管制圖（control chart）在統計製程管制（Statistical Process Control；SPC）上是非 常基本而且被廣泛運用的工具。例如，在品質特性（quality characteristic）近似於常態 分配（normal distribution）的情況下，我們常用X管制圖來監控製程平均，用R管制圖、
S管制圖或是S 管制圖來監控製程變異；這些管制圖也是大部分接觸 SPC 的人最先學2 習到的，在文獻上也不乏對於它們的研究。
在實務上，因為鮮少知道製程品質特性分配的真實參數（parameter），所以會將SPC 的執行分為兩階段：
1. 階段一；追溯階段（phase I；retrospective phase）：
搜集歷史資料（historical data）用以估計製程的未知參數。一般會先建構試用界限（trial limit）用以篩選出管制下（in control）的資料，再利用這些管制下的資料建構要用在 階段二的管制界限（control limit）。
2. 階段二；未來監控階段（phase II；prospective monitoring phase）：
利用階段一所建構的管制界限，逐筆監控新進資料；如果超出管制界限，則代表可 能有可歸屬原因（assignable causes）造成製程參數改變，那麼接下來可能要採取一 些校正動作（corrective action）。
很明顯地，在階段二的監控能力會深受階段一結果的影響；也就是說，參數估計得是否 準確，會嚴重影響階段二的假警報率（false-alarm rate）和檢定力（power）。如果是以平 均連串長度（Average Run Length；ARL）作為製程執行績效（performance）的衡量標 準，並將管制下的ARL 記為 ARL0，製程參數偏移下的ARL 記為 ARL1，則影響的分別 是 ARL0和 ARL1。而參數估計的準確性，則牽涉到階段一篩選管制下資料的方法、參 數估計量（estimator）的選擇，以及用來估計參數之歷史資料的多寡。
關於參數估計影響階段二的執行績效，在許多文獻上都有提到。Chen（1997）認為
在參數未知的情況下，管制界限也包含了估計參數，所以它們也應該被視為隨機變數
（random variable），因此要考慮它們的隨機性（randomness）。在此情況下，連串長度 分配（run length distribution）不再是幾何分配（geometric distribution）；為此他推導了X 管制圖在參數估計時的連串長度分配之平均與標準差，以探討估計參數對製程執行績效 造成的影響。除此之外，Chen（1998）則更進一步推導了R、S和S 管制圖在參數估計2 時的連串長度分配，並將它們繪製成圖和表格，可以由此更明確看出它們與幾何分配的 差別。Maravelakis et al.（2002）利用模擬來探討參數估計對S管制圖和X 管制圖所造成 的影響，可以當作是Chen（1998）的模擬驗證。Jensen et al.（2006）提供了有關這個主 題的文獻回顧，內容包含了修華特管制圖（Shewhart control chart）、指數加權移動平均 管制圖（EWMA chart）、累積和管制圖（CUSUM chart）、多變量管制圖（multivariate chart）， 以及計數值管制圖（attribute chart）等。文中指出，在大多數情況下，參數估計會使得 ARL0比參數已知時還要低，同時ARL1比參數已知時還高。這篇文獻不只整理出各種常 見管制圖在參數估計之下所受到的影響，還提供了未來可能的研究方向。
一般執行統計檢定（statistical test）時，我們首先要控制住犯型一誤差（type I error）
的機率，此在SPC 的範疇上稱之為假警報率；類似地，建構管制圖時則是希望能夠先
控制住 ARL0。在參數已知的情況下，因為連串長度分配是幾何分配，所以 ARL0是假
警報率的倒數1/ ；然而，從這些文獻中我們了解到，使用估計參數時，如果階段一的
歷史資料不夠多，會使得階段二變得非常沒有道理，因為連ARL0都不符合期望的值1/ 了，更不用去談 ARL1如何了。事實上，不只是 ARL0不等於1/ ，傳統管制界限在參
數估計下連假警報率都不等於預期的值；而且因為連串長度分配在參數估計下不再是
幾何分配，所以ARL 也不再是警報率（alarm rate，又稱 signal probability）的倒數，這 些性質在本文的第二章會有完整的說明。另外，雖然我們了解歷史資料應該是多多益善，
許多文章也都會提出對於歷史資料量的最低需求建議，但卻常常因為實作上的限制，導 致我們無法觀察更多的歷史資料；因此，一個很重要的議題是，當歷史資料有限的時候，
如何修正管制界限使得ARL0能符合我們預期的值。例如，Champ et al.（2005）指出，
一旦使用了估計參數，那麼T2管制圖的統計量就不再是 F 分配了；因此，該文獻利用
模擬的方式建構一個新的管制界限，使得T2管制圖在參數估計時之整體（overall）ARL0， 在期望值（expectation）的意義（sense）下，也能夠符合預期的值。而本研究的重點在 於，當歷史資料有限的時候，如何修正管制界限使得R、S或S 管制圖之整體 ARL2 0能 符合我們預期的值1/ ，詳見第三章。
另一方面，Pignatiello et al.（1995）提到了S 管 制 圖 會 有 平 均 連 串 長 度 偏 差
（ARL-biased）的問題，即 ARL0會比某些失控下的 ARL1還低，這意味著當品質特性 的變異數有某種偏移時，會比不偏移時更難被偵測出來。於是他們調整了管制界限，使 其能夠在假警報率不變的情況下達到平均連串長度不偏（ARL-unbiased）。Zhang et al.
（2005）指出S 管制圖也會有平均連串長度偏差的情況，並在假警報率不變的情況下，2
針對S 管制圖的管制上下界做了調整，設計出平均連串長度不偏的2 S 管制圖。他們更2 進一步建構了兩種準則：「最小面積準則（smallest area criterion；SAC）」和「兩點準則
（two points criterion；TPC）」，並利用這兩種準則建構了最佳化的上下界，稱之為最佳 設計（optimal design）。以上兩篇文獻雖然焦點並不是放在估計參數的影響，但其「設
計」與「平均連串長度不偏」的概念是本文3.3 節的重點。在剩下的章節中，我們會在
第四章利用一個實例來說明如何使用第三章所建構的修正管制界限，並在第五章做一個 總結。