代數第九章目錄

(1)

代數第九章

第九章二次函數 ... 1

學習目標 ... 1

9.1 節二次函數及其圖形 ... 2

9.1 節習題 ... 38

9.2 節二次函數圖形的移動 ... 45

9.2 節習題 ... 58

9.3 節二次函數的最大值與最小值 ... 59

9.3 節習題 ... 67

9.4 節二次函數的綜合題與應用題 ... 69

9.4 節習題 ... 84

第九章綜合習題 ... 88

基測與會考試題 ... 94

習題解答 ... 104

(2)

第九章二次函數

前一章我們學過了一次函數，本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋物線，拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時，球的移動軌跡就屬於拋物線。我們也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。

學習目標

1.能畫出二次函數的函數圖形。

2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。

2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。

3.能處理二次函數的應用題。

(3)

9.1 節二次函數及其圖形

在第八章中，我們已經學過一次函數

f

(

x

)=

ax

+

b

的函數圖形是一條直線。也簡單畫過

)

2

( x x f

y = =

的圖形是一條拋物線。本節我們將針對

y = f ( x ) = x

²這類二次函數來做討論。

二次函數：形式為

f ( x ) = ax

²

+ bx + c

，其中

a

0。即變數 x 最高次數為 2，且

x 項係數

² 不為 0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形，對於二次函數如

f ( x ) = x

²我們也可以畫出函數圖形。

我們來畫畫看

y = f ( x ) = x

²的圖形，先找出幾個符合的點：

x

-3 -1 0 1 3

y

9 1 0 1 9

表 9.1-1

將這些點描在直角座標上，並用直線連起來，如圖 9.1-1。

圖 9.1-1

x

y

(4)

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形，但事實上這張圖只是

y = f ( x ) = x

²的近似圖，

並非真正的圖形。我們可以再多增加(－2,4)、(2,4)兩個點，如圖 9.1-2：

圖 9.1-2

可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣，我們描的點越多，畫出來的圖形就會越接近真正的

f ( x ) = x

²圖形。實際上，

f ( x ) = x

²是如圖 9.1-3 的拋物線。

f ( x ) = x

²

圖 9.1-3

x y

x x y

x

y

(5)

畫二次函數圖形時，我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點，再將各點連接起來作為近似圖，取的點愈多，畫出來的圖形就愈精確。

例題 9.1-1

畫出二次函數

f ( x ) = − 2 x

²的圖形。

詳解：

令

y = f ( x ) = − 2 x

²，先找出數個圖形上的點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

-18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表 9.1-2

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-2。

f ( x ) = − 2 x

² 圖 9.1-4

x

y

(6)

【練習】9.1-1

畫出二次函數

f ( x ) = − x

²的圖形。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(7)

由前面例題，我們已知道函數

f ( x ) = x

²與

f ( x ) = − 2 x

²的函數圖形都是拋物線。事實上，

只要是二次函數，那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖形時，相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質，先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸：

若兩點對稱於 y 軸，則兩點的 y 座標相同時，x 座標互為相反數。

再來觀察

f ( x ) = x

²的函數圖形，即

y = f ( x ) = x

²。圖形右側的點(1,1)、(2,4)、(3,9)，他 們對 y 軸的對稱點(−1,1)、(−2,4)、(−3,9)，也都落在

y = x

²上。事實上，所有

y = x

²上的點( k

h

, )，對 y 軸的對稱點(−

h

,

k

)也都在

y = x

²上。此時我們稱 y 軸(或直線

x

=0)是

x

2

y =

的對稱軸。即

f ( x ) = x

²的函數圖形，其對稱軸為 y 軸。

f ( x ) = x

²

圖 9.1-5

x

y

(8)

除了

f ( x ) = x

²以外，所有形式為

f ( x ) = ax

²的函數圖形，也都是以 y 軸為對稱軸。

我們來證明

y = f ( x ) = ax

²是以 y 軸為對稱軸。已知點( k

h

, )在

y = ax

²上，若點(−

h

,

k

)也在

y = ax

²上(即 x 座標代入 h− ，可得 y 座標為 k )，則可知

y = ax

²以 y 軸為對稱軸。

ax

2

y =

)

2

( h a

y =  −

(將 x 以 h− 代入)

ah

2

y =

(

( − h )

²

= h

²)

k

y =

(因為( k

h

, )在

y = ax

²上，所以

k = ah

²，即

ah =

²

k

)

由以上式子可知，當點( k

h

, )在

y = ax

²上時，點(−

h

,

k

)也在

y = ax

²上，因此

y = f ( x ) = ax

² 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱

f ( x ) = ax

²的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。

(9)

例題 9.1-2

(1)找出二次函數 ² 2 ) 1 (

x x

f

= ，其函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 ² 2 ) 1 (

x x

f

= 的函數圖形。

詳解：

(1) ²

2 ) 1 (

x x

f

= 符合

f ( x ) = ax

²的形式，因此是以 y 軸為對稱軸。

(2) ²

2 ) 1 (

x x f

y

= = 的圖形對稱於 y 軸。我們只要畫出右側的圖形，再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。

x

0 1 2 3

y

0

2

1 2

2 41

表 9.1-3

圖 9.1-6

圖 9.1-6，先畫出 ² 2 1

x

y =

右半邊的圖形，接著再利用線對稱，畫出左半邊的圖形。

x

y

(10)

² 2 ) 1 (

x x f

=

圖 9.1-7 圖 9.1-7 即為 ²

2 ) 1 (

x x

f

= 的函數圖形。

【練習】9.1-2

利用對稱軸，畫出 ²

4 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形。

x y

x

y

(11)

目前二次函數所畫出的拋物線圖形，有些是開口向上，有些是開口向下，開口方向是否有什麼規則呢？我們多畫幾個圖形來看看。

開口向上

2

) ( x x

f = f ( x ) = x

² ²

2 ) 1 (

x x f

=

開口向下

2

)

( x x

f = − f ( x ) = − x

² ²

2 ) 1

(

x x f

=−

圖 9.1-8

同學應該可以發現，對於二次函數

f ( x ) = ax

²，當

a

0時，拋物線圖形開口向上；當

a

0 時，拋物線圖形開口向下。而且 a 越小，其開口越大。

另外在

a

0時，拋物線有最低點；

a

0時，拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點也是拋物線與對稱軸的交點。

圖 9.1-9

(12)

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1)

f ( x ) = 3 x

² (2)

f ( x ) = − 8 x

² (3)

f ( x ) = 0 . 7 x

² 詳解：

(1)3 0，

f ( x ) = 3 x

²函數圖形開口向上。

(2)−8 0，

f ( x ) = − 8 x

²函數圖形開口向下。

(3)0.7 ，0

f ( x ) = 0 . 7 x

²函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

(1)

f ( x ) = − 2 x

² (2) ² 50 ) 1

(

x x

f

= (3)

f ( x ) = − 0 . 3 x

²

(13)

瞭解了

f ( x ) = ax

²的函數圖形後，接著我們來看看形式為

f ( x ) = ax

²

+ k

的函數圖形。如

1 )

( x = x

²

+

f

：

一樣先找出

y = f ( x ) = x

²

+ 1

上的點

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

10 5 2 1 2 5 10

表 9.1-4

然後描點畫出圖形：

f ( x ) = x

²

+ 1

圖 9.1-10

圖 9.1-10 即為

y = f ( x ) = x

²

+ 1

的圖形，頂點為(0,1)，對稱軸為

x

=0。

x

y

(14)

例題 9.1-4

畫出

f ( x ) = − 2 x

²

+ 3

的函數圖形，並指出頂點。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

-15 -5 1 3 1 -5 -15

表 9.1-5

頂點為(0,3)。

f ( x ) = − 2 x

²

+ 3

圖 9.1-11

x

y

(15)

【練習】9.1-4

畫出

f ( x ) = x −

²

+ 6

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(16)

例題 9.1-5

畫出 4

2 ) 1

(

x

= x² −

f

詳解：

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

2

1 -2

2 31

− -4

2 31

− -2

2 1

表 9.1-6

頂點為( −0, 4)。

4 2

) 1

(

x

= x²−

f

圖 9.1-12

x

y

(17)

【練習】9.1-5

畫出 7

2 ) 3

(

x

= x² −

f

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y

(18)

目前我們已經畫出了數個形式為

f ( x ) = ax

²

+ k

的函數圖形。若與

f ( x ) = ax

²比較，同學應該可以發現：

ax

2

y =

圖形的頂點為(0,0)。(例如

y = x

²圖形頂點為(0,0))

k ax

y =

²

+

圖形的頂點為( k0, )。(例如 4 2

1 ₂ −

= x

y

圖形頂點為( −0, 4))

ax

2

y =

與

y = ax

²

+ k

的對稱軸都是

x

=0。

圖 9.1-13

x

y

(19)

接下來，讓我們討論形式為

f ( x ) = a ( x − h )

²的函數圖形，如

f ( x ) = x ( − 2 )

²。要畫出

f ( x ) = x ( − 2 )

²的函數圖形，一樣先找出符合

y = f ( x ) = ( x − 2 )

²的點。

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

9 4 1 0 1 4 9

表 9.1-7

然後描點畫出圖形：

f ( x ) = x ( − 2 )

²

圖 9.1-14

圖 9.1-14 即為

f ( x ) = x ( − 2 )

²的函數圖形，頂點為(2,0)，對稱軸為

x

=2。

=2

x

y

(20)

例題 9.1-6

畫出

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

²的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

x

0 1 2 3 4 5 6

y

18 8 2 0 2 8 18

表 9.1-8

頂點為(3,0)，對稱軸為

x

=3。

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

²

圖 9.1-15

x

y

(21)

【練習】9.1-6

畫出 ( 1)² 2

) 1

(

x

=

x

−

f

的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y

(22)

例題 9.1-7

畫出 ( 4)² 2

) 3

(

x

=

x

+

f

詳解：

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y

2

13 1 6

2

1 1 0

2

1 1 6

2 13 1

表 9.1-9

頂點為(−4,0)，對稱軸為

x

=−4。 ( 4)² 2

) 3

(

x

=

x

+

f

圖 9.1-16

(23)

【練習】9.1-7

畫出 ( 2)² 2

) 1

(

x

=−

x

+

f

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(24)

我們畫出了數個形式為

f ( x ) = a ( x − h )

²的函數圖形。若與

f ( x ) = ax

²比較，同學應該可以發現：

)

2

( x ax

f =

的函數圖形頂點為(0,0)。(例如

f ( x ) = x

²的函數圖形頂點為(0,0))

)

2

( )

( x a x h

f = −

的函數圖形頂點為(h,0)。(例如

f ( x ) = x 2 ( − 3 )

²的函數圖形頂點為(3,0))

)

2

( x ax

f =

的函數圖形對稱軸是

x

=0，

f ( x ) = a ( x − h )

²的函數圖形對稱軸是

x = h

。

圖 9.1-17

ax

2

y = ^y ⁼ ^a ⁽ ^x ⁻ ^h ⁾

²

h h x =

= 0 x

x

y

(25)

學習了二次函數

f ( x ) = ax

²

+ k

與

f ( x ) = a ( x − h )

²的函數圖形之後，接著我們要將這兩種函數綜合起來，也就是形式為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

。

我們來試著畫畫看

y = f ( x ) = ( x − 2 )

²

+ 3

的圖形：

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

12 7 4 3 4 7 12

表 9.1-10

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 3

圖 9.1-18

3 ) 2 ( )

( x = x −

²

+

f

的函數圖形頂點是(2,3)，對稱軸是

x

=2。

=2

x

y

(26)

例題 9.1-8

畫出

f ( x ) = x 4 ( + 2 )

²

− 3

詳解：

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

33 13 1 -3 1 13 33

表 9.1-11

頂點為(−2,−3)，對稱軸為

x

=−2。

3 ) 2 ( 4 )

( x = x +

²

− f

圖 9.1-19

x y

−2

=

x

(27)

【練習】9.1-8

畫出 ( 2) 1 2

) 1

(

x

=

x

+ ² −

f

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(28)

例題 9.1-9

畫出 ( 4) 2 3

) 1

(

x

=−

x

− ² +

f

詳解：

x

1 2 3 4 5 6 7

y − 1

3 2

3

1 2 2

3 1 2

3

2

− 1

表 9.1-12

頂點為(4,2)，對稱軸為

x

=4。

( 4) 2 3

) 1

(

x

=−

x

− ² +

f

圖 9.1-20

x

y

(29)

【練習】9.1-9

畫出 ( 2) 3 4

) 1

(

x

=−

x

+ ²+

f

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x

y

(30)

我們已經畫了數個形式為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形，同學應該可以發現到：

1. 頂點為( k

h

, )。 2. 對稱軸為

x = 。 h

3.

a

0則開口向上；

a

0則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數

f ( x ) = x 7 ( − 5 )

²

+ 16

其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

與

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

對照，得

h

=5、

k

=16、

a

=7 0。因此頂點為(5,16)、對稱軸為

x

=5、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ( 3) 13 16

) 1

(

x

=

x

− ² −

f

(31)

例題 9.1-11

求函數

f ( x ) = − 4 ( x + 3 )

²

+ 2

詳解：

與

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

對照，得

h

=−3、

k

=2、

a

=−4 0。因此頂點為(−3,2)、對稱軸為

x

=−3、開口向下。

【練習】9.1-11

求函數 ( 6) 4 5

) 1

(

x

=−

x

+ ² −

f

現在我們很清楚二次函數

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形性質了，但若是函數形式為

c

bx ax x

f ( ) =

²

+ +

，又該如何處理呢？我們可以利用以前學過的配方法，將

c

bx ax x

f ( ) =

²

+ +

轉換為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的形式。

例如

f ( x ) = x

²

+ 4 x + 8

： )

(x

f

=

x

² +4

x

+8

8 4 4

2 +4 + − +

=

x x

(加上中間項 x4 係數一半的平方以湊完全平方，再

− 4

維持等式)

8 4 ) 2

( +

²

− +

= x

(化為完全平方)

4 ) 2 ( +

²

+

= x

於是我們得到

f ( x ) = x

²

+ 4 x + 8 = ( x + 2 )

²

+ 4

。

因此

f ( x ) = x

²

+ 4 x + 8

的函數圖形頂點是(−2,4)、對稱軸是

x

=−2、開口向上。

(32)

例題 9.1-12

寫出

f ( x ) = x

²

+ 6 x − 18

函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

) (x

f

=

x

²+6

x

−18

18 9 9

2 +6 + − −

=

x x

(加上中間項 x6 係數一半的平方以湊完全平方，再

− 4

維持等式)

18 9 ) 3

( +

²

− −

= x

(化為完全平方)

27 ) 3 ( +

²

−

= x

頂點為(−3,−27)、對稱軸為

x

=−3、開口向上。

【練習】9.1-12

寫出

f ( x ) = x

²

+ 4 x − 4

例題 9.1-13

寫出

f ( x ) = − 2 x

²

+ 8 x + 1

詳解：

) (x

f

=−2

x

² +8

x

+1

1 ) 4 (

2

²

− +

−

= x x

(提出 x²項的係數)

1 ) 4 4 4 (

2

²

− + − +

−

= x x

(括號內加上中間項−4x係數一半的平方以湊完全平方，再−4維持等式)

1 8 ) 4 4 (

2

²

− + + +

−

= x x

(將－4 移到括號外)

9 ) 2 (

2 −

²

+

−

= x

(括號內化為完全平方) 頂點為(2,9)、對稱軸為

x

=2、開口向下。

【練習】9.1-13

寫出

f ( x ) = − 3 x

²

+ 6 x − 5

(33)

例題 9.1-14

在直角座標上畫出

f ( x ) = 2 x

²

− 12 x + 20

的函數圖形。

詳解：

想畫

f ( x ) = 2 x

²

− 12 x + 20

的圖形，我們先利用配方法將函數化為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的形式，找出頂點後可讓作圖較容易。

) (x

f

=2

x

² −12

x

+20

20 ) 6 (

2

²

− +

= x x

(提出 x²項的係數)

20 ) 9 9 6 (

2

²

− + − +

= x x

(括號內加上中間項−6x係數一半的平方以湊完全平方，再−9維持等式)

20 18 ) 9 6 (

2

²

− + − +

= x x

2 ) 3 (

2 −

²

+

= x

(括號內化為完全平方) 頂點為(3,2)、對稱軸為

x

=3、開口向上。

找出圖形上的點：

x

0 1 2 3 4 5 6

y

20 10 4 2 4 10 20

表 9.1-13

20 12 2

)

( x = x

²

− x + f

圖 9.1-21

x

y

(34)

【練習】9.1-14

在直角座標上畫出 2 3

2 ) 1

(

x

=−

x

² −

x

+

f

的函數圖形。

x

y

(35)

例題 9.1-15

求 6

2 ) 1

(

x

=

x

² +

x

+

f

其函數圖形的頂點座標。

詳解：

利用配方法將 6

2 ) 1

(

x

=

x

² +

x

+

f

化成

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的形式。

) (x

f

6

2 1 ₂

+ +

=

x x

6 ) 2 2(

1 ₂+ +

=

x x

(提出 x²項的係數) 6

) 1 1 2 2(

1 2 + + − +

=

x x

(括號內＋1 以湊完全平方，再－1 維持等式) 2 6

) 1 1 2 2(

1 ₂

+

− + +

=

x x

2 51 ) 1 2(

1 + 2 +

=

x

(括號內化為完全平方) 得頂點為 )

2 51 , 1

(− 。

【練習】9.1-15

求 2 2

5 ) 1

(

x

=−

x

² +

x

+

f

其函數圖形的頂點座標。

(36)

本節我們已畫了

f ( x ) = ax

² 、

f ( x ) = ax

²

+ k

、

f ( x ) = a ( x − h )

² 、

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

、

c

bx ax x

f ( ) =

²

+ +

的函數圖形，這邊來做個整理：

函數頂點對稱軸開口方向

k ax x

f ( ) =

²

+

(0,0)

x

=0

a

0則開口向上

0

a

則開口向下

k

ax x

f ( ) =

²

+

( k0, )

x

=0

a

0則開口向上

0

a

則開口向下

)

2

( )

( x a x h

f = −

(h,0)

x = h a

0則開口向上

0

a

則開口向下

k

h x a x

f ( ) = ( − )

²

+

( k

h

, )

x = h a

0則開口向上

0

a

則開口向下

c

bx ax x

f ( ) =

²

+ +

將方程式利用配方法化為

k

h x a

y = ( − )

²

+

的形式再判斷。

0

a

則開口向上

0

a

則開口向下表 9.1-14

(37)

接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件，求出二次函數：

例題 9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1)，且通過點(2,2)，試求此二次函數。

詳解：

因為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

函數圖形的頂點為( k

h

, )，所以頂點為(1,1)的二次函數，我們可以列成

f ( x ) = x a ( − 1 )

²

+ 1

。

將點(2,2)代入

y = f ( x ) = a ( x − 1 )

²

+ 1

，以求出 a：

1 ) 1 ( )

( = −

²

+

= f x a x y

1 ) 1 2 (

2 = a −

²

+

1 2= a+

=1

a

因此題目所求的二次函數為

f ( x ) = x ( − 1 )

²

+ 1

同學可以將函數圖形畫出來看看，是否符合題意。

【練習】9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為(−1,3)，且通過點(1,7)，試求此二次函數。

(38)

例題 9.1-17

直角座標上，已知某二次函數其函數圖形對稱軸為

x

=−1，且通過點(−2,1)與(1,7)，試求此二次函數。

詳解：

因為

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形對稱軸為

x = h

，所以頂點為對稱軸為

x

=−1的函數，我們可以列成

f ( x ) = a ( x − ( − 1 ))

²

+ k = a ( x + 1 )

²

+ k

。

將點(−2,1)代入

y = f ( x ) = a ( x + 1 )

²

+ k

得

1 = a ( − 2 + 1 )

²

+ k

，化簡得

a

+ k =1 將點(1,7)代入

y = f ( x ) = a ( x + 1 )

²

+ k

得

7 = a ( 1 + 1 )

²

+ k

，化簡得4

a

+ k=7 寫成聯立方程式：





= +

7 4

1

k a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

( − 得3 =

a

6→

a

=2

a

代入(1)得

k

=−1

因此題目所求二次函數為

f ( x ) = x 2 ( + 1 )

²

− 1

同學可以將函數圖形畫出來，檢視是否符合題意。

【練習】9.1-17

直角座標上，已知某二次函數其函數圖形對稱軸為

x

=−3，且通過點(−5,6)與(−2,0)，試求此二次函數。

(39)

函數的根與圖形的關係

瞭解了二次函數的圖形後，接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係：

方程式的解，為符合方程式的未知數之值。例如

x

² − x2 −15=0的解為 5 、 3− 。函數的根，為函數值

f

(

x

)=0時的 x 之值。例如

f ( x ) = x

²

− 2 x − 15

的根為 5 、 3− 。一般來說，相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看，

求

ax

² +

bx

+

c

=0的解就相當於找函數

f ( x ) = ax

²

+ bx + c

其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數

f ( x ) = x

²

− 2 x − 15

其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(−3,0)，交點的 x 座 標即為方程式

ax

² +

bx

+

c

=0的解。如圖 9.1-22。

圖 9.1-22

由圖 9.1-22 也可看出，

x

² − x2 −15=0有兩相異解，而

f ( x ) = x

²

− 2 x − 15

函數圖形與 x 軸有兩相異交點。

x y

15

2

− 2 −

= x x

y

(40)

接著我們來看看方程式

x

² − x6 +9=0，利用乘法公式可得

( x − 3 )

²

= 0

，因此解為 3 (重根)。對函數

f ( x ) = x

²

− 6 x + 9

來說，3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。

圖 9.1-23

由圖 9.1-23 可知，

x

² − x6 +9=0有重根，而

f ( x ) = x

²

− 6 x + 9

的函數圖形與 x 軸只有一 交點。

最後我們來看看方程式

x

²+ x+2=0，因為判別式1² −412=−70，因此無解。對函數

f ( x ) = x

²

+ x + 2

來說，其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。

圖 9.1-24

9

2

− 6 +

= x x y

2

+ + 2

= x x y

x y

x

y

(41)

由圖 9.1-24 可知，

x

² + x+2=0無解，而

f ( x ) = x

²

+ x + 2

的函數圖形與 x 軸無交點。

我們將以上討論做個整理，對於方程式

ax

² +

bx

+

c

=0：

判別式解的種類

f ( x ) = ax

²

+ bx + c

函數圖形與 x 軸交點

0

2 − ac4 

b

兩相異解兩相異交點

0

2 − ac4 =

b

重根一交點

0

2 − ac4 

b

無解無交點

表 9.1-15

例題 9.1-18

判斷

f ( x ) = 2 x

²

+ 8 x + 8

的函數圖形與 x 軸的交點數量。

詳解：

利用判別式，先判斷2

x

² + x8 +8=0的解的種類。

0 8 2 4

8² −   =

因此方程式2

x

² + x8 +8=0有重根。根據表 9.1-15，

f ( x ) = 2 x

²

+ 8 x + 8

的函數圖形 與 x 軸有一交點。

【練習】9.1-18

判斷

f ( x ) = 3 x

²

+ 5 x + 9

的函數圖形與 x 軸的交點數量。

(42)

9.1 節習題

習題 9.1-1

畫出

f ( x ) = 2 x

²的函數圖形。

習題 9.1-2

(1)找出

f ( x ) = 3 x

²函數圖形的對稱軸。

(2)畫出

f ( x ) = 3 x

²的函數圖形。

習題 9.1-3

(1)

f ( x ) = 5 x

² (2)

f ( x ) = − 5 x

² (3) ² 3 ) 1 (

x x f

=

習題 9.1-4

畫出

f ( x ) = x

²

+ 1

(43)

習題 9.1-5

畫出

f ( x ) = x 2

²

− 1

習題 9.1-6

畫出

f ( x ) = x 3 ( − 2 )

²的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

習題 9.1-7

畫出 ( 1)² 2

) 1

(

x

=

x

−

f

習題 9.1-8

畫出

f ( x ) = x 2 ( + 1 )

²

− 1

(44)

習題 9.1-9

畫出 ( 1) 3 2

) 1

(

x

=−

x

+ ² +

f

習題 9.1-10

寫出

f ( x ) = x 6 ( − 1 )

²

+ 5

習題 9.1-11

寫出 ( 1) 1 3

) 1

(

x

=−

x

+ ² +

f

習題 9.1-12

寫出

f ( x ) = x

²

+ 2 x − 5

習題 9.1-13

寫出

f ( x ) = − 4 x

²

+ 8 x + 1

(45)

習題 9.1-14

在直角座標上畫出

f ( x ) = 3 x

²

+ 6 x + 1

的函數圖形。

習題 9.1-15

求 2 4

3 ) 1

(

x

=

x

² +

x

+

f

函數圖形的頂點座標。

習題 9.1-16

判斷

f ( x ) = − x

²

+ 2 x + 1

函數圖形與 x 軸的交點數量。

習題 9.1-17

直角座標上，已知某二次函數圖形頂點為(1,2)，且通過點(4,11)，試求此二次函數。

習題 9.1-18

直角座標上，已知某二次函數圖形對稱軸為

x

=2，且通過點(3,2)與( −5, 6)，試求此二次函數。

(46)

9.2 節二次函數圖形的移動

在本節中，我們將討論當二次函數圖形改變時，函數會如何變化。

在 9.1 節時我們畫過

f ( x ) = x

²

+ 1

的函數圖形，這裡我們與

f ( x ) = x

²做比較：

為了簡化運算，我們先比較拋物線方程式

y = x

²

+ 1

與

y = x

²。

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

2

y =

9 4 1 0 1 4 9

2

+ 1

y = x

10

=9+1

5

=4+1

2

=1+1

1

=0+1

2

=1+1

5

=4+1

10

=9+1 表 9.2-1

可以看出 x 座標相同時，

y = x

²

+ 1

圖形的 y 座標是

y = x

²圖形的 y 座標加 1。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：

圖 9.2-1

= x +

x

2

y =

2

+ 1

= x y

x

y

(47)

我們再看一個例子，比較 4 2

1 ₂ −

= x

y

與 ²

2 1

x

y =

的圖形：

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

2 1

x

y =

2

4 1 2

2

1 0

2

1 2

2 41

2 4 1 2 −

= x

y

2

1

= 4 2 4 − 1

-2

=

2 − 4

2 31

−

= 4 21 −

-4

=0 − 4

2 31

−

= 4 21 −

-2

=

2 − 4

2 1

= 4 2 4 − 1

表 9.2-2

圖 9.2-2 如圖 9.2-2， 4

2 1 ₂ −

= x

y

的圖形，可以看成是 ²

2 1

x

y =

往下移動 4 單位。

事實上，

y = ax

²

+ k

的圖形，相當於

y = ax

²往上移動 k 單位。(若

k

0則為往下移動 k 單位)

因此

y = x

²

+ 1

的圖形是

y = x

²往上移動 1 單位， 4 2

1 ₂ −

= x

y

的圖形是 ²

2 1

x

y =

往下移動 4 單位。

2 4 1 ₂ −

= x

y

2

2 1

x y =

x

y

(48)

我們再接著看下一種形式，比較

y = x ( − 2 )

²與

y = x

²：

y

9 4 1 0 1 4 9

x

(

y = x

²) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

(

y = x ( − 2 )

²)

-1

=-3+2

0

=-2+2

1

=-1+2

2

=0+2

3

=1+2

4

=2+2

5

=3+2 表 9.2-3

可以看出 y 座標相同時，

y = x ( − 2 )

²圖形的 y 座標是

y = x

²圖形的 x 座標加 2。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：

圖 9.2-3

由圖 9.2-3 可知，

y = x ( − 2 )

²的圖形即是

y = x

²的圖形往右移動 2 單位。

x

2

y = y = x ( − 2 )

²

x

y

(49)

再比較看看 ( 4)² 2

3 +

=

x

y

與 ²

2 3

x y =

：

y

2

13 1 6

2

1 1 0

2

1 1 6

2 13 1

x

( ²

2 3

x

y =

₎ -3 -2 -1 0 1 2 3

x

( ( 4)² 2

3 +

=

x

y

₎

-7

=-3－4

-6

=-2－4

-5

=-1－4

-4

=0－4

-3

=1－4

-2

=2－4

-1

=3－4 表 9.2-4

圖 9.2-4 可以看出 ( 4)²

2 3 +

=

x

y

的圖形相當於 ²

2 3

x

y =

的圖形往左移動 4 單位。

事實上，

y = a ( x − h )

²的函數圖形相當於

y = ax

²往右移動

h

單位。(若

h

0則為往左移動

h

單位)

2

2 3

x

2

y =

) 4 2( 3 +

=

x y

x

y

(50)

最後我們比較

y = x ( − 2 )

²

+ 3

與

y = x

²：

x

2

y =

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

9 4 1 0 1 4 9

3 ) 2 ( −

²

+

= x y

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

12 7 4 3 4 7 12

表 9.2-5

圖 9.2-5

3 ) 2 ( −

²

+

= x y x

2

y =

x

y

(51)

從頂點來看，

y = x

²的頂點是(0,0)，

y = x ( − 2 )

²

+ 3

的頂點是(2,3)，相當於 x 座標增加 了 2 單位，y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外，其他的點也有同樣關係：

x

2

y =

上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9)

3 ) 2 ( −

²

+

= x

y

上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12) 表 9.2-5

表 9.2-5 中，對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位。事實上，整 個

y = x ( − 2 )

²

+ 3

的圖形可以想像成是

y = x

²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢？

前面我們已經知道了：

k ax

y =

²

+

的圖形相當於

y = ax

²往上移動 k 單位。(若

k

0則為往下移動 k 單位)

)

2

( x h a

y = −

的圖形相當於

y = ax

²往右移動 h 單位。(若

h

0則為往左移動 h 單位)

合併成

y = a ( x − h )

²

+ k

時也是一樣：

k h x a

y = ( − )

²

+

的圖形相當於

y = ax

²往上移動 k 單位，往右移動 h 單位。(若

k

0則為 往下移動 k 單位，

h

0則為往左移動 h 單位)

因此，

y = x ( − 2 )

²

+ 3

的圖形就相當於

y = x

²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單位。

(52)

我們已經知道了

y = a ( x − h )

²

+ k

相當於將

y = ax

²往右移動 h 單位(

h

0時為往左移動 h 單位)，往上移動 k 單位(

k

0時為往下移動 k 單位)。反過來說，

y = ax

²若往上移動 k 單位，則方程式會變為

y = ax

²

+ k

。接著再往右移動 h 單位，方程式就會變為

k h x a

y = ( − )

²

+

。

以

y = 2x

²為例，將圖形往上移 4 單位，方程式會變為

y = x 2

²

+ 4

。再繼續往右移 5 單位，

方程式會變為

y = x 2 ( − 5 )

²

+ 4

，如圖 9.2-6：

圖 9.2-6

x y

4 ) 5 (

2 −

²

+ y = x

2x

2

y =

4

2

²

+

y = x

(53)

同樣地，若是移動

y = a ( x − h )

²

+ k

，也會有下列關係：

(1)將

y = a ( x − h )

²

+ k

往上移動

k

₁單位，會得到

y = a ( x − h )

²

+ k + k

₁。(

k

₁ 0) (2)將

y = a ( x − h )

²

+ k

往下移動

k

₂單位，會得到

y = a ( x − h )

²

+ k − k

₂。(

k

₂ 0) (3)將

y = a ( x − h )

²

+ k

往右移動

h

y = a ( x − h − h

₁

)

²

+ k

。(

h

₁ 0) (4)將

y = a ( x − h )

²

+ k

往左移動

h

y = a ( x − h + h

₂

)

²

+ k

。(

h

₂ 0)

瞭解了拋物線方程式的移動之後，接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。

我們來移動

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形：

(1) 將

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形往上移動

k

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k + k

₁。 )

0 (

k

₁ 

(2) 將

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形往下移動

k

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k − k

₂。 )

0 (

k

₂ 

(3) 將

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形往右移動

h

f ( x ) = a ( x − h − h

₁

)

²

+ k

。 )

0 (

h

₁ 

(4) 將

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的函數圖形往左移動

h

f ( x ) = a ( x − h + h

₂

)

²

+ k

。 )

0 (

h

₂ 

(54)

例題 9.2-1

(1)求將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

詳解：

利用前面討論的結果可以得到：

(1)將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 x

²

+ 1

。 (2)將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 x

²

− 3

。 (3)將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 ( x − 2 )

²。 (4)將

f ( x ) = − 3 x

²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為

f ( x ) = − 3 ( x + 4 )

²。

【練習】9.2-1

(1)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。

(2)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(3)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。

(4)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

=− 的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。

(55)

例題 9.2-2

(1)求將

f ( x ) = 7 x

²的函數圖形上移 3 單位，左移 4 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 7 x

²的函數圖形下移 2 單位，右移 7 單位後所得的函數。

詳解：

(1) 將

f ( x ) = 7 x

²的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為

f ( x ) = x 7

²

+ 3

，再左移 4 單位得到

y = x 7 ( + 4 )

²

+ 3

。

(2) 將

f ( x ) = 7 x

²的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為

f ( x ) = x 7

²

− 2

，再右移 7 單位得到

f ( x ) = x 7 ( − 7 )

²

− 2

。

【練習】9.2-2

(1)求將

f ( x ) = − 5 x

²的函數圖形上移 3 單位，右移 5 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = − 5 x

²的函數圖形下移 6 單位，左移 4 單位後所得的函數。

(56)

例題 9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形下移 2 單位，右移 1 單位後所得的函數。

詳解：

(1) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形上移 3 單位即得：

3 1 ) 2 ( )

( x = x −

²

+ + f

4 ) 2 ( )

( x = x −

²

+ f

(2) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形左移 4 單位即得：

1 ) 4 2 ( )

( x = x − +

²

+ f

1 ) 2 ( )

( x = x +

²

+ f

(3) 將

f ( x ) = x ( − 2 )

²

+ 1

的函數圖形下移 2 單位，右移 1 單位即得：

2 1 ) 1 2 ( )

( x = x − −

²

+ − f

1 ) 3 ( )

( x = x −

²

− f

【練習】9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

²

− 2

(2)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

²

− 2

(3)求將

f ( x ) = x ( + 1 )

²

− 2

的函數圖形下移 2 單位，右移 1 單位後所得的函數。

(57)

例題 9.2-4

求將

f ( x ) = x

²

+ 4 x − 7

詳解：

首先利用配方法，將

f ( x ) = x

²

+ 4 x − 7

化成

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的形式。

) (x

f

=

x

²+4

x

−7

7 4 4

2 +4 + − −

=

x x

7 4 ) 2

( +

²

− −

= x

11 ) 2 ( +

²

−

= x

將

f ( x ) = x ( + 2 )

²

− 11

的函數圖形左移 2 單位所得函數為：

11 ) 2 2 ( )

( x = x + +

²

− f

11 ) 4 ( )

( x = x +

²

− f

【練習】9.2-4

求將

f ( x ) = x

²

− 6 x − 3

的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(58)

例題 9.2-5

求將

f ( x ) = − 3 x

²

+ 18 x − 1

的函數圖形右移 5 單位，下移 3 單位後所得的函數。

詳解：

首先利用配方法，將

f ( x ) = − 3 x

²

+ 18 x − 1

化成

f ( x ) = a ( x − h )

²

+ k

的形式。

) (x

f

=−3

x

²+18

x

−1

1 ) 6 (

3

²

− −

−

= x x

1 ) 9 9 6 (

3

²

− + − −

−

= x x

1 27 ) 9 6 (

3

²

− + + −

−

= x x

26 ) 3 (

3 −

²

+

−

= x

將

f ( x ) = − 3 ( x − 3 )

²

+ 26

的函數圖形右移 5 單位，下移 3 單位所得的函數為：

3 26 ) 5 3 ( 3 )

( x = − x − −

²

+ − f

23 ) 8 ( 3 )

( x = − x −

²

+ f

【練習】9.2-5

求將

f ( x ) = − 2 x

²

+ 4 x − 1

的函數圖形左移 2 單位，上移 7 單位後所得的函數。

(59)

9.2 節習題

習題 9.2-1

(1)求將

f ( x ) = 2 x

²的函數圖形上移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 2 x

²的函數圖形下移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x ) = 2 x

²的函數圖形左移 1 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x ) = 2 x

²的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-2

(1)求將

f ( x ) = 3 x

²的函數圖形上移 4 單位，右移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x ) = 3 x

²的函數圖形下移 1 單位，左移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-3

(1)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

²

− 1

(2)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

²

− 1

(3)求將

f ( x ) = x ( − 3 )

²

− 1

的函數圖形下移 3 單位，左移 2 單位後所得的函數。

習題 9.2-4

求將

f ( x ) = x

²

+ 2 x − 1

的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-5

求將

f ( x ) = − x

²

− 4 x + 3

的函數圖形右移 3 單位，下移 5 單位後所得的函數。

代數第九章 目錄