結論與建議

綜合本篇研究之結論，以及本研究中所面臨到的困難及待改進之處。

第二章 文獻回顧

第一節 樹狀模型的介紹

本節介紹在研究方法中會使用到的樹狀結構。主要有下列四種：

Cox-Ross-Rubinstein(1985)所提出的股價樹，Black-Derman-Toy(1986)所提出的利 率樹，Hull and White(1994)所提出的利率樹，以及Dai(2009)提出的Stair tree。

‧Cox-Ross-Rubinstein(1985)

根據Cox-Ross-Rubinstein(CRR)股價樹模型，假設時間

t  0

的股價為S ，每 期間隔tT/n，股價上漲幅度

u  e

^{s t} 、下跌幅度d1/u，無風險利率

r

_f 。

在風險中立機率測度下，股價上漲機率

d -u

d -p e

t r_f



。在tt時，股價有

p

的機 率上漲到S ，_u 1-p的機率下跌到S 。其股價樹如圖 2.1 所示： _d

圖2.1 CRR 股價樹

‧Black-Derman-Toy(1986)

根據Black-Derman-Toy(BDT)利率樹模型，假設利率波動度



_ｒ，利率上漲機 率為



1/2。由市場上可觀察到無風險零息債券殖利率

ｚ (t )

，而BDT tree同一期 利率每往上一個節點均乘上

e

^{2 r t}，折現後之期望值要等於債券殖利率的關 係，去求得BDT tree每個節點的利率，即：



^{R t R t}



‧Hull and White(1994)

根據Hull and White(1994)提出的Hull-White Model，其模型假設瞬時利率的 隨機過程為

 

dr ( t )  a ( b ( t )  r ) dt 

_r

dz

_r  or

dr ( t )  (



( t )  ar ) dt 

_r

dz

_r    (2.1.2)    其中為

a

均數復迴歸率， 為利率的波動度，此二參數皆為固定常數； )_r b(t 為利率的長期水準。

接著利用兩階段方法建立利率三元樹將連續型的Hull and White短期模型改 為離散時間型(discrete time)的隨機過程，也就是將瞬間短期利率r 轉換成模擬距_t

其中R^(tt)R^(t)服從期望值為aR^(t)t，變異數為



_r 的常態分配。 t

定義

 R

^



_r

3  t

為利率樹的間距，任一節點( ji, )代表時間為

i t

，利率 )

(t

R^ 為的 jR^節點，利率R^(t)在下一期上漲的機率為P ，持平的機率為_u P ，_m 下降的機率為P 。並設置利率上界_d max_ j0.184/(at)和利率下界

) /(

184 . 0

min_ j  at ，當利率碰觸到利率下界時，其下期的變動走勢為圖2.3 (b)；當利率碰觸到利率上界時，其下期的變動走勢為圖2.3 (c)；當利率未碰觸到 上界與下界時，其下期的變動走勢為圖2.3 (a)，此項設定使利率表視出有均數回 歸 (mean reversion) 的特性。再利用一階與二階常態分配的動差函數和機率總和 為一的三個方程式解出P 、_u P 、_m P 的機率值。 _d

圖2.3 Hull-White 利率樹變動機率 第二階段

在第一階段求出的利率樹和當時市場所觀察到的利率期間結構未必一致，因 此，第二階段主要是要調整R^(t)樹上的節點都能符合期初市場上的利率期間結 構，並將R^(t)三元樹轉換成r(t)三元樹。定義



_i 



(it)r(it)R^(it)，並 定義Q_i,j為在利率走到節點( ji, )時支付一元，否則報酬為零的商品現值。運用



_i

與Q_i,j讓r(t)三元樹符合期初市場上的利率期間結構的特性，以前推法(Forward induction)求出下列公式：

P

u 

P

u 

P

u

P

d 

P

d

P

m 

P

m

P

m 

P

d 

(a) (b) (c)

t

P e

i Q

i

n n j

i t R j j m

i 









  ^ 

1

. ln

ln



(2.1.5)

其中P 為在_i1 (i,j)t到期的零息債券價格，n 為三元樹在_i

i t

時變數 j 的最大值。

求出



_i後可推出下列公式：



^{   }

 

k

i k

i j

i Q q k j k R t

Q _{1, ,} ( , )exp[ (



) ] (2.1.6) 其中q( jk, )為節點( ki, )走到節點(i1,j)的機率。

由(2.1.7)算出每一期的



_i，再運用一開始給定的

a

和



_r等固定常數，就可以 求出與市場上利率期間結構一致的利率樹。其利率樹如圖2.4所示：

圖2.4 Hull-White 利率樹

‧Dai(2009)

當CRR樹下一期的期望值比當期的值乘以上漲的幅度還大時就會發生機率 超過1的問題。以圖2.5為例，可以看出當股價期望值大於上漲價格時，上漲機率 會大於1，而下跌機率會變成負數。

圖2.5 CRR 股價樹機率爆掉示意圖

本論文使用Dai(2009)的stair tree來解決此問題，以CRR樹為主要架構，當發 生上述情況時就改以三元樹的方式去展開樹狀節點。使得機率符合介於0到1的條 件。並且三個節點的期望值折現也會等於目前節點的值。

參考下圖，假設

ˆ , 2 t , 2 t

    

   





 

 



 (2.1.7)

其中

  ( r  

²

/ 2 )  t ,  ˆ  ln( S

_m

/ S

₀

) ,   [    t ,   t )

，再根據下列三個等 式，用Cramer’s rule可以解出三元樹的機率

2 2 2 2

0

1

u m d

u m d

u m d

P P P

P P P t

P P P

  

   

  

   

  

(2.1.8)

其Stair tree如圖2.6所示：

圖2.6 Stair Tree

第二節 信用風險評價模型

對於可轉換公司債之信用風險評價模型，文獻中主要分為兩大方向：結構式 模型(Structural Model)與縮減式模型(Reduced Model)。

(一) 結構式模型(Structural Model)

‧Merton (1974)

提出公司資產模型(Firm Value Model)，假設公司資產價值服從一個隨機過

程，將股權視為以公司資產價值為標的物，以公司負債為履約價格的買權。公司 是否發生信用風險根據公司價值與負債之相對高低而決定，因此可將公司的資本 結構納入考量。但是Merton模型有一些基本限制：(1)公司只發行一種債券，且 沒有支付任何債息；(2)假設利率為常數；(3)無任何破產成本與稅盾效果；(4) 公司只有在債券到期日才會發生信用風險。

根據結構式模型，股東權益在時間點 T 的價值可表示為：

) 0 , max( V D

E

_T



_T



(2.2.1)

經由 BS 公式可將股東權益目前價值表示為：

) ( )

(

_{1 2}

0

0

V N d De N d

E  

^rT



(2.2.2)

其中違約機率(Default probability)為(2.2.2)式中的d ： ₂ T

d

d₂ 1



_V (2.2.3) 對(2.2.2)式做 Itô’s Lemma 可推得：

0

0 V

V E E _V

E







 

(2.2.4)

‧Black and Cox (1976)

提出首次通過時間模型(First Passage Time Model)，目的是在改進Merton (1974)沒考慮到期日前破產的可能性，所以Black and Cox (1976)在到期日前設下 一破產邊界B ： _t

) (T t

t

Ke

B 

^{ }       (2.2.5) 

K

與 都是外生給定的常數。一旦公司在時間點t的資產價值低於此一邊界 B ，公司便立刻面臨破產清算的狀況，因此，包括了到期日前違約的情形。 t

Brennan & Schwartz(1977,1980)利用結構式模型對可轉換公司債做評價，假 設股價與利率服從隨機過程，使用Itô’s Lemma 導出 PDE(partial differential equation)，並找出其界限條件(Boundary Condiction)，再用數值方法去解 PDE。

該模型的缺點是隨機過程的參數都是外生給定，其利率期限結構無法符合現在的

市場利率曲線。

(二) 縮減式模型(Reduced Model)

‧Jarrow and Turnbull (1995)

提出違約密度模型(Intensity Model)，假設有一個違約過程(Default process)，

每一個時點上均有違約的可能性，未來可能發生違約與不違約兩種情況，其違約 機率為



_t，違約機率由風險溢酬(Credit Spread)逆推而出，其回復比率(Recovery rate)為



。在模型化這個違約過程後，即可以用以評價債券或衍生性商品的違約

在(2.2.6)式中可以直接解出λ1，再代入(2.2.7)可推得λ2以此類推。

Hung and Wang (2002)利用縮減式模型評價可轉換公司債，延伸Jarrow and Turnbull (1995)的方法，推導出違約機率。再將違約機率、股價(CRR Tree)和利率 (BDT Tree)結合成樹狀結構，利用此樹狀結構評價可轉換公司債。

Chambers & Lu(2007)則是改進Hung and Wang(2002)的模型，考慮股價和利

率之相關係數

ρ

，重新定義風險中立測度，並且將六元樹簡化至五元樹去評價可

轉換公司債。

第三節 Briys公司債模型

‧Briys and Varenne(1997)

提出評價公司債的封閉解，引用Hull and White (1990)之利率期間結構模型來 描述利率的變動，並假設B 為t時間點的違約門檻、F為公司所有債務的票面價_t 值、P(t,T)為到期日T面值1元的無風險零息債券在時間點t的價值，也就是折現 因子、α為公司債務維持水平、f¹為當違約發生在到期日之前可拿到的剩餘比例、

f²為當違約發生在到期日可拿到的剩餘比例、D⁰為目前的公司債價值、A⁰為目前 的公司資產價值、σ^A為公司資產波動度、σ^P為折現因子波動度、ρ為資產與折現因 子的相關係數。其封閉解如下：

( , )

Bt 



FP t T (2.3.1)

0

0 0 0

0 4

1 0 3

0

4 6

2 0 3 1

0

(0, )[1 ( ,1) ( , ) ( ) (1 ) ( ( ) )

( ) ( ) (1 ) ( ( ) ( ) )]

E E

D FP T P l P q l q f l N d N d

q

N d N d f l N d N d

q

  

    

    

(2.3.2)

其中

)

第三章 研究方法

本研究依據結構式模型(Structural Model)，並試圖建構股價與違約機率的關 連。當股價越高，公司資產也會越高，因為公司資產等於負債加上股東權益，股 東權益等於股價乘上流通在外股數；而公司資產越高，代表公司碰到違約界限的 機率也就越低，也就是公司越不容易發生違約事件。本章先討論利率為常數的一 因子模型，再延伸到利率服從Hull-White Tree的二因子模型。

第一節 一因子模型違約機率計算

首先建構CRR股價樹，由於股東權益Et可以由股價St乘以在外流通股數NS表 示Ｅ_ｔ=S_tNS，股東權益波動度

Et



則等於股價波動度

St



，因此我們可以把股價 樹轉換成股東權益樹，如圖3.1所示

圖3.1 股東權益樹

根據首次通過時間模型給定破產邊界：

B

_t

 Ke

^{(Tt)}，其中

^{K 、 }

都是外生給 定常數，公司資產一但碰到這個破產邊界就會發生違約。而在Merton 模型中採 用vanilla call option，違約事件只會發生在到期日 T。本研究為了配合使用首次

E

Eu

Ed

Euu

Eud

Edd

t=0  t=1  t=2 

通過模型，讓公司在到期日T 之前只要公司資產碰到破產邊界就會發生違約事 件，採用Kunitomo and Ikeda(1991)提出了向下失效障礙選擇權(Down and Out Barrier Option)，把公司資產視為股價，向下失效買權價格當作股東權益，障礙

圖3.2 公司資產樹

其中r 為無風險利率，_f



i j, ^ 為第i 期第 j 個節點的違約強度(Default Intensity)。

違約強度與違約機率(Default Probability)不同，利用指數分配的累積機率函數可 以從違約機率去逆推違約強度



^-ln(1- )/ t



 ，其中



^為違約強度， 為違約機 率。

將違約機率與股價結合成樹狀結構，如圖3.3 所示：

圖3.3 違約機率與股價結合成樹狀結構

每個節點CB value = max[min(hold,call),conversion value]，透過倒推法 (Backward Induction)可求得期初可轉債價格。以圖3.3 的 Su 點為例，假設可轉 債的轉換比例為q，公司贖回債券價格為 CP，可轉債面值為 F，回收比例(Recovery Rate)為δ。到期日 Suu 點的 conversion value = Suu*q，不轉換則拿到面值 F，Suu 點的可轉債價格CBuu=max(F,Suu*q)，相同的 CBud=max(F,Sud*q)，到期日其它 點亦同。到期日前Su 點的可轉債價格可寫成 CBu= max[min(hold,CP),q*Su]，其 中

hold=( (1- ( )) CBuu+(1- p 

_u

 S

_u

 p 

_u

)(1- ( ))*CBud+ ( )  S

_u

 S

_u

  F e )

^{-r tf} ，到期日前其 他點亦然。

s

_uu

s

s

_u

s

d

s

dd

s

ud

λ

(s)

λ

(s

d

)

λ

(s

u

)

Boundary = D*e^-γ(T-t)

(1- (S))

p  

 

(1- )(1- (S)) p ^ 

 

u

(1- (S ))

u

p  

u u

(1- )(1- (S )) p  

d

(1- (S ))

d

p  

d d

(1- )(1- (S )) p  

第三節 二因子模型違約機率計算

如同一因子模型違約機率計算，但由於二因子模型中利率是浮動的，本文一 因子模型中down-and-out call option評價公式利率是假設為固定常數。所以本文 二因子模型改套用Briys Model的債券評價公式。

透過滿足Briys Model的債券評價公式與Ito’s Lemma兩條限制式(3.3.1)去做 規劃求解求得

V

_ｔ

、 

Vt。

Briys Model透過

f

₁與

f

₂兩個參數調整破產成本(Bankruptcy Cost)，本文假設 稅盾效益與破產成本為零，令Tax BenefitBankruptcy Cost0，因此

( )_L ' ( )_t

levered firm value V  firm s asset value V ，

f

₁與

f

₂均設為1。

得到

V

_ｔ

、 

Vt後，代入(3.1.2)式算出從時間點t 到tt之間的違約機率。

第四節 內生決定回收比率(Recovery Rate)

Rate) F^D = ( ) 採用Hull-White利率模型，與Chamber & Lu(2007)採用BDT利率模型不同。

如同一因子評價模型，CRR中的上漲機率

p

必須調整為

p~

機率測度下，股價隨機過程會具有martigle性質，證明如下：

i,j ,j ,j ,j

將違約機率、Hull-White tree和CRR tree結合成一個樹狀結構，並且考慮股價 和利率之間存在相關性 ， 是一個外生變數。透過  可以推導出樹狀結構走到

接著要調整六條分支機率，本文調整方式採用Brigo and Mercurio（2006）在 附錄F. Approximating Diffusions with Trees中提到先將邊際機率相乘，再利用 調

整符合限制；Hull and White(1994)也提過類似的聯合機率配適方法。調整方法 如表3.1：

R/S R _u R _m R _d

S u

p

₁

 p~  P

_u

  p

₃

 ~ p  P

_m

p

₅

 p~  P

_d

 

S d

p

₂

 ( 1  ~ p)  P

_u

  p

₄

 ( 1  p ~ )  P

_m

p

₆

 ( 1  p) ~  P

_d

 

表3.1 六條分支機率調整方法 調整六條分支機率後，利用

) ( ) (

E(S)E(R)

-E(RS)

R V S

 V



等式來解未知數



，即可得

到p₁,p₂,p₃,p₄,p₅,p₆。

其中E(RS)p₁S_uR_u p₂S_dR_up₃S_uR_mp₄S_dR_mp₅S_uR_dp₆S_dR_d，



為已知常數。

將違約機率、利率與股價及六條分支機率結合成七元樹，如圖3.5 所示：

圖3.5 二因子模型七元樹 曾右仲(2009)証明當利率或違約機率太大時

i,j ,j

(R λ_i ) t

e d

p u d

  

 

 會有機率大於1

的情形發生，本文採Dai(2009)的 Stair tree 來解決此問題。此處因為有違約分支，

所以要改寫(2.1.7)式，



( +r

 

^ _S² / 2) ，其中 r 代表各節點利率，t



^為各節

點的違約密度，



_S為股價波動度。

重新結合Hull-White tree、Stair tree 與違約機率成為新的樹狀結構，透過 可 以推導出樹狀結構走到下一期的九個分支機率p₁,p₂,p₃,p₄,p₅,p₆,p₇,p₈,p₉，其推

圖3.6 二因子模型十元樹

建立好二因子樹狀結構後，利用倒推法計算可轉換公司債價格。

建立好二因子樹狀結構後，利用倒推法計算可轉換公司債價格。

在文檔中 評估信用風險之可轉換公司債評價模型：結構式模型 (頁 12-73)