第三章 模式建構及求解
3.3 改良型模式建構
根據 3.2 節所提出的訂購策略，本章將建立一改良型模式。本論文所提出的 訂購策略限定除了最後一次訂購之外，每次的訂購數量皆相同，令每次的訂購數
量為 Q，最後一次訂購的數量則為 DT 1
DT Q
Q
⎛⎡ ⎤ ⎞
−⎜⎢ ⎥− ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠ 。
單次訂購的成本 C(Q)則分成三部分考慮：持有成本、訂購固定成本、訂購 變動成本。由於除了最後一次之外，每次的訂購的成本皆相同，本論文分別就不 同的訂購數量來計算相關的成本。
本論文的改良型模型即為最小化總成本 TC(Q)，而決策變數即為訂購批量 Q。此改良型模式與原本模式最大的差異之處為決策變數只有一個。
圖 3.1 為本論文改良型模型中，廠商的庫存水準與時間關係圖。
圖 3.1 改良型模型之存貨水準示意圖
相關基本資訊如下：
上述三項成本解構如下：
本論文同時考量兩因素對成本的影響，使得所考慮的成本函數較以往 EOQ
100 200 300 400 500
Q
3.4
根據 Schwartz[14]的求解方法，可得到下列性質一：
性質一：必存在一正整數
⎣ ⎠。則 LTC(Q=DT/m)可視為一個 m 的二次函數(quadratic function)，並 可寫成下列形式：
可知 LTC(Q=DT/m)為 LTC(Q)於此範圍內之最小值。在給定總訂購次數之
二、成本函數 S2(Q)的性質說明：
若廠商每次訂購的訂購量 Q=280=8P，可知廠商最少共需訂購四次。前三次訂購 每次需要 後一次訂購則需要 5 個貨櫃，總共需要 29 個。此時無法
而 S2(Q)在給定總訂購次數為 m 之下(即訂購量的範圍為：
三、總成本函數 TC(Q)的性質說明：
TC(Q’)≦TC(Q)。
說明：性質五證明請參閱附錄 B。
根據性質五可知若一訂購量 Q 使廠商的訂購總次數為 m，且最後一次訂購
根據性質五便可以找出 Q’。
3.5 求解方法說明
本章將說明尋找最適解的流程。尋找最適解的流程如圖 所示。首先，本 論文根據性質一可尋找到一訂購量 m1能使總持有成本與訂購固定成本兩 者和最小。若此訂購量 1為 的整數倍 則代表 使訂購變動成本最小，
可確定 即為總成本之最適解，並結束求解過程。但若不成立，則本論文提出 一方法來尋找總成本之最小值。
3.6 Q=DT/
Q=DT/m P ， Q
Q
開始
找出LTC(Q)的最 佳解,Q=DT/m1
判斷Q=DT/m1
是否為P的整數倍
Q=DT/m1即為總 成本之最適解
否 是
將原問題轉換成一整數規劃問題。
步驟一
利用DT/m1來縮小m、b求解的範圍。
步驟二
利用全數搜尋法來得到一組最適解(m*、
步驟三
b*)
利用m*、b*來求出總成本之最適解Q*。
步驟四
結束
圖 3.6 尋找總成本之最適解之流程
本論文所提出之方法可分四步驟說明。
步驟二：利用 DT/m1來縮小 m、b 求解的範圍。
(2) 接著，利用上述Q*的限制式，可以找出 m 的範圍。
步驟三：並求出一組 m*、b*為上述問題之最適解。
以及 m、b 求解的範圍之後，
利用 *)
步驟
根據步驟一、二將問題轉化成整數規劃的問題 全數搜尋法即可求出一組最佳的解(m*, b
四：利用 m*、b*來求出總成本之最適解 Q*。
根據公式(3.7)、(3.8)可求出一最適解，
若 *b *
≥ m PDT ，可知
* *
Q = mDT 。
* * b DT
< m P，可知 * *
* 1 DT Pb
Q m
= −
− 。
若
3.6 範例分析
本章利用一數據案例來說明 3.5 節所導出的經濟批量特性與求解方法。本論 文以 K=20、R=10、h=2、T=1、D=1000、P=35 作為基準，以下將利用 3.5 節之 求解方法進行求解。求解的步驟如下：
3. 求出 m 的範圍：
第四章 數值研究
為進一步了解模式使用的情況與結 針對模型重要相關參數進行敏感 性分析，以進一步了解不同的成本要素對於決策所造成的影響。最後並用同一個 數據案例分別在給定不同的規劃期 T 與不同的需求 D 之下與 Lee 學者[14]的存 貨模型加以比較。
4.1 貨模型 分析
文以 K= 10、h=2、T=1、 、P=35 作為基準，並就模型參 數以敏感度分析來比較對總成本的影響。在找出影響成本的重要因素之後，再就 該因素來分析對訂購量的影響。並分別將 R、P 此兩因素分別就不同數值交叉比 對來探討雙重因素對總成本的影響。
4.1.1 個別因素的影響：
(一) 影響總成本的重要因素
以下針對 3.5 節之範例變動各參數做敏感度的分析。分析變動的參數為 P、
K、h、R 等四參數，接著對各目標參數做 20%的幅度變化，其結果如下表所示。
表 4.1 各參數對最佳總成本的敏感度分析 變動參數
變動範圍 P K h R
果，本章
存 之數值
本論 20、R= D=1000
-80% 1713.52 417.74 416.77 345.52 -60% 1005.00 471.00 470.31 403.52 -40% 763.19 511.00 510.47 461.52 -20% 646.67 551.00 544.02 519.52 0% 577.52 577.52 577.52 577.52 20% 525.00 601.52 611.02 635.52 40% 492.86 625.52 631.40 693.52 60% 466.67 649.52 651.60 751.52 80% 445.00 670.78 671.80 809.52
表 4.2 各參數對最佳總成本的的變異比例分析
增加會使得總
一定的訂購的總次數，代
訂購變動成本減少，而隨著 P 增加，由於廠商仍然維持 表廠商仍然需要一定的運輸費用，因此總成本 會隨 P 增加而呈非線性遞減。
(2) 訂購變動成本(變動成本R)：
可以觀察到 與總成本為一線性關係。這是由於在此例子中 R 的改變 皆不會使最佳訂購量改變，故會使運輸成本(S2(Q))呈線性增加，而使得 總成本也呈線性增加。。
(3) 持有成本h、訂購固定成本(每次的訂購費用 K)：
到此兩參數的變動與總成本為一遞增關係，但隨著 h、K 越大 而總成本增加越少。
合理的推測此現象的原因是由於 h、K 越大會使得廠商的總訂購次數越 少，連帶使得最佳訂購量逐漸增多。由成本函數的公式 、 、 可知 、 任一項單一參數的變動皆會影響到所有的成本。因此，總成 本並不像傳統 EOQ 模型中與 h、K 的變動呈線性關係。
藉由上述的分析，可得 3 點結論如下：
1. 變動對總成本的影響皆比 h、k 還大，且為線性關係。
2. P 的變動與總成本可觀察到為一遞減的關係。但本論文認為這是由於當 P 不斷減少趨近於 0 時，由於總訂購變動成本 會呈非線性遞增所 產生之必然的結果。
甚至可以推論當 P 非常大時，所需要之貨櫃數即等於總訂購次數。而 總成本即不再受 P 的改變而影響。
3. 本論文認為在此模型中，R、P 為影響成本的兩重要因素。
R
可以觀察
(3.4) (3.5) (3.6) h k
R
2( ) S Q
(二) 影響最佳訂購量
1724.12 (49.77%)
0
2. 案例二之分析結果：
4.1.2 雙重因素的影響
)=(10,35)與(R,P)=(20,70)，則採用哪一種載具可以有較低的成本？
為了利用本論文之存貨模型來回答上述問題，本論文先選定 R 的值，再與
0
量(P=21、P=35、P=49)，再來分析不同的P 值與成本的關係。考慮R
4.2 有限規劃期T的影響
本論文的存貨模型與 Lee 學者[7]的存貨模型主要的差異在於本研究的模型 考慮了一有限的規劃期 T，而 Lee 學者則無。
為了了解有限的規劃期 T 對廠商的影響，本論文藉由給定不同的規劃期 T，
分別以本論文與 Lee 學者之求解方法來計算最佳的總成本。以 Lee 學者的計算方 法所求得的成本作為基準，來比較本論文之存貨模型所求得的成本，即可判斷當 廠商額外考慮了一有限的規劃期 T 時，對總成本的助益有多少。
本論文以 K=20、R=10、P=35、h=2、D=1000（單位：需求數量/單位時間）
作為基準，針對 T 此參數（單位：年），以不同的變化幅度來分析其對總成本的 影響，並計算最佳訂購量與總成本，如下表 4.3。
表 4.4 本論文與 Lee 學者模型差異 給定規劃期
T
本論文模型 總成本 (訂購量分別計算)
Lee 學者模型 總成本 (訂購量=140)
差異 差異百分比
T=0.2 120.00 132.80 12.80 10.67%
T 0.4 = 233.33 238.40 5.07 2.17%
T=0.6 352.70 368.00 15.30 4.34%
T=0.8 457.63 466.00 8.37 1.83%
T=1.0 578.75 592.40 13.65 2.36%
T=1.2 690.90 702.80 11.90 1.72%
T=1.4 796.00 796.00 0.00 0.00%
T=1.6 917.71 928.80 11.09 1.21%
T=1.8 1015.00 1034.40 19.40 1.91%
T=2.0 1150.96 1164.00 13.04 1.13%
T=2.1 1194.00 1194.00 0.00 0.00%
T=2.8 1592.00 1592.00 0.00 0.00%
表 4.3 計算的方式如下：
成本，需
3. 此外，由於共訂購了 1120 個產品。這比總需求 1000 還多出了 120 個產 品，而這剩餘成本則未被計算至表 4.3 內。
為了方便分析表 4.3 之結果，將之轉換成下列圖 4.7。
1. 由於 Lee 學者的存貨模型並沒有考慮有限規劃期此因素，因此本論文根 據其演算法所求出的最佳訂購量做為訂購量。
2. 為了計算 Lee 學者的存貨模型在給定一有限規劃期 T 之下的總
計算相關總存貨持有成本、總訂購固定成本、總訂購變動成本。例如，
當 T=1 時，若訂購批量為 140 個，可知共訂購了八次，再分別計算相 關成本。
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.1 2.8 T
差異百分比
圖 4.9 本研究與 Lee 學者總成本的差異百分比
根據表 4.3 與圖 4.7 可歸納三點結論：
1. 當 T 增加時，與 Lee 學者相比則可發現成本皆都較低或相同。如圖 4.7 所示。可發現隨著 T 越大，總成本的差距百分比則逐漸變小，但由於 Lee 學者尚有一部份剩餘成本則未被計算，故可知本論文的結果較優。
2. 在給定 T=1.4 之下，由於總需求剛好為 Lee 學者的演算法所計算之訂購
量(140)的整數倍。 ，與 Lee
學者相同。
時，本論文所計算 之最佳訂購量與總成本與 Lee 學者之模型皆相同。這表示當 T 增加到使
（例如：當 D=1000 時，T=1.4、2.1、2.8…）， 本論文的存貨模型與 Lee 學者的模型完全相同。
這表示本論文之存貨模型在此參數設定之下
3. 此外，藉由後續的分析可發現，甚至當 T=2.1、2.8
得總需求為 140 的整數倍時
第五章 結論與未來研究方向
本論文提出一有限規劃期與階梯式的訂購成本的經濟批量問題，並建構數學 模式，探討經濟批量與成本的關係。根據 Schwartz[14]的訂購策略，本論文提出 一啟發式演算法，建立一改良型模式並透過成本函數的特質來尋找一經濟訂購批 量。
在未來研究方面將進一步針對該啟發式演算法的求解品質（求解方法的適用 性、求解速度、與最佳解的差異等…）進行探討。
參考文獻
Policies Under Stochastic Lead Times and Stepwise Fixed Costs", Operations [1] Alp,O., Erkip,N. K. and Güllü,R. "Optimal Lot-Sizing/Vehicle-Dispatching
research, 51, 1, 160-166, INFORMS, 2003.
[2] Bramel,J. and Simchi-Levi,D. , The Logic of Logistics: Theory, Algorithms, and Applications for Logistics Management, Springer, New York, 1997.
Krajewski's Alg
[3] Carter,J. R., Ferrin,B. G. and Carter,C. R. "On Extending Russell and
orithm for Economic Purchase Order Quantities*", Decision Sciences, 26, 6, 819-829, Blackwell Synergy, 1995.
Dai,T. and Qi,X. "An acquisition policy for a multi-s
[4] upplier system with a
inite-time horizon", Computers and Operations Research
f , 34, 9, 2758-2773,
Elsevier, 2007.
[5] Goyal,S. K. "An inventory model for a product for which purchase price fluctuates", New Zealand Operational Research, 3, 2, 112-117, NZOR, 1975.
[6] Goyal,S. K., Morin,D. and Nebebe,F. "The finite horizon trended inventory replenishment problem with shortages", Journal of the Operational Research Society, 43, 12, 1173-1178, JSTOR, 1992.
[7] Lee,C. Y. "The Economic Order Quantity for Freight Discount Costs", IIE Transactions, 18, 3, 318-320, Taylor & Francis, 1986.
[8] Lev,B. and Soyster,A. L. "An inventory model with finite horizon and price changes", Journal of the Operational Research Society, 30, 43–53, JSTOR, 1979.
[9] Lev,B. and Weiss,H. J. "Inventory models with cost changes", Operations research, 38, 1, 53-63, JSTOR, 1990.
[10] Nahmias ,S. , Production and operations analysis, Irwin Homewood, IL, 1997.
[11] Parker,R. P. and Kapuscinski,R. "Optimal Policies for a Capacitated
ns research
Two-Echelon Inventory System", Operatio , 52, 5, 739-755, INFORMS, 2004.
[12]
freight transportation", European Journal of Operational Research
Rieksts,B. Q. and Ventura,J. A. "Optimal inventory policies with two modes of , 186, 2,
[13] Russell,R. M. and Krajewski,L. J. "Optimal Purchase and Transportation Cost 576-585, Elsevier, 2008.
Lot Sizing for a Single Item", Decision Sciences, 22, 4, 940-952, Blackwell Synergy, 1991.
[14] Schwarz,L. B. "Economic Order Quantities for Products with Finite Demand Horizons", IIE Transactions, 4, 3, 234-237, Taylor & Francis, 1972.
Sivazlian,B. D. and Stanfel,L. E.. ,
[15] Analysis of Systems in Operations Research, Chap. 5, Prentice Hall, 1975.
[16] rey,M. R. "Incorporating transportation costs into inventory replenishment decisions", International Journal of Production Swenseth,S. R. and Godf
Economics, 77, 2, 113-130, Elsevier, 2002.
[17] Toptal,A. and Çetinkaya,S. "Contractual agreements for coordination and vendormanaged delivery under explicit transportation considerations", Naval Res.Logist, 53-55, 2006.
[18] Toptal,A., Çetinkaya,S. and Lee,C. Y. "The Buyer-Vendor Coordination Problem:
Modeling Inbound and Outbound Cargo Capacity and Costs", IIE Transactions, 35, 11, 987-1002, Taylor & Francis, 2003.
[19] Zhao,Q. H., Wang,S. Y., Lai,K. K. and Xia,G. P. "Model and algorithm of an inventory problem with the consideration of transportation cost", Computers &
Industrial Engineering, 46, 2, 389-397, Elsevier, 2004.
[20] 許巧鶯 and 謝幼屏. 「海運定期貨櫃航線之船型與頻次決策研究」, 運輸計 劃季刊, 34, 2, 211-241, 2005.
附錄A
附錄B：
TC(Q’)≦TC(Q)。說明：