(4)由本研究分析的結果與文獻上的實驗結果比較，可以發現兩者的 皺折型態有相同的特徵，但細部仍有差異，其原因可能是本研究分析 時，元素的數目不夠，文獻上的結構有初始不完美，且實驗操作上真 實的邊界條件可能與分析的邊界條件不同。

本文例題發現使用太密的元素網格，會出現不易收斂的情形，這可 能是因為本研究以平板三角殼元素來模擬薄膜結構的行為，可能因平 板殼元素沒有考慮撓曲變形與膜變形間的耦合及採用近似的幾何剛 度，造成收斂的困難。也可能是個數值方法上的問題，未來可考慮採 用其他元素或數值方法，若能解決這些困難，使用較密的元素網格，

有可能可以得到更精確的結果。

參考文獻

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圖 Mesh λ (mm) +w_max(mm) +w_max所在位置的初始座標 −w_max(mm) −w_max所在位置的初始座標 4.18 40×40 0.0507 0.421 (114.5, 114.5, 0) -0.608 (177.48, 0, 0)

4.18 60×60 0.0493 0.676 (91.6, 0, 0) -0.368 (122.13, 125.95, 0) 4.18 80×80 0.0507 0.507 (91.6, 0, 0) -0.448 (40.075, 229, 0) 4.19 40×40 0.401 1.062 (114.5, 114.5, 0) -1.770 (177.48, 0, 0) 4.19 60×60 0.404 1.578 (57.25, 229, 0) -0.933 (118.32, 118.32, 0) 4.19 80×80 0.406 0.791 (157.44, 229, 0) -1.124 (174.61, 0, 0) 4.20 40×40 0.601 1.296 (114.5, 114.5, 0) -2.170 (171.75, 0, 0) 4.20 60×60 0.604 1.529 (45.8, 229, 0) -1.480 (129.77, 0, 0) 4.20 80×80 0.606 0.797 (88.74, 74.43, 0) -1.564 (71.56, 0, 0) 4.21 40×40 0.801 1.493 (114.5, 114.5, 0) -2.510 (171.75, 0, 0) 4.21 60×60 0.804 1.078 (34.35, 229, 0) -2.036 (129.77, 0, 0) 4.21 80×80 0.806 0.868 (85.88, 74.43, 0) -1.919 (131.68, 229, 0) 4.22 40×40 1.000 1.666 (114.5, 114.5, 0) -2.805 (51.53, 229, 0) 4.22 60×60 1.000 1.024 (145.03, 156.48, 0) -2.376 (129.77, 0, 0) 4.22 80×80 1.000 0.930 (85.88, 74.43, 0) -2.153 (131.68, 229, 0)

表4.1膜結構側方向最大正負位移點所在位置的初始座標

圖1.1皺折的示意圖

圖1.2 波長的示意圖，圖上符號λ為半波長，取自文獻[9]

圖1.3文獻[11]例題之結構示意圖 I

A

B C

D )

( 1mm

=

∆

L

L

U X , V

Y ,

38 . 0

) /

( 3790

) ( 0762 . 0 ,

) ( 229

2

= ν

=

=

=

mm N E

mm h

Thickness mm L

圖 2.1 三角殼元素的示意圖及節點自由度 x1

x2

x3

u3

v3

w3

3

θ

x

3

θ

y 3

θ

z

h 1

2

3

圖2.2 總體座標與元素座標 X1

X2

0 3

x

0 1

x

0

x

2

3

1

2

ion configurat Initial 3

1 2

x

3 I

x

1 I I

x

2

ion configurat

m equilibriu th

I − 1

2

3

3

x x

²

x

1

ion configurat Current

X3

圖 2.3 旋轉向量 R R′

n

φ

圖 2.4 DKT元素的節點及其三邊上的局部座標示意圖

s

s s

n

23

n

13

n

12

α

13

α

²³

α

12 ¹

x

5 4

3

1 6 2

x

2

圖2.5 CST元素在元素座標上的變形位移

x

1

2 u

2

x

2

3 v

3

u

3

ion configurat Current

ion configurat Initial

1

nt displaceme

nodal

Membrane : u

_m

= { 0 0 u

₂

0 u

₃

v

₃

}

圖 2.6 變形前板元素中心面之單位法向量n受旋轉向量θ作用的 示意圖

θ

θ nd

n

x2

x1

圖 2.7 元素座標的剛體旋轉 (a)面外旋轉(out-of plane rotation),(b) 面內旋轉(in-plane roration)

O

I

Ix1

x1

x2

x

3

α

α

I

x

3

x2

) ( a

O

x′

1

x1

x′

2

β β

3 3

, x x ′

x2

)

( b

圖2.8 決定板元素節點變形轉角的第3個步驟的示意圖

j

x′

1

x′

2

Φ

tj

∆

Φ

tj

∆ x′

3

I n′dj

ndj

n′u

圖 4.1圓柱殼結構示意圖及其受之位移負荷圖，（例題一）

M L λ

M

Pinned

Free

L B

θ R

0.3

a) 3102.75(Mp E

0.1(rad) 6.35(mm) h

254(mm) L

2540(mm) R

= ν

=

= θ

=

=

= A

D

E

F

G C

H Y

X

圖4.2 M 點之反力-負荷參數曲線圖(例題一)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

R

M

(kN)

Loading parameter λ (mm)

whole structure

1/2 structure

1/4 structure

圖4.3 M 點之反力-負荷參數曲線圖(例題一)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 -0.4

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

R

M

(kN )

Loading parameter λ (mm)

[18]

Present

圖4.4 正方形膜結構示意圖及其受之位移負荷圖（例題二）

I A

B C

H D

F

G E

N J K

M

L

L

U X , V

Y ,

λ

0.5L HD

EH

0.25L MB

EM KE

AK 0.38 ν

) 3790(N/mm E

0.0762(mm) h

Thickness, 229(mm) L

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

圖4.5挫屈模態，例題二，Mesh 4040×

Z

X Y

圖 4.6挫屈模態，例題二，Mesh 6060×

Z

X Y

圖 4.7挫屈模態，例題二，Mesh 8080×

Z

X Y

圖4.8 挫屈模態的剖面圖 (a)FH斷面，(b)EG 斷面，例題二 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

deflection

X/L

Mesh 40x40 60x60 80x80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.000

0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

deflection

Y/L

Mesh 40x40 60x60 80x80 A

B _C

D λ

V Y,

U X,

E G

F H

) (a

) (b

圖 4.9 I點之位移w_I與E點之位移w -_E 負荷參數λ曲線圖，

例題二，Mesh 4040×

A

B _C

D λ

V Y,

U X, E I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5

w(mm)

Loading parameter

λ

(mm)

w

_I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

w(mm)

Loading parameter

λ

(mm)

w

_E

圖 4.10 I 點之位移w_I與E點之位移w -_E 負荷參數λ曲線圖，

例題二，Mesh 6060×

A

B _C

D λ

V Y,

U X, E I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0

w(mm)

Loading parameter λ (mm) w_I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Loading parameter

λ

(mm)

w

_E

圖 4.11 I點之位移w_I與E點之位移w -_E 負荷參數λ曲線圖，

例題二，Mesh 8080×

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0

w(mm)

Loading parameter λ (mm) w_I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Loading parameter

λ

(mm)

w

_E

A

B _C

D λ

V Y,

U X, E I

圖 4.12 不同增量位移下，I 點之位移w_I與E點之位移w -_E 負荷參 數λ曲線圖，例題二，Mesh 6060×

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0

wI(mm)

Loading parameter λ (mm)

∆λ (mm) 0.005 0.005, 0.02 0.02

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

wE(mm)

Loading parameter λ (mm)

∆λ (mm) 0.005 0.005, 0.02 0.02

A

B _C

D λ

V Y,

U X, E I

圖 4.13 不同元素網格之I點之位移w_I與E點之位移w -_E 負荷參數 λ曲線比較圖，例題二

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0

w(mm)

Loading parameter λ (mm)

w_I

Mesh 60x60 Mesh 80x80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w( m m )

Loading parameter

λ

(mm)

w_E

Mesh 60x60 Mesh 80x80

A

B _C

D λ

V Y,

U X, E I

圖4.14 例題二，位移邊界 AD上

(a)X方向節點力合力

∑

R_Xi^{–位移負荷參數λ 曲線圖}

(b) Y 方向節點力合力

∑

R_Yi^{–位移負荷參數λ 曲線圖}

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 10 20 30 40

Σ

R

Xi

(N )

Loading parameter

λ

(mm)

Mesh 40x40 60x60 80x80

) (a

) (b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Σ

R

Yi

(N )

Loading parameter λ (mm)

Mesh

40x40

60x60

80x80

圖4.15 (a)位移邊界AD 上X 方向的節點反力圖(b)位移邊界AD 上Y 方向的節點反力圖，例題二，Mesh 4040×

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

1 2 3

R

Xi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0 )

(a

) (b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-10 -8 -6 -4 -2 0

R

Yi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

圖4.16 (a)位移邊界AD 上X 方向的節點反力圖(b)位移邊界AD 上Y 方向的節點反力圖，例題二，Mesh 6060×

) (a

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

R

Xi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

) (b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-8 -6 -4 -2 0

R

Yi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

圖4.17 (a)位移邊界AD 上X 方向的節點反力圖(b)位移邊界AD 上Y 方向的節點反力圖，例題二，Mesh 8080×

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

R

Xi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

R

Yi

(N )

X/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 )

(a

) (b

圖 4.18 膜結構變形圖，例題二(a) Mesh 40×40, )λ=0.0507(mm , (b)Mesh 60×60, )λ=0.0493(mm ,

圖 4.19 膜結構變形圖，例題二(a)Mesh 4040× , )λ=0.401(mm , (b)Mesh 60×60, )λ=0.404(mm , (c)Mesh 8080× , )λ=0.406(mm

78 . 1.4 1.00 100000000........0080604020204080 1.07 1 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

00 . 100000000........0060402020406080 1.20 1.40 1.58 w(mm)1

−−

−− ++ ++ ++ ++ +

13 . 1.00 100000000000..........90705040201010507080 w(mm)

−−

−−

−−

−− ++ ++ +

)

(a (b) (c)

圖 4.20 膜結構變形圖，例題二(a)Mesh 4040× , )λ=0.601(mm , (b)Mesh 60×60, )λ=0.604(mm , (c)Mesh 8080× , )λ=0.606(mm

17 . 2.00 2.60 1.40 1.00 1000000......208020206080 1.30 1 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

60 . 1.20 1.00 10000000.......00804020204080 1.40 1.53 w(mm)1

−−

−−

−− ++ ++ ++ +

60 . 1.40 1.20 1.00 1000000000........8060402020406080 w(mm)

−−

−−

−−

−− ++ ++ +

)

(a (b) (c)

圖 4.21 膜結構變形圖，例題二(a)Mesh 4040× , )λ=0.801(mm , (b)Mesh 60×60, )λ=0.804(mm , (c)Mesh 8080× , )λ=0.806(mm

51 . 2.20 2.80 1.40 1.10 100000.....0060202040 1.40 1.50 1 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

04 . 2.00 2.60 1.40 1110000000........0008806020204080 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

92 . 1.80 1.40 1.20 1000000000........8040202040608087 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

)

(a (b) (c)

圖 4.22 膜結構變形圖，例題二(a)Mesh 4040× , )λ=1 mm( , (b)Mesh 60×60, )λ=1 mm( ,

圖 4.23軸線 AB之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

A

B _C

D λ

V Y,

U X,

) (a

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3

-2 -1 0 1

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

) (b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3 -2 -1 0 1

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3

-2 -1 0 1

w( m m )

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

) (a

圖 4.24軸線 AB之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0

) (b

A

B _C

D λ

V Y,

U X,

圖 4.25軸線 FH之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

A

B _C

D λ

V Y,

U F X,

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

) (b

) (a

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

圖 4.26軸線 FH之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U F X,

H

) (b

) (a

圖 4.27軸線 CD之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

A

B _C

D λ

V Y,

U X,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3 -2 -1 0 1

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2

-1 0 1 2

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

) (b

) (a

圖 4.28軸線 CD之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2

-1 0 1 2

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

Y/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X,

) (b

) (a

圖 4.29軸線 JK之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X, K J

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

) (b

) (a

圖 4.30軸線 JK之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X, K J

) (b

) (a

圖 4.31 軸線EG之 Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3

-2 -1 0 1 2

w (mm)

X/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X, G E

) (a

) (b

圖 4.32 軸線EG之 Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w( m m )

X/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X, G E

) (a

) (b

圖 4.33 軸線MN之 Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60

A

B _C

D λ

V Y,

U X,

M N

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3 -2 -1 0 1

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

) (a

) (b

圖 4.34 軸線MN之 Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

X/L

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0 A

B _C

D λ

V Y,

U X,

M N

) (a

) (b

圖 4.35對角軸線 BD之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 4040× ，(b) Mesh 60×60 L

2 S/

) (b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w (mm)

λ (mm)

0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0 A

B C

D λ

V Y,

U X, L S

L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

w( m m )

λ (mm) 0.0507 0.401 0.601 0.801 1.0 )

(a

L 2 S/

圖 4.36對角軸線 BD之Z方向位移分佈圖，例題二，

(a)Mesh 6060× ，(b) Mesh 80×80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

w(mm)

λ (mm) 0.0493 0.404 0.604 0.804 1.0

L 2 S/

) (a

A

B C

D λ

V Y,

U X, L S

L

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

w(m m )

λ (mm) 0.0507 0.406 0.606 0.806 1.0

) (b

L 2 S/

圖 4.37 膜結構變形圖，例題二，λ=1 mm( )

(a) Present, Mesh 40×40, (b)文獻[12]Experiment(Photogrammetry), (c)文獻[11] (ABAQUS S4R5)

3.11 -2.79 -2.48 -2.16 -1.85 -1.53 -1.22 -0.90 -0.59 -0.27 -w(mm)0.040.360.67 ++ +

3.15 -2.79 -2.43 -2.07 -1.71 -1.35 -0.99 -0.63 -0.27 -0.01 -w(mm)10.450.82.18 ++ +

) (c )

(b )

(a

81 . 2.75 2.50 2.00 2.50 1.00 11110000......00506750575 w(mm)

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

圖 4.38 膜結構變形圖，例題二，λ=1 mm( )

(a)Present, Mesh 60×60, (b)文獻[12]Experiment(Photogrammetry), (c)文獻[11] (ABAQUS S4R5)

3.11 -2.79 -2.48 -2.16 -1.85 -1.53 -1.22 -0.90 -0.59 -0.27 -w(mm)0.040.360.67 ++ +

3.15 -2.79 -2.43 -2.07 -1.71 -1.35 -0.99 -0.63 -0.27 -0.01 -w(mm)10.450.82.18 ++ +

) (c )

(b )

(a

38 . 2.00 2.60 1.20 1.00 1000000......006020204080 1.03 w(mm)1

−−

−−

−−

−+ ++ ++ +

圖 4.39 膜結構變形圖，例題二，λ=1 mm( )

(a)Present, Mesh 80×80, (b)文獻[12]Experiment(Photogrammetry), (c)文獻[11] (ABAQUS S4R5)

3.11 -2.79 -2.48 -2.16 -1.85 -1.53 -1.22 -0.90 -0.59 -0.27 -w(mm)0.040.360.67 ++ +

3.15 -2.79 -2.43 -2.07 -1.71 -1.35 -0.99 -0.63 -0.27 -0.01 - 10.450.82.18 w(mm) ++ +

) (c )

(b )

(a

16 . 2.00 2.80 1.60 1.20 1.00 10000000......602020608093 w(mm)

−−

−−

−−

−− ++ ++ +

附錄 A DKT 元素的形狀函數

在(2.29)式裡面的H 與_x H 分別有_y 9個分量，其表示式為[21]

H_x1=1.5(a₆N₆ −a₅N₅) H_x2 =b₅N₅+b₆N₆ H_x3 = N₁ −c₅N₅ −c₆N₆ H_x4 =1.5(a₄N₄ −a₆N₆) H_x5 =b₆N₆ +b₄N₄ H_x6 = N₂ −c₆N₆ −c₄N₄ H_x7 =1.5(a₅N₅ −a₄N₄) H_x8 =b₄N₄ +b₅N₅ H_x9 = N₃ −c₄N₄ −c₅N₅

H_y1 =1.5(d₆N₆ −d₅N₅) H_y2 =−N₁ +e₅N₅ +e₆N₆ H_y3 =−H_x2

H_y4 =1.5(d₄N₄ −d₆N₆) H_y5 =−N₂ +e₆N₆ +e₄N₄ H_y6 =−H_x5

H_y7 =1.5(d₅N₅ −d₄N₄) H_y8 =−N₃ +e₄N₄ +e₅N₅ H_y9 =−H_x8

其中

₂

ij ij

k l

a −x

=

⁴ ₂

)

1

_k

附錄 B CST 元素的剛度矩陣

附錄 C

逆冪法解廣義特徵值問題之數值方法

廣義特徵值問題(generalized eigenvalue problem)可表示成 AX =λBX (C.1) 若(C.1)式的最小特徵值沒有重根，則可利用逆冪法(inverse power method)求其最小的特徵值及特徵向量。

以逆冪法求解廣義特徵值問題的數值方法可說明如下：

將(C.1)式之兩邊各減掉λ_SBX，其中λ_S為一接近欲求之特徵值的 給定值，則(C.1)式可被改寫成

AX= λBX， (C.2) A =A−λ_SB， (C.3) λ =λ−λ_S。 (C.4) 令λ₀ =0與X₀ =

{

1,1,L,1

}

，並計算Y =BX₀。

將Y 正規化，亦即

Y

Y₀ = Y 。 (C.5)

求解

AX₁=Y₀， (C.6) 求得X₁。再計算

Y₁ =BX₁， (C.7)

1 1 1 0

1 X Y

Y X

t t

=

λ 。 (C.8)

檢查以下兩個挫屈收斂準則

_X t

X e X

X

X ≤

−

1 0

0 1

1 ， (C.9)

≤ _λ λ

λ

−

λ e

1 0

1 ， (C.10)

其中e 與_X e 為給定之容許誤差。_λ

若(C.9)與(C.10)式同時滿足，則取λ= λ₁+λ_S 為所求之挫屈負 荷參數，而X 代表對應₁ λ 之挫屈模態(buckling mode)，並停止迭代；

否則令X₀ =X₁、Y=Y₁、與λ₀ =λ₁，並回到步驟(3)繼續迭代。

在文檔中 薄膜皺折之有限元素分析 (頁 43-106)