在近代工程設計的發展上，對材料的要求與結構的表現趨向於高強度 與輕量化，舉凡建築結構、航太設備、壓力容器、軍事載體及汽車工業等，
設計者要考量以最小成本來達到所需的機能與強度，並且兼顧外型的美 觀。由於薄殼在承受彎曲應力與拉伸應力的表現上有良好的表現，又能達 到經濟與輕量化的要求，因此薄殼為設計者最常使用的結構之ㄧ，而廣泛 應用在工程及生活上。常見的薄殼結構包括：建築屋頂、飛機蒙皮、液體 儲存槽、人造衛星、火箭、船體結構、水中潛體等。薄殼結構受到外力作 用經常會產生大位移和大旋轉，在大位移和大旋轉的問題中，位移和外力 往往不是線性關係，因此需要使用非線性分析的方法來探討由幾何形狀改 變所造成的非線性行為。
常見的幾何非線性分析的推導方法有三種：全拉格朗日法(total
Lagrangian formulation)、更新拉格朗日法(updated Lagrangian formulation)和 共旋轉法(Co-rotational formulation)。全拉格朗日法是用初始狀態為參考位 置來表示總位移和旋轉；更新拉格朗日法是以結構上一個平衡狀態為參考 位置來表示增量位移和旋轉；共旋轉法是利用建立在元素當前變形位置的 元素座標將剛體位移及旋轉從總位移及旋轉中扣除，剩下的位移和旋轉即 為小位移和小旋轉，因此若使用共旋轉法，原本在線性分析的元素也可以
應用在大位移、小應變的幾何非線性分析，共旋轉法在梁與殼結構的幾何 非線性分析已經被廣泛的使用[1-10]。
分析殼結構最常用的方法為有限元素法。殼元素大致分為三類：平面 殼元素、曲面殼元素和等參數元素。常見的平面殼元素是由一個平面板元 素和一個平面元素疊加而成，此種元素的推導方式簡單，而且在數值計算 上比曲面殼元素更有效率[11]，已分別應用在殼結構的線性[12-15]和幾何非 線性分析[4-11,16]。平面殼元素最常使用的形狀為三角形或四邊形，對任何 不規則形狀的殼結構，我們都可以輕易地將其切割成有限的三角形組合，
但不一定適合將其切割成四邊形的組合，故三角形元素在文獻上被廣泛的 探討及使用。
CST(Constant strain triangle)元素和 LST(Linear strain triangle)元素都是 最簡單的平面元素，在薄殼分析上常常使用它們與合適的板元素疊加，因 為這種平面三角殼元素缺少旋轉自由度(Drilling degree of freedom)，所以其 元素剛度的面內旋轉剛度(In-plane rotational stiffness)為零，為了避免系統剛 度矩陣因奇異性(Singularity)造成分析的困難，常見的解決方法有兩種：(1) 加上一個人工的面內旋轉自由度[17-20]。(2) 採用具有旋轉自由度的平面 元素[8,9,17,21-23]。文獻[23]提到三角平面元素加入旋轉自由度的優點為：
改善三角平面元素的性能並避免使用到三角形邊上的節點，因為邊上的節 點會影響到網格生成，而且在模擬非線性分析與動態分析時較為困難；當
三角平面元素與三角板元素疊加時，能滿足物理上一個節點有 3 個旋轉自 由度的要求；三角形元素與殼元素、板元素或是梁元素同時使用時，能使 接合簡單化。1964 至 1983 年期間，許多人在研究如何在 3 節點的三角形平 面元素上加入節點旋轉自由度，希望能得到一個 3 節點 9 個自由度且具節 點旋轉自由度的三角形平面元素，但是都沒有得出可用的元素。1984 年文 獻[21]Allman 提出第一個成功帶有旋轉自由度、3 個節點 9 個自由度的三角 形平面元素。2002 年文獻[22]提出 DLST 元素是一個具有 12 個自由度，三 角形頂點自由度為 2 個位移、1 個旋轉並且邊上中點自由度為 1 個位移。2003 年文獻[23]提出的 OPT 元素具有 3 個節點，每個節點 2 個位移、1 個旋轉的 自由度。2008 年文獻[17]成功的將一個具有旋轉自由度的 QST 元素[23]應 用在平面應變問題的共旋轉法幾何非線性分析上，該元素具有 3 個節點、
18 個自由度，每個節點有 2 個位移、1 個旋轉及 3 個應變自由度。
從 1960 年起有許多的三角形板元素被提出[24-28]，其中具有 3 個節 點，每個節點有 1 個位移、兩個旋轉自由度，總共 9 個自由度之三角形板 元素的研究發展最為迅速。文獻[18]中比較 DKT、HSM、BCIZ、HCT 等 9 個自由度三角形板元素的線性分析和振動分析後，認為 DKT 元素是這些三 角形板元素中最有效率的元素，在靜態和模態分析中均可以收斂到準確的
答案。文獻[23]中指出 DKT 元素內部不能滿足
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的連續條件且沒有
定義側向位移場 ，因為計算板元素之質量矩陣及幾何剛度矩陣需要該元素 的側向位移場 ，所以 DKT 元素的質量矩陣和幾何剛度矩陣皆使用其他元 素的側向位移場來推導。1968 年文獻[20]把位移假設為完整五次多項式的 元素稱為 TUBA 6，除了在三頂點有 1 個側向位移 、2 個側向位移一次微 分 、 ，3 個側向位移兩次微分 、 、 之外，還有 3 個邊 上中點側向位移對邊上法線方向微分 ，共計 6 個節點、21 個自由度。
1969 年文獻[29]中也假設側向位移是五次多項式，並且利用邊上的側向位 移對邊上法線方向微分 是三次變化三個限制條件將三個邊上的自由度
、 、 去掉，因此 6 個節點減為 3 個節點、21 個自由度減為 18 個自由度，文獻[9]將此元素稱為 RQT 元素。
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1981 年文獻[1]中將 CST 平面元素與 DKT 三角板元素疊加成一平面三 角殼元素，並使用更新拉格朗日法將該元素用在具大位移及大旋轉的薄殼 結構分析，但更新拉格朗日法的增量旋轉必須是小角度，因此 1987 年文獻 [4]使用相同的殼元素，搭配共旋轉法解決增量旋轉大小限制的問題。2006 年文獻[6]採用文獻[4]的殼元素和共旋轉法，以數值例題探討殼結構受到各 種位移負荷之非線性分析。
一個好的殼元素應能分析大位移問題和偵測平衡路徑上的分歧點 (Bifurcation point)及極限點。為了要檢測元素的優劣性，文獻上通常藉由基 準問題(Benchmark problem)來試驗推導出來的元素模型是否精準或收斂方
法是否有效率。文獻[30]整理出殼在幾何非線性分析中常見的基準問題，文 獻[7-9,16,31-34]模擬殼在挫屈分析中常見的基準問題，但更好的基準問題是 要兼具實驗數據和數值模擬的比較[19]。
文獻[19]以實驗和數值方法[35]探討一聚酯圓柱薄殼受位移負荷作用後 的非線性行為，模擬一矩形薄板在長邊以夾鉗挾持，夾鉗先將薄板彎成一 圓柱狀，再施加一集中位移負荷於結構中心的情況，採用兩階段的位移負 荷分析。在其實驗中隨著位移負荷的增加，結構連續產生四個特殊的幾何 變形，如圖1.1所示。第一個變形是在薄殼中心附近出現兩個對稱X、Y軸的 d-cone (developable cone) (圖1.1a)。第二個變形中出現兩個新的d-cone，而 四個d-cone圍成一個對薄殼中心轉了一個角度的菱形(圖1.1b)。第三個變形 為四個d-cone的連線形成一個梯型(圖1.1c)。第四個變形為梯形底邊兩個 d-cone移到薄殼自由端的邊界時，產生一個不連續的變化，使薄殼變成波浪 狀的圓柱殼(圖1.1d)。文獻[35]所使用的數值方法為有限元素法，其元素為 三角形殼元素，考慮的薄膜應變為不完整非線性項，並且假設位移場是完 整五次多項式，多項式的21個係數由節點上的函數值、函數的一次微分、
函數二次微分以及函數對邊上中點之法線方向微分計算而得，計算von Karman板殼理論推導出來的能量式，利用找出該能量的最小值求得薄殼結 構的變形。雖然在薄殼變成波浪狀前，數值模擬和實驗得出的受力-位移曲 線相當接近，但數值模擬無法得出第二個和第三個變形。文獻[7]採用文獻
[6]的數值方法及元素模擬文獻[19]的實驗，並討論位移負載偏移、結構的不 完美對結構變形的影響，雖然與文獻[19]的挫屈例題之數值做比較，其數值 的結果很相近，但無法觀察到實驗中出現的現象。文獻[8]採用QST平面元 素和DKT板元素疊加成一三角平面殼元素，並探討採用不同位移場推導得 的幾何剛度矩陣對平衡迭代及挫屈負荷的影響，與文獻[19]所偵測的平衡路 徑和挫屈負荷相近，但無法觀察到實驗中d-cone旋轉的現象。文獻[9]採用 QST元素和RQT板元素疊加成一三角平面殼元素，此殼元素與文獻[8]相比
的優點:擁有更高的精確度、元素內部滿足
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的連續條件及具有定
義的側向位移場可以推導幾何剛度矩陣。數值模擬的結果與大部分具挫屈 分析例題相近，但無法觀察到實驗中d-cone旋轉的現象。
本人猜測文獻[7-9]無法模擬出 d-cone 旋轉現象的原因在於其推導出的 切線剛度矩陣並不完整和沒有考慮到無限小旋轉矩陣(Infinitesimal rotation matrix)的影響，故本篇研究將引用非線性的殼理論來描述殼的變形過程，
將變形之間的耦合項考慮更加完善，試圖模擬出實驗中[19]d-cone 旋轉的現 象。廣為人知的殼理論推導可分兩種：第一種是將殼結構視為三維物體 [36-39]，並設參考表面，通常取中平面，再對厚度方向積分。第二種是將 殼結構視為 Cosserat surface[40]，在此表面上的任一向量皆可變形，且保有 在剛體運動下，向量長度不變的性質。
本研究將三角殼元素的三個節點建立在板的中平面上，在三個節點當 前的位置建立一個元素座標，並在當前的元素座標上用板中平面的位移及 中平面變形後的法向量描述殼元素的變形。本研究利用極分解定理(Polar decomposition theorem)[41]將殼中平面的變形梯度(Deformation gradient)分 解成一個旋轉矩陣(Rotation matrix)，和一伸縮矩陣(Stretch matrix)的乘積，
並用一剛接在元素中平面的座標系統的旋轉表示位移梯度中的剛體旋轉。
本研究用三個旋轉參數來描述該中平面座標系統的旋轉。
本研究採用 von Karman 板理論為基本假設[42,43]，即第一種殼理論推 導，取中平面為參考平面對厚度方向積分的三維物體概念。位移場採用文 獻[23,28]的元素位移場，推導出一個 3 節點、每個節點有 9 個自由度的平
本研究採用 von Karman 板理論為基本假設[42,43]，即第一種殼理論推 導，取中平面為參考平面對厚度方向積分的三維物體概念。位移場採用文 獻[23,28]的元素位移場，推導出一個 3 節點、每個節點有 9 個自由度的平