在有限的資源下，一家工廠老闆欲購買機器以達最大產量並獲 得最高利潤，因此許多菁英們紛紛尋找各種方法以獲得老闆賞識，
其中一人使用本篇之方法找出符合老闆期望的機器數量。初步想法:
每台機器的狀況為馬可夫鏈，工廠工作時間固定為三班制(每八小 時為一班，第一班早班:早上八點到下午四點，第二班午班:下午四 點到零晨零點，第三班:晚班零晨零點到早上八點)，不間斷地有人 來輪班，每三班為一個週期，這三班各有一個馬可夫鏈(Markov chain)在運作且各有各的轉置率(transition rate)。早班的人精神狀況 較佳、效率佳，一旦遇到機器故障的時候立即處理，午班的人精神 狀況比早班差，因此效率相對也比較低，所以當發現機器故障時處 理的速度較慢，晚班的人精神不佳，時常機器故障卻沒人發現造成 產量減少，有時會到發現才修理，有時會一直到換早班的人才發 現。所以透過此篇想法，找出每台機器在長期的時間「好」的機率，
「中等」的機率，「壞」的機率，最後老闆決定欲購買機器數量以 達到最大產量並獲得最高利潤。
我們將上述想法具體的表示在這篇論文中，我們考慮一個連續 時間馬可夫鏈(continuous time Markov chain) X( )t 在 r 個階段的一 個交替更新過程(alternating renewal process)的動態運轉狀態的系統 中被觀察。因此，考慮一個多階段的更新時間系統序列為
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
, ,..., , , ,..., ,..., , ,..., , 21,...}
1 1 2
1 2
2 2 1 2 1 2 1 1
1 n n n+ n+
r
r Y Y Y Y Y Y Y
Y Y
Y 互相獨
立，皆為正的而且是非退化(non-degenerate)的隨機變數，(see Karlin and Taylor, p207)。
( )1 2( )1 3( )1 1( )⋅
1 ,Y ,Y ,...~F Y
iid
( )2 2( )2 3( )2 2( )⋅
1 ,Y ,Y ,...~F Y
iid
M
( )r Y( )r Y( )r iidFr( )⋅ Y1 , 2 , 3 ,...~
( )t
X 在各個Y 中有不同的Qi，i =1,2,...,r，其中Qi為微矩陣。
我們假設X( )t 成功的以1,2,...,r,1,2,...,r,1,2,...階段通過系統且 在不同階段的X( )t 可能有不一樣的參數但在其他方面在原來的鏈 中仍保有他的性質。一個典型的例子:M/M/1 queue 關於 service breakdown 描述於 Avi-Itzhak and Noar (1963) 或是 一個更普遍的 模型-a Markov modulated queue 由 Regterschot and de Smit (1986)提 出。備註這篇論文所討論的模型屬於 the family of switching
processes 在 Anisimov (1977)可找到，或是最近有關的作品 在 Anisimov(1995)中。
在第二部份中，說明隨機過程的理論包含基本定義及性質。
在第三部份中，我們研究整個過程的極限狀態，和嵌入式過程 (the embedded processes)在每個階段起始被觀察的極限狀態。討論 Y 服從三種分配分別是常數函數與時間是定值、指數(exponential)、
韋柏(Weibull)，整個過程的極限機率分配 (limiting probability
在第四部份中，我們會檢查馬可夫性質發現一個有趣的事，即 使是指數分配仍不具有馬可夫性質和另外會導出一定理說明整個 過程的漸近齊次性(asymptotic homogeneity)。
在第五部份中，先舉一些實際的例子了解這些理論可運用在哪 些方面，之後我們將前面所推導的理論加以應用，試著模擬幾種情 況，將得到的結果進一步討論，以達成目標。