代數第九章 目錄

117  Download (0)

Full text

(1)

代數第九章

目錄

第九章 二次函數 ... 1

學習目標 ... 1

9.1 節 二次函數及其圖形 ... 2

9.1 節 習題 ... 38

9.2 節 二次函數圖形的移動 ... 45

9.2 節 習題 ... 58

9.3 節 二次函數的最大值與最小值 ... 59

9.3 節 習題 ... 67

9.4 節 二次函數的綜合題與應用題 ... 69

9.4 節 習題 ... 84

第九章綜合習題 ... 88

基測與會考試題 ... 94

習題解答 ... 104

(2)

第九章 二次函數

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋 物線,拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時,球的移動軌跡就屬於拋物線。我 們也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。

學習目標

1.能畫出二次函數的函數圖形。

2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。

2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。

3.能處理二次函數的應用題。

(3)

9.1 節 二次函數及其圖形

在第八章中,我們已經學過一次函數

f

(

x

)=

ax

+

b

的函數圖形是一條直線。也簡單畫過

)

2

( x x f

y = =

的圖形是一條拋物線。本節我們將針對

y = f ( x ) = x

2這類二次函數來做討 論。

二次函數:形式為

f ( x ) = ax

2

+ bx + c

,其中

a

0。即變數 x 最高次數為 2,且

x 項係數

2 不為 0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形,對於二次函數如

f ( x ) = x

2我們也可 以畫出函數圖形。

我們來畫畫看

y = f ( x ) = x

2的圖形,先找出幾個符合的點:

x

-3 -1 0 1 3

y

9 1 0 1 9

表 9.1-1

將這些點描在直角座標上,並用直線連起來,如圖 9.1-1。

圖 9.1-1

x

y

(4)

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形,但事實上這張圖只是

y = f ( x ) = x

2的近似圖,

並非真正的圖形。我們可以再多增加(-2,4)、(2,4)兩個點,如圖 9.1-2:

圖 9.1-2

可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣,我們描的點越多,畫出來的圖形就會越 接近真正的

f ( x ) = x

2圖形。實際上,

f ( x ) = x

2是如圖 9.1-3 的拋物線。

f ( x ) = x

2

圖 9.1-3

x y

x x y

x

y

(5)

畫二次函數圖形時,我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點,再將各點連 接起來作為近似圖,取的點愈多,畫出來的圖形就愈精確。

例題 9.1-1

畫出二次函數

f ( x ) = − 2 x

2的圖形。

詳解:

y = f ( x ) = − 2 x

2,先找出數個圖形上的點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

-18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表 9.1-2

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-2。

f ( x ) = − 2 x

2 圖 9.1-4

x

y

(6)

【練習】9.1-1

畫出二次函數

f ( x ) = − x

2的圖形。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(7)

由前面例題,我們已知道函數

f ( x ) = x

2

f ( x ) = − 2 x

2的函數圖形都是拋物線。事實上,

只要是二次函數,那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時,相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質,先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸:

若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同時,x 座標互為相反數。

再來觀察

f ( x ) = x

2的函數圖形,即

y = f ( x ) = x

2。圖形右側的點(1,1)、(2,4)、(3,9),他 們對 y 軸的對稱點(−1,1)、(−2,4)、(−3,9),也都落在

y = x

2上。 事實上,所有

y = x

2上 的點( k

h

, ),對 y 軸的對稱點(−

h

,

k

)也都在

y = x

2上。此時我們稱 y 軸(或直線

x

=0)是

x

2

y =

的對稱軸。即

f ( x ) = x

2的函數圖形,其對稱軸為 y 軸。

f ( x ) = x

2

圖 9.1-5

x

y

(8)

除了

f ( x ) = x

2以外,所有形式為

f ( x ) = ax

2的函數圖形,也都是以 y 軸為對稱軸。

我們來證明

y = f ( x ) = ax

2是以 y 軸為對稱軸。已知點( k

h

, )在

y = ax

2上,若點(−

h

,

k

)也 在

y = ax

2上(即 x 座標代入 h− ,可得 y 座標為 k ),則可知

y = ax

2以 y 軸為對稱軸。

ax

2

y =

)

2

( h a

y =  −

(將 x 以 h− 代入)

ah

2

y =

(

( − h )

2

= h

2)

k

y =

(因為( k

h

, )在

y = ax

2上,所以

k = ah

2,即

ah =

2

k

)

由以上式子可知,當點( k

h

, )在

y = ax

2上時,點(−

h

,

k

)也在

y = ax

2上,因此

y = f ( x ) = ax

2 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱

f ( x ) = ax

2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。

(9)

例題 9.1-2

(1)找出二次函數 2 2 ) 1 (

x x

f

= ,其函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 2 2 ) 1 (

x x

f

= 的函數圖形。

詳解:

(1) 2

2 ) 1 (

x x

f

= 符合

f ( x ) = ax

2的形式,因此是以 y 軸為對稱軸。

(2) 2

2 ) 1 (

x x f

y

= = 的圖形對稱於 y 軸。我們只要畫出右側的圖形,再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。

x

0 1 2 3

y

0

2

1 2

2 41

表 9.1-3

圖 9.1-6

圖 9.1-6,先畫出 2 2 1

x

y =

右半邊的圖形,接著再利用線對稱,畫出左半邊的圖形。

x

y

(10)

2 2 ) 1 (

x x f

=

圖 9.1-7 圖 9.1-7 即為 2

2 ) 1 (

x x

f

= 的函數圖形。

【練習】9.1-2

利用對稱軸,畫出 2

4 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形。

x y

x

y

(11)

目前二次函數所畫出的拋物線圖形,有些是開口向上,有些是開口向下,開口方向是 否有什麼規則呢?我們多畫幾個圖形來看看。

開 口 向 上

2

2

) ( x x

f = f ( x ) = x

2 2

2 ) 1 (

x x f

=

開 口 向 下

2

2

)

( x x

f = − f ( x ) = − x

2 2

2 ) 1

(

x x f

=−

圖 9.1-8

同學應該可以發現,對於二次函數

f ( x ) = ax

2,當

a

0時,拋物線圖形開口向上;當

a

0 時,拋物線圖形開口向下。而且 a 越小,其開口越大。

另外在

a

0時,拋物線有最低點;

a

0時,拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點 也是拋物線與對稱軸的交點。

圖 9.1-9

(12)

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1)

f ( x ) = 3 x

2 (2)

f ( x ) = − 8 x

2 (3)

f ( x ) = 0 . 7 x

2 詳解:

(1)3 0,

f ( x ) = 3 x

2函數圖形開口向上。

(2)−8 0,

f ( x ) = − 8 x

2函數圖形開口向下。

(3)0.7 ,0

f ( x ) = 0 . 7 x

2函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1)

f ( x ) = − 2 x

2 (2) 2 50 ) 1

(

x x

f

= (3)

f ( x ) = − 0 . 3 x

2

(13)

瞭解了

f ( x ) = ax

2的函數圖形後,接著我們來看看形式為

f ( x ) = ax

2

+ k

的函數圖形。如

1

)

( x = x

2

+

f

一樣先找出

y = f ( x ) = x

2

+ 1

上的點

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

10 5 2 1 2 5 10

表 9.1-4

然後描點畫出圖形:

f ( x ) = x

2

+ 1

圖 9.1-10

圖 9.1-10 即為

y = f ( x ) = x

2

+ 1

的圖形,頂點為(0,1),對稱軸為

x

=0。

x

y

(14)

例題 9.1-4

畫出

f ( x ) = − 2 x

2

+ 3

的函數圖形,並指出頂點。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

-15 -5 1 3 1 -5 -15

表 9.1-5

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-11。

頂點為(0,3)。

f ( x ) = − 2 x

2

+ 3

圖 9.1-11

x

y

(15)

【練習】9.1-4

畫出

f ( x ) = x

2

+ 6

的函數圖形,並指出頂點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(16)

例題 9.1-5

畫出 4

2 ) 1

(

x

= x2

f

的函數圖形,並指出頂點。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

2

1 -2

2 31

− -4

2 31

− -2

2 1

表 9.1-6

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-12。

頂點為( −0, 4)。

4 2

) 1

(

x

= x2

f

圖 9.1-12

x

y

(17)

【練習】9.1-5

畫出 7

2 ) 3

(

x

= x2

f

的函數圖形,並指出頂點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(18)

目前我們已經畫出了數個形式為

f ( x ) = ax

2

+ k

的函數圖形。若與

f ( x ) = ax

2比較,同學 應該可以發現:

ax

2

y =

圖形的頂點為(0,0)。(例如

y = x

2圖形頂點為(0,0))

k ax

y =

2

+

圖形的頂點為( k0, )。(例如 4 2

1 2

= x

y

圖形頂點為( −0, 4))

ax

2

y =

y = ax

2

+ k

的對稱軸都是

x

=0。

圖 9.1-13

x

y

(19)

接下來,讓我們討論形式為

f ( x ) = a ( xh )

2的函數圖形,如

f ( x ) = x ( − 2 )

2。 要畫出

f ( x ) = x ( − 2 )

2的函數圖形,一樣先找出符合

y = f ( x ) = ( x − 2 )

2的點。

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

9 4 1 0 1 4 9

表 9.1-7

然後描點畫出圖形:

f ( x ) = x ( − 2 )

2

圖 9.1-14

圖 9.1-14 即為

f ( x ) = x ( − 2 )

2的函數圖形,頂點為(2,0),對稱軸為

x

=2。

=2

x

x

y

(20)

例題 9.1-6

畫出

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

0 1 2 3 4 5 6

y

18 8 2 0 2 8 18

表 9.1-8

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-15。

頂點為(3,0),對稱軸為

x

=3。

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

2

圖 9.1-15

x

y

(21)

【練習】9.1-6

畫出 ( 1)2 2

) 1

(

x

=

x

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y

(22)

例題 9.1-7

畫出 ( 4)2 2

) 3

(

x

=

x

+

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y

2

13 1 6

2

1 1 0

2

1 1 6

2 13 1

表 9.1-9

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-16。

頂點為(−4,0),對稱軸為

x

=−4。 ( 4)2 2

) 3

(

x

=

x

+

f

圖 9.1-16

(23)

【練習】9.1-7

畫出 ( 2)2 2

) 1

(

x

=−

x

+

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(24)

我們畫出了數個形式為

f ( x ) = a ( xh )

2的函數圖形。若與

f ( x ) = ax

2比較,同學應該可 以發現:

)

2

( x ax

f =

的函數圖形頂點為(0,0)。(例如

f ( x ) = x

2的函數圖形頂點為(0,0))

)

2

( )

( x a x h

f = −

的函數圖形頂點為(h,0)。(例如

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

2的函數圖形頂點為(3,0))

)

2

( x ax

f =

的函數圖形對稱軸是

x

=0,

f ( x ) = a ( xh )

2的函數圖形對稱軸是

x = h

圖 9.1-17

ax

2

y = y = a ( x h )

2

h h x =

= 0 x

x

y

(25)

學習了二次函數

f ( x ) = ax

2

+ k

f ( x ) = a ( xh )

2的函數圖形之後,接著我們要將這兩種 函數綜合起來,也就是形式為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

我們來試著畫畫看

y = f ( x ) = ( x − 2 )

2

+ 3

的圖形:

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

12 7 4 3 4 7 12

表 9.1-10

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 3

圖 9.1-18

3

) 2 ( )

( x = x

2

+

f

的函數圖形頂點是(2,3),對稱軸是

x

=2。

=2

x

x

y

(26)

例題 9.1-8

畫出

f ( x ) = x 4 ( + 2 )

2

− 3

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

33 13 1 -3 1 13 33

表 9.1-11

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-19。

頂點為(−2,−3),對稱軸為

x

=−2。

3 ) 2 ( 4 )

( x = x +

2

f

圖 9.1-19

x y

−2

=

x

(27)

【練習】9.1-8

畫出 ( 2) 1 2

) 1

(

x

=

x

+ 2

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(28)

例題 9.1-9

畫出 ( 4) 2 3

) 1

(

x

=−

x

2 +

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

詳解:

先找出數個圖形上的點。

x

1 2 3 4 5 6 7

y − 1

3 2

3

1 2 2

3 1 2

3

2

− 1

表 9.1-12

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-20。

頂點為(4,2),對稱軸為

x

=4。

( 4) 2 3

) 1

(

x

=−

x

2 +

f

圖 9.1-20

x

y

(29)

【練習】9.1-9

畫出 ( 2) 3 4

) 1

(

x

=−

x

+ 2+

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(30)

我們已經畫了數個形式為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形,同學應該可以發現到:

1. 頂點為( k

h

, )。 2. 對稱軸為

x = 。 h

3.

a

0則開口向上;

a

0則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數

f ( x ) = x 7 ( − 5 )

2

+ 16

其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

對照,得

h

=5、

k

=16、

a

=7 0。 因此頂點為(5,16)、對稱軸為

x

=5、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ( 3) 13 16

) 1

(

x

=

x

2

f

其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(31)

例題 9.1-11

求函數

f ( x ) = − 4 ( x + 3 )

2

+ 2

其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

對照,得

h

=−3、

k

=2、

a

=−4 0。 因此頂點為(−3,2)、對稱軸為

x

=−3、開口向下。

【練習】9.1-11

求函數 ( 6) 4 5

) 1

(

x

=−

x

+ 2

f

其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

現在我們很清楚二次函數

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形性質了,但若是函數形式為

c

bx ax x

f ( ) =

2

+ +

,又該如何處理呢?我們可以利用以前學過的配方法,將

c

bx ax x

f ( ) =

2

+ +

轉換為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的形式。

例如

f ( x ) = x

2

+ 4 x + 8

: )

(x

f

=

x

2 +4

x

+8

8 4 4

2 +4 + − +

=

x x

(加上中間項 x4 係數一半的平方以湊完全平方,再

− 4

維持 等式)

8 4 ) 2

( +

2

− +

= x

(化為完全平方)

4

) 2 ( +

2

+

= x

於是我們得到

f ( x ) = x

2

+ 4 x + 8 = ( x + 2 )

2

+ 4

因此

f ( x ) = x

2

+ 4 x + 8

的函數圖形頂點是(−2,4)、對稱軸是

x

=−2、開口向上。

(32)

例題 9.1-12

寫出

f ( x ) = x

2

+ 6 x − 18

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

) (x

f

=

x

2+6

x

−18

18 9 9

2 +6 + − −

=

x x

(加上中間項 x6 係數一半的平方以湊完全平方,再

− 4

維 持等式)

18 9 ) 3

( +

2

− −

= x

(化為完全平方)

27

) 3 ( +

2

= x

頂點為(−3,−27)、對稱軸為

x

=−3、開口向上。

【練習】9.1-12

寫出

f ( x ) = x

2

+ 4 x − 4

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

例題 9.1-13

寫出

f ( x ) = − 2 x

2

+ 8 x + 1

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解:

) (x

f

=−2

x

2 +8

x

+1

1 ) 4 (

2

2

− +

= x x

(提出 x2項的係數)

1

) 4 4 4 (

2

2

− + − +

= x x

(括號內加上中間項−4x係數一半的平方以湊 完全平方,再−4維持等式)

1 8 ) 4 4 (

2

2

− + + +

= x x

(將-4 移到括號外)

9

) 2 (

2 −

2

+

= x

(括號內化為完全平方) 頂點為(2,9)、對稱軸為

x

=2、開口向下。

【練習】9.1-13

寫出

f ( x ) = − 3 x

2

+ 6 x − 5

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(33)

例題 9.1-14

在直角座標上畫出

f ( x ) = 2 x

2

− 12 x + 20

的函數圖形。

詳解:

想畫

f ( x ) = 2 x

2

− 12 x + 20

的圖形,我們先利用配方法將函數化為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的形式,找出頂點後可讓作圖較容易。

) (x

f

=2

x

2 −12

x

+20

20 ) 6 (

2

2

− +

= x x

(提出 x2項的係數)

20

) 9 9 6 (

2

2

− + − +

= x x

(括號內加上中間項−6x係數一半的平方以湊 完全平方,再−9維持等式)

20 18 ) 9 6 (

2

2

− + − +

= x x

(將-9 移到括號外)

2

) 3 (

2 −

2

+

= x

(括號內化為完全平方) 頂點為(3,2)、對稱軸為

x

=3、開口向上。

找出圖形上的點:

x

0 1 2 3 4 5 6

y

20 10 4 2 4 10 20

表 9.1-13

將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-21。

20 12 2

)

( x = x

2

x + f

圖 9.1-21

x

y

(34)

【練習】9.1-14

在直角座標上畫出 2 3

2 ) 1

(

x

=−

x

2

x

+

f

的函數圖形。

x

y

(35)

例題 9.1-15

求 6

2 ) 1

(

x

=

x

2 +

x

+

f

其函數圖形的頂點座標。

詳解:

利用配方法將 6

2 ) 1

(

x

=

x

2 +

x

+

f

化成

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的形式。

) (x

f

6

2 1 2

+ +

=

x x

6 ) 2 2(

1 2+ +

=

x x

(提出 x2項的係數) 6

) 1 1 2 2(

1 2 + + − +

=

x x

(括號內+1 以湊完全平方,再-1 維持等式) 2 6

) 1 1 2 2(

1 2

+

− + +

=

x x

(將-1 移到括號外)

2 51 ) 1 2(

1 + 2 +

=

x

(括號內化為完全平方) 得頂點為 )

2 51 , 1

(− 。

【練習】9.1-15

求 2 2

5 ) 1

(

x

=−

x

2 +

x

+

f

其函數圖形的頂點座標。

(36)

本節我們已畫了

f ( x ) = ax

2

f ( x ) = ax

2

+ k

f ( x ) = a ( xh )

2

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

c

bx ax x

f ( ) =

2

+ +

的函數圖形,這邊來做個整理:

函數 頂點 對稱軸 開口方向

k ax x

f ( ) =

2

+

(0,0)

x

=0

a

0則開口向上

0

a

則開口向下

k

ax x

f ( ) =

2

+

( k0, )

x

=0

a

0則開口向上

0

a

則開口向下

)

2

( )

( x a x h

f = −

(h,0)

x = h a

0則開口向上

0

a

則開口向下

k

h x a x

f ( ) = ( − )

2

+

( k

h

, )

x = h a

0則開口向上

0

a

則開口向下

c

bx ax x

f ( ) =

2

+ +

將方程式利用配方法化為

k

h x a

y = ( − )

2

+

的形式再判斷。

0

a

則開口向上

0

a

則開口向下 表 9.1-14

(37)

接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件,求出二次函數:

例題 9.1-16

直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1),且通過點(2,2),試求此二次 函數。

詳解:

因為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

函數圖形的頂點為( k

h

, ),所以頂點為(1,1)的二次函數,我 們可以列成

f ( x ) = x a ( − 1 )

2

+ 1

將點(2,2)代入

y = f ( x ) = a ( x − 1 )

2

+ 1

,以求出 a:

1 ) 1 ( )

( = −

2

+

= f x a x y

1 ) 1 2 (

2 = a

2

+

1 2= a+

=1

a

因此題目所求的二次函數為

f ( x ) = x ( − 1 )

2

+ 1

同學可以將函數圖形畫出來看看,是否符合題意。

【練習】9.1-16

直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(−1,3),且通過點(1,7),試求此二 次函數。

(38)

例題 9.1-17

直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為

x

=−1,且通過點(−2,1)與(1,7), 試求此二次函數。

詳解:

因為

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形對稱軸為

x = h

,所以頂點為對稱軸為

x

=−1的函 數,我們可以列成

f ( x ) = a ( x − ( − 1 ))

2

+ k = a ( x + 1 )

2

+ k

將點(−2,1)代入

y = f ( x ) = a ( x + 1 )

2

+ k

1 = a ( − 2 + 1 )

2

+ k

,化簡得

a

+ k =1 將點(1,7)代入

y = f ( x ) = a ( x + 1 )

2

+ k

7 = a ( 1 + 1 )

2

+ k

,化簡得4

a

+ k=7 寫成聯立方程式:



= +

= +

7 4

1

k a

k a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

( − 得3 =

a

6→

a

=2

=2

a

代入(1)得

k

=−1

因此題目所求二次函數為

f ( x ) = x 2 ( + 1 )

2

− 1

同學可以將函數圖形畫出來,檢視是否符合題意。

【練習】9.1-17

直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為

x

=−3,且通過點(−5,6)與(−2,0), 試求此二次函數。

(39)

函數的根與圖形的關係

瞭解了二次函數的圖形後,接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係:

方程式的解,為符合方程式的未知數之值。例如

x

2 − x2 −15=0的解為 5 、 3− 。 函數的根,為函數值

f

(

x

)=0時的 x 之值。例如

f ( x ) = x

2

− 2 x − 15

的根為 5 、 3− 。 一般來說,相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看,

ax

2 +

bx

+

c

=0的解就相當於找函數

f ( x ) = ax

2

+ bx + c

其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數

f ( x ) = x

2

− 2 x − 15

其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(−3,0),交點的 x 座 標即為方程式

ax

2 +

bx

+

c

=0的解。如圖 9.1-22。

圖 9.1-22

由圖 9.1-22 也可看出,

x

2 − x2 −15=0有兩相異解,而

f ( x ) = x

2

− 2 x − 15

函數圖形與 x 軸有兩相異交點。

x y

15

2

− 2 −

= x x

y

(40)

接著我們來看看方程式

x

2 − x6 +9=0,利用乘法公式可得

( x − 3 )

2

= 0

,因此解為 3 (重 根)。對函數

f ( x ) = x

2

− 6 x + 9

來說,3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。

圖 9.1-23

由圖 9.1-23 可知,

x

2 − x6 +9=0有重根,而

f ( x ) = x

2

− 6 x + 9

的函數圖形與 x 軸只有一 交點。

最後我們來看看方程式

x

2+ x+2=0,因為判別式12 −412=−70,因此無解。對函 數

f ( x ) = x

2

+ x + 2

來說,其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。

圖 9.1-24

9

2

− 6 +

= x x y

2

+ + 2

= x x y

x y

x

y

(41)

由圖 9.1-24 可知,

x

2 + x+2=0無解,而

f ( x ) = x

2

+ x + 2

的函數圖形與 x 軸無交點。

我們將以上討論做個整理,對於方程式

ax

2 +

bx

+

c

=0:

判別式 解的種類

f ( x ) = ax

2

+ bx + c

函數圖形與 x 軸交點

0

2 − ac4 

b

兩相異解 兩相異交點

0

2 − ac4 =

b

重根 一交點

0

2 − ac4 

b

無解 無交點

表 9.1-15

例題 9.1-18

判斷

f ( x ) = 2 x

2

+ 8 x + 8

的函數圖形與 x 軸的交點數量。

詳解:

利用判別式,先判斷2

x

2 + x8 +8=0的解的種類。

0 8 2 4

82 −   =

因此方程式2

x

2 + x8 +8=0有重根。根據表 9.1-15,

f ( x ) = 2 x

2

+ 8 x + 8

的函數圖形 與 x 軸有一交點。

【練習】9.1-18

判斷

f ( x ) = 3 x

2

+ 5 x + 9

的函數圖形與 x 軸的交點數量。

(42)

9.1 節 習題

習題 9.1-1

畫出

f ( x ) = 2 x

2的函數圖形。

習題 9.1-2

(1)找出

f ( x ) = 3 x

2函數圖形的對稱軸。

(2)畫出

f ( x ) = 3 x

2的函數圖形。

習題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向:

(1)

f ( x ) = 5 x

2 (2)

f ( x ) = − 5 x

2 (3) 2 3 ) 1 (

x x f

=

習題 9.1-4

畫出

f ( x ) = x

2

+ 1

的函數圖形,並指出頂點。

(43)

習題 9.1-5

畫出

f ( x ) = x 2

2

− 1

的函數圖形,並指出頂點。

習題 9.1-6

畫出

f ( x ) = x 3 ( − 2 )

2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-7

畫出 ( 1)2 2

) 1

(

x

=

x

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-8

畫出

f ( x ) = x 2 ( + 1 )

2

− 1

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

(44)

習題 9.1-9

畫出 ( 1) 3 2

) 1

(

x

=−

x

+ 2 +

f

的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-10

寫出

f ( x ) = x 6 ( − 1 )

2

+ 5

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-11

寫出 ( 1) 1 3

) 1

(

x

=−

x

+ 2 +

f

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-12

寫出

f ( x ) = x

2

+ 2 x − 5

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

習題 9.1-13

寫出

f ( x ) = − 4 x

2

+ 8 x + 1

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(45)

習題 9.1-14

在直角座標上畫出

f ( x ) = 3 x

2

+ 6 x + 1

的函數圖形。

習題 9.1-15

求 2 4

3 ) 1

(

x

=

x

2 +

x

+

f

函數圖形的頂點座標。

習題 9.1-16

判斷

f ( x ) = − x

2

+ 2 x + 1

函數圖形與 x 軸的交點數量。

習題 9.1-17

直角座標上,已知某二次函數圖形頂點為(1,2),且通過點(4,11),試求此二次函數。

習題 9.1-18

直角座標上,已知某二次函數圖形對稱軸為

x

=2,且通過點(3,2)與( −5, 6),試求此 二次函數。

(46)

9.2 節 二次函數圖形的移動

在本節中,我們將討論當二次函數圖形改變時,函數會如何變化。

在 9.1 節時我們畫過

f ( x ) = x

2

+ 1

的函數圖形,這裡我們與

f ( x ) = x

2做比較:

為了簡化運算,我們先比較拋物線方程式

y = x

2

+ 1

y = x

2

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

2

y =

9 4 1 0 1 4 9

2

+ 1

y = x

10

=9+1

5

=4+1

2

=1+1

1

=0+1

2

=1+1

5

=4+1

10

=9+1 表 9.2-1

可以看出 x 座標相同時,

y = x

2

+ 1

圖形的 y 座標是

y = x

2圖形的 y 座標加 1。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:

圖 9.2-1

= x +

x

2

y =

2

+ 1

= x y

x

y

(47)

我們再看一個例子,比較 4 2

1 2

= x

y

2

2 1

x

y =

的圖形:

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

2 1

x

y =

2

4 1 2

2

1 0

2

1 2

2 41

2 4 1 2

= x

y

2

1

= 4 2 4 − 1

-2

=

2 − 4

2 31

= 4 21 −

-4

=0 − 4

2 31

= 4 21 −

-2

=

2 − 4

2 1

= 4 2 4 − 1

表 9.2-2

圖 9.2-2 如圖 9.2-2, 4

2 1 2

= x

y

的圖形,可以看成是 2

2 1

x

y =

往下移動 4 單位。

事實上,

y = ax

2

+ k

的圖形,相當於

y = ax

2往上移動 k 單位。(若

k

0則為往下移動 k 單 位)

因此

y = x

2

+ 1

的圖形是

y = x

2往上移動 1 單位, 4 2

1 2

= x

y

的圖形是 2

2 1

x

y =

往下移動 4 單位。

2 4 1 2

= x

y

2

2 1

x y =

x

y

(48)

我們再接著看下一種形式,比較

y = x ( − 2 )

2

y = x

2

y

9 4 1 0 1 4 9

x

(

y = x

2) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

(

y = x ( − 2 )

2)

-1

=-3+2

0

=-2+2

1

=-1+2

2

=0+2

3

=1+2

4

=2+2

5

=3+2 表 9.2-3

可以看出 y 座標相同時,

y = x ( − 2 )

2圖形的 y 座標是

y = x

2圖形的 x 座標加 2。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:

圖 9.2-3

由圖 9.2-3 可知,

y = x ( − 2 )

2的圖形即是

y = x

2的圖形往右移動 2 單位。

x

2

y = y = x ( − 2 )

2

x

y

(49)

再比較看看 ( 4)2 2

3 +

=

x

y

2

2 3

x y =

y

2

13 1 6

2

1 1 0

2

1 1 6

2 13 1

x

( 2

2 3

x

y =

) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

( ( 4)2 2

3 +

=

x

y

)

-7

=-3-4

-6

=-2-4

-5

=-1-4

-4

=0-4

-3

=1-4

-2

=2-4

-1

=3-4 表 9.2-4

圖 9.2-4 可以看出 ( 4)2

2 3 +

=

x

y

的圖形相當於 2

2 3

x

y =

的圖形往左移動 4 單位。

事實上,

y = a ( xh )

2的函數圖形相當於

y = ax

2往右移動

h

單位。(若

h

0則為往左移動

h

單位)

2

2 3

x

2

y =

) 4 2( 3 +

=

x y

x

y

(50)

最後我們比較

y = x ( − 2 )

2

+ 3

y = x

2

x

2

y =

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

9 4 1 0 1 4 9

3 ) 2 ( −

2

+

= x y

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

12 7 4 3 4 7 12

表 9.2-5

圖 9.2-5

3 ) 2 ( −

2

+

= x y x

2

y =

x

y

(51)

從頂點來看,

y = x

2的頂點是(0,0),

y = x ( − 2 )

2

+ 3

的頂點是(2,3),相當於 x 座標增加 了 2 單位,y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外,其他的點也有同樣關係:

x

2

y =

上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9)

3

) 2 ( −

2

+

= x

y

上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12) 表 9.2-5

表 9.2-5 中,對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位。事實上,整

y = x ( − 2 )

2

+ 3

的圖形可以想像成是

y = x

2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢?

前面我們已經知道了:

k ax

y =

2

+

的圖形相當於

y = ax

2往上移動 k 單位。(若

k

0則為往下移動 k 單位)

)

2

( x h a

y = −

的圖形相當於

y = ax

2往右移動 h 單位。(若

h

0則為往左移動 h 單位)

合併成

y = a ( xh )

2

+ k

時也是一樣:

k h x a

y = ( − )

2

+

的圖形相當於

y = ax

2往上移動 k 單位,往右移動 h 單位。(若

k

0則為 往下移動 k 單位,

h

0則為往左移動 h 單位)

因此,

y = x ( − 2 )

2

+ 3

的圖形就相當於

y = x

2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單位。

(52)

我們已經知道了

y = a ( xh )

2

+ k

相當於將

y = ax

2往右移動 h 單位(

h

0時為往左移動 h 單位),往上移動 k 單位(

k

0時為往下移動 k 單位)。反過來說,

y = ax

2若往上移動 k 單 位 , 則 方 程 式 會 變 為

y = ax

2

+ k

。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 , 方 程 式 就 會 變 為

k h x a

y = ( − )

2

+

y = 2x

2為例,將圖形往上移 4 單位,方程式會變為

y = x 2

2

+ 4

。再繼續往右移 5 單位,

方程式會變為

y = x 2 ( − 5 )

2

+ 4

,如圖 9.2-6:

圖 9.2-6

x y

4 ) 5 (

2 −

2

+ y = x

2x

2

y =

4

2

2

+

y = x

(53)

同樣地,若是移動

y = a ( xh )

2

+ k

,也會有下列關係:

(1)將

y = a ( xh )

2

+ k

往上移動

k

1單位,會得到

y = a ( xh )

2

+ k + k

1。(

k

1 0) (2)將

y = a ( xh )

2

+ k

往下移動

k

2單位,會得到

y = a ( xh )

2

+ kk

2。(

k

2 0) (3)將

y = a ( xh )

2

+ k

往右移動

h

1單位,會得到

y = a ( xhh

1

)

2

+ k

。(

h

1 0) (4)將

y = a ( xh )

2

+ k

往左移動

h

2單位,會得到

y = a ( xh + h

2

)

2

+ k

。(

h

2 0)

瞭解了拋物線方程式的移動之後,接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。

我們來移動

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形:

(1) 將

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形往上移動

k

1單位,會得到

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k + k

1。 )

0 (

k

1

(2) 將

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形往下移動

k

2單位,會得到

f ( x ) = a ( xh )

2

+ kk

2。 )

0 (

k

2

(3) 將

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形往右移動

h

1單位,會得到

f ( x ) = a ( xhh

1

)

2

+ k

。 )

0 (

h

1

(4) 將

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的函數圖形往左移動

h

2單位,會得到

f ( x ) = a ( xh + h

2

)

2

+ k

。 )

0 (

h

2

(54)

例題 9.2-1

(1)求將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

詳解:

利用前面討論的結果可以得到:

(1)將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 x

2

+ 1

。 (2)將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 x

2

− 3

。 (3)將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 ( x − 2 )

2。 (4)將

f ( x ) = − 3 x

2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 ( x + 4 )

2

【練習】9.2-1

(1)求將 2

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。

(2)求將 2

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(3)求將 2

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。

(4)求將 2

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。

(55)

例題 9.2-2

(1)求將

f ( x ) = 7 x

2的函數圖形上移 3 單位,左移 4 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 7 x

2的函數圖形下移 2 單位,右移 7 單位後所得的函數。

詳解:

(1) 將

f ( x ) = 7 x

2的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為

f ( x ) = x 7

2

+ 3

,再左移 4 單位得到

y = x 7 ( + 4 )

2

+ 3

(2) 將

f ( x ) = 7 x

2的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為

f ( x ) = x 7

2

− 2

,再右移 7 單位得到

f ( x ) = x 7 ( − 7 )

2

− 2

【練習】9.2-2

(1)求將

f ( x ) = − 5 x

2的函數圖形上移 3 單位,右移 5 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = − 5 x

2的函數圖形下移 6 單位,左移 4 單位後所得的函數。

(56)

例題 9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。

詳解:

(1) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形上移 3 單位即得:

3 1 ) 2 ( )

( x = x

2

+ + f

4 ) 2 ( )

( x = x

2

+ f

(2) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形左移 4 單位即得:

1 ) 4 2 ( )

( x = x − +

2

+ f

1 ) 2 ( )

( x = x +

2

+ f

(3) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

2

+ 1

的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位即得:

2 1 ) 1 2 ( )

( x = x − −

2

+ − f

1 ) 3 ( )

( x = x

2

f

【練習】9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

2

− 2

的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

2

− 2

的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

2

− 2

的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。

(57)

例題 9.2-4

求將

f ( x ) = x

2

+ 4 x − 7

的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。

詳解:

首先利用配方法,將

f ( x ) = x

2

+ 4 x − 7

化成

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的形式。

) (x

f

=

x

2+4

x

−7

7 4 4

2 +4 + − −

=

x x

7 4 ) 2

( +

2

− −

= x

11 ) 2 ( +

2

= x

f ( x ) = x ( + 2 )

2

− 11

的函數圖形左移 2 單位所得函數為:

11 ) 2 2 ( )

( x = x + +

2

f

11 ) 4 ( )

( x = x +

2

f

【練習】9.2-4

求將

f ( x ) = x

2

− 6 x − 3

的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(58)

例題 9.2-5

求將

f ( x ) = − 3 x

2

+ 18 x − 1

的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位後所得的函數。

詳解:

首先利用配方法,將

f ( x ) = − 3 x

2

+ 18 x − 1

化成

f ( x ) = a ( xh )

2

+ k

的形式。

) (x

f

=−3

x

2+18

x

−1

1 ) 6 (

3

2

− −

= x x

1 ) 9 9 6 (

3

2

− + − −

= x x

1 27 ) 9 6 (

3

2

− + + −

= x x

26 ) 3 (

3 −

2

+

= x

f ( x ) = − 3 ( x − 3 )

2

+ 26

的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位所得的函數為:

3 26 ) 5 3 ( 3 )

( x = − x − −

2

+ − f

23 ) 8 ( 3 )

( x = − x

2

+ f

【練習】9.2-5

求將

f ( x ) = − 2 x

2

+ 4 x − 1

的函數圖形左移 2 單位,上移 7 單位後所得的函數。

(59)

9.2 節 習題

習題 9.2-1

(1)求將

f ( x ) = 2 x

2的函數圖形上移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 2 x

2的函數圖形下移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = 2 x

2的函數圖形左移 1 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x ) = 2 x

2的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-2

(1)求將

f ( x ) = 3 x

2的函數圖形上移 4 單位,右移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 3 x

2的函數圖形下移 1 單位,左移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

2

− 1

的函數圖形上移 4 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

2

− 1

的函數圖形左移 5 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

2

− 1

的函數圖形下移 3 單位,左移 2 單位後所得的函數。

習題 9.2-4

求將

f ( x ) = x

2

+ 2 x − 1

的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-5

求將

f ( x ) = − x

2

− 4 x + 3

的函數圖形右移 3 單位,下移 5 單位後所得的函數。

Figure

Updating...

References

Related subjects :
Outline : 綜合習題