矩形板自由振動之傅立葉級數求解

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 學 系

 

碩 士 論 文

 

矩形板自由振動之傅立葉級數求解

Fourier Series Solutions for

Free Vibrations of Rectangular Plates

研 究 生：郭芳琳

指導教授：黃炯憲 教授

   

Fourier Series Solutions for

Free Vibrations of Rectangular Plates

研 究 生：郭芳琳 Student：Fang-Lin Guo

指導教授：黃炯憲 Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science in

Civil Engineering February 2013

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i 

研究生：郭芳琳 指導教授：黃炯憲 博士

國立交通大學土木工程學系碩士班

中文摘要

摘 要

本研究利用傅立葉餘弦級數求解矩形板之振動，以多項式作為擴充函數修正傅 立葉級數逐項微分所造成的問題。本研究所提之級數解，利用兩種方式滿足矩形板 各邊界條件及控制方程，求解自由振動頻率：○1 積分轉換為傅立葉級數域、○2 配點 法。透過收斂性分析，與文獻結果比較，驗證分析方法及電腦程式之正確性；並比 較兩方法優劣，依據結果顯示，轉換於傅立葉級數域之方法收斂性較快，進一步探 討不同邊界條件、長寬比對板振動之影響。    

ii 

Free Vibrations of Rectangular Plates

Student：Fang-Lin Guo Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang

Department of Civil Engineering

National Chiao-Tung University

英文摘要

Abstract

This study establishes analytical solutions of vibrations of rectangular plates using Fourier cosine series supplemented with polynomial functions. The transverse displacement of a thin plate is expressed by a double Fourier cosine series and two single Fourier cosine series multiplied with four polynomial functions, respectively, so that the derivatives of the transverse displacement can be obtained from term-by-term differentiations of these series. The unknown coefficients in the series solution are determined by approximately satisfying the boundary conditions and governing equation in the sense of Fourier series expansion or point matching. It is found that the former approach gives faster convergence of natural frequencies than the latter approach after the validity of these two approaches and correctness of developed computer programs are confirmed through convergence studies and comparisons with published results. The approaches are further applied to investigate the vibrations of rectangular plates with different boundary conditions and aspect ratios.

iii  感恩讚歎 妙禪師父！感恩 師父妙轉讓我健康、樂觀！感恩 師父讓我心安 心定生智慧，讓我知曉人生所謂何來，而非在生活中忙、茫、盲，空過此生！ 感恩指導老師黃炯憲教授給我研究方向，增強我的邏輯思考與編譯程式的能力。 感謝老師在百忙之中，幫我一一校正修改，老師辛苦您了！感謝劉俊秀、洪士林教 授在這歲末年終前，抽空審查與指導，讓我收到一份開心的年禮。 感恩嬿妮老師讓我知曉無私無我的心！感恩宜靜老師教導我學會感恩心！感 恩玫琪老師讓我學會慈悲心！感恩趙軒老師讓我學會發願的心！萬分感恩安宏學 弟，因為有你，才有如今的我；感恩尚文、凱農、瀞瑩、郁翔、昱如、筌安、東閔、 冠智、珍珍、婉茹、柏勳、姵妤等朋友們，感恩你們伸出一雙慈悲的手，感恩你們 陪伴、分享、調整、帶領我提昇開悟，好愛你們喔！我們一定要一起回家！ 感恩明儒、政甯、志偉、靖俞、江祥、穎泰、鈞誠、孟軒、進順、維莘學長姐 以及家毅、宣治、旭進、裕鈞同學們這兩年來的指導、學習、陪伴與互相勉勵。 感恩親愛的父母文賢先生與秀美女士生我、養我、栽培我！感恩兩位妹妹芳菁、 怡真伴我這幾十年來的歲月時光，感恩你們忍受我的傲慢、幼稚與任性等缺點。 感恩 如來！感恩我所認識、經歷的一切人事物！願此生回到彼岸！ 郭芳琳 謹誌於交通大學土木工程學系碩士班 102.2    

iv  中文摘要 ... i 英文摘要 ... ii 誌 謝 ... iii 目 錄 ... iv 表目錄 ... vi 圖目錄 ... viii 符號說明 ... ix 第一章 緒論 ... - 1 - 1.1 前言... - 1 - 1.2 文獻回顧... - 1 - 1.3 研究目的與方法... - 3 - 1.4 內容摘要... - 4 - 第二章 梁之振動問題 ... - 5 - 2.1 梁振動控制方程... - 5 - 2.2 傅立葉級數解之基本理論... - 6 - 2.3 不同邊界條件之解... - 10 - 2.3.1 固定端-固定端(C-C)之解 ... - 10 - 2.3.2 固定端-簡支端(C-S)之解 ... - 13 - 2.3.3 固定端-自由端(C-F)之解 ... - 15 - 2.3.4 自由端-自由端(F-F)之解 ... - 18 - 2.4 梁自由振動閉合解... - 22 - 2.5 收斂性分析... - 24 - 第三章 矩形板之振動問題 ... - 27 - 3.1 基本公式... - 27 - 3.2 不同邊界條件之解... - 31 - 3.2.1 求解 C-C-C-C 矩形板 ... - 31 - 3.2.2 求解 C-F-F-F 矩形板 ... - 34 - 3.2.3 求解 S-S-S-S 矩形板 ... - 38 - 3.3 收斂性分析... - 42 - 3.4 數值結果... - 44 - 第四章 利用配點法求解 ... - 47 - 4.1 配點法... - 48 - 4.1.1 求解 C-C-C-C 自由振動頻率 ... - 48 - 4.1.2 求解 S-S-S-S 自由振動頻率 ... - 52 -

v  4.2 收斂性分析... - 57 - 4.3 比較兩法之收斂性... - 61 - 第五章 結論與建議 ... - 63 - 5.1 結論... - 63 - 5.2 建議... - 64 - 參考文獻 ... - 65 - 附錄Ａ ... - 67 - 附錄B ... - 70 - 附錄C ... - 79 -

vi  表 2.1 擴充函式 ( )P x 於梁之邊界值………..- 8 -_i 表 2.2 修正後 ( )P x 導函數於梁之邊界值………- 18 -_i 表 2.3 兩端固定端梁之自由振動頻率……….- 23 - 表 2.4 固定端簡支端梁之自由振動頻率……… 24 -表 2.5 固定端自由端梁之自由振動頻率……… 24 -表 2.6 兩端自由端梁之自由振動頻率………...- 25 - 表 3.1 擴充函式P x_xi( )於板之邊界值………..- 28 - 表 3.2 CCCC 之收斂性分析 ( r = a/b = 1) ………...………... 41 表 3.3 SSSS 之收斂性分析 ( r = a/b =1) ………...……...……... 42 表 3.4 CCCC 之自由振動頻率………...………....……... 43 表 3.5 CFFF 之自由振動頻率………...………....…….... 43 -表 3.6 S-S-S-S 之自由振動頻率………...…..………...…...- 44 - 表 3.7 S-F-S-F 之自由振動頻率………...………...…...- 44 - 表 3.8 S-S-S-F 之自由振動頻率………...………....……....- 45 - 表 3.9 SCSS 之自由振動頻率………...………....….…... 45 -表 3.10 S-C-S-C 之自由振動頻率………...………....……...- 45 -

vii  表 4.1 C-C-C-C 之收斂性分析 ( r = 1 , Nb = 50 , l = 0.01 ) …....………....- 56 - 表 4.2 S-S-S-S 之收斂性分析 ( r = 1 , Nb = 150 , l = 0.01 ) …....…….…...- 57 - 表 4.3 C-C-C-C 之自由振動頻率 ( r= 1 ,M_max = 20, l = 0.01 ) …... 58 -表 4.4 S-S-S-S 之自由振動頻率 ( r= 1 ,M_max = 20, l = 0.01 ) …....……. 58 -表 4.5 C-C-C-C 之自由振動頻率 ( r= 1 ,M_max = 20, Nb = 50 ) …....…...- 59 - 表 4.6 S-S-S-S 之自由振動頻率 ( r= 1 ,M_max = 20, Nb = 50 ) …....…...- 59 -

viii 

圖 2.1    擴充函式 ( )P x ………....…... - 8 - _i

ix 

 梁(第二章)

L 梁長 E 彈性模數 I 慣性矩 A 梁斷面面積 b  質量密度 D  = ρA/ EI i P 多項式方程 （i = 1,2,3,4） m A 傅立葉係數 i C 擴充函數中各多項式方程之待定係數（i = 1,2,3,4） m 傅立葉級數累計項數 （= 0,1,2,…,M） M 傅立葉級數最大計數值 w(x) 梁位移 m  傅立葉級數週期（= mπ/L）



頻率  _{無因次化頻率（=} 1/2 2 A D/

 



      ）

 

 

 

 

 

x 

 矩形平板(第三、四章)

a 矩形板長度(x 方向) b 矩形板寬度(y 方向) h 矩形板厚度(z 方向) D 撓曲剛度(Eh3/ 12(1v2)) E 彈性模數  質量密度  普松比  自由振動頻率 w(x,y) 垂直板面的撓度方程 mn A 傅立葉級數中雙項數係數 m B 傅立葉級數中單項數待定係數 n C 傅立葉級數中單項數待定係數 m, n 傅立葉級數累計項數( = 0, 1, 2,…, M 或 N )

,

M N

傅立葉級數最大計數值 i x P ,P_yi 多項式方程( i = 1, 2, 3, 4 ) m  傅立葉級數中x 方程的週期( = mπ/a ) n  傅立葉級數中y 方程的週期( = nπ/b ) , x y Q Q 剪力 , x y M M 彎矩 xy M 扭力矩 K 結構勁度矩陣 M 結構質量矩陣 r 長寬比( = a/b )  無因次化頻率( = 2 D a h





)  

‐ 1 ‐ 

第一章 緒論

1.1 前言

薄板構件廣泛應用於土木、機械、航太工程等領域，在土木工程中，常見有樓 地板、橋面板以及各種應用。當板承受不斷變化、不同形式的載重作用，整個系統 會反應出各種振動行為，其中振動頻率更是工程應用中所關心的重要因素之一。例 如地震發生時，地震力造成構件產生裂縫等影響外，也可能因構件的自然振動頻率 與地震頻率相近，而產生共振破壞、崩塌，因此土木工程之頻率分析更需仔細考量。

1.2 文獻回顧

古典薄板理論常見於板之分析，因其方程式較簡單，由 Kirchhoff (1959)提出， 故又稱為 Kirchhoff 理論，專門討論分析薄板，其寬厚比(b/h)大於 20，本研究即是 按此理論進行。該理論主要假設：一、當板彎曲時，垂直板中間面的線段仍保持直 線，並且垂直板之中間面。二、在橫向荷重下，板發生小撓度時，板的中間面並不 會受拉伸。三、忽略轉動慣量(rotary inertia)。 求解矩形板之振動問題，分為兩途徑：一、求出既滿足四階微分控制方程又滿 足邊界條件之解析解方法。二、採用近似法求解之數值方法，例如 Ritz 法、有限 元素法、加權殘餘法等，隨著計算機技術發展，數值方法亦廣泛迅速應用，在此不 多做敘述。

‐ 2 ‐ 

雖然研究矩形薄板之自由振動問題已有許多年，但由於邊界條件與荷載複雜， 造成數學計算上的困難，其解析解並不常見於文獻。其中最有名者為考慮四邊簡支 端之解，由 Navier 提出，Navier 假設解為雙重正弦三角級數(double sine trigonometric series)之形式1，求解出矩形板在均佈載重與集中荷重於板中任一點的撓度之正確解， 可謂是正確解的創始。

另外，兩對邊簡支而另外兩邊任意邊界之矩形板正確解，亦可容易求得，通常 稱之為閉合正確解(closed-formed exact solutions)，由 Lévy 提出，Lévy 假設其解為 單正弦三角級數(single sine trigonometric series)之形式2_{，相較 Navier 法，其收斂性}

較佳且適用邊界更廣泛，然而其他非對邊簡支之邊界，依然沒有閉合正確解滿足。 常見於工程應用之四邊固定板振動問題，直到 Timoshenko (1938)應用疊加法 於 Lévy 法求解而得，亦求解出不少邊界條件之問題。疊加法之應用使得 Lévy 法適 用邊界更廣泛，但表達式複雜許多、數值計算瑣碎。 Wang 與 Lin (1996) 以傅立葉級數求解兩端固定及一端固定一端簡支梁之自然 振動問題，指出傅立葉級數在不連續邊界下，其微分函數可能造成非一致收斂 (non-uniform convergence)而無法逐項微分(term-by-term differentiations)。

Li (2000)提出傅立葉級數求解一維梁自由振動問題，將撓度看成傅立葉級數與 任意多項式方程之線性組合，此多項式並非用來滿足特別邊界，而是作為擴充函數 來修正邊界不連續問題，並改善其收斂速度；Li (2002)提出當正確解假設為傅立葉        

1

  Navier 的『雙重三角級數(double trigonometric series)之形式』資料來源由參考文獻 Szilard (1974) 

‐ 3 ‐  餘弦級數展開時，其收斂速度會較傅立葉正弦級數快。在探討薄板自然振動，Du 等人 (2007)採用傅立葉級數求解，以多項式作為擴充函數，探討板內振動情形。 Li 等人 (2009)採用傅立葉餘弦級數，以三角函數作為擴充函數，求解五種邊界條 件問題。Jin 等人 (2010)採用傅立葉餘弦級數，以五階多項式作為擴充函數求解矩 形板振動問題，探討平移彈簧與旋轉彈簧對板振動之影響，並提出改變平移彈簧勁 度對求解振動頻率之影響會比旋轉勁度要大許多之結論。

1.3 研究目的與方法

總觀前人之研究，矩形板自由振動問題之閉合解析解研究甚少，故本研究參照 Li (2000)中的方法與概念，假設梁及板之撓度為傅立葉餘弦級數與多項式之線性組 合，用以求解其振動問題。利用兩種方法滿足矩形板各邊界條件及控制方程：○1 積 分轉換為傅立葉級數域、○2 配點法，求解待定係數，將其結果代入滿足控制方程以 求解自由振動頻率，探討梁及矩形板於各邊界之振動問題，考慮參數有長寬比，並 將兩方法於兩種邊界問題(四端固定、四端簡支端之矩形板)做收斂性分析比較。  

‐ 4 ‐ 

1.4 內容摘要

本論文共分為五章，其內容如下： 第一章：緒論 說明本研究目的與方法，以及回顧相關矩形薄板振動解析解發展之文獻。 第二章：梁之振動問題 簡述傅立葉級數逐項微分時的問題與解決方法，參照 Li (2000)並依其假 設與方法，使用傅立葉形式級數求解梁之振動問題。 第三章：矩形板之振動問題 利用傅立葉形式級數決定待定係數，探討矩形板在三種邊界條件下的振動 問題，並依其法求解出七種邊界條件之振動頻率。 第四章：利用配點法求解 利用配點法決定待定係數，求解矩形板於兩種邊界條件之振動問題，並與 傅立葉形式級數之法進行收斂性分析比較。 第五章：結論與建議 結論本研究所得結果，並針對所遇到之問題提出建議。        

‐ 5 ‐ 

第二章 梁之振動問題

此章先以梁作驗證，介紹 Euler-Bernoulli 梁理論的控制方程，參照 Li (2000) 所提方法，使用傅立葉級數求解梁振動頻率，以便進一步分析板問題。

2.1 梁振動控制方程

根據 Euler-Bernoulli 梁理論，等截面梁自由振動頻率下的控制方程為 4 2 4 2 ( , ) ( , ) 0 D w x t w x t x  t  _  _   ， (2.1) 其中

w x t

( , )

為撓度， A EI b D    ，而 E、I、_b、A 分別為梁之彈性模數、慣性矩、 質量密度、斷面面積。 在考慮自由振動 (free vibration) 之問題，可令 ( , ) ( ) i t w x t w x e ， (2.2) ω 為自由振動頻率(rad/sec)，將式(2.2)代入式(2.1)可得 4 2 4 ( ) ( ) 0 x i t D w x w d x e d 

 

        ， (2.3a) 其中

e

i t 非零，可提出而得 4 2 4 ( ) ( ) 0 x D w x x d w d    。 (2.3b)

‐ 6 ‐ 

2.2 傅立葉級數解之基本理論

傅立葉級數之每單一函數 cosmx、sinmx 均可微分，但當一函數用傅立葉級數 展開時，該函數之微分並不一定等於該傅立葉級數之逐項微分。 Tolstov (1965)列出兩條傅立葉級數微分之數學定理： 定理一：f (x)定義在[0, L]且為連續函數，以傅立葉正弦展開為 1 ( ) _msin _m m f x b  x   



，0 < x < L ， (2.4) 其中_m m L ，則

 

1 ( ) (0) 2 (x) [ 1 m ( ) (0)] _{m m} cos _m m f L f f f L f b x L L           _    _  



。 (2.5) 定理二：f (x)定義在[0, L]且為連續函數，以傅立葉餘弦展開為 0 1 ( ) _mcos _m m f x a a  x   



，0 < x < L， (2.6) 則 1 ( ) _{m m}sin _m m f x   a  x    



。 (2.7) 由兩定理(2.4~2.7)知，傅立葉餘弦展開式可逐項微分；但傅立葉正弦展開式， 惟有在f(0) = f(L) = 0 時，才可得該級數之逐項微分。方程式(2.3b)的解析解可定義 在[0, L]之傅立葉級數展開表示，但注意定理一之要求，即須滿足其解逐項微分後 為連續函數，且在邊界之值為零。 假設撓度為

‐ 7 ‐  0 ( ) cos M m m m w x A  x  



，0 < x < L， (2.8) 其中_m m L ，依定理一、二，

w x

( )

之微分可表示成 0 ( ) sin M m m m m w x  A  x    



， (2.9)





2 0 ( ) (0) ( ) cos M m m m m m w L w w x a A x L _





     



 ， (2.10)





3 0 ( ) sin M m m m m m m w x a   A  x    



 ， (2.11)





(4) 2 4 0 ( ) (0) ( ) cos M m m m m m m m w L w w x b a A x L         



  ， (2.12) 其中a_m ( 1)2



mw L( ) w (0)



L      、 _m ( 1)2



mw L( ) w (0)



L b      ，但通常

w

(0)

、

w L



( )

、

(0)

w

、

w L



( )

未知，故依上述做法無法求解。 解決之道，可以擴充函式P(x)去修正上述逐項微分所造成之問題，因控制 方程含四階導函數(最高階者)，依 Li (2000)之建議，假設 P(x)為四階多項式 1( ) P x 、P x 、₂( ) P x 及₃( ) P x 之線性組合，即 ₄( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x C P x C P x C P x C P x ， (2.13) 其中C 、1 C 、2 C 、3 C 為待求係數，且滿足4 P1(0) 1 、P2(0) 1 、P L3( ) 1 、 4 ( ) 1 P L  ，而其他於x0或x L 之一階、三階導數均為零；此外 0 ( ) 0 L i P x dx



， (2.14) 其中i = 1~ 4，滿足以上假設可得 2 1( 3 ) 2 x L P x x L     (2.15a) 4 3 2 3 2( 6 5 ) 24 6 4 x x Lx L P L x      (2.15b) 

‐ 8 ‐  2 3 2 ( ) 6 x L P x L   (2.15c)  4 2 3 4 7 24 12 3 ( ) 60 x Lx x L P L      (2.15d)   圖 2.1 擴充函式 ( )P x  _i 圖 2.1 之P x 、₂( ) P x 數值結果接近。 ₄( ) 表 2.1 擴充函式 ( )P x 於梁之邊界值 _i 原多項式 一階多項式 二階多項式 三階多項式 0 x x L x0  x L x0 x L x0 x L 1 P _{L/ 3 L/ 6 1 0 1 / L 1 / L 0 0} 2 P 3 / 45 L 3 7L / 360  0 0 L/ 3 L/ 6 1 0 3 P _{L/ 6 L/ 3} 0 1 1 / L 1 / L 0 0 4 P 3 7L / 360 L3/ 45 0 0 L/ 6 L/ 3 0 1 ‐0.4 ‐0.35 ‐0.3 ‐0.25 ‐0.2 ‐0.15 ‐0.1 ‐0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

‐ 9 ‐  因此，令梁之撓度方程式為 1 2 2 3 0 1 3 4 4 ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) M m m m w x w x P x A  x C P x C P x C P x C P x    



    ， (2.16)  其中

w x

( )

滿足

w



(0)



w L



( )



w



(0)



w L



( ) 0



。將式(2.15a~2.15d)及(2.16)代回 (2.3b)可得傅立葉級數之控制方程式為





4 2 2 4 0 0 cos cos ( ) 0 M M m m m D m m m m A x C C A  x P x             _  _  





。 (2.17) 利用傅立葉級數之正交性，將(2.17)乘上 2cos_mx L/ 並積分x 從 0 至 L，可得 4 2_{( ) 0} k Ak D Ak Pk       (2.18) 及





2 2 4 D 0 0 C C

 

A     ， (2.19) 其中k = 1, 2,..., M，_k k L，而 0 2 ( )cos L k P x k P xdx L  

_



1 1 2 2 3 3 4 4



0 2 co ( ) ( ) ( ) ( ) s L k C P x C P x C P x C P x xdx L     

_

2 1 1 4 2 2 3 4 4 2 1 1 ( 1)k ( 1) k k k k k C C C C L                 _  __      _  _           (2.20)

‐ 10 ‐ 

2.3 不同邊界條件之解

此節探討 Euler-Bernoulli 梁於四種邊界條件之振動問題，分別為： ○1 固定端-固定端、○2 固定端-簡支端、○3 固定端-自由端、○4 自由端-自由端。為簡 化分析，令梁長L = 1 單位長。

2.3.1 固定端-固定端(C-C)之解

固定端須滿足撓度與旋轉角為零，即

(0)

0

w



，

w

(0) 0



，

w

(1) 0



，

w

(1)



0

。 (2.21) 將式(2.16)代入式(2.21)可得 1 2 3 4 0 1 1 1 7 (0) 0 3 45 6 360 M m m w A C C C C  



     ， (2.22a) 1 (0) 0 w C  _，  (2.22b) 1 2 3 4 0 1 7 1 1 (1) ( 1) 0 6 360 3 45 M m m m w A C C C C  



      _，  (2.22c) 3 (1) 0 w C  _。  (2.22d) 整理式(2.22a~2.22d)可得C ( i =1, 2, 3, 4 )與_i A ( m = 0, 1, 2, …, M )關係，以矩_m 陣形式表示為  BC DA (2.23) 其中

‐ 11 ‐  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 7 (0) (0) (0) (0) 3 45 6 360 (0) (0) (0) (0) 1 0 0 0 (1) (1) (1) (1) 1 7 1 1 6 360 3 45 (1) (1) (1) (1) 0 0 1 0 P P P P P P P P P P P P P P P P          _{      }     _{  } _    _{ }           _{  }   B ， _(2.24a) 





T 1 2 3 4 C C C C  C ， (2.24b) 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 m M                   D            ， (2.24c)





T 0 1 ... M A A A  A 。 (2.24d) 求解式(2.23)可得待求係數C 與_i A 之關係為 _m 1 0 C ， (2.25a)





0 2 168( 1) 192 M m m m C A  



   ， (2.25b) 3 0 C  ， (2.25c)





4 0 192( 1) 168 M m m m C A  



  。 (2.25d) 將式(2.25a~2.25d)結果代入式(2.18~2.20)整理可得 M 4 2 1 1 0 4 1 2 ( 168( 1) 192) M m m M M k k D k m k k k k A A A             _{ }   _{  }   













1 1 4 0 192( 1) 168 2( 1) 0 k M k M m m m k A          _   _     





， (2.26)





2 0 0 360 ( 1) 1 0 M m D m A       



。  (2.27) 整理式(2.26)、(2.27)可得矩陣形式為



2



0 D     Κ Μ A (2.28)

‐ 12 ‐  其中





4 1 4 2 4 4 720 0 720 0 360 ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m k km M       _{ }                     Κ              ， (2.29a) 10 11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 m M k k km km kM M M Mm MM S S S S S S S S S S S S     _        _             Μ               ， (2.29b)  









4 4 1 2( 1) 2 168( 1)m 192 192( 1)m 168 k k km k S          _        _    ， (2.29c)

式(2.29a)、(2.29b)之_km為 Kronecker delta，定義 1 0 km  _{ }  k m k m   ， ， ，其中 k= 1, 2,…, M，m = 0, 1,…, M。  須滿足 2 0 D     Κ Μ ，使用求解特徵根之方式，可得該邊界條件(C-C)之 自由振動頻率。

‐ 13 ‐ 

2.3.2 固定端-簡支端(C-S)之解

固定端須滿足撓度與旋轉角為零，簡支承端則須滿足撓度以及彎矩為零，即

(0)

0

w



，

w

(0) 0



，

w

(1) 0



，

w

(1) 0



。 (2.30)  將式(2.16)代入式(2.30)可得 1 2 3 4 0 1 1 1 7 (0) 0 3 45 6 360 M m m w A C C C C  



     ， (2.31a) 1 (0) 0 w C  _，  (2.31b) 1 2 3 4 0 1 7 1 1 (1) ( 1) 0 6 360 3 45 M m m m w A C C C C  



      _，  (2.31c) 2 1 1 2 3 4 0 1 1 (1) ( 1) 0 6 3 M m m m m w  A  C C C C   



      _。  (2.31d) 整理式(2.31a~2.31d)可得式(2.23)形式，  BC DA (2.23) 其中 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 7 3 45 6 360 (0) (0) (0) (0) 1 0 0 0 (0) (0) (0) (0) 1 7 1 1 (1) (1) (1) (1) 6 360 3 45 (1) (1) (1) (1) _{1 1} 1 1 6 3 P P P P P P P P P P P P P P P P        _{  }  _{      }  _{  } _{  } _{ }   _{  }       _{ }   _     B ， (2.32a) 1 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) m M m M m M









                 _{  }    D           。 (2.32b) 求解式(2.23)可得待求係數C 與_i A 之關係為 _m 1 0 C ， (2.33a)

‐ 14 ‐    2 2 0 8 128 72( 1) ( 1) 3 M m m m m m A C      _     _  



， (2.33b) 2 3 0 8 1 4( 1) ( 1) 3 9 M m m m m m C  A     _     _  



， (2.33c)



2



4 0 72 48( 1) 4( 1) M m m m m m C  A  



    。 (2.33d) 將式(2.33a~2.33d)結果代入式(2.18~2.20)整理可得 2 4 M 1 0 4 2 1 1 2 8 128 72( 1) ( 1) 3 M m M M k k D k k k k m m m m k A A A              _{    }   _  _{   }  





 







      ₂ 1 0 2 8 1 4( 2( 1 1) ( 1) 3 9 ) m m m k M M k m m k A         _{   }  _   _     





       





1 2 4 0 1 72 48( 1) 2( 1) 0 4( 1) M m m m m m k k M k A       _      _   







， (2.34) 2 2 0 0 20 200 120( 1) ( 1) 0 3 M m m m m D m A A       _{     }    



。 (2.35) 整理式(2.34)、(2.35)可得矩陣形式為



2



0 D     Κ Μ A (2.28) 其中 2 1 _{2 2} 4 1 4 2 4 4 200 120( 1) 200 120( 1) 20 320 200 120 _{20 20} 3 ( 1) ( 1) 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 m M m M m M k km M











 



            _{ }        _{ } _{ } _ _{ } _  _{   }                    Κ               ， (2.36a)  

‐ 15 ‐  10 11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 m M k k km km kM M M Mm MM S S S S S S S S S S S S     _        _             Μ               ，  (2.36b) 2 2 4 2 2 8 8 1 128 72( 1) ( 1) 4( 1) ( 1) 3 3 2 ) 9 ( 1 m m m m m m m k k k k S                _                   





1 2 4 7 2( 2 4 1) 8( 1)m 4( 1)m _m k k         _       。 (2.36c)  須滿足Κ _D 2Μ 0，使用求解特徵根之方式，可得該邊界條件(C-S)之 自由振動頻率。

2.3.3 固定端-自由端(C-F)之解

固定端須滿足撓度與旋轉角為零，自由端則須滿足彎矩與剪力為零，即

(0)

0

w



，

w

(0) 0



，

w

(1) 0



，

w

(1) 0



。 (2.37) 將式(2.16)代入式(2.37)可得 1 2 3 4 0 1 1 1 7 (0) 0 3 45 6 360 M m m w A C C C C  



     ， (2.38a) 1 (0) 0 w C  _，  (2.38b) 2 1 1 2 3 4 0 1 1 (1) ( 1) 0 6 3 M m m m m w  A  C C C C   



      _，  (2.38c) 4 (1) 0 w C  _。  (2.38d) 整理式(2.38a~2.38d)可得式(2.23)形式，  BC DA (2.23)

‐ 16 ‐  其中 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 7 (0) (0) (0) (0) 3 45 6 360 (0) (0) (0) (0) _{1 0 0 0} 1 1 (1) (1) (1) (1) 1 1 6 3 (1) (1) (1) (1) 0 0 0 1 P P P P P P P P P P P P P P P P      _{  }  _{  }      _{  } _{  } _       _{ }  _{      }    _{  }   B ， (2.39a)   2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 m M m M                        D            。 (2.39b) 求解式(2.23)可得待求係數C 與_i A 之關係為 _m 1 0 C ， (2.40a) 0 2 2 10 20 ( 1) 3 M m m m m A C      _   _  



， (2.40b) 2 3 0 10 4 ( 1) 3 9 M m m m m C  A     _   _  



， (2.40c) 4 0 C  。 (2.40d) 將式(2.40a~2.40d)結果代入式(2.18~2.20)整理可得 2 4 0 M 4 2 1 1 1 2 10 20 ( 1) 3 M M k k D k k k M m m m m k k A A  A             _{ }     _{  }     _ 











1 0 2 2 10 4 ( 1) 3 9 2( 1) 0 k M M k m m k m m A       _{ }     _            





， (2.41) 2 2 0 0 10 20 ( 1) 0 3 M m m m D m A A       _{   }    



。  (2.42) 整理式(2.41)、(2.42)可得矩陣形式為

‐ 17 ‐ 



2



0 D     Κ Μ A (2.28) 其中 2 2 2 1 4 1 4 2 4 4 10 10 10 20 20 20 ( 1) 20 ( 1) 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 m M m M k km M           _   _{ }   _{ }         _{     }                    Κ               ， (2.43a)   10 11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 m M k k km km kM M M Mm MM S S S S S S S S S S S S     _        _             Μ               ， (2.43b)     2 2 4 2 2 2 10 10 4 20 ( 1) ( 1) 3 3 9 ( 1) m m m m k k m k k S       _{  }     _{    }         。 (2.43c)   須滿足Κ _D 2Μ 0，使用求解特徵根之方式，可得該邊界條件(C-F)之 自由振動頻率。

‐ 18 ‐ 

2.3.4 自由端-自由端(F-F)之解

自由端須滿足彎矩與剪力為零，即

(0) 0

w



，

w

(0) 0



，

w

(1) 0



，

w

(1) 0



。 (2.44) 將式(2.16)代入式(2.44)可得 2 1 2 3 4 0 1 1 (0) 0 3 6 M m m m w  A C C C C    



     ， (2.45a) 2 (0) 0 w C  _，  (2.45b) 2 1 1 2 3 4 0 1 1 (1) ( 1) 0 6 3 M m m m m w  A  C C C C   



      _{，  (2.45c)}  4 (1) 0 w C  _。    (2.45d) 整理式(2.45a~2.45d) 可得式(2.23)形式，  BC DA (2.23) 其中 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 (0) (0) (0) (0) 3 6 (0) (0) (0) (0) 0 1 0 0 1 1 (1) (1) (1) (1) _{1 1} 6 3 (1) (1) (1) (1) _{0 0 0 1} P P P P P P P P P P P P P P P P           _ _  _{  }       _{ }    _{  }       _{ }  _{  }         _ _ B ， (2.46a)   2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 M m M m M                _{  }        D            。 (2.46b)   由式(2.46a)發現

B

為奇異矩陣，無法求解式(2.23)。原因來自於P x 、₁( ) P x 均₃( ) 為二階多項式，在微分兩次後為常數，代入邊界 0、1 或其他值均不為影響。

‐ 19 ‐  為解決此問題，吾人修正P x 、₁( ) P x 之限制條件：₃( ) P x 須滿足₁( ) P₁ (0) 1 、 1 (0) 0 P  、P L₁( ) 、0 P L₁( ) 、0 ₁ 0 ( ) 0 L P x dx



，另外加入P₁ (0) ；而0 P x 須3( ) 滿足P₃ (0) 、0 P₃ (0) 、0 P L₃( ) 1 、P L₃( ) 0 、 ₃ 0 ( ) 0 L P x dx



，以及P L₃( ) 。0 如此可得P x 、₁( ) P x 為五階多項式，而₃( ) P x 、₂( ) P x 保留為原來之四階多項式。故₄( ) 修正可得新假設之撓度方程為

( )

( )

( )

w x



w x



P x



_{1 1 2 2 3 3 4 4} 0 cos M m m m C P C P P P x C C A      



4 3 2 0 5 1 4 2 3 4 3 13 5 2 cos 24 5 30 6 6 4 M m m m x x Lx L A C x x x L C L L x L                 _      _   



        4 2 5 4 3 4 3 2 4 3 4 7 24 12 5 2 15 360 x x x L C C L x Lx L L L L     _              ， (2.47) 表 2.2 修正後 ( )P x 導函數於梁之邊界值_i 一階多項式 二階多項式 三階多項式 0 x x L x0 x L x0 x L 1 P 1 0 0 2 / L 0 0 2 P 0 0 L/ 3 L/ 6 1 0 3 P 0 1 2 / L 0 0 0 4 P 0 0 L/ 6 L/ 3 0 1 將式(2.47)代入自由端邊界條件(2.44)，方法如前，以矩陣形式(2.23)表示之， 其中

‐ 20 ‐  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 0 2 (0) (0) (0) (0) 3 6 (0) (0) (0) (0) 0 1 0 0 1 1 (1) (1) (1) (1) _{2 0} 6 3 (1) (1) (1) (1) _{0 0 0 1} P P P P P P P P P P P P P P P P           _{ }  _{  }       _{ }    _{  }       _{ }  _{  }         _ _ B ， (2.48a)  2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 M m M m M                _{  }        D            。 (2.48b)     求解式(2.23)可得待求係數C 與_i A 之關係為 _m 1 2 1 0 1 ( 1) 2 M m m m m C   A  



 ， (2.49a) 2 0 C  ， (2.49b) 2 3 0 1 2 M m m m C  A  



， (2.49c) 4 0 C  。 (2.49d) 因P x 、₁( ) P x 已有所改變，故式(2.20)中之₃( ) P 亦需更改為 _k 0 2 ( )cos k k L P P x xdx L  

_

4 2 5 6 1 4 30(24 ) 720( 1 2 1) 5 k k k k C C L L           _               4 6 1 4 5 3 4 30(24 )( 1) 720 2 ( 1) 15 k k k k k C C L          _         _  _   ， (2.50) 將式(2.49a~2.49d)結果代入式(2.18~2.19)與(2.50)整理可得 4 1 M 4 2 5 2 1 6 0 1 1 30(24 ) 720( 1) 1 15 2( 1) k M M k k D k k k k M m k m m m k A A A L  _                 _{ }    _     _ 





 





        4 2 5 0 6 1 30(24 )( 1) 720 0 1 1 5 2 k m m k k m k M M L A  _          _           _  





(2.51)

‐ 21 ‐  2 0 0 0 0 M m D m A   A    



  (2.52) 整理式(2.51)、(2.52)可得矩陣形式為



2



0 D     Κ Μ A (2.28) 其中 4 1 4 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k km M





 



                     Κ               ， (2.53a)   10 11 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 m M k k km km kM M M Mm MM S S S S S S S S S S S S     _        _             Μ               ， (2.53b)   4 4 1 2 2 6 5 6 5 30(24 ) 720( 1) 1 30(24 1 ( 1 )( 1) 720 15 2 ) 15 2 k k km m k k m m k k S L L  _  _                  _  _           。 (2.53c)    須滿足 2 0 D     Κ Μ ，使用求解特徵根之方式，可得該邊界條件(F-F)之 自由振動頻率。很顯然式(2.53a)之

Κ

亦為奇異矩陣，因為 F-F 邊界之梁為自由剛體 運動，其對應之勁度矩陣必為奇異矩陣。

‐ 22 ‐ 

2.4 梁自由振動閉合解

均勻梁（uniform beams）皆有閉合解析解，參考 Leissa (2011)在此節補充之。 假設

w x

 



Ge

sx代入控制方程式(2.3b)可得



4 2



0 s D x G s   e  ， (2.54a)   令 4 2 D     代入式(2.54a)



4 4



0 sx Ge s   (2.54b) 得

s

 



、



i



，以及式(2.3b)之解為 1 2 3 4 ( ) x x i x i x w x _G e _G e _G e _G e ， (2.55a) 即 1 2 3 4

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

( )

sin

cos

sinh

cosh

w x



G



x G





x G





x G





x

。 (2.55b) 以兩端固定端之梁 C-C 為例，將式(2.55b)代入該邊界條件

(0)

(0)

( )

( ) 0

w



w





w L



w L





  (2.56a~2.56d) 由式(2.56a、2.56b)可得 2 4 ˆ ˆ (0) 0 w G G  ，  (2.57a)  1 3 ˆ ˆ (0) 0 w G G  ，  (2.57b)  即Gˆ₂ Gˆ₄、Gˆ₁ Gˆ₃，再由式(2.56c、2.56d)可得









3 4 ˆ ˆ

( ) sinh sin cosh cos 0

w L G



L



L G



L



L  ，  (2.57c) 









3 4

ˆ ˆ

( ) cosh cos sinh sin 0

w L G



L



L G



L



L  。  (2.57d)

‐ 23 ‐ 

sinh sin cosh cos

0 cosh cos sinh sin

L L L L L L L L                (2.58)  將式(2.58)展開化簡後可得特徵方程為

cos



L



cosh



L



1

  (2.59) 以下列出均勻梁於邊界 C-C、C-S、C-F、F-F 之特徵方程： ○1 _C-C：

cos



L



cosh



L



1

_(2.59) ○2 _C-S：

tan



L



tanh



L

_(2.60) ○3 _C-F：

cos



L



cosh



L

 

1

_(2.61) ○4 _F-F：

cos



L



cosh



L



1

_(2.62) 以上求解可得頻率



，列於 2.5 節之表(2.3~2.6)下方以作討論。

‐ 24 ‐ 

2.5 收斂性分析

依 2.3 節所述，吾人將此些公式編譯成程式透過電腦求解。以下進行各邊界條 件求解頻率與收斂性分析，其中考慮無因次化自然振動頻率 1 2 2 A EI       _ _   。 表 2.3 兩端固定端梁之自由振動頻率  M 



= 2 1/2 ( /

  

A EI/ )   1st  2nd  3rd  4th  5th  1 1.649 2.884 2 1.506 2.884 4.170 8 1.506 2.500 3.500 4.501 5.502 10 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 20 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 30 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 *_{正確解(Leissa, 2011)} 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 表 2.3 為 C-C 梁（兩端固定）解之收斂性分析，由式(2.17)可知，傅立葉級數 中取最大項數值 M，則A 從_m A 至₀ A ，可近似得 M+1 個自然振動頻率_M



。由表 2.3 顯示：隨著 M 增加，前五模態之自然振動頻率



逐漸收斂。理論上，此級數 解並無法保證隨著M 增加，自然振動頻率逐漸從上限收斂至正確解；但表 2.3 所示 剛好有從上限收斂至正確解之現象。 第一模態頻率在

M



2

收斂至四位有效數字 1.506，第二、三模態頻率在M 8 分別收斂至四位有效數字(2.500 及 3.500)，第四、五模態頻率則在 M＝10 亦分別收 斂至四位有效數字(4.500 及 5.500)，其收斂速度很快。

‐ 25 ‐  表 2.4 固定端-簡支端梁之自由振動頻率 M 



= 2 1/2 ( /

  

A EI/ )   1st  2nd  3rd  4th  5th  1 1.331 2.548 2 1.254 2.469 3.795 5 1.250 2.253 3.264 4.277 5.942 10 1.250 2.250 3.251 4.253 5.255 20 1.250 2.250 3.250 4.250 5.251 30 40 1.250 1.250 2.250 2.250 3.250 3.250 4.250 4.250 5.250 5.250 *_{正確解(Leissa, 2011)} 1.250 2.250 3.250 4.250 5.250 表 2.4 為 C-S 梁（一端固定，另一端簡支）解之收斂性分析，由表 2.4 所示：



隨著M 增加，從上限逐漸收斂至正確解。第一模態頻率在M 5收斂至四位有效數 字 1.250，第二模態頻率在M 10收斂至四位有效數字 2.250，第三、四模態頻率 則在M  20分別收斂至四位有效數字(3.250 及 4.250)，第五模態頻率在M 30收 斂至四位有效數字 5.250。 表 2.5 固定端-自由端梁之自由振動頻率 M 



= 2 1/2 ( /

  

A EI/ )   1st  2nd  3rd  4th  5th  1 0.599 1.883 2 0.597 1.505 3.251 10 0.597 1.494 2.501 3.502 4.506 20 0.597 1.494 2.500 3.500 4.500 30 0.597 1.494 2.500 3.500 4.500 *_{正確解(Leissa, 2011)} 0.597 1.494 2.500 3.500 4.500

‐ 26 ‐  表 2.5 為 C-F 梁（一端固定，另一端自由）解之收斂性分析。由表 2.5 顯示：



亦隨著 M 增加而從上限逐漸收斂至正確解。第一模態頻率在

M



2

收斂至四位有 效數字 0.597，第二模態頻率在M 10收斂至四位有效數字 1.494，第三、四、五 模態頻率則分別在M  20收斂至四位有效數字(2.500、3.500 及 4.500)，其收斂速 度很快。 表 2.6 兩端自由端梁之自由振動頻率 M 



= 2 1/2 ( /

  

A EI/ )   3rd  4th  5th  6th  7th  5 1.509 2.509 3.546 4.558 10 1.506 2.502 3.504 4.512 5.517 20 1.506 2.500 3.500 4.501 5.502 30 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 40 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500 *_{正確解(Leissa, 2011)} 1.506 2.500 3.500 4.500 5.500

表 2.6 為 F-F 梁（兩端自由）解之收斂性分析，第一、二模態頻率為 0，故從 第三模態頻率開始討論，由表 2.6 顯示：



亦隨著M 增加而從上限逐漸收斂至正 確解。第三模態頻率在M 10收斂至四位有效數字 1.506，第四、五模態頻率在 20 M  分別收斂至四位有效數字(2.500 及 3.500)，而第六、七頻率則在M 30分 別收斂至四位有效數字(4.500 及 5.500)。 以上討論的這四種案例（C-C、C-S、C-F、F-F），其頻率皆隨M 值增加，而從 上限逐漸收斂至正確解。

‐ 27 ‐ 

第三章 矩形板之振動問題

3.1 基本公式

薄板自由振動之控制方程為 4 4 4 2 4 2 2 4 2 D 2 0 x x w w w w h y t y         _{  }  _       ， (3.1) 其中

w w x y t



( , , )

為撓度，板之撓曲剛度 3 2 DEh / 12(1v )，ρ、h、E、v 分別為板 之質量密度、板厚、彈性模數、包松比。在考慮自由振動之問題，可令 ( , , ) ( , ) i t w x y t w x y e ， (3.2) 其中ω 為自由振動頻率。將式(3.2)代入式(3.1)可得 2 2 4 4 4 2 4 4 ( , ) ( , ) ( , ) D 2 ( , ) 0 x x i t i t w x y w x y w x y e h w x y e y y  _{ }         _ _        ， (3.3a) 其中

e

i t 非零，可提出而得 4 4 4 2 4 2 2 4 ( , ) ( , ) ( , ) D 2 ( , ) 0 x x w x y w x y w x y h w x y y y             _{   }    。 (3.3b) 板之彎矩、扭矩、剪力以撓度表示為 2 2 2 2 D x w w M v x y      _  _     (3.4) 2 2 2 2 D y w w M v y x      _  _     (3.5)





2 D 1 xy w M v x y       (3.6) 3 3 2 3 2 D ( ) xy D (2 ) x M w w V w v x y x x y             _   _   _    _ (3.7)

‐ 28 ‐  3 3 2 3 2 D ( ) xy D (2 ) y M w w V w v y x y x y             _   _   _   _ (3.8) 依第二章之經驗，可令矩形板之撓度為 4 0 0 0 0 1

( , ) cos cos ( ) cos ( ) cos

M N N M i i i i mn n n x n m y m n m m n i m w x y A  x  y C P x  y B P y  x           _  _ 











(3.9) 其中A 、_mn i m B 、 i n C 為待定係數，_m m a 、_n n b ，其中a、b 為板長與板 寬，擴充函式P x_xi( )、P y_yi( )為多項式： 2 1 ( ) 2 3 x x a P x x a      (3.10a)  4 3 2 3 2 ( ) 24 6 6 45 x x x ax a P x a       (3.10b)  2 3 ( ) 2 6 x x a P x a    (3.10c) 4 2 3 4 7 ( ) 24 12 360 x x ax a P x a     (3.10d) 2 1 ( ) 2 3 y y b P y y b      (3.10e) 4 3 2 3 2 ( ) 24 6 6 45 y y y by b P y b       (3.10f) 2 3 ( ) 2 6 y y b P y b    (3.10g) 4 2 3 4 7 ( ) 24 12 360 y y by b P y b     (3.10h) 式(3.10a~3.10h)為擴充函式，用以修正在逐項微分造成非一致收斂問題，P x_xi( ) 滿足 1 (0) 1 x P   、 2 (0) 1 x P   、 3 ( ) 1 x P a  、 4 ) 1 ( x a P   ，其他於x  0 或x  a之一階、 三階導數均為零，P x_xi( )及其微分在x  0 及a處之值如表 3.1 所示。同樣地，P y_yi( ) 滿足 1 (0) 1 y P   、 2 (0) 1 y P   、 3 ( ) 1 y P b  、 4 ) 1 ( y b P   ，其他於

y



0

或

y b



之一階、三 階導數均為零。

‐ 29 ‐  表 3.1 擴充函式P x_xi( )於板之邊界值 原多項式 一階多項式 二階多項式 三階多項式 0 x x a x0 x a x0 x a x0 x a 1 x P a/ 3 a/ 6 1 0 1 / a 1 / a 0 0 2 x P 3

/ 45

a

3

7 / 360

a



0 0 a/ 3 a/ 6 1 0 3 x P a/ 6 a/ 3 0 1 1 / a 1 / a 0 0 4 x P 3

7 / 360

a



a

3

/ 45

0 0 a/ 6 a/ 3 0 1 將式(3.9)、(3.10a~3.10h)帶回(3.3b)得













4 0 0 4 4 1 0 4 4 1 2 4 0 2 2 4 2 (4) 2 (4) 0 1 0 0 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) c ( ) os cos cos cos cos cos D M N m mn m n m n M i m n n i i i y m y y N i i i x n m m m i m i n n n i M N N mn m n n m n i n x x n P y P y P y P x P x A x y B x C y h A x y C P x               _{ }                      _   _         















0 ( ) cos ( ) cos 0 M i i i i x n m y m m P x  y B P y  x       _ 



(3.11) 為提出共同項 cos_mxcos_ny，將P x_xi( )與P yyi( )及其微分函數分別以 cosmx及

cos_ny級數展開。令 0 ( ) cos N i i y n n n P y b  y  



 ， ₂ 0 ( ) cos N i i y n n n P y b  y   _

_

_{ ，} (4) 4 0 ( ) cos N i i y n n n P y b  y  



 ， 0 ( ) cos M i i x m m m P x a  x  



 ， ₂ 0 ( ) cos M i i x m m m P x a  x   _

_

_{ ，} (4) 4 0 ( ) cos M i i x m m m P x a  x  



 。 (3.12) 其中 i n b 、 i₂ n b 、 i₄ n b 、 i m a 、 i₂ m a 、 i₄ m a 列於附錄 A，將之代入式(3.11)可得

‐ 30 ‐ 













4 4 4 1 2 2 4 0 0 2 2 4 0 2 0 4 4 2 4 0 1 2 4 0 0 0 1 0 0 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos cos cos D M N m n n mn m n m n N i i i n m n n m n n M N i i i m n m m m n m n m M i m m i m i n n i M N M N mn m m n i n m n A B C h x y b b b x y a a a x y x y A                  _                                  









 







0 0 cos cos 0 M N i i m n m n i i n m n m C a B b  x  y      _  _    





     (3.13a) 式(3.13a)可進一步簡化成























4 2 2 4 0 0 2 4 2 2 4 2 4 4 4 1 2 4 1 c 2 2 2 c os s 0 D o i i m m n i M N m m n n mn m n i i i i i i n m n n n m n m m i i m n m i i mn n i n m B C h A A b b b a a a b x y C a B            _                _         _







  (3.13b) 因此























4 2 2 4 2 4 2 4 4 1 2 4 1 2 4 2 4 2 2 2 D 0 m m n n mn i i i i i i n m n n n m n m m i i m n i i m m n i i i mn n m i A b b b a a a b B C h A C a B                        _        





  (3.13c) 其中m = 0, 1, 2,…, M，n = 0, 1, 2,..., N。式(3.13c)代表



M1



N1



條方程式。

‐ 31 ‐ 

3.2 不同邊界條件之解

此節探討 Kirchhoff 板於三種邊界條件之振動問題，分別為：○1 四邊固定端，○2 一邊固定端、三邊自由端，○3 四邊簡支端。

3.2.1 求解 C-C-C-C 矩形板

四邊固定(C-C-C-C)矩形板之邊界條件為 ( ,0) 0 w x  ，  w x_,y( , 0)0，  _{(3.14a, 3.14b)}  (0, ) 0 w y  ，  w_,x(0, )y 0，  (3.14c, 3.14d) ( , ) 0 w x b  ，  w x b_,y( , )0， (3.14e, 3.14f)  ( , ) 0 w a y  ，  w a y_,x( , )0。 _{(3.14g, 3.14h)} 將撓度方程式(3.9)代入邊界條件(3.14a~3.14h)，可得 4 0 0 1 0 0 ( , 0) cos ( ) (0) cos 0 M N N M i i i i mn m x n y m m m n i n m w x A  x P x C P B  x          _  _  



 

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， (3.15a) 1 , 0 cos ( , 0) 0 M m m m y w x B  x  



 ， (3.15b) 4 0 0 1 0 0 (0, ) cos (0) cos ( ) 0 M N N M i i i i mn n x n n y m m n i n m w y A  y P C  y P y B          _  _  

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 

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， (3.15c) 1 , 0 (0, ) cos 0 N x n n n w y C  y  



 ， (3.15d) 4 0 0 1 0 0 ( , ) ( 1) cos ( 1) ( ) ( ) cos 0 M N N M n n i i i i mn m x n y m m m n i n m w x b A  x P x C P b B  x           _   _  

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， (3.15e) 3 , 0 ( , ) cos 0 M y m m m w x b B  x  



 ， (3.15f) 4 0 0 1 0 0 ( , ) ( 1) cos ( ) cos ( 1) ( ) 0 M N N M m i i m i i mn n x n n y m m n i n m w a y A  y P a C  y P y B           _   _  

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， (3.15g)