綜合習題

習題 2：

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點座標與對稱軸：

(1)

f ( x ) = − x

²

(2) ² 2 ) 1 (

x x f

=

(3) 2

7 ) 1

(

x

= x² −

f

(4)

f ( x ) = x − ( − 1 )

²

(5)

f ( x ) = x 2 ( − 1 )

²

+ 1

(6)

f ( x ) = x

²

− 4 x − 1

(7)

f ( x ) = 3 x

²

+ 6 x − 4

(8) 4 5

2 ) 1

(

x

=

x

² +

x

+

f

習題 3：

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出

x

的值為多少時，會得到最大值或最 小值：

(1)

f ( x ) = x 2

²

+ 6

(2)

f ( x ) = − 3 x

²

− 1

(3) ( 1)² 2

) 1

(

x

=

x

−

f

(4)

f ( x ) = x 3 ( + 3 )

²

− 3

(5)

f ( x ) = − 3 x

²

+ 24 x − 12

(6)

f ( x ) = x

²

− 4 x + 5

(7) 4 1

2 ) 1

(

x

=

x

² +

x

+

f

(8) 8 1

3 ) 2

(

x

=

x

² −

x

−

f

習題 4：

二次函數

f ( x ) = − 10 x

²的圖形向左移動 10 單位、向下移動 3 單位後可得

k

p x a x

f ( ) = ( + )

²

+

，試求

a

+

p

+

k

之值。

習題 5：

若二次函數

f ( x ) = x

²

+ x − 56

的函數圖形與

x

軸交於

A

、

B

兩點，試求 AB 。

習題 6：

求拋物線

y = x

²

− 3 x

與直線

y

= x3 −8的交點。

習題 7：

若

x

+ y=16，則：(1)

xy

的最大值為何？(2)

x +

²

y

²的最小值為何？

習題 8：

楊楊想用一條 400 公分長的繩子，圍成一個矩形。請問長、寬分別為多少公分時，

可圍出最大的面積？最大的面積是多少平方公分？

習題 9：

從地面發射一枚砲彈，若經過時間 t 秒與砲彈高度 y 公尺的關係式為

y = − t

²

+ 8 t

， 請問：

(1)此砲彈飛到最高點時，高度為多少公尺？

(2)此砲彈高度為 12 公尺時，經過時間為多少秒？

習題 10：

已知某拋物線最低點為

O

(0,0)，且與直線

y

=8交於 A

、 B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若 OAB

 的面積為 16 平方單位，試求：

(1)A

、 B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

習題 11：

洋洋公司舉辦員工旅遊，預定人數為 40 人，每人收費 5000 元。但達到 40 人之後，

每超過 1 人，則每人費用減 100 元。例如若有 41 人，則每人收費 4900 元。請問 人數為多少時，收到的總費用會最多？

習題 12：

如圖 9.1，爺爺想在河邊用鐵絲圍一個長方形的菜 園，鐵絲長 160 公尺。河當作一邊不用鐵絲圍。請問 圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

圖 9.1

基測與會考模擬試題

( ) 1. 若用配方法將二次函數

y = − 2 x

²

− 4 x + 1

寫成

y = − 2 ( x − h )

²

+ k

的形式，求

= + k

h

？【91(一)基測】

(A) 2ˉ(B) 4ˉ(C)

− 4

ˉ(D)

− 2

( ) 2. 下列為四個二次函數的圖形，哪一個函數在

x

=2時有最大值 3？【92(一) 基測】

(A) (B) (C) (D)

( ) 3. 下列哪一個二次函數，其圖形的對稱軸為

x

=2？【93(一)基測】

(A)

y = x ( + 2 )

²

+ 4

(B)

y = x − ( − 2 )

²

+ 1

(C)

y = x

²

− 2

(D)

y = x

²

− 2 x + 2

( ) 4. 如圖 9.2，座標平面上有一透明片，透明片上有一拋物線及一點

P

，且拋物 線為二次函數

y = x

²的圖形，

P

的座標為(2,4)。若將此透明片向右、向上移 動後，得拋物線的頂點座標為(7,2)，則此時

P

的座標為何？【97(一)基測】

圖 9.2

(A) (9,4) (B) (9,6) (C) (10,4) (D) (10,6)

( ) 5. 座標平面上有一函數

y = 24 x

²

− 48

的圖形，其頂點座標為何？【99(一)基測】

(A) ( −0, 2) (B) ( −1, 24) (C) ( −0, 48) (D) (2,48)

( ) 6. 下列哪一個二次函數，其圖形與

x

軸有兩個交點？【99(二)基測】

(A)

y = − x

²

+ 2 x − 5

(B)

y = − 2 x

²

− 8 x − 11

(C)

y = 3 x

²

− 6 x + 1

(D)

y = x 4

²

+ 24

( ) 7. 座標平面上，二次函數 ² 2 1

x

y =

的圖形過

A

、

B

兩點，其中

A

、

B

兩點的

x

座

標分別為 2、4。若自

A

作

y

軸的平行線，自

B

作

^x

軸的平行線，且兩線交 於

C

點，則

C

點座標為何？【99(二)基測】

(A) (2,8) (B) (2,2 2) (C) (4,2) (D) (4,2 2)

( ) 8. 圖 9.3 為座標平面上二次函數

y = ax

²

+ bx + c

的圖形，且此圖形通過 )

1 , 1

(− 、( −2, 1)兩點。下列關於此二次函數的敘述，何者正確？【100(一) 基測】

圖 9.3

(A)

y

的最大值小於 0 (B)當

x

=0時，

y

的值大於 1 (C) 當

x

=1時，

y

的值大於 1 (D)當

x

=3時，

y

的值小於 0

( ) 9. 若下列有一圖形為二次函數

y = 2 x

²

− 8 x + 6

的圖形，則此圖為何？【100 北 北基】

(A) (B) (C) (D)

( ) 10. 如圖 9.4，將二次函數

y = 31 x

²

− 999 x + 89

²的圖形畫在座標平面上，判斷方 程式31

x

²−999

x

+89² =0的兩根，下列敘述何者正確？【100 北北基】

圖 9.4

(A) 兩根相異，且均為正根 (B) 兩根相異，且只有一個正根 (C) 兩根相同，且為正根 (D) 兩根相同，且為負根

( ) 11. 座標平面上有一函數

y = − 3 x

²

+ 12 x − 7

的圖形，其頂點座標為何？【102 基 測】

(A) (2,5) (B) ( −2, 19) (C) (−2,5) (D) (−2,−43)

( ) 12. 將兩個二次函數

y = x 2

²

+ 1

與

y = x 2

²

− 1

畫在同一座標平面上，下列有關這 兩個函數圖形關係的敘述，哪一個是錯誤的？【90(一)基測】

(A)有相同的開口方向ˉ (B)圖形都是拋物線 (C)有相同的頂點座標ˉ (D)有相同的對稱軸

( ) 13. 如圖 9.5，將二次函數

y = x

²的圖形向右移動兩個單位長，則下列哪一個二 次函數的圖形，可為虛線所表示的圖形？【90(一)基測】

圖 9.5

(A)

y = x

²

+ 2

(B)

y = x

²

− 2

(C)

y = x ( + 2 )

² (D)

y = x ( − 2 )

²

( ) 14. 如圖 9.6，

A

、

B

分別為

y = x

²上兩點，且

AB ⊥ y

軸。若

AB

=6，則直線

AB

的方程式為何？【91(二)基測】

圖 9.6

(A)

y

=3ˉ (B)

y

=6ˉ (C)

y

=9 ˉ(D)

y

=36

( ) 15. 在座標平面上，有一個二次函數圖形交

^x

軸於(−4,0)，(2,0)兩點，今將此二 次函數圖形向右移動 h 單位，再向下移動幾個單位後，發現新的二次函數圖 形與

^x

軸相交於(−1,0)，(3,0)兩點，則 h 的值為何？【92(一)基測】

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

( ) 16. 在座標平面上，

y = x 2

²

− 8

的圖形經由下列哪一種方式移動後，可得到

12

) 5 (

2 −

²

+

= x

y

的圖形？【92(二)基測】

(A)先向左移 5 單位，再向上移 20 單位 (B)先向右移 5 單位，再向上移 20 單位 (C)先向下移 5 單位，再向右移 20 單位 (D)先向上移 5 單位，再向左移 20 單位

( ) 17. 圖 9.6 是一座標平面。已知籃框位置

B

點在

y

軸上，今有一選手將球從

A

點的位置投出，球經過的路徑是拋物線，由

B

點空心進籃。若此拋物線是 下列某一函數的圖形，則此函數為何？【92(二)基測】

圖 9.6 (A) ( 2)²

2 6−1 +

=

x

y

(B) ( 2)² 2

6−1 −

=

x

y

(C) ( 2)² 2

6+1 −

=

x

y

(D) ( 2)² 2

6+1 +

=

x y

( ) 18. 有一算式“(50－□)×(□＋10)”，其中兩個□內規定皆填入相同的正整 數。例如：當□填入“1”時，“(50－1)×(1＋10)＝539”，即此算式的值 為 539。求此算式的最大值為何？【93(一)基測】

(A)700 (B)800 (C)900 (D)1000

( ) 19. 下列哪一個二次函數，其圖形和

y = 4 x

²

− 8 x

的圖形有相同的頂點？【93(二) 基測】

(A)

y = 2 x

²

− 4 x

(B)

y = − 2 ( x + 1 )

²

(C)

y = x 2 ( + 1 )

²

+ 4

(D)

y = − 2 ( x − 1 )

²

− 4

( ) 20. 小梅將一張畫有拋物線的透明片擺到座標平面上，將拋物線頂點與點 (2 , 3)重合，開口向上時，此拋物線為二次函數

y = x 2 ( − 2 )

²

+ 3

的圖形，

如圖 9.7。若她將透明片反轉，使得開口向下且頂點的位置不變，如圖 9.8，

則圖 9.8 的拋物線為下列哪一個二次函數的圖形？【97(二)基測】

圖 9.7 圖 9.8 (A)

y = − 2 ( x − 2 )

²

+ 3

(B)

y = − 2 ( x − 2 )

²

− 3

(C)

y = − 2 ( x + 2 )

²

+ 3

(D)

y = − 2 ( x + 2 )

²

− 3

( ) 21. 向上發射一枚砲彈，經

^x

秒後的高度為

y

公尺，且時間與高度的關係為

bx

ax

y =

²

+

。若此砲彈在第 7 秒與第 14 秒時的高度相等，則在下列哪一個 時間的高度是最高的？【98(一)基測】

(A)第 8 秒 (B)第 10 秒 (C)第 12 秒 (D)第 15 秒

( ) 22. 下列哪一個函數，其圖形與

x

軸有兩個交點？【98(一)基測】

(A)

y = 17 ( x + 83 )

²

+ 2274

(B)

y = 17 ( x − 83 )

²

+ 2274

(C)

y = − 17 ( x − 83 )

²

− 2274

(D)

y = − 17 ( x + 83 )

²

+ 2274

( ) 23. 座標平面上，二次函數

y = x

²

− 6 x + 3

的圖形與下列哪一個方程式的圖形沒 有交點？【100(一)基測】

(A)

x

=50 (B)

x

=−50 (C)

y

=50 (D)

y

=−50

( ) 24. 如圖 9.9，座標平面上二次函數

y = x

²

+ 1

的圖形通過

A

、

B

兩點，且座標分

別為 ) 4 ,29

(a 、 ) 4 ,29

(b ，則 AB 的長度為何？【100(二)基測】

圖 9.9

(A) 5 (B) 4

25 (C) 2

29 (D) 2 29

( ) 25. 判斷下列哪一組的

a

、

b

、

c

，可使二次函數

^{y = ax}

²

^{+ bx + c − 5 x}

²

^{− 3 x + 7}

在座 標平面上的圖形有最低點？【101 基測】

(A)

a

=0，

b

=4，

c

=8 (B)

a

=2，

b

=4，

c

=−8 (C)

a

=4，

b

=−4，

c

=8 (D)

a

=6，

b

=−4，

c

=−8

( ) 26. 有一個二次函數

y = x

²

+ ax + b

，其中

a

、

b

為整數。已知此函數在座標平面 上的圖形與

x

軸交於兩點，且兩交點的距離為 4。若此圖形的對稱軸為

−5

=

x

，則此圖形通過下列哪一點？【101 基測】

(A) (−6,−1) (B) (−6,−2) (C) (−6,−3) (D) (−6,−4)

( ) 27. 有三個二次函數，甲：

y = x

²，乙：

y = x

²

+ 2 x − 1

，丙：

y = − x

²，下列哪一 個敘述是正確的？【90(二)基測】

(A)甲的圖形經適當的平行移動後，可與乙的圖形重疊在一起 (B)甲的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (C)乙的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (D)甲、乙、丙三個圖形經適當的平行移動後，都可重疊在一起

( ) 28. 如圖 9.10，小智丟垃圾的路徑是一個二次函數

y

=−

x

+2

x

+

c

3

1 ₂

的圖形。已

知小智是在此二次函數圖形的頂點(即

B

點)將垃圾丟出，且從

A

(0,1) 點進 入筒內。若

B

點的座標為( b

a

, )，則 =

b

？【90(二)基測】

圖 9.10 (A)3ˉ(B)4ˉ(C)5ˉ(D)6

( ) 29. 已知二次函數

y = ax

²

+ k

，其中

a

0、

k

0，則下列哪一個選項可能是此 二次函數的圖形？【91(一)基測】

(A) (B) (C) (D)

ˉ

( ) 30. 如圖 9.11，在長度為 28 的 AB 上取一點

P

。用 AP 圍成一個長方形

PMNO

， 其中

PM

=3

PO

，再用 BP 圍成一個正方形

PVUT

，如圖(二)。已知

PO = t

， 長方形與正方形的面積和有最小值

^s

，則

s ？【91(二)基測】

=

圖 9.11 (A)14ˉ(B)21ˉ(C)28ˉ(D)29

( ) 31. 在座標平面上，方程式

y = x 2

²

− 9

的圖形交

^x

軸於

A

、

A

兩點；方程式 8

13) ( 2

2 − ² −

= x

y

的圖形交

x

軸於

B

、

B

兩點；方程式 ) 5 17 ( 3

2 + ²+

−

=

x

y

的圖

形交

x

軸於

C

、

C

兩點。比較

AA 、

'

BB 、

'

CC

'的長度，下列關係何者正確？

【98(二)基測】

(A)

AA

'=

BB

'=

CC

' (B)

AA

'=

BB

'

CC

' (C)

AA

'

BB

'

CC

' (D)

AA

'

BB

'

CC

'

( ) 32. 座標平面上，若移動二次函數

y

=2(

x

−175)(

x

−176)+6的圖形，使其與

^x

軸 交於兩點，且此兩點的距離為 1 單位，則移動方式可為下列哪一種？【99(一) 基測】

(A)向上移動 3 單位 (B)向下移動 3 單位 (C)向上移動 6 單位 (D)向下移動 6 單位

習題解答

9.1 練習解答

練習 9.1-1

x −3 −2 −1 ^{0 1 2 3}

y −9 −4 −1 ⁰ −1 −4 −9

)

2

( x x f = −

練習 9.1-2

x 0 1 2

y ₀

4

−1 −1

2

4 ) 1

(

x x f

=− y軸為對稱軸

練習 9.1-3

(1)開口向下 (2)開口向上 (3)開口向下

練習 9.1-4 頂點(0,6)

x −3 −2 −1 ^{0 1 2 3}

y −3 ^{2 5 6 5 2} −3

6 )

( x = x −

²

+ f

練習 9.1-5 頂點( −0, 7)

x −3 −2 −1 ^{0 1 2 3}

y _6.5 −1 -5.5 −7 -5.5 −1 6.5

2 7 ) 3

(

x

= x² −

f

練習 9.1-6

頂點(1,0)、對稱軸x=1

x −2 −1 ^{0 1 2 3 4}

y _{4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5}

)2

1 2( ) 1

(

x

=

x

−

f

練習 9.1-7

頂點(−2,0)、對稱軸x=−2

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1

y _-4.5 −2 -0.5 0 -0.5 −2 -4.5

)2

2 2(

) 1

(

x

=−

x

+

f

練習 9.1-8

頂點(−2,−1)、對稱軸x=−2

x −5 −4 −3 −2 −1 ^{0 1}

y _{3.5 1 -0.5} −1 -0.5 1 3.5

1 ) 2 2( ) 1

(

x

=

x

+ ² −

f

練習 9.1-9

頂點(−2,3)、對稱軸x=−2

x −5 −4 −3 −2 −1 ^{0 1}

y 0.75 2 2.75 3 2.75 2 0.75

3 ) 2 4( ) 1

(

x

=−

x

+ ²+

f

練習 9.1-10

頂點( −3, 13)、對稱軸x=3^{、開口向上} 練習 9.1-11

頂點(−6,−4)、對稱軸x=−6、開口向下 練習 9.1-12

頂點(−2,−8)、對稱軸x=−2、開口向上 練習 9.1-13

頂點( −1, 2)、對稱軸x=1、開口向下 練習 9.1-14

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1

y _{0.5 3 4.5 5 4.5 3 0.5}

3 2 2

) 1

(

x

=−

x

² −

x

+

f

練習 9.1-15 頂點(5,7) 練習 9.1-16

3 ) 1 ( )

(x = x+ ² + f

練習 9.1-17 2 ) 3 ( 2 )

(x = x+ ² − f

練習 9.1-18 0 個

9.1 習題解答

9.1-1

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y _{18 8 2 0 2 8 18}

2

2

) ( x x

f =

9.1-2

(1)y軸為對稱軸 (2)

x 0 1 2

y _{1 3 12}

3

2

) ( x x

f =

9.1-3 (1)開口向上 (2)開口向下 (3)開口向上

9.1-4 頂點(0,1)

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y _{10 5 2 1 2 5 10}

1 )

( x = x

²

+ f

9.1-5 頂點( −0, 1)

x −3 −2 −1 ^{0 1 2 3}

y _{17 7 1} −1 ^{1 7 17}

1 2 )

( x = x

²

−

f

9.1-6 頂點(2,0)、對稱軸x=2

x −1 0 1 2 3 4 5

y _{27 12 3 0 3 12 27}

)

2

2 ( 3 )

( x = x − f

9.1-7 頂點(1,0)、對稱軸x=1

x −2 −1 ^{0 1 2 3 4}

y _{4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5}

)2

1 2( ) 1

(

x

=

x

−

f

9.1-8 頂點(−1,−1)、對稱軸x=−1

x −4 −3 −2 −1 0 1 2

y _{17 7 1} −1 ^{1 7 17}

1 ) 1 ( 2 )

( x = x +

²

− f

9.1-9 頂點(−1,3)、對稱軸x=−1

x −4 −3 −2 −1 ^{0 1 2}

y _{-1.5 1 2.5 3 2.5 1 -1.5}

3 ) 1 2( ) 1

(

x

=−

x

+ ² +

f

9.1-10 頂點(1,5)、對稱軸x=1、開口向上 9.1-11 頂點(−1,1)、對稱軸x=−1、開口向下 9.1-12 頂點(−1,−6)、對稱軸x=−1、

開口向上

9.1-13 頂點(1,5)、對稱軸x=1、開口向下

9.1-14

x −4 −3 −2 −1 0 1 2

y _{25 10 1} −2 ^{1 10 25}

1 6 3 )

( x = x

²

+ x + f

9.1-15 頂點(−3,1) 9.1-16 2 個

9.1-17 f(x)= x( −1)² +2

9.1-18 f(x)= x−( −2)² +3

9.2 練習解答

練習 9.2-1

(1) 1

2 ) 1

(x =− x² −

f (2) 3

2 ) 1

(x =− x² + f

(3) ( 2)² 2

) 1

(x =− x+

f (4) ( 4)²

2 ) 1

(x =− x− f

練習 9.2-2

(1) f(x)=−5(x−5)² +3(2) f(x)=−5(x+4)² −6 練習 9.2-3

(1) f(x)= x( +1)² +1 (2) f(x)= x( +5)² −2

(3) f(x)= x² −4 練習 9.2-4

15 ) 3 ( )

(x = x− ² − f

練習 9.2-5

8 ) 1 ( 2 )

(x =− x+ ² + f

9.2 習題解答

9.2-1 (1) f(x)= x2 ² +2 (2) f(x)= x2 ² −4 (3) f(x)= x2( +1)² (4) f(x)= x2( −3)² 9.2-2 (1) f(x)= x3( −2)² +4

(2) f(x)= x3( +3)² −1 9.2-3 (1) f(x)= x( −3)² +3

(2) f(x)= x( +2)² −1 (3) f(x)= x( −1)² −4 9.2-4 f(x)= x( −2)² −2 9.2-5 f(x)= x−( −1)² +2

9.3 練習解答

練習 9.3-1 有最低點(−4,−2) 練習 9.3-2

有最高點 )

4 33 2, 31 (

練習 9.3-3 有最小值−7 練習 9.3-4 有最大值 3 練習 9.3-5 有最大值−16 練習 9.3-6 有最小值−1 練習 9.3-7 有最小值−1 練習 9.3-8 有最小值−105

9.3 習題解答

9.3-1 有最低點(1,2) 9.3-2 有最高點( −3, 1) 9.3-3 有最小值 5 9.3-4 有最大值−2 9.3-5 有最小值−4 9.3-6 有最大值−2 9.3-7 有最小值−4 9.3-8 有最小值−2

9.4 練習解答

練習 9.4-1 4 單位 練習 9.4-2

) 1 , 2

( − 、(6,7) 練習 9.4-3

(1)長為 50 公分、寬為 50 公分 (2)2500 平方公分

練習 9.4-4

(1)8 公尺 (2)30 公尺 練習 9.4-5

(1)19.6 公尺 (2)4 秒 練習 9.4-6

(1)A(6,9)、B(−6,9) (2) ² 4 1x y =

練習 9.4-7

35 人時，收到 122500 元 練習 9.4-8

加種 5 棵時，產量 30250 根香蕉 練習 9.4-9

(1)36 (2)72 練習 9.4-10

45

練習 9.4-11

(1)C點座標 5，有最大值 16 (2)C點座標 5，有最小值 32 練習 9.4-12

5000 平方公尺

9.4 習題解答

9.4-1 答：4 單位

9.4-2 答：(−3,3)、(−4,8)

9.4-3 答：(1)長為 10 公分、寬為 10 公分 (2)100 平方公分

9.4-4 答：(1)13 公分 (2)4 +2 5公分 9.4-5 答：(1)225 公尺 (2)5 秒或 25 秒 9.4-6 答：(1)A(6,12)、B(−6,12)

(2) ² 3 1x y =

9.4-7 答：15 人時，收到 22500 元

9.4-8 答：加種 5 棵時，產量 2250 個蘋果 9.4-9 答：(1)49 (2)98

9.4-10 答：48

9.4-11 答：(1)C點座標 6，有最大值 25 (2)C點座標 6，有最小值 50 9.4-12 答：31250 平方公尺

第九章綜合習題

1.答：

(1)

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y −36 −16 −4 ⁰ −4 −16 −36

4

2

)

( x x f = −

(2)

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 3.6 1.6 0.4 0 0.4 1.6 3.6

2

5 ) 2 (

x x

f

=

(3)

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1

y _{27 12 3 0 3 12 27}

)

2

2 ( 3 )

( x = x + f

(4)

x −3 −2 −1 ^{0 1 2 3}

y _{20 10 4 2 4 10 20}

2 2 )

( x = x

²

+ f

(5)

x 0 1 2 3 4 5 6

y −18 −8 −2 ⁰ −2 −8 −18

18 12 2

)

( x = − x

²

+ x − f

2.答：

(1) 開口向下、頂點(0,0)、對稱軸x=0 (2) 開口向上、頂點(0,0)、對稱軸x=0 (3) 開口向上、頂點( −0, 2)、對稱軸x=0 (4) 開口向下、頂點(1,0)、對稱軸x=1 (5) 開口向上、頂點(1,1)、對稱軸x=1 (6) 開口向上、頂點( −2, 5)、對稱軸x=2 (7) 開口向上、頂點(−1,−7)、對稱軸x=−1 (8) 開口向上、頂點(−4,−3)、對稱軸x=−4 3.答：

(1) x=0時有最小值 6 (2) x=0時有最大值−1 (3) x=1時有最小值 0 (4) x=−3時有最小值−3 (5) x=4時有最大值 36 (6) x=2時有最小值 1 (7) x=−4時有最小值−7 (8) x=6時有最小值−25 4.答：−3

5.答：AB=15

7.答：(1)64 (2)128 8.答：長為 100 公分、寬為 100 公分；

面積 10000 平方公分

9.答：(1)16 公尺 (2)2 秒或 6 秒 10.答：(1)A(2,8)、B(−2,8)

(2)y =2x²

11.答：45 人時，收到 202500 元 12.答：3200 平方公尺

基測與會考模擬試題解答

1. 《答案》(A)

詳解： y=−2x² −4x+1=−2(x²+2x+1)+2+1=−2(x+1)² +3=−2(x−h)²+k → h=−1、k =3

→ h+ k =−1+3=2 2. 《答案》(A)

詳解： 二次函數在x=2時有最大值 3，須為一開口向下，頂點為(2,3)的拋物線，僅有(A)符合。

3. 《答案》(B)

詳解： (A)y= x( +2)² +4對稱軸是x=−2

(B)y= x−( −2)² +1對稱軸是x=2，符合 (C)y= x² −2對稱軸是x=0

(D)y=x² −2x+2=(x² −2x+1)+1=(x−1)² +1對稱軸是x=1 4. 《答案》(B)

詳解： 頂點原為(0,0)移動至(7,2)，表示此透明片向右 7 單位、向上 2 單位移動；P 點座標(2,4)向 右 7 單位、向上 2 單位後新座標為(2+7,4+2)=(9,6)

5. 《答案》(C)

詳解： y=24x² −48的頂點為( −0, 48) 6. 《答案》(C)

詳解： 與 x 軸有兩個交點之二次函數判別式b²− ac4 0 (A)2² −4(−1)(−5)=−160

(B)(−8)² −4(−2)(−11)=−240 (C)(−6)² −431=240，符合 (D)0²−4424=−3840

7. 《答案》(A)

詳解： ²

2 1x

y = 通過A、B兩點，其 x 座標分別是 2、4 A點 x 座標是 2，代入 ²

2 1x

y = ，得A(2,2)；B點 x 座標是 4，代入 ² 2 1x

y = ，得B(4,8) 自A作y軸的平行線，自B作 x 軸的平行線，相交於C(2,8)

8. 《答案》(D)

詳解： 由圖知二次函數通過(−1,1)、( −2, 1)，判斷以下選項 (A)y的最大值小於 0，是錯的

(B)當x=0時，y的值大於 1，是錯的 (C)當x=1時，y的值大於 1，是錯的

=

9. 《答案》(A)

詳解： y=2x² −8x+6=2(x² −4x+4)−8+6=2(x−2)² −2，此二次函數的頂點為( −2, 2) 當x=0代入y=6，故函數通過(0,6)，僅(A)符合

10. 《答案》(A)

詳解： 函數與 x 軸(即當y=0時)有兩交點，且都落於 x 軸的正向，故有兩相異正根 11. 《答案》(A)

詳解： y=−3x² +12x−7=−3(x² −4x+4)+12−7=−3(x−2)² +5，此二次函數的頂點為(2,5) 12. 《答案》(C)

詳解： y= x2 ² +1與y= x2 ² −1皆為開口向上的拋物線，對稱軸皆為x=0，頂點分別為(0,1)、 )

1 , 0

( − ，故僅有(C)錯誤 13. 《答案》(D)

詳解： y =x²向右移動 2 單位，可得新二次函數y= x( −2)² 14. 《答案》(C)

詳解： A、B兩點在y = x²上，且AB ⊥ y，已知AB=6，得知A、B兩點與y軸的距離都為 3，B 點的 x 座標為 3，代入y = x²得y=9，得知B(3,9)，直線AB的方程式為y=9

15. 《答案》(C)

詳解： 二次函數交 x 軸於(−4,0)、(2,0)，此兩點為對稱點，故對稱軸為 1 2

2 4+ =−

= − x

右移h單位，再向下移動幾個單位後，新的函數交 x 軸於(−1,0)、(3,0)，故對稱軸為 2 1

3 1+ =

= −

x ；對稱軸由x=−1移至x=1得知此函數向右移 2 單位

16. 《答案》(B)

詳解： 函數y= x2 ² −8移動後得新函數y = x2( −5)² +12，可知向右移 5 單位，向上移12−(−8)=20 單位

17. 《答案》(A)

詳解： 此拋物線頂點落於第二象限，且開口向下；各選項頂點分別為 (A)(−2,6)、(B)(2,6)、 (C)(2,6)、(D)(−2,6)，僅有(A)、(D)符合，又只有(A)選項開口向下

18. 《答案》(C)

詳解： 設未知數 x ，(50−x)(x+10)=−x² +40x+500=−(x² −40x+400)+900=−(x−20)² +900， 當x=20時有最大值 900

19. 《答案》(D)

詳解： y=4x² −8x=4(x² −2x+1)−4=4(x−1)² −4，頂點為( −1, 4) (A)y=2x² −4x=2(x² −2x+1)−2=2(x−1)² −2，頂點為( −1, 2)

(B)y=−2(x+1)²，頂點為(−1,0) (C)y= x2( +1)² +4，頂點為(−1,4)

(D)y=−2(x−1)² −4，頂點為( −1, 4)，符合 20. 《答案》(A)

詳解： 拋物線y= x2( −2)² +3反轉，開口方向改變，頂點、對稱軸皆不改變的二次函數，僅改變x² 項的係數正負，故y=−2(x−2)² +3

21. 《答案》(B)

詳解： 頂點 x 軸座標 10.5 2

14 7+ =

，拋物線開口向下，越接近頂點高度越高，故 10 秒時高度最高

22. 《答案》(D)

詳解： 由二次函數的開口與頂點判斷與 x 軸的交點數 (A)開口向上，頂點(−83,2274)，與 x 軸沒有交點 (B)開口向上，頂點(83,2274)，與 x 軸沒有交點 (C)開口向下，頂點(83,−2274)，與 x 軸沒有交點 (D)開口向下，頂點(−83,2274)，與 x 軸有 2 個交點 23. 《答案》(D)

詳解： y=x² −6x+3=(x² −6x+9)−6=(x−3)² −6，拋物線開口向上，頂點( −3, 6)，不會通過

−50 y=

24. 《答案》(A)

詳解： y= x² +1通過A、B兩點，座標分別為 ) 4 ,29

(a 、 )

4 ,29

(b ，將此兩點代回y= x² +1 4 1

29= a2 + →

2

5

=

a ，A、B兩點的距離為 ) 5 2 ( 5 2

5− − =

25. 《答案》(D)

詳解： y=ax² +bx+c−5x² −3x+7=(a−5)x² +(b−3)x+c+7在座標平面上有最低點，則需 0

−5 

a ，僅有(D)符合 26. 《答案》(C)

詳解： 二次函數與 x 軸交於兩點，且兩交點的距離為 4，又對稱軸為x=−5，得知兩點為(−7,0)、 )

0 , 3

(− ；將此兩點代回y= x² +ax+b





+

−

−

=

+

−

−

=

b a

b a 3 ) 3 ( 0

7 ) 7 ( 0

2 2

→ 

=

−

=

− 9 3

49 7

b a

b

a →





=

= 21 10 b

a → y =x² +10x+21 → 將x=−6代入

3 21 ) 6 ( 10 ) 6

(− ² +  − + =− ，因此通過(−6,−3) 27. 《答案》(A)

詳解： 甲：y =x²、乙：y=x² +2x−1=(x+1)² −2、丙：y =−x²

在文檔中 代數第九章 目錄 (頁 89-117)