第一章 緒論
1.1 前言
薄板構件廣泛應用於土木、機械、航太工程等領域，在土木工程中，常見有樓 地板、橋面板以及各種應用。當板承受不斷變化、不同形式的載重作用，整個系統 會反應出各種振動行為，其中振動頻率更是工程應用中所關心的重要因素之一。例 如地震發生時，地震力造成構件產生裂縫等影響外，也可能因構件的自然振動頻率 與地震頻率相近，而產生共振破壞、崩塌，因此土木工程之頻率分析更需仔細考量。
1.2 文獻回顧
古典薄板理論常見於板之分析，因其方程式較簡單，由 Kirchhoff (1959)提出，
故又稱為 Kirchhoff 理論，專門討論分析薄板，其寬厚比(b/h)大於 20，本研究即是 按此理論進行。該理論主要假設：一、當板彎曲時，垂直板中間面的線段仍保持直 線，並且垂直板之中間面。二、在橫向荷重下，板發生小撓度時，板的中間面並不 會受拉伸。三、忽略轉動慣量(rotary inertia)。
求解矩形板之振動問題，分為兩途徑：一、求出既滿足四階微分控制方程又滿 足邊界條件之解析解方法。二、採用近似法求解之數值方法，例如 Ritz 法、有限 元素法、加權殘餘法等，隨著計算機技術發展，數值方法亦廣泛迅速應用，在此不 多做敘述。
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雖然研究矩形薄板之自由振動問題已有許多年，但由於邊界條件與荷載複雜，
造成數學計算上的困難，其解析解並不常見於文獻。其中最有名者為考慮四邊簡支 端之解，由 Navier 提出，Navier 假設解為雙重正弦三角級數(double sine trigonometric
series)之形式1，求解出矩形板在均佈載重與集中荷重於板中任一點的撓度之正確解，
可謂是正確解的創始。
另外，兩對邊簡支而另外兩邊任意邊界之矩形板正確解，亦可容易求得，通常 稱之為閉合正確解(closed-formed exact solutions)，由 Lévy 提出，Lévy 假設其解為 單正弦三角級數(single sine trigonometric series)之形式2，相較 Navier 法，其收斂性 較佳且適用邊界更廣泛，然而其他非對邊簡支之邊界，依然沒有閉合正確解滿足。
常見於工程應用之四邊固定板振動問題，直到 Timoshenko (1938)應用疊加法 於 Lévy 法求解而得，亦求解出不少邊界條件之問題。疊加法之應用使得 Lévy 法適 用邊界更廣泛，但表達式複雜許多、數值計算瑣碎。
Wang 與 Lin (1996) 以傅立葉級數求解兩端固定及一端固定一端簡支梁之自然 振動問題，指出傅立葉級數在不連續邊界下，其微分函數可能造成非一致收斂
(non-uniform convergence)而無法逐項微分(term-by-term differentiations)。
Li (2000)提出傅立葉級數求解一維梁自由振動問題，將撓度看成傅立葉級數與 任意多項式方程之線性組合，此多項式並非用來滿足特別邊界，而是作為擴充函數
來修正邊界不連續問題，並改善其收斂速度；Li (2002)提出當正確解假設為傅立葉
1 Navier 的『雙重三角級數(double trigonometric series)之形式』資料來源由參考文獻 Szilard (1974)
2 Lévy 的『單三角級數(single trigonometric series)之形式』資料來源由參考文獻 Szilard (1974)
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餘弦級數展開時，其收斂速度會較傅立葉正弦級數快。在探討薄板自然振動，Du 等人 (2007)採用傅立葉級數求解，以多項式作為擴充函數，探討板內振動情形。
Li 等人 (2009)採用傅立葉餘弦級數，以三角函數作為擴充函數，求解五種邊界條 件問題。Jin 等人 (2010)採用傅立葉餘弦級數，以五階多項式作為擴充函數求解矩 形板振動問題，探討平移彈簧與旋轉彈簧對板振動之影響，並提出改變平移彈簧勁 度對求解振動頻率之影響會比旋轉勁度要大許多之結論。
1.3 研究目的與方法
總觀前人之研究，矩形板自由振動問題之閉合解析解研究甚少，故本研究參照
Li (2000)中的方法與概念，假設梁及板之撓度為傅立葉餘弦級數與多項式之線性組 合，用以求解其振動問題。利用兩種方法滿足矩形板各邊界條件及控制方程：○1 積 分轉換為傅立葉級數域、○2 配點法，求解待定係數，將其結果代入滿足控制方程以 求解自由振動頻率，探討梁及矩形板於各邊界之振動問題，考慮參數有長寬比，並 將兩方法於兩種邊界問題(四端固定、四端簡支端之矩形板)做收斂性分析比較。
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1.4 內容摘要
本論文共分為五章，其內容如下：
第一章：緒論
說明本研究目的與方法，以及回顧相關矩形薄板振動解析解發展之文獻。