2-3 線性規劃
2. 線性規劃的解法
(1)畫出二元一次聯立不等式的圖形，找出可行解區域。
(2)求出可行解區域的頂點坐標。
(3)將頂點坐標代入目標函數 ( , )f x y 求值，所得之最大函數值即為最大值，最小函數值即 為最小值。
在同時滿足 x0， y ， 30 y2x 的所6 有 點( , )x y 中，試求 ( , ) 2f x y x y 的最大 值。
( , )x y (0,2) ( 3,0) (0,0) 2x y 2 6 0
∴ f x y 的最大值為 2 ( , )
設x、 y 滿足不等式2 x 5，x y ，8 0
y ，試求 ( , ) 2f x y x y 的最小值。
( , )x y (2,0) (5,0) (5,3) (2,6) 2x y 4 10 7 2
∴ f x y 的最小值為 2( , )
小叮嚀
1. 在坐標平面上，滿足這個二元一次聯立不等式的區域，稱為可行解區域。
2. 線性函數 f x y( , )稱為目標函數。
3. 在可行解區域中使目標函數 f x y( , )有最大值、最小值的點( , )x y ，稱為最佳解。
小叮嚀
若為應用問題，則依題意的條件限制列出聯立不等式及目標函數。
演練
例題 1 求目標函數最大值、最小值 1
二元一次不等式及其應用
在不等式組 0 0 2 20 3 30
x y x y
x y
的限制條件下，試求
( , )
f x y 的最大值。 x y
2 20 3 30 x y
x y
( , ) (8,6)x y ( , )x y (0,0) (10,0) (8,6) (0,10)
x y 0 10 2 10
∴ f x y 的最大值為 10 ( , )
在不等式組
0
2 2 0
2 3 6 0 y
x y x y
的限制條件下，
試求 f x y( , ) 的最大值與最小值。 x y
( , )x y ( 1,0) (3,0) (0,2)
x y 1 3 2
∴ f x y 的最大值為 3， ( , ) 最小值為 1
演練
例題 2 求目標函數最大值、最小值 2
在不等式3 | | 2 | | 6x y 的條件下，
求 f x y( , ) 2 x y 的最大值、最小值。
x 0 0 2 2
y 3 3 0 0
( , )x y (2,0) (0,3) ( 2,0) (0, 3) 2x y 4 3 4 3
∴ f x y 的最大值為 4、最小值為 4( , )
在不等式| | | | 4x y 的條件下，
求 f x y( , ) x 2y 的最大值、最小值。 3 x 0 0 4 4
y 4 4 0 0
( , )x y (4,0) (0, 4) ( 4,0) (0,4) 2 3
x y 7 5 1 11
∴ f x y 的最大值為 11、最小值為( , ) 5 演練
例題 3 求目標函數的最大值、最小值（進階題） 3
二元一次不等式及其應用
400 100 4000 20 30 600
12000 4000 40000 4
某汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
1 1. 滿足不等式
0 4
0 3
2 6
x y x y
的條件下，求 f x y( , ) 4 x3y的最大值為 15 。
1 2. 滿足聯立不等式
0 0
20 10
x y
x y x y
，
的條件下，則 f x y( , ) 3 y x 的最大值為 40 。
2 3. 設點 ( , )x y 滿足不等式組
3
2 4
0 0
x y x y
x y
，
，若 f x y( , ) 4 x3y12的最大值為M ，最小值
為m，則M m 34 。
2 4. 在x0， y ， 30 x y 30，x2y20的條件下，函數 f x y( , ) 的最小值為x y 14 。
■ 對應例題
自我 評量 評量
自我
4 5. 在面積 3000 平方公尺的建築用地上，以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不 同形式的住宅；已知甲種每戶佔地200 平方公尺，造價 400 萬元，可獲利 200 萬元；乙 種每戶佔地300 平方公尺，造價 100 萬元，可獲利 250 萬元。則在此建地建築甲、乙兩 種住宅，總共最多可獲利 2600萬 元。
5 6. 有甲、乙兩種食物，甲每份含A 營養素 7 單位，B 營養素 3 單位；乙每份含 A 營養素 2 單位、B 營養素 6 單位，又甲食物每份價格 12 元，乙食物每份價格 10 元，已知每人一 天至少須要A 營養素 84 單位，B 營養素 72 單位，若要能夠獲得足夠的營養，費用最少 要 190 元。
3 7. 坐標平面上，在| | | | 2x y 的平面區域中， ( , )f x y x 2y的最大值為 4 。
4 8. 某表演廳可售票座位，其售價有 600 元及 1000 元兩種價位，且 600 元價位之座位有 500 席、1000 元價位之座位有 300 席，已知某日售出 600 元票x張、1000 元票y 張，且x3y、
500
x y ，則此日售票所得金額的最大值為 350000 元。
二元一次不等式及其應用
( Ｄ ) 10. 下列各方程組何者無限多組解？ (A) 2 3 4 0
二元一次不等式及其應用
( Ｂ ) 27. 在二元一次聯立不等式
0 0
3
2 4
x y
x y x y
，
的條件下，函數 f x y( , ) 5 x6y的最大值為
何？ (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20。
( Ｃ ) 28. 在聯立不等式
120 20 10 x y x y
的條件下，若 f x y( , ) 20 x10y的最大值為M ，最小值
為m，則M m ？ (A) 500 (B) 1250 (C) 1800 (D) 2300。
( Ｃ ) 29. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組2 x 5，x y ，8 0 x3y 之區域，則5 0 ( , ) 2 4
f x y x y 在 R 上之最大值為何？ (A) 7 (B) 11 (C) 14 (D) 16。
( Ｄ ) 30. 毛線織成的手套有兩種款示，甲款式用紅色毛線 50 公尺，白色毛線 40 公尺，可賺 50 元；乙款式用紅色毛線 20 公尺，白色毛線 40 公尺，可賺 30 元。現有紅色毛線 900 公尺，白色毛線 1200 公尺，若毛線全用來織甲、乙兩款手套，最多可賺多少 元？ (A) 950 (B) 1000 (C) 1050 (D) 1100。
二元一次不等式及其應用
( Ｂ ) 8. 在坐標平面上，求二元一次聯立不等式 | 2 | 2
二元一次不等式及其應用
( Ａ ) 14. 滿足二元一次不等式 2x3y12 0 的正整數解x與y ，所成的 ( , )x y 數對共有多少 組？ (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 15。 【107 統測-A】
( Ｂ ) 15. 坐標平面上滿足不等式
2 10
2 8 0 , 0 x y x y
x y
的區域面積為何？ (A) 12 (B) 13 (C) 15
(D) 16。 【107 統測-C】
( Ａ ) 16. 已知兩直線L ：1 x2y 和3 0 L ： 22 x y ，若 A 、 B 二點在1 0 L 的異側且1 A 、C二點在L 的同側，其中2 A 、 B 、C三點坐標分別為A( 2, ) k 、B k( ,3)和
( , )
C k k ，則實數k的範圍為何？ (A) 1 1 3 k 2
或3 k 5 (B)1
2 k 5 (C) 1
k 3 或k3 (D)無解。 【108 統測-A】
( Ｂ ) 17. 有兩條直線L ： 31 x5y 、2 L ：2 x2y 將平面平3 分成四個區域，如圖所示，試問區域A 可用哪一組不 等式表示？ (A) 3 5 2
2 3 x y x y
(B) 3 5 2
2 3 x y x y
(C) 3 5 2 2 3 x y x y
(D) 3 5 2
2 3 x y x y
。
【108 統測-C】
【2-3】
( Ｃ ) 18. 若變數x、y 滿足x y 、6 x3y 、2 x1，則2x3y的最小值為何？
(A) 17 (B) 14 (C) 5 (D) 3。 【101 統測-A】
( Ｃ ) 19. 在x0，y ，1 x y 的條件下， 2x y2 的最大值為何？ (A) 2 (B) 1
(C) 1 (D) 2。 【101 統測-C】
( Ｄ ) 20. 某汽車公司擁有甲、乙兩家工廠，生產 A 、B 兩種不同的汽車，若甲廠每天可完成 10 台A 型的汽車與 20 台 B 型的汽車，乙廠每天可完成 30 台 A 型的汽車與 10 台 B 型 的汽車。如果公司要製造 150 台A 型汽車與 100 台 B 型汽車，則兩工廠各工作幾 天，才能使兩工廠所花費的工作天數之和最少？ (A)甲廠 10 天，乙廠 10 天 (B)甲廠 1 天，乙廠 6 天 (C)甲廠 15 天，乙廠 0 天 (D)甲廠 3 天，乙廠 4 天。
【102 統測-A】
( Ｃ ) 21. 受制於