例子

條件:

Repair rate(修理的比率)

01 01

01 b c

a > > ，a₀₂ >b₀₂ >c₀₂ Break rate(機器壞掉的比率)

10 10

10 b c

a < < ，a₂₀ <b₂₀ <c₂₀，a₂₁ <b₂₁ <c₂₁ 必成立的條件:

c b a t t

t t

t₀₁ > ₀₂, ₂₀ < ₂₁，其中 = , ,

利用上章節介紹的方法，及上述的條件，找出極限機率。

這個過程隨著時間及其他因素使得機器的系統狀態產生變 化，試著將此情況以流程圖來表示，能更方便、容易了解所有可能 狀態的變化及發生原因:

修理

良好 中等 壞掉

自然損壞

人為疏忽 自然損壞 人為疏忽

人為疏忽 自然損壞

2 1 0

圖一 電動平板貨架運作的狀況

模擬結果:

π

^v [0.3542, 0.5681, 0.0777] [0.4657, 0.4688, 0.0654]

π

^v [0.3458, 0.5749, 0.0793] [0.4624, 0.4716, 0.0660]

Q

3 2 1,Q ,Q

Q Q₁,Q₂,Q₃

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[0.8, 0.5, 0.2] [0.1, 0.5, 0.7]

( )¹

π

^v [0.4980, 0.4410, 0.0609] [0.4289, 0.5079, 0.0632]

π

^v [0.4606, 0.4729, 0.0665] [0.3259, 0.5948, 0.0793]

Q

6 5 4,Q ,Q

Q Q₄,Q₅,Q₆

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[3, 21, 10] [20, 8, 4]

( )1

π

^v [0.4197, 0.4731, 0.1073] [0.5323, 0.3887, 0.0790]

π

^v [0.4079, 0.4816, 0.1104] [0.5286, 0.3913, 0.0801]

Q

6 5 4,Q ,Q

Q Q₄,Q₅,Q₆

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[0.8, 0.5, 0.2] [0.1, 0.5, 0.7]

( )1

π

^v [0.5759, 0.3570, 0.0671] [0.5239, 0.3943, 0.0818]

π

^v [0.5394, 0.3834, 0.0772] [0.3944, 0.4895, 0.1161]

Q

9 8 7,Q ,Q

Q Q₇,Q₈,Q₉

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[3, 21, 10] [20, 8, 4]

( )¹

π

^v [0.3340, 0.5400, 0.1260] [0.3988, 0.4933, 0.1079]

π

^v

Q

9 8 7,Q ,Q

Q Q₇,Q₈,Q₉

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[0.8, 0.5, 0.2] [0.1, 0.5, 0.7]

( )¹

π

^v [0.4307, 0.4690, 0.1003] [0.4245, 0.4745, 0.1011]

π

^v [0.3672, 0.5133, 0.1195] [0.2288, 0.6059, 0.1653]

(2)Y 服從韋柏(

α

_i,

γ

_i)，i =1,2,...,r

Q

3 2 1,Q ,Q

Q Q₁,Q₂,Q₃

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[1/3, 1, 1/2] [1, 1, 1/2]

[ γ

1,

γ

2,

γ

3

]

[1, 4, 1] [1, 19, 1]

( )1

π

^v [0.9746, 0.0209, 0.0044] [0.9307, 0.0577, 0.0116]

π

^v [0.7936, 0.1648, 0.0418] [0.7316, 0.2194, 0.0491]

Q

6 5 4,Q ,Q

Q Q₄,Q₅,Q₆

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[1/3, 1, 1/2] [1, 1, 1/2]

[ γ

1,

γ

2,

γ

3

]

[1, 4, 1] [1, 19, 1]

( )¹

π

^v [0.9752, 0.0200, 0.0048] [0.9341, 0.0534, 0.0125]

π

^v [0.7689, 0.1828, 0.0485] [0.7243, 0.2206, 0.0553]

Q

9 8 7,Q ,Q

Q Q₇,Q₈,Q₉

[ α

1,

α

2,

α

3

]

[1/3, 1, 1/2] [1, 1, 1/2]

[ γ

1,

γ

2,

γ

3

]

[1, 4, 1] [1, 19, 1]

( )1

π

^v [0.9581, 0.0346, 0.0073] [0.8948, 0.0869, 0.0184]

π

^v [0.2793, 0.5356, 0.1853] [0.3235, 0.5156, 0.1611]

(3) Y 服從 ( )

⎩⎨

⎧

<

= ≥

i i

i if t c

c t if t

F 0

1 ，i =1,2,...,r

Q

3 2 1,Q ,Q

Q Q₄,Q₅,Q₆

c 8 8

( )¹

π

^v [0.5331, 0.4084, 0.0585] [0.6006, 0.3391, 0.0603]

π

^v [0.3369, 0.5837, 0.0794] [0.4154, 0.4730, 0.1116]

Q

9 8 7,Q ,Q

Q Q₁,Q₂,Q₃

c 8 1

( )1

π

^v [0.4333, 0.4667, 0.1000] [0.4450, 0.4906, 0.0644]

π

^v [0.2286, 0.6077, 0.1637] [0.3886, 0.5360, 0.0754]

Q

6 5 4,Q ,Q

Q Q₇,Q₈,Q₉

c 1 1

( )1

π

^v [0.5352, 0.3869, 0.0779] [0.4333, 0.4667, 0.1000]

六、 應用實例

Example:

某一家公司製造大量優質的產品，二十四小時不能停止生產 線，一旦斷電損失慘重所有在線上正在製造的產品全部都報銷，所 以必需要很了解每台機器的狀態，此公司可以利用上述的方法找出 每台機器的壽命，老闆就可以決定需要多少台機器串聯起來在線上 運作，需要幾條生產線並聯起來，希望發生斷電的機率是萬分之一 要相當的小，當有一條發生問題還有其他的生產線可以繼續運作及 生產中的產品轉移到其他生產線，這樣可以讓損失降到最低。

圖二 線路與機器位置分配

Example:

園區的某大公司想要讓公司產品量產，目標想花最小的錢得到 最高的產量，使公司獲益最大，所以貴公司可以試著採用此方法，

每台機器服從同一個分配，分別在不同的時段但在同一個部門，算 出每台的極限機率，決定要幾台串聯在一起，再看需要幾條生產線 串聯起來，最後達到最想要的產量。

Example:

買一台新車狀態都是良好的，但經過一段時間可能是人為因素 (碰撞、過度使用…等等)或是自然磨損(零件老舊或是秏損完…等) 使得車的狀況變為中等，定期保養又可恢復到好一點的狀況，但有 時損壞太嚴重就必需送修，最多也只能恢復到中等狀態，這也是可 以經由此法來推算出車子的極限機率。

Example:

考慮一個 M/M/1 queue，這系統是機器運轉與修理期間在交 替，每一個情況都服從指數分配。當機器在運轉期間，這個系統操 作視為 M/M/1 queue，當壞掉的期間，沒有顧客使用且顧客上門發 現壞了會很灰心失望而會以一個常數機率離開。此外，如果機器在 時間T 壞掉，則在系統中的時間T⁺顧客離開的人數假設服從一個二 項分配(binomial distribution)。將這個例子算出極限機率分配

π

。

我們考慮這個問題，將它看成三個階段的交替更新過程，分別 命名為運轉期間，機器壞掉發生期間，修理期間。每個期間假設服

從指數分配，這三個階段的期望值分別為

1

1

α

^， ₂ 1

α

^， ₃ 1

α

^。利用

Theorem 1，我們將解決這個問題，其中讓

2

1

α

^{收斂到 0。}

α

2為一個固定值，由 Theorem 1 推導出

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+ +

= ³ _{1 2 3}

3 2 1 2

2 1 1

1

3 2 1

1 1

1 1 1 1

1 A A A

π

AA A

π α π α

α α α α π

讓

α

₂ →∞，可得到 ^{( ) ( )} ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

= ³ _{1 2 3}

3 1 1

1

3 1

1 1

1 1

1 A

π

AA A

π α

α

α

α

π

在文檔中 在一個交替更新過程上的連續時間馬可夫鏈 (頁 29-38)