第一章 第一章
第一章、、、、緒論緒論緒論緒論
1.1 前言前言前言 前言
隨著時光的推演，科技日新月異，電腦的發展及演變影響我們許多，不
管是對於日常生活的使用或是工程上的應用，皆有劃時代的改變。在工程 上，對於數值分析而言，影響其計算速度及結果準確性之因素，除了電腦能 力外，所使用之方法往往也佔一重要因素。
計算方法主要可分為三種，分別為有限體積法(Finite volume method)、
有 限 元 素 法 (Finite element method) 以 及 有 限 差 分 法 (Finite differential method)。在早期有限元素法於工程上的應用主要以固體力學(如:樑、殼、平 板等)為主【【【【1,2】】】】，到後來也有學者將其應用於其他領域例如:流體力學、熱 傳學、電磁學等。而有限體積法則是由有限差分法發展而來，且普遍應用於 熱流場分析(如:散熱系統、室內空調、火警防災等)【【【【3,4】】】】，該法早期主要受 限於結構性網格之使用，但其特點是不論局部或整體之計算區域皆守恆其 物理現象，故此法能被廣泛的應用。近幾年，有些學者開始以有限體積法來 處理固體力學問題【【【5】【 】】】，像是平板彎曲位移分析、懸臂樑擺動頻率分析、流 固耦合分析等，均有不錯之發展結果。隨著求解模型的複雜化，進而發展出 有限體積法搭配非結構性網格來求解此類問題【【【【6-8】】】】，其在計算上能有效地 處理複雜的幾何形狀，也能夠做局部加密的動作，之後學者亦證明該法能有
效應用於流體力學、熱傳學等。
1.2 流固耦合介紹流固耦合介紹流固耦合介紹 流固耦合介紹
流固耦合為流體力學和固體力學所結合之模擬分析，在目前已經被廣泛應
用於各種領域之分析研究，像是人工肺器官【【【【9】】】】、導彈之暫態分析【【【【10】】】】、 氣體彈性分析【【【【11】】】】、降落傘氣流分析【【【【12】】】】、血管內之血流動【【【【13】】】】等。在 早期碰到流固耦合的相關計算問題，都將結構體視為一剛體以便做計算，但 隨著工程上的精密要求，不得不重視流固耦合所產生的影響。當流體流過一 結構體時，必定會對其產生壓力及剪應力，結構體也會因其作用力的影響而 產生擺動現象進而影響流場的變化，隨著擺動的產生便會有造成共振效應 的疑慮，故流固耦合之問題漸漸備受重視。隨著科技技術的發展，已經有學 者朝這方面作一研究及探討其所產生的相關效應。
在求解流固耦合的計算中，可將解法分為完全統一法以及分段法兩種。
完全統一法是將流力和固力的統御方程式整理成單一方程式，在配合邊界 條件對其求解便可得到所需之結果。而分段法是先對固力進行求解，得到變 形後之條件再將此條件回傳給流力部份去做計算，如此反覆運算便可得到 流場和結構體的變化情形。由於流力計算區域之網格為移動的，故 Eulerian 座標系統在此便不適用，必須採用 ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)座標 系統【【【【14】】】】，該系統能在交界面移動時，再次重置網格，使結果得到較高之 精確度。最後搭配空間守恆定理來進行求解，且此方法也被證明可有效的應
用於流固耦合之計算中。
1.3 文獻回顧文獻回顧文獻回顧文獻回顧 (A) 固力方面固力方面固力方面 固力方面
2000 年，Taylor et al.【【【15】【 】】以一個 finite volume (FV) procedure 來分析】 懸臂樑和平板問題，該計算方法是以 cell vertex 為基礎，並將 FV、FE Galerkin method 和理論解做一比較。其中由結果可發現，不管在變形位移或是收斂 速度上，FV、FE Galerkin method 和理論解可得到相近似的結果。
2003 年，Slone et al.【【【16】【 】】】以三維 vertex-based 有限體積法對懸臂樑受 力之擺動分析，其中使用 Newmark scheme 進行求解，對於結構體受力後之 位移變化以及在低阻尼係數下之擺動頻率都和理論解似近，最後並採用此 方法來模擬流固耦合之系統
2004 年，Fallah 【【【【17】】】】將 cell centred finite volume (CC-FV)、cell vertex finite volume (CV-FV)和有限元素法應用於結構體上，並作一比較分析，由 結果可以發現，CC-FV 和 CV-FV 在懸臂樑受力問題中，其精確度比有限元 素法高。且對於有限體積法使用 Mindlin-Reissner 理論分析平板問題時，不 會有 locking 現象發生。
2009 年，Filippini et al.【【【【18】】】】以有限元素法及有限體積法在 nodal stress 計算上作一準確度的比較分析，其中以兩端固定之二維懸臂樑做試驗，結果 發現，有限元素法比有限體積法在固定邊界的部分會有較大的誤差產生。故
本文以有限體積法為主要探討方法，並對網格的疏密來作一綜合比較，可發 現在網格較密時，有限體積法所產生的誤差會是最小的。
2012 年，Pipelzadeh et al. 【【【19】【 】】】以非結構性網格 Galerkin finite volume method GFVM 來求解二維平面結構之位移及其應變量，其中模型為一具有 非規則性彎曲邊界以及具有滑輪支撐的線性邊界之結構體。當使用較粗的 三角形網格時，GFVM 的準確度比 FVM 及 FEM 來的好，但隨著結構形狀 以及邊界條件的複雜化，仍須採用較細的網格來做計算。
(B)流固耦合方面流固耦合方面流固耦合方面流固耦合方面
2000 年，Souli et al.【【【14】【 】】等人對於流固耦合之移動網格進行分析研究，】 其中將流場以 Arbitrary Lagrangian-Eulerian(ALE)法和結構體以 Lagrangian 法來耦合試驗，可以發現採用此方法不因結構體之擺動干擾使流力網格無
法計算，並由模擬結果可看出，網格在耦合過程中依舊保持良好之狀態。
2007 年，Xia et al.【【【20】【 】】等人利用 matrix-free 隱性之非結構性多重網格】 有限體積法來分析二維及三維之懸臂樑單點受力問題，由模擬結果可發現 使用該法和理論解之位移量隨網格數增加而誤差變小。最後再將結構體置 於三維流場中做流固耦合模擬，發現該法在特定網格下，尾端位移量比 ANSYS 更接近理論解。
2008 年，Xia and Lin【【【【21】】】】以 cell vertex 非結構性有限體積法來模擬二 維流固耦合之問題，並搭配 implicit dual-time stepping method 來預測在流體
作用力下之結構體位移及應力分佈，其中對於結構體及流場皆採用三角網 格。由測試結果可發現，其位移變化、應力分佈和應力最大值與理論解相近，
以及在結構體上之應力變化和結構位移呈一角度差，說明結構上之壓力差 是造成擺動現象之主要原因。
2011 年，黃義政【【【【22】】】】利用非結構性網格有限體積法來分析二維單點受 力及均佈受力之懸臂樑問題，由模擬結果可發現位移量和理論值近似，並對 此模擬作一網格精準度分析，顯示出在網格數達到某一臨界值時其誤差將 在可接受之範圍內。最後將該懸臂樑置於一流場中做流固耦合之模擬分析，
發現結構體尾端會呈現周期性的擺動現象，並和理論擺動頻率作一比較，結 果也極為近似。
2012 年，黃裕堂【【【【23232323】】】】利用隱性之非結構性網格有限體積法來分析結構 體受力與流固耦合之現象，而結構模型可分為懸臂樑及彎曲結構體之受力 問題，發現使用該法之位移變化和理論解及 ANSYS 結果近似，進而將其與 虛擬時間之預測修正法做一計算時間比較，可得後者具有計算快，且可允許 時間步階較小之特點。最後將懸臂樑置於流場中，以觀察結構體在不同雷諾 數下之擺動現象，並採用快速傅利葉轉換和理論擺動頻率作比較，結果也極 為近似。
1.4 研究內容研究內容研究內容研究內容
本文主要研究內容為利用非結構性網格有限體積法來探討三維懸臂樑
以及平板承受一外力之變化情形，進而將二維非線性結構體置於流場中以 觀察其和流體間交互作用之流固耦合現象。
對於結構體計算部分，將採用虛擬時間之預測修正法來進行求解，該法 已證實能有效運用於此。在此將分別觀察三維線性懸臂樑以及平板在承受 一外力條件下，其位移變化和應力分佈之情形，並和理論解進行一分析比 較，進而調整模型之網格數以分析其誤差容忍範圍。
在流固耦合計算方面，結構體依舊採用虛擬時間之預測修正法，流場則 是使用先預測再修正的 PISO 法則，並搭配空間守恆定理進行求解。計算模 型為二維流場中置放一固定於阻塊後方之非線性結構體。主要是觀察結構 體受流場之不穩定渦流影響，其所造成之擺動振幅大小、周期的變化，並利 用快速傅立葉轉換計算擺動頻率和理論解做一探討比較。最後觀察流場流 線及流場壓力分佈情形其與結構體擺動之關係。