1.1 文獻回顧與研究動機
使用非整數階的微分與積分的這個概念並非是新的發想。最早提到分數階微積 分的想法可以追溯到1695 年 Leibniz 給 L’Hospital 的信件[1]，至今這個話題已經 有300 多年的歷史了。分數階微積分理論的研究與發展主要在 19 世紀，由 1832 年Liouville [2]、1953 年 Riemann [3]和 1864 年 Holmgren [4]，還有 1730 年 Euler [5]、1772 年 Lagrange [6]等等，甚至還有人更早作出貢獻。
Liouville 將指數函數擴展到級數中，並如同 q 為正整數一般逐項定義此級數第 q 階的導數。Riemann 提出了針對定積分不同的定義，且可以應用於非整數指數 的冪級數。Grünwald [7]提到 Liouville 的方法受到限制，因為他的微分定義的出 發點為差商(difference quotient)的極限和 q 階導數的定積分公式。Krug [8]通過對 一般導數做柯西(Cauchy)積分公式動作，得出從 Liouville 的定義當中，Riemann
定積分必須被解釋為具有有限的下限，其中沒有可以區別下限值的存在。
在 20 世紀已經有許多著名的貢獻做出分數微積分運算子(differintegral)的理論和 應用。Weyl [9]、Hardy [10]、Hardy & Littlewood [11-13]、Kober [14]以及 Kuttner [15]等人的研究是一些比較特殊但不失一般性的分數階微積分運算子，其性能屬 於Lebesgue 和 Lipschitz 這類的性能。Erdélyi [16-18]和 Osler [19]對任意函數給予 分數階微積分運算子的定義，並且Post [20]用差商定義廣義微分運算子 f D
，其 中D 表示微分，f 為有適當限制的函數(suitably restricted function)。Riesz [21]發展[35] ； 化 學 物 理 學 方 面 如 Somorjai & Bishop [36] ； 一 般 的 運 輸 問 題 (transport problems)如 Oldham[37]以及 Oldham & Spanier [38]。
分數階微積分的發展為各學科提供新的理論基礎，如在冶金、化工、電力和機 械等工業過程中都有應用。分數階微積分對於複雜的系統提供了更完善的數學模 型，在物理、生物工程、控制理論等方面也有許多應用。隨著工業的發展，對於 一些實際模型的建立有了更高的要求，分數階微積分的引入使數學模型變得更加 準確。
分數階控制系統既可以應用到整數階系統，也更適合分數階受控系統模型中。
若在複雜動態系統，使用分數階微積分方程建模要比整數階系統模型更加準確，
尤其是在物理、生物醫學等方面，分數階模型可以準確描述動態系統的特性。一 般對分數階模型而言須使用分數階控制器才能起到很好的控制效果。分數階控制 器增加了可調參數，其控制效果遠遠好過整數階控制器。分數階控制器不僅適用 於分數階系統模型，而對於整數階系統模型也能充分展現其優越性。
由於分數階微積分理論被應用到研究控制領域的時間不是很長，其研究方向包 括以下三個方面：其一，分數微積分逼近法的研究；其二，用分數階微分方程描 述較難通過整數階微分方程的控制系統；最後一個是研究分數階微分控制器和積 分控制器的實現。
近年來，分數階微積分已越來越多應用於機械系統、電力和生物工程。分數階 PID (fractional order PID，FOPID) 控制理論是基於傳統的 PID 控制理論的發展，
分數階控制器的設計與研究已經獲得越來越多的關注。分數階PID 控制器的想法
是由Podlubny [39]所提出。與傳統整數階控制器相比，分數階控制器的優點為具 有五個可調參數(
K K K
p,
i,
d, ,
)，從而增加設計的自由度，並且可以實現更好 的控制品質。它能有效地抑制雜訊，對於系統模型的不確定性具有較強的強健性。群智能優化，是指無智能的或具有簡單智能的個體透過群體協作和組織來表現 出群體智能優化行為的特性。大部分圍繞二大分支進行研發：
(1) 蟻群演算法(Ant Algorithms)：於 1992 年 M. Dorigo [40]觀察螞蟻群的搜尋食物 活動啟發而建立的演算機制模式。
(2) 粒 子 群 演 算 法 (Particle Swarm Optimization) ： 於 1995 年 J. Kennedy & R.
Eberhart [41]由鳥群捕食行為的研究得到啟發而產生的最佳化演算法。
J. Kennedy & R. Eberhart 由鳥群捕食行為提出一個簡單的模擬：
(1) 每個智能體(agent)會朝著最優個體接進。
(2) 每個智能體會記憶當前的最佳個體。
(3) 每個智能體會與鄰近個體共享與最佳個體相關的信息。
粒子群演算法的開發基於一些很簡單的概念，使其僅需要一般數學運算或使用 幾行程式編碼撰寫就可以實現。再加上其演算法整體有許多可以調整、設計的參 數，有許多學者提出方法來改善粒子群演算法，Shi & Eberhart 分別在 1998 年[42]
提出常數慣性權重(inertia weight)的想法，以及在 1999 年[43]提出線性遞減的慣性 權重改善常數慣性權重；Clerc [44]提出收縮係數的概念；Ratnaweera 等人[45]提 出分別對個體學習參數和群體學習參數線性化；Chatterjee & Sisrry [46]提出權重 係數以非線性方式遞減；Ko 等人[47]從非線性權重的概念，衍生出分別對個體學 習參數和群體學習參數非線性化。
1.2 論文綱要
本論文運用分數階控制器有多個可調參數的特性，使系統達到期望性能以及附 有強健性，在設計方法之中結合了粒子群演算法搜尋最佳參數組合，文章結構如 下：第一章緒論，先提到研究動機與歷史回顧；第二章簡單介紹分數階微積分定 義與Ziegler–Nichols 參數調整方法；第三章方法章節中，分別介紹本論文所提出 的設計步驟與推導過程，以及粒子群演算法的使用簡介；第四章前半段為推導例 題的系統模型，將其代入本篇提出的調整方法中，並藉由例題模擬利用粒子群演 算法用來尋找參數所遇到的問題，然後針對問題來改善粒子群演算法的程序。後 半段為比較傳統控制器與分數階控制器對輸出的響應和頻率響應；第五章是本論 文的結論和未來展望。