二元一次不等式及其應用
第 章
02
2-1 二元一次聯立方程式
重點一 二元一次聯立方程式的解法 1. 二元一次聯立方程式
設a、b、c為實數,且a、b不同時為0,則形如ax by c 或 ax by c0 的方程式稱 為x、y 的二元一次方程式。由兩個或多個二元一次方程式並列組合而成的方程式,我 們稱為二元一次聯立方程式或二元一次方程組。
2 3 0 3 4 0 x y
x y
,
2 3 0
3 4 0
2 1 0
x y x y x y
,均為二元一次聯立方程式。
2. 二元一次聯立方程式的解
若能同時讓二元一次聯立方程式中,各方程式等號成立的x、y 值,稱為二元一次聯立 方程式的解。
3.二元一次聯立方程式的解法 (1)代入消去法。
(2)加減消去法。
用代入消去法解 2 5 3 1 x y x y
泝
沴。 由得y 5 2x沊
代入得x3(5 2 ) x 1 x15 6 x 1 7x14x2 代入得y 5 4 1
∴聯立方程式的解為x2、y 1
用代入消去法解 3 11 2 3 0
x y x y
泝
沴。 由得y3x11沊
代入得2x3(3x11) 0 2x9x33 0 11x33x3 代入得y 9 11 2
∴聯立方程式的解為x3、y 2 例
演練
例題 1 代入消去法 1
二元一次不等式
及其應用
用加減消去法解 3 2 13 0 2 5 4 0
x y x y
泝 沴 。
5 2
泝 沴 得
19x57 0 x 3 代入得 6 5y 4 0 5y10y 2
∴聯立方程式的解為x 3、y 2
用加減消去法解 3 4 10 2 3 7
x y x y
泝 沴 。
3 4
泝 沴 得x2 代入得6 4 y10 4y 4 y 1
∴聯立方程式的解為x2、y 1
設x、y 為實數,已知聯立方程式
3 8
4 2 3
x y x y
x y k
有解,試求k的值。
3 8
4 2 3
x y x y
x y k
泝 沴
沊
將泝 沴 得4x12x3 代入得3 y 4 y 1 再將x3、y 代入得 1
2 3 3 1 9 k
設x、y 為實數,已知聯立方程式 3 2 12 0
5 4 2 0
3 0
x y x y x y k
有解,試求k的值。
3 2 12 0 5 4 2 0
3 0
x y x y x y k
泝 沴 沊
將泝 2 沴得11x22 0 x2 代入得10 4 y 2 0 y 3 再將x2、y 代入得 3
2 9 k 0k 11
演練
例題 2 加減消去法 2
演練
例題 3 加減消去法 3
二元一次不等式及其應用
解聯立方程式
2 3 4 4 1
1 x y
x y
泝 沴
。
將沴3得12 3
x y 3沊 由泝 沊 得14
x 7 x2 代入得 3
1 4
y y 1
∴聯立方程式的解為x2、y 1
解聯立方程式
1 2 1 3 1
7 x y
x y
泝 沴
。
將沴2得6 2
x y 14沊 由沊 泝 得5
x 15 1 x 3 代入得 1
9 7
y 1
y 2 1 y 2
∴聯立方程式的解為 1
x 、3 1 y 2
若方程組 3 4
13 x y ax by
與 7
3 12 ax by
x y
有相同
的解,試求a、b之值。
先解 3 4
3 12 x y
x y
泝 沴
由沴 3 泝得8x40x 5 代入得15 y 12y 3
再將x 、5 y 代入含3 a、b的方程式 得 5 3 13
5 3 7 a b a b
沊 沝
由沊 + 沝得10a20a2 代入得10 3 b13b1
∴a2、b1
若 方 程 組 3 2 5 1 x y bx ay
與 2 3 12
4 x y ax by
有 相
同的解,試求a、b之值。
先解 3 2 5 2 3 12
x y x y
泝
沴
由泝 3 沴2得13x39x3 代入得9 2 y 5 y 2
再將x3、y 代入含2 a、b的方程式 得 2 3 1
3 2 4 a b a b
沊 沝
由沊 2 沝3得5a10a2 代入得 4 3b 1b1
∴a2、b1
演練
例題 4 加減消去法 4
演練
例題 5 方程組相同解的意義 5
已知香蕉每公斤 20 元、蘋果每公斤 50 元,
若兩種水果總共買了10 公斤,花了 320 元,
試求香蕉、蘋果各買幾公斤?
設香蕉買x公斤,蘋果買y 公斤
則 10
20 50 320 x y
x y
泝
沴 由得y10 x
代入得20x50(10x) 320 30x 180x6 代入得y 4
∴香蕉買6 公斤,蘋果買 4 公斤
有一個二位數,其十位數字和個位數字的和 為 15,若將十位數字和個位數字對調,則新 數比原數小9,試求原數。
設原數之十位數字為x,個位數字為y
則 15
10 (10 ) 9 x y
x y y x
15
1 x y x y
泝 沴
由泝 + 沴得2x16x8 代入得y 7
∴原數為87
若二元一次聯立方程式 101 99 103 99 101 97
x y
x y
的
解為x、y ,試求 之值。
101 99 103 99 101 97
x y
x y
泝 沴
由泝 + 沴得200x200y200 x y 1
y 1 x沊 代入得99x101(1x) 97 2x 4x2 代入得y 1
∴ 2、 1
3
解聯立方程式
3 2 11 7 6 1
x y x x y
x
。
3 2 11 7 6 1
x y x x y
x
泝
沴
3
泝 沴得16x32x2 代入得6 y 11y 5
∴聯立方程式的解為x2、y 5 演練
例題 6 二元一次聯立方程式應用問題 6
演練
例題 7 特殊二元一次聯立方程式(進階題) 7
二元一次不等式及其應用
甲、乙兩人同解方程組 1
10 ax y x by
泝
沴, 甲將式中x項係數寫錯,得解
( , ) (4,2)x y ,乙將式中y 項係數寫錯,
得解( , ) ( 1, 5)x y ,試求正確的解。
將x4、y 代入得2 4 2 b10
b3
將x 1、y 代入得5 a 5 1
a4
∴原方程組為 4 1
3 10 x y x y
泝
沴
3
泝 沴得13x13x1 代入得4 y 1 y 3
∴正確的解為x1、y 3
甲、乙兩人同解方程組 3 12
3 5
ax y x by
,其中
甲看錯a,解得x1、y ,乙看錯1 b,解 得x9、y ,試求正確的解。 2
將x1,y 代入 31 x by 5 得3 b 5b2
將x9,y 代入2 ax3y12 得9a 6 12a2
∴原方程組為 2 3 12 3 2 5
x y x y
泝 沴
2 3
泝 沴 得13x39x3 代入得9 2 y 5 y 2
∴正確的解為x3、y 2
重點二 三元一次聯立方程式的解法 1. 三元一次聯立方程式
設a、b、c、d為實數,且a、b、c不同時為 0,則含有三個未知數x、y 、 z 且形如 0
ax by cz d 或 ax by cz d 的方程式,稱為x、y 、z 的三元一次方程式。由兩 個或多個三元一次方程式並列組合而成的方程式,我們稱為三元一次聯立方程式或三元 一次方程組。
2. 三元一次聯立方程式的解法 (1)代入消去法。
(2)加減消去法。
演練
例題 8 二元一次聯立方程式的應用(進階題) 8
試解方程組
5 2 7
4 5
3 2 2 10 x y z x y z
x y z
泝 沴
沊
。
2
泝 沴 得3x3y 3沝
泝 沊得4x3y17沀
沝 沀得7x14x2 代入得8 3 y17y 3 代入得2 12 z 5z 5
∴方程組的解為x2、y 、3 z 5
試解方程組
2 3 8
2 2 3
2 3 9 x y z x y z x y
泝 沴 沊
。
3
泝 沴 得7x4y17沝
4 3
沊 沝 得29x87x3 代入得6 3 y 9 y 1 代入得6 2 z 3z 1
∴方程組的解為x3、y 、1 z 1
試解方程組
1 1 5 1 1
7 1 1 6 x y
y z
x z
泝
沴
沊
。
泝 沴 沊得 1 1 1 2( ) 18
x y z
1 1 1
x y z 9沝
沝 泝得1
z 4 1 z 4
沝 沴得1
x 2 1 x 2
沝 沊得1
y 3 1 y 3
∴方程組的解為 1
x 、2 1
y 、3 1 z 4
試解方程組
4 2 8 x y y z x z
泝 沴 沊
。
泝 沴 沊得2(x y z ) 14 x y z 7沝
沝 泝得z3
沝 沴得x 5
沝 沊得y 1
∴方程組的解為x 、5 y 、1 z3 演練
例題 9 三元一次聯立方程式 9
演練
例題 10 三元一次聯立方程式 10
二元一次不等式及其應用
已知三數和是 54,若第一數除以第二數得商 為 3,餘數為 2;第二數除以第三數得商為 1,餘數為 3,試求此三數的積。
設三數依序為x、y 、 z
則
54 3 2
3 x y z x y y z
泝 沴 沊
將代入得x3z 沝11 得、代入得
(3z11) ( z 3) z 54
5z40z8 代入得y 11 代入得x35
∴三數之積為8 11 35 3080
有一工程甲、乙、丙三人合做需 5 天才能完 成,若只有甲、乙二人合做需 10 天才能完 成,若由甲先做9 天,剩下由乙獨做還需 12 天才能完成,試求由甲、乙、丙獨做各需幾 天才能完成。
設甲、乙、丙各需獨做x、y 、 z 天可完 成一工程
則甲、乙、丙各自獨做一天可完成1 x、1
y、 1
z工程
∴
5 5 5 1 10 10
1 9 12 1 x y z
x y x y
泝 沴 沊 由泝 2 沴得10
z 1 z10
6 5
沴 沊 得15
x 1 x15 代入得10 10
15 y 1 y30
故由甲、乙、丙獨做各需15 天、30 天、
10 天可以完成。
演練
例題 11 三元一次聯立方程式應用問題 11
重點三 二元一次聯立方程式的幾何圖形 1. 二元一次方程式
二元一次方程式ax by c 的圖形為一直線。 0 2. 二元一次方程組的幾何意義
設二元一次方程組 1 1 1
2 2 2
0 0 a x b y c a x b y c
,其中a 、1 b 不同時為 0,且1 a 、2 b 不同時為 0。 2 令直線L :1 a x b y c1 1 ,直線1 0 L :2 a x b y c2 2 2 ,則 0
(1)當 1 1
2 2
a b
a b 時,直線L 與1 L 相交於一點,方程組恰有一組解,稱為相容方程組(如圖2 一)。
(2)當 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c 時,直線L 與1 L 重合,方程組有無限多組解,稱為相依方程組(如圖2 二)。
(3)當 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c 時,直線L 與1 L 平行,方程組無解,稱為矛盾方程組(如圖三)。 2
在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x2y 的圖形。 6
x 0 2
y 3 0
在坐標平面上畫出二元一次方程式 4 0
x y 的圖形。
x 0 4 y 0 1
圖一 圖二 圖三
演練
例題 12 二元一次方程式的圖形 12
二元一次不等式及其應用
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 3 6
2 x y x y
的圖形,並求
(1)二元一次聯立方程式圖形的交點坐標。
(2)二元一次聯立方程式圖形與x軸所圍成的 面積。
x 0 6
y 2 0 x 0 2 y 02
∴二元一次聯立方程式 3 6
2 x y x y
的圖形為交於一點(3,1) 的兩條直線。
(1) 3 6 2 x y x y
泝 沴
泝 沴得 4y 4 y 1 代入得x 1 2x3 ∴交點坐標為(3,1)
(2)與x軸所圍成的面積 1
4 1 2
2
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2 3 6
3 x y x y
的圖形,並求
(1)二元一次聯立方程式圖形的交點坐標。
(2)二元一次聯立方程式圖形與y 軸所圍成的 面積。
x 0 3
y 2 0 x 0 3 y 3 0
∴二元一次聯立方程式 2 3 6 3 x y x y
的圖形為交於一點( 3,0) 的兩條直線。
(1) 2 3 6 3 x y x y
泝 沴
3
泝 沴 得5x 15x 3 代入得 3 y 3 y 0 ∴交點坐標為( 3,0)
(2)與y 軸所圍成的面積 1 15
2 5 3 2
演練
例題 13 二元一次聯立方程式的圖形 13
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2
2 2 4 x y
x y
的圖形。
x 0 2
y 0 2 x 0 2 y 02
∴二元一次聯立方程式 2
2 2 4 x y
x y
的圖形為兩條重合的直線。
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式
2 2
4 2 4 x y x y
的圖形。
x 0 1
y 2 0 x 0 1
y 2 0
∴二元一次聯立方程式 2 2
4 2 4 x y x y
的圖形為兩條重合的直線。
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式
3 3
6 2 12 x y x y
的圖形。
x 0 1
y 3 0 x 0 2
y 6 0
∴二元一次聯立方程式 3 3
6 2 12 x y x y
的圖形為兩條平行的直線。
在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2 2
2 4 8 x y
x y
的圖形。
x 0 2
y 1 0 x 0 4 y 02
∴二元一次聯立方程式 2 2
2 4 8 x y
x y
的圖形為兩條平行的直線。
演練
例題 14 二元一次聯立方程式的圖形 14
演練
例題 15 二元一次聯立方程式的圖形 15
二元一次不等式及其應用
試判斷下列各方程組中兩條直線相交的情形 及方程組解的個數。
(1) 3 2 6 0 2 4 0
x y x y
(2) 2 4 0
2 4 8 0 x y
x y
(3) 3 9 6 2 12
x y x y
。
(1)∵3 2 2 1
∴兩條直線交於一點,方程組恰有一組 解。
(2)∵1 2 4 2 4 8
∴兩條直線重合,方程組有無限多組 解。
(3)∵3 1 9 6 2 12
∴兩條直線平行,方程組無解。
試判斷下列各方程組中兩條直線相交的情形 及方程組解的個數。
(1) 2 3 0 2 4 6 0 x y
x y
(2)
3 4 1 0 3 2 5 0 2
x y x y
(3) 2 3 1 0 6 9 4 0
x y x y
。
(1)∵ 1 2 3 2 4 6
∴兩條直線重合,方程組有無限多組 解。
(2)∵ 3 4 3 2 2
∴兩條直線交於一點,方程組恰有一組 解。
(3)∵2 3 1 6 9 4
∴兩條直線平行,方程組無解。
已知二元一次方程組 2 3 6
x by x y c
的圖形為兩
條直線重合,試求3b c 之值。
∵兩條直線重合
∴2 3
6 1 b
c
1
b 、3 c9
3b c 8
已知二元一次方程組 2 3
3 9
ax y x by
有無限多組
解,試求a b 之值。
∵方程組有無限多組解
∴ 2 3
3 9
a
b
a1、b6
a b 7
演練
例題 16 二元一次聯立方程式的幾何意義 16
演練
例題 17 二元一次聯立方程式的幾何意義 17
設兩直線L : 41 x ay , 8 L :2 ax9y12
(1)若L 與1 L 平行,試求2 a之值。
(2)若L 與1 L 重合,試求2 a之值。
4 9 a a
a2 36a 6
(1)當a6時,4 6 8 6 9 12
L 與1 L 平行 2
(2)當a 6時, 4 6 8 6 9 12
L 與1 L 重合 2
設二元一次方程組 2 4
2 4
kx y x ky
,
(1)若方程組無解,試求k之值。
(2)若方程組有無限多組解,試求k之值。
2 2 k
k
k24k 2
(1)當k 2時, 2 2 4 2 2 4
方程組無解
(2)當k 2時,2 2 4 2 2 4
方程組有無限多組解
演練
例題 18 二元一次聯立方程式的幾何意義 18
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
1 1. 二元一次聯立方程式 15 2 3 5 x y
x y
之解為x 8 ,y 7 。
2 2. 二元一次聯立方程式 5 8 33 3 4 11
x y x y
之解為x 5 ,y 1 。
3 3. 設x、y 為實數,已知聯立方程式
2 3 7
3 5
9 x y x y ax y
有解,則a 4 。
3 4. 設x、y 為整數,若方程式|x2y7 | | 2 x y 1 | |x y k | 0 有解,則k 2 。
4 5. 聯立方程式
3 2 1 1 1 2 x y
x y
的解為x 1 ,y 1 。
■ 對應例題
自我 評量 評量
自我
5 6. 若方程組 3 2 5
2 5
x y ax by
與 2 0
2 3 1 ax by
x y
有相同的解,則a b 1 。
6 7. 有一件工程,若由甲、乙二人合做,則 10 天可完成,若先由甲一人做 6 天,剩下由乙去 做,則還須18 天才可完成。若由甲一人獨做,須 15 天才能完成。
9 8. 解方程組
2 9 8
3 2 9
3 4 5
x y z
x y z x y z
,得y 2 。
10 9. 解方程組
1 1 4 1 1
5 1 1 6 x y
y z
x z
,則5x6y7z 8 。
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
11 10. 某餐廳有 A 、 B 、C三種套餐,小明訂2 個 A 套餐,2 個 B 套餐,總共 2000 元;小華訂 3 個 A 套餐、1 個 B 套餐,總共 2400 元;小花訂 1 個 A 套餐、1 個 B 套餐和 2 個C套餐,
總共3200 元,則訂 1 個C套餐需要 1100 元。
12 11. 坐標平面上二元一次方程式 5x2y 的圖形不通過第10 四 象限。
13 12. 二元一次聯立方程式 2 4 3 9 x y x y
的圖形與y 軸所圍成的面積為 21 2 。
16 13. 方程組 3 2 1 0 6 4 2 0
x y x y
之解的個數有 1 個。
17 14. 設兩直線L :1 ax4y b 與2 L :2 3x2y a ,若L 與1 L 重合,則2 a b 4 。
18 15. 設聯立方程式 2 3 2 ( 3) 6 kx y
x k y
,
(1)若方程組無解,則k 4 。
(2)若方程組有無限多組解,則k 1 。
自我 評量 評量
自我
7 16. 解方程組 201 199 404 99 499 796
x y
x y
,則x y 2 。
7 17. 解方程組
1 2 3 3 4 8
x x y
x x y
,則2x y 2 。
8 18. 甲、乙二人解聯立方程式 2 4 4 5 x ay bx y
時,甲看錯a得解( , ) (3, 1)x y ,乙看錯b得解 ( , ) (5, 2)x y ,則正確的解 ( , )x y ( 1,2) 。
二元一次不等式及其應用
2-2 二元一次不等式
重點一 二元一次不等式的圖解 1. 二元一次不等式的解
設a、b、c為實數,且a、b不同時為 0,則形如ax by c 、0 ax by c 、0 0
ax by c 、ax by c 的不等式,均稱為二元一次不等式。滿足二元一次不等式0 的實數對( , )x y 稱為二元一次不等式的解。
2. 二元一次不等式的圖形解:
(1)左、右側半平面:
設直線L :ax by c ,且0 a0,則
ax by c 的圖形為直線 L 的右側半平面(如圖一)。 0
ax by c 的圖形為直線 L 及直線 L 的右側半平面(如圖二)。 0
ax by c 的圖形為直線 L 的左側半平面(如圖三)。 0
ax by c 的圖形為直線 L 及直線 L 的左側半平面(如圖四)。 0
ax by c (0 a0) ax by c (0 a0)
ax by c (0 a0) ax by c (0 a0) 圖二
圖一
小叮嚀
1. 若a0,可以將二元一次不等式兩邊同乘以1,使得x項係數為正。
2. 若二元一次不等式的圖形包含直線L,則直線L以實線畫出,若圖形不 包含直線L,則直線L以虛線畫出。
(2)上、下方半平面
設直線L : y k ,其中k為常數,則
y k 的圖形為直線 L 的上方半平面(如圖五)。
y k 的圖形為直線 L 及直線 L 的上方半平面(如圖六)。
y k 的圖形為直線 L 的下方半平面(如圖七)。
y k 的圖形為直線 L 及直線 L 的下方半平面(如圖八)。
3. 同側或異側判別法
已知直線L :ax by c 及相異兩點0 A x y 、( , )1 1 B x y , ( ,2 2) (1)若 A 、 B 在 L 的異側,則(ax1by1c ax)( 2by2 。 c) 0 (2)若 A 、 B 在 L 的同側,則(ax1by1c ax)( 2by2 。 c) 0
(3)若AB 與 L 相交(異側或線上),則(ax1by1c ax)( 2by2 。 c) 0 圖八
圖七
圖六 圖五
二元一次不等式及其應用
圖示下列各不等式的解:
(1)2x y (2)4 0 x3y 。 0 (1) x 0 2
y 4 0
(2) x 0 3
y 0 1
圖示下列各不等式的解:
(1)2x3y (2) 30 x 2y 。 6 0 (1) x 0 3
y 0 2
(2)原式 3x2y 6 0 x 0 2
y 3 0
演練
例題 1 二元一次不等式 1
圖示下列各不等式的解:
(1)2x4 (2) 2 3 1
y x (3) x 2y 3 2x y 。 3
(1)原式x 2
(2)原式3y2x 23 x3y 3 0
(3)原式 3x3y 6 0 x y 2 0
圖示下列各不等式的解:
(1)3x 9 0 (2) 3 2 3
y x (3) 2x y 。 2 x y 2
(1)原式x 3 0
(2)原式 2y 33x 6 x2y 6 0
(3)原式x2y 4 0
演練
例題 2 二元一次不等式 2
二元一次不等式及其應用
設x、y 為正整數,則滿足不等式 3x2y12的解共有多少組?
∴滿足不等式3x2y12的正整數解 有7 組
【另解】 x 1 2 3
y 1,2,3,4 1,2 1 ∴滿足不等式3x2y12的正 整數解有7 組
設x、y 為正整數,則滿足不等式x y 4 的解共有多少組?
∴滿足不等式x y 的正整數解 4 有6 組
【另解】 x 1 2 3
y 1,2,3 1,2 1 ∴滿足不等式x y 的正整 4 數解有6 組
圖示下列不等式的解:
(1)y (2)2 y 。 4 (1)
(2)
圖示下列不等式的解:
(1)y (2)3 y 。 1 (1)
(2)
演練
例題 3 二元一次不等式 3
演練
例題 4 二元一次不等式 4
試判別下列各組點在直線L :2x y 4 0 的同側或異側:
(1) ( 3,1)A 、B(2,5) (2) ( 1,3)C 、D( 2,2) (1)將 ( 3,1)A 、B(2,5)代入直線L
得( 6 1 4)(4 5 4) 0 ∴A 、 B 在直線 L 的異側
(2)將 ( 1,3)C 、D( 2,2) 代入直線L 得( 2 3 4)( 4 2 4) 0 ∴C、D 在直線 L 的同側
試判別下列各組點在直線L :x3y 2 0 的同側或異側:
(1) (6, 1)P 、 ( 1,2)Q (2) ( 2,1)R 、S(1,1) (1)將 (6, 1)P 、 ( 1,2)Q 代入直線L
得(6 3 2)( 1 6 2) 0 ∴P 、Q 在直線 L 的同側 (2)將 ( 2,1)R 、S(1,1)代入直線L 得( 2 3 2)(1 3 2) 0 ∴R 、S在直線L 的異側
設A(1,1)、B( 2,2) 在直線L :x3y k 0 的同側,試求k的範圍。
∵ A 、 B 在直線 L 的同側
∴(1 3 k)( 2 6 k) 0
(k2)(k 8) 0
k 8或k2
設 A k( ,1)、B(3, )k 在直線 L :x2y 5 0 的異側,試求k的範圍。
∵ A 、 B 在直線 L 的異側
∴(k 2 5)(3 2 k 5) 0
(k3)(2k2) 0
1 k 3
重點二 二元一次聯立不等式的圖解 1.二元一次聯立不等式
將兩個或兩個以上的二元一次不等式並列在一起,稱為二元一次聯立不等式。
2. 二元一次聯立不等式的圖解
二元一次聯立不等式的解必須是同時滿足所有列出的不等式,所以二元一次聯立不等式 的圖解,就是聯立不等式中各不等式圖形的共同部分。
小叮嚀
若二元一次聯立不等式沒有共同部分,則此二元一次聯立不等式無解。
演練
例題 5 同側、異側 5
演練
例題 6 同側、異側 6
二元一次不等式及其應用
圖解二元一次聯立不等式 2 4 0 3 0 x y x y
。
(1)先作直線L : 21 x y 4 0
則2x y 為直線4 0 L 及1 L 的左半 1 平面
(2)再作直線L :2 x y 3 0
則x y 為直線3 0 L 及2 L 的右半 2 平面
(3)取(1)(2)重疊區域即為二元一次聯立不 等式 2 4 0
3 0 x y x y
的解,如下圖所示
圖解二元一次聯立不等式 3 2 6 4 x y x y
。
(1)先作直線L : 31 x2y 6
則3x2y 為直線6 L 及1 L 的右半 1 平面
(2)再作直線L :2 x y 4
則x y 為直線4 L 及2 L 的右半平面 2 (3)取(1)(2)重疊區域即為二元一次聯立不 等式 3 2 6
4 x y x y
的解,如下圖所示
演練
例題 7 二元一次聯立不等式 7
圖解下列二元一次聯立不等式:
(1) 2 2 0 2 4 0 x y
x y
(2) 3 6 0
3 3 0 x y
x y
。
(1)
∵x2y 的圖解為直線 2 0 x2y 及其右半平面 2 0 且x2y 的圖解為直線 4 0 x2y 及其左半平面 4 0 ∴聯立不等式 2 2 0
2 4 0 x y
x y
的解為
中間陰影部分 (2)
∵3x y 的圖解為直線 6 0 3x y 及其左半平面 6 0 且3x y 的圖解為直線 3 0 3x y 及其右半平面 3 0 ∴無重疊部分
故聯立不等式 3 6 0
3 3 0
x y x y
無解
圖解下列二元一次聯立不等式:
(1) 4 3 12 4 3 0
x y x y
(2) 4
1 x y x y
。
(1)
∵4x3y12的圖解為直線 4x3y12及其左半平面 且4x3y 的圖解為直線 0 4x3y 及其右半平面 0 ∴聯立不等式 4 3 12
4 3 0 x y x y
的解為
中間陰影部分 (2)
∵x y 的圖解為直線 4 x y 及其右半平面 4 且x y 的圖解為直線 1 x y 及其左半平面 1 ∴無重疊部分
故聯立不等式 4
1 x y x y
無解
演練
例題 8 二元一次聯立不等式 8
二元一次不等式及其應用
圖解二元一次聯立不等式 0
0
2 4 0 2 4 0 x
y x y
x y
。
圖解二元一次聯立不等式 0
1 5
2 3 6 0 x
y x y
。
求聯立不等式
0 4
2 6
6 x x y x y
所圍成的區域面
積。
∴圍成的面積 1
12 4 24
2
求不等式組 0
2
2 4 0
x y
x y
所圍成的區域面
積。
∴圍成的面積 1
3 6 9
2
演練
例題 9 二元一次聯立不等式 9
演練
例題 10 二元一次聯立不等式圍成區域面積 10
求聯立不等式 | 2 | 4
| 2 | 4 x y x y
所圍成的區域面
積。
原式 4 2 4
4 2 4
x y x y
2 4 2 4 2 4 2 4 x y x y x y x y
∴圍成的面積 1
8 4 16
2
求 聯 立 不 等 式 | | 5
| | 5 x y x y
所 圍 成 的 區 域 面 積。
原式 5 5
5 5
x y x y
5 5
5 5 x y x y x y x y
∴圍成的面積 1
10 10 50
2
演練
例題 11 二元一次聯立不等式圍成區域面積(進階題) 11
二元一次不等式及其應用
求 不 等 式3 | | 4 | | 12x y 所 圍 成 的 區 域 面 積。
(1)當x0,y ,不等式為 30 x4y12 圍成的區域如圖(一)所示
(2)當x0,y ,不等式為 30 x4y12 圍成的區域如圖(二)所示
(3)當x0,y ,不等式為 30 x4y 12 圍成的區域如圖(三)所示
(4)當x0,y ,不等式為 30 x4y 12 圍成的區域如圖(四)所示
圍成的面積 1
8 6 24
2
求不等式| | | | 5x y 所圍成的區域面積。
(1)當x0,y ,不等式為0 x y 5 圍成的區域如圖(一)所示
(2)當x0,y ,不等式為0 x y 5 圍成的區域如圖(二)所示
(3)當x0,y ,不等式為0 x y 5 圍成的區域如圖(三)所示
(4)當x0,y ,不等式為0 x y 5 圍成的區域如圖(四)所示
圍成的面積 1
10 10 50
2
演練
例題 12 二元一次聯立不等式圍成區域面積(進階題) 12
自我 評量 評量
自我
1 1. 不等式3x2y 解的圖形不通過第6 0 二 象限。
2 2. 若不等式 3
y4x k 的圖形包含點 ( 4,1) ,則k的範圍為 k4 。
3 3. 二元一次不等式 4x3y16 0 的正整數解共有 7 組。
5 4. ( D ) 下列哪一點與點 (2,1)A 在直線L :5x2y 的同側? (A) ( 1,3)7 0 (B)( 3, 4) (C) ( 2, 1) (D) (0,3) 。
6 5. 設P(5, 3) 、 ( 3,1)Q 兩點在直線x y k 的異側,則0 k的範圍為 2 k 2 。
7 6. 二元一次聯立不等式 2 3 6 2 0 x y x y
的圖形不通過第 一 象限。
■ 對應例題
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
7 7. 已知點P(3, )k 為二元一次聯立不等式 2 4 0 3 7 0
x y x y
的解,則k的範圍為
2 k 10
。
10 8. 在坐標平面上,不等式方程組y x ,2 x0,y 的區域面積為0 2 。
10 9. 在坐標平面上,滿足不等式組 5x2y180,x y 45,x0,y 的區域面積為0 945 。
10 10. 在坐標平面上,聯立不等式
3 6
9 3 6 x x y x y
所圍成的區域面積為 12 。
11 11. 求聯立不等式 | | 8
| | 8 x y x y
之圖形所圍成區域面積為 128 。
12 12. 求不等式2 | | | | 8x y 之圖形所圍成區域面積為 64 。
2-3 線性規劃
重點一 線性規劃 1. 線性規劃
線性規劃是在二元一次聯立不等式的條件下,求得線性函數 f x y 的最大值與最小值。( , )
2. 線性規劃的解法
(1)畫出二元一次聯立不等式的圖形,找出可行解區域。
(2)求出可行解區域的頂點坐標。
(3)將頂點坐標代入目標函數 ( , )f x y 求值,所得之最大函數值即為最大值,最小函數值即 為最小值。
在同時滿足 x0, y , 30 y2x 的所6 有 點( , )x y 中,試求 ( , ) 2f x y x y 的最大 值。
( , )x y (0,2) ( 3,0) (0,0) 2x y 2 6 0
∴ f x y 的最大值為 2 ( , )
設x、 y 滿足不等式2 x 5,x y ,8 0
y ,試求 ( , ) 2f x y x y 的最小值。
( , )x y (2,0) (5,0) (5,3) (2,6) 2x y 4 10 7 2
∴ f x y 的最小值為 2( , )
小叮嚀
1. 在坐標平面上,滿足這個二元一次聯立不等式的區域,稱為可行解區域。
2. 線性函數 f x y( , )稱為目標函數。
3. 在可行解區域中使目標函數 f x y( , )有最大值、最小值的點( , )x y ,稱為最佳解。
小叮嚀
若為應用問題,則依題意的條件限制列出聯立不等式及目標函數。
演練
例題 1 求目標函數最大值、最小值 1
二元一次不等式及其應用
在不等式組 0 0 2 20 3 30
x y x y
x y
的限制條件下,試求
( , )
f x y 的最大值。 x y
2 20 3 30 x y
x y
( , ) (8,6)x y ( , )x y (0,0) (10,0) (8,6) (0,10)
x y 0 10 2 10
∴ f x y 的最大值為 10 ( , )
在不等式組
0
2 2 0
2 3 6 0 y
x y x y
的限制條件下,
試求 f x y( , ) 的最大值與最小值。 x y
( , )x y ( 1,0) (3,0) (0,2)
x y 1 3 2
∴ f x y 的最大值為 3, ( , ) 最小值為 1
演練
例題 2 求目標函數最大值、最小值 2
在不等式3 | | 2 | | 6x y 的條件下,
求 f x y( , ) 2 x y 的最大值、最小值。
x 0 0 2 2
y 3 3 0 0
( , )x y (2,0) (0,3) ( 2,0) (0, 3) 2x y 4 3 4 3
∴ f x y 的最大值為 4、最小值為 4( , )
在不等式| | | | 4x y 的條件下,
求 f x y( , ) x 2y 的最大值、最小值。 3 x 0 0 4 4
y 4 4 0 0
( , )x y (4,0) (0, 4) ( 4,0) (0,4) 2 3
x y 7 5 1 11
∴ f x y 的最大值為 11、最小值為( , ) 5 演練
例題 3 求目標函數的最大值、最小值(進階題) 3
二元一次不等式及其應用
某工廠用甲、乙兩種不同原料均可生產同一 產品,若採用甲種原料,每公斤成本 400 元,運費20 元,可得產品 4 公斤;若採用乙 種原料,每公斤成本100 元,運費 30 元,可 得產品5 公斤,預算成本不得超過 4000 元,
運費不得超過 600 元之條件下,此工廠每日 最大產量為多少公斤?
設採用甲種原料x公斤,乙種原料y 公斤
甲 乙
成本 400 100 4000 運費 20 30 600
產量 4 5
在 0 0
400 100 4000 20 30 600 x
y
x y
x y
0 0 4 40 2 3 60 x
y x y x y
條件限制下,求 f x y( , ) 4 x5y之最大值
4 40 2 3 60
x y x y
交點 (6,16)
( , )x y (0,0) (10,0) (6,16) (0,20) 4x5y 0 40 104 100
∴當採用甲原料6 公斤,乙原料 16 公斤 最大產量104 公斤
老王有 4 甲農地,若在田地種水稻每甲地產 量為 8000 公斤,種花生每甲地產量 2000 公 斤,但種水稻的成本每甲地須 12000 元,種 花生每甲地須4000 元,且水稻每公斤可賣 6 元,花生每公斤可賣 10 元,現在老王只有 40000 元,試問老王要如何分配耕種農地,
才能有最大收入?
設種水稻x甲、花生y 甲
則在 0 0
12000 4000 40000 4
x y
x y
x y
條件限制下
求f x y( , ) 8000 6 x2000 10 y 48000 x20000y的最大值
( , ) 48000 20000 f x y x y
(0,4) 80000
f
(3,1) 164000
f
(10,0) 160000 f 3
∴種水稻3 甲、花生 1 甲,
最大收益164000 元
演練
例題 4 線性規劃 4
某汽車公司有兩家裝配廠,生產甲、乙兩種 不同型的汽車,若 A 廠每小時可完成 1 輛甲 型車與3 輛乙型車;B 廠每小時可完成 2 輛甲 型車與1 輛乙型車。今若欲製造 40 輛甲型車 與30 輛乙型車,應如何分配工作,方能使工 作總時數最少?
設 A 廠工作x小時,B 廠工作 y 小時 A B
甲 1 2 40 乙 3 1 30
在 0 0 2 40 3 30 x
y x y
x y
條件限制下
求 f x y( , ) 之最小值 x y
2 40 3 30 x y
x y
交點 (4,18) ( , )x y (0,30) (4,18) (40,0)
x y 30 22 40
∴當A 廠工作 4 小時, B 廠工作 18 小時 工作總時數最少22 小時
為預防禽流感,養雞場的主人須由飼料中提 供至少44 單位的營養素 A,及至少 72 單位的 營養素 B 給他的雞群。這兩種營養素可由 甲、乙兩種飼料中獲得,且知甲飼料每公斤 6 元並含有 8 單位的營養素 A,4 單位的營養 素B;乙飼料每公斤5 元並含有 2 單位的營養 素A,6 單位營養素 B。試問養雞場主人如何 以最少飼料成本來達到雞群的營養需求?
設使用甲飼料x公斤,乙飼料y 公斤 甲飼料 乙飼料
營養素A 8 2 44 營養素B 4 6 72
飼料售價 6 5
條件限制
0 0
8 2 44 4 6 72
x y
x y
x y
,
目標函數 f x y( , ) 6 x5y最小值
8 2 44 4 6 72
x y x y
( , ) (3,10)x y ( , )x y (0,22) (3,10) (18,0) 6x5y 110 68 108
∴當甲飼料用3 公斤、乙飼料 10 公斤,
最少費用68 元
演練
例題 5 線性規劃 5
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
1 1. 滿足不等式
0 4
0 3
2 6
x y x y
的條件下,求 f x y( , ) 4 x3y的最大值為 15 。
1 2. 滿足聯立不等式
0 0
20 10
x y
x y x y
,
的條件下,則 f x y( , ) 3 y x 的最大值為 40 。
2 3. 設點 ( , )x y 滿足不等式組
3
2 4
0 0
x y x y
x y
,
,若 f x y( , ) 4 x3y12的最大值為M ,最小值
為m,則M m 34 。
2 4. 在x0, y , 30 x y 30,x2y20的條件下,函數 f x y( , ) 的最小值為x y 14 。
■ 對應例題
自我 評量 評量
自我
4 5. 在面積 3000 平方公尺的建築用地上,以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不 同形式的住宅;已知甲種每戶佔地200 平方公尺,造價 400 萬元,可獲利 200 萬元;乙 種每戶佔地300 平方公尺,造價 100 萬元,可獲利 250 萬元。則在此建地建築甲、乙兩 種住宅,總共最多可獲利 2600萬 元。
5 6. 有甲、乙兩種食物,甲每份含A 營養素 7 單位,B 營養素 3 單位;乙每份含 A 營養素 2 單位、B 營養素 6 單位,又甲食物每份價格 12 元,乙食物每份價格 10 元,已知每人一 天至少須要A 營養素 84 單位,B 營養素 72 單位,若要能夠獲得足夠的營養,費用最少 要 190 元。
3 7. 坐標平面上,在| | | | 2x y 的平面區域中, ( , )f x y x 2y的最大值為 4 。
4 8. 某表演廳可售票座位,其售價有 600 元及 1000 元兩種價位,且 600 元價位之座位有 500 席、1000 元價位之座位有 300 席,已知某日售出 600 元票x張、1000 元票y 張,且x3y、
500
x y ,則此日售票所得金額的最大值為 350000 元。
二元一次不等式及其應用
* 表示進階題
【2-1】
( A ) 1. 設x、y 為實數,若(3x2y13)2(2x5y4)2 ,則0 x y 之值為何? (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 5。
( B ) 2. 若二元一次聯立方程式 3 9 ax by ax by
的解為x4,y ,則3 2a b 之值為何?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
( D ) 3. 已 知 2 3 2 x y x y
, 若 令 x a b y c d
, 則b c ? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 。
( B ) 4. 解方程組
1 1 2 3 2
1 x y
x y
,則x y ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
( B ) 5. 若方程組 2 3 2 x y ax by
與 3 2 1
2 1
ax by x y
有相同的解,則a b ? (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2。
( C ) 6. 某班同學開慶生會,共吃掉點心 32 份,其中男生每人吃兩份,女生每 3 人合吃一 份,已知該班學生共有36 人,則下列敘述何者正確? (A)女生人數是男生人數的 3 倍 (B)男生人數不到 10 人 (C)女生人數超過 20 人 (D)男生人數超過 15 人。
( A ) 7. 已知方程組 2 3 11 4 3 2 10 7
x y m
x y m
且x3y 4 6m,則m之值為何? (A)3 (B) 2 (C) 2 (D) 3。
( A ) 8. 解聯立方程式
3 6
2 3 22 13 22 x y z
x y z x y z
,可得y ? (A) 80 (B) 104 (C) 210
(D) 240。
( D ) 9. 設三數之和為 36,且第二數為第一數的二倍,第三數除以第二數,得商為 2,餘數 為1,則第三數為何? (A) 5 (B) 10 (C) 18 (D) 21。
( D ) 10. 下列各方程組何者無限多組解? (A) 2 3 4 0 3 2 1 0
x y x y
(B) 2 3 0
2 3 0 x y
x y
(C) 1
3 2 2 3 1
x y
x y
(D)
1 2 3
3 6
x y x y
。
( C ) 11. 若方程組 ( 1) 3 6
4 8
k x y x ky
無解,則k之值為何? (A) 4 (B)3 (C) 3 (D) 4。
( A ) 12. 求二元一次聯立方程式 4 0 2 0 x y
x y
的圖形與y 軸所圍成的面積為何? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 9。
【2-2】
( B ) 13. 右圖為下列哪一個不等式的圖形?
(A)y2x (B)2 y2x 2 (C)y2x (D)2 y2x 。 2
( B ) 14. 設x、y 為正整數,則滿足不等式 2x3y12的解共有多少組? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10。
( D ) 15. 下 列 哪 一 點 與 原 點 在 直 線 L : 5x2y 的 同 側 ? (A) (1,5) (B) ( 1,1)4 0 (C) ( 2, 3) (D) (1,3) 。
( A ) 16. 若點 ( ,1)A k 、B( 2,3) 在直線L : 2x3y 的異側,則7 0 k的範圍為何?
(A)k 2 (B)k 2 (C)k 2 (D)k2。
( B ) 17. 已知點 (2, 3)A 、 (1, 2)B ,若 AB 與直線 L :x2y k 相交,則0 k的範圍為何?
(A)3 k 4 (B)3 k 4 (C)k 4或k3 (D)k4或k3。 ( A ) 18. 滿足不等式 2 4 0
3 2 6 0 x y
x y
之解的圖形不通過第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。
二元一次不等式及其應用
( C ) 19. 右圖為下列哪一個聯立不等式的圖形?
(A)
2 2 0
0 2 0 x y x y y
(B)
2 2 0
0 2 0 x y x y y
(C)
2 2 0
0 2 0 x y x y y
(D)
2 2 0
0 2 0 x y x y y
。
( C ) 20. 求聯立不等式 0
0 6
12 x
y x y
所圍成的區域面積為何? (A) 36 (B) 48 (C) 54
(D) 72。
( A ) 21. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組x0, y ,0 x y , 37 0 x y 15 0 之區 域,則R 之面積為何? (A) 21.5 (B) 22.5 (C) 23.5 (D) 24.5。
*( B ) 22. 求聯立不等式
4 4
4 4 x y x y x y x y
所圍成的區域面積為何? (A) 16 (B) 32 (C) 64
(D) 128。
*( B ) 23. 求不等式 5 | | 2 | | 10x y 所圍成的區域面積為何? (A) 10 (B) 20 (C) 40 (D) 80。
【2-3】
( C ) 24. 在坐標平面上,若不等式組
0 0
6
2 8
x y
x y x y
,
所圍區域為R ,則 ( , )f x y 2x3y在R
上的最大值為何? (A) 0 (B) 8 (C) 18 (D) 20。
( C ) 25. 已知x、y 滿足聯立不等式 0
1 1 y
x y x y
,則 f x y( , ) x 2y的最小值為何? (A)3
(B) 2 (C) 1 (D) 0。
( B ) 26. 已知x、y 為實數且滿足不等式x0,y , 40 x3y18,x3y ,則9 x y