本章將對造成隱含波動率曲面的變動因子歸納出結論，並對於 其重要結果與發現提出看法，最後將針對未來可能的研究方向 提出建議，以作為後續研究者之參考。
研究動機與目的
指數選擇權之介紹、相關理 論及國內外文獻回顧
搜集及整理資料
利用牛頓法，將已知的市場 變數代入 Black-Scholes 選 擇權評價模型，反推出隱含 波動率。
其它的市場變數
• 大盤交易量
• 大盤指數
• 大盤漲/跌
主成份分析 複迴歸分析
實證結果與分析
結論與建議
圖 1 論文流程圖
第二章 文獻回顧
2-1 指數選擇權之介紹
2-1-1 指數選擇權及微笑現象
市場交易者為了評價指數選擇權常會使用形狀如下圖所示的波動 率微笑曲線(又稱做波動率偏斜曲線，volatility skew)，此種選擇權的波 動率大小與履約價格高低成反比，亦即高的履約價格會帶來低的波動 率。交易員在評價選擇權時，低履約價格的選擇權(即高度價內的買權或 高度價外的賣權)會選用高的波動率。
指數選擇權的波動率微笑曲線圖2 與圖 3 中實線所畫之隱含機率分 配相互呼應，而另一個虛線所畫的則是有相同平均數與標準差的對數常 態分配。我們發現將隱含機率分配與對數常態分配相較，前者有一個比 較厚實的左尾及較為薄弱的右尾。
為了瞭解圖2 和圖 3 的一致性，我們考慮一個高度價外的買權合約，
其履約價格是圖3 中較高的 X2，對一個履約價格為 X2 且為高度價外的 買權而言，利用隱含分配所計算出來的價格會比利用對數常態分配所得 到的價格低，這是因為此種選擇權只有在股價高於 X2 時才會有報償出 現，而隱含機率分配比對數常態分配有較低的獲償機率。因此，我們可 預期隱含機率分配的假設會產生一個相對較低的選擇權價格，而相對的 低價會導致相對的低波動率，即為圖2 所顯示的現象；接下來，我們考 慮一個高度價外的賣權，其履約價格是圖 3 中較低的 X1，此種選擇權 只有在股價低於 X1 時才會有報償出現。圖 3 顯示，隱含機率分配比對
數常態分配有較高的獲償機率，再一次的，此結果符合圖2 所顯示的現 象(Hull 1997)。
隱含波動率
履約價格
圖 2 波動率偏斜曲線
隱含機率分配
對數常態分配
X1 X2
圖 3 隱含分配及對數常態分配
2-1-2 台指選擇權之介紹
台指選擇權是台灣期貨交易所於民國90年12月24日所推出的國內 第一個選擇權商品，衍生自台股指數的衍生性商品，投資者可以在選擇 權的市場中交易買權與賣權。
根據選擇權的基本定義，歐式選擇權價值等於內含價值加上時間價 值，內含價值表示若以目前的標的物價格履約，可以賺取標的物與履約 價格之間的價差；而時間價值表示到期前增加獲利機會的價值，時間價 值一定都是正的，但是會隨著到期日接近而減少。
買權的內含價值等於標的證券價格高於履約價格的部分，如果標的 證券價格低於履約價格，則內含價值為0；相對的，賣權的內含價值等 於標的證券價格低於履約價格的部分，如果標的證券價格高於履約價 格，則內含價值為0。因此，投資者可以利用這二項選擇權的價值，在 契約到期時依照履約價格和期交所公佈之結算價格的差距計算投資損 益，也可以在到期日之前提前賣掉，賺取投資收益。以下表1是「台灣 證券交易所股價指數選擇權契約規格」。
表 1 臺灣證券交易所股價指數選擇權契約規格
項目 內容
交易標的 • 臺灣證券交易所發行量加權股價指數 中文簡稱 • 臺指選擇權(臺指買權、臺指賣權) 英文代碼 • TXO
履約型態 • 歐式(僅能於到期日行使權利) 契約乘數 • 指數每點新臺幣 50 元
到期月份
• 自交易當月起連續三個月份，另加上三月、六 月、九月、十二月中二個接續的季月，總共有五 個月份的契約在市場交易
履約價格間距
限
部位限制
• 交易人於任何時間持有本契約之同一方未了結 部位合計數，應符合下列規定：
1. 自然人 8,000 契約 2. 法人機構 16,000 契約
3. 法人機構基於避險需求得向本公司申請豁 免部位限制
4. 期貨自營商之持有部位不在此限
5. 所謂同一方未了結部位，係指買進買權與賣 出賣權之部位合計數，或賣出買權與買進賣 權之部位合計數
交易時間 • 本契約之交易日與臺灣證券交易所交易日相同
• 交易時間為營業日上午 8:45~下午 1:45
最後交易日 • 各契約的最後交易日為各該契約交割月份第三 個星期三
到期日 • 最後交易日之次一營業日
最後結算價
• 以到期日臺灣證券交易所所提供依標的指數各 成分股當日交易時間開始後十五分鐘內之平均 價計算之指數訂之
• 前項平均價係採每筆成交價之成交量加權平 均，但當日市場交易時間開始後十五分鐘內仍無 成交價者，以當日市價升降幅度之基準價替代之 交割方式
• 符合本公司公告範圍之未沖銷價內部位，於到期 日當天自動履約，以現金交付或收受履約價格與 最後結算價之差額
資料來源：台灣期貨交易所
2-2 Black-Scholes 選擇權定價模型
根據股價符合幾何布朗運動(Geometric Brownian motion)之假設，可 將股價模型表示如公式2.1： 再根據選擇權的邊界條件(Boundary condition)加以計算後，可得到 Black-Scholes 選擇權定價模型如公式 2.3：
)
T
根據Black-Scholes 選擇權定價模型之假設，標的資產波動度為固定 常數，然而若我們將台指每日的收盤點數(S)、履約價格(K)、無風險利 率(r)、至到期日為止的存續期間(T)、買權(c)及賣權(p)的收盤點數這些 變數代入該公式反推隱含波動率，常會發現不同的契約有不同的隱含波 動率，因此，許多學者常會利用不同標準的 ∆(delta)、涉價比率或到期 期間來建構出三維的隱含波動率曲面，以了解隱含波動率的變動因子。
Derman 及 Kamal(1997)運用主成份分析法找出在不同時間點下，造 成隱含波動率曲面變動的因素，他們將計算出來之S&P 500 的隱含波動 率依照三個 ∆(delta)及四個到期期間分成十二個區間，實證結果發現有
三個主成份足以解釋95%的總變異，第一個主成份為波動的程度、第二 個主成份為波動率的期間結構，最後一個成份為偏斜的波動率。
Ｍixon(2002)以 S&P 500 選擇權在 OTC 的交易作為研究對象，將涉 價比率分為0.90、0.95、1.00、1.05、1.10、到期期間分為 1、3、6、12、
24、36、48 及 60 個月，將價外的買賣權及價平買權利用涉價比率及到 期期間這兩個標準區分成四十個區間，再利用主成份分析找出造成隱含 波動率變動的原因，實證結果發現有三個主成份會造成隱含波動率的變 動，第一個主成份為到期期間一年內，且所有到期期間的隱含波動率呈 同方向變動；第二個主成份可解釋到期期間大於一年的變異；第三個主 成份可解釋到期期間一個月的變異，且價外賣權之隱含波動率的增加大 於價外買權。
郭哲男(2002)以台灣指數選擇權為研究對象，其將選擇權的交易資 料依照三個涉價比率(包括(0.90,0.98)、[0.98,1.01]及(1.01,1.10))及三個到 期期間(包括(0,35]、(35,90]、及(90,270])區分為九個區間，並將選擇權 的資料分為所有契約、價內契約及價外契約三種型態，利用主成份分析 法找出造成隱含波動率日變動的因子，實證結果發現三種契約的第一個 主成份都是中長期選擇權隱含波動率變動，而第二、第三及第四個主成 份皆來自於短期契約的變動，亦即由隱含波動率曲面的日變動之主成份 分析可發現，中長期選擇權隱含波動率其日變動的影響大於短期選擇 權，而短期的選擇權涉價比率愈接近1 時，其對隱含波動率的影響愈小。
林莞菁(2004)以台指選擇權為研究對象，研究期間從 2001 年 12 月 24 日至 2004 年 3 月 19 日，其選擇權的交易資料依照五個涉價比率(包 括[0.92,0.96)、[0.96,0.99)、[0.99,1.01] 、(1.01,1.04]及(1.04,1.08])及三個
到期期間(包括[6,35]、(35,60]、及(60,90])區分為十五個區間，並將研究 期間的資料分為買權及賣權，再利用主成份分析找出造成隱含波動率曲 面變動的因子，實證結果發現買權契約的第一個主成份為長期選擇權的 隱含波動率、第二個主成份為短期且涉價比率小於1 選擇權的隱含波動 率、第三個主成份為中期且涉價比率小於 1 選擇權的隱含波動率，而第 四個主成份為短期且涉價比率大於1 選擇權的隱含波動率；在賣權契約 的部份，第一個主成份為短期及中期且涉價比率大於1 選擇權的隱含波 動率、第二個主成份為長期選擇權的隱含波動率、第三個主成份為短期 且涉價比率小於1 選擇權的隱含波動率，而第四個主成份為中期且涉價 比率小於1 選擇權的隱含波動率。
2-4 其它未觀察到之市場變數
Black-Scholes 選擇權定價模型的偏誤會隨著時間改變，而且期間結 構的改變將會使其斜率產生大小及正負的改變，波動率微笑曲線的斜率 也會改變(Bate 2000)。
此外，Pena, Rubio, and Serna(1999)提出，在決定波動率微笑曲線時 應該加入一些經濟變數的考量，而且這些經濟變數應該與標的物的特性 相關，那麼這些經濟變數將有助於預測股票未來的價格，也可以藉由了 解選擇權市場的特徵，其研究結果發現到期期間較短的選擇權，會隨著 履約價格的不同而使得隱含波動率有較大的波動幅度。
於是許多研究藉由直接觀察指數選擇權的期間結構或其微笑曲線 在動態上的改變與市場上一些未被加以考量的變數作迴歸分析，以找出
隱含波動率與 Black-Scholes 選擇權定價模型中未考慮到之市場經濟變 數的關聯。
Schwert(1989)及 Franks，Schwartz(1991)研究美國股票市場波動性及 FTSE100 選擇權的隱含波動率與市場變數的關聯性。
Skiadopoulos，Hodges 及 Clewlow(1999)以 S&P 500 期貨選擇權為 研究對象，研究結果發現隱含波動率與市場的指數報酬率呈現負相關，
亦即有槓桿效果存在。
亦即有槓桿效果存在。