2-3 線性規劃
2. 線性規劃的解法
(1)畫出二元一次聯立不等式的圖形，找出可行解區域。
(2)求出可行解區域的頂點坐標。
(3)將頂點坐標代入目標函數 ( , )f x y 求值，所得之最大函數值即為最大值，最小函數值即 為最小值。
在同時滿足 x0， y ， 30 y2x 的所6 有 點( , )x y 中，試求 ( , ) 2f x y x y 的最大 值。
( , )x y (0,2) ( 3,0) (0,0) 2x y 2 6 0
∴ f x y 的最大值為 2 ( , )
設x、 y 滿足不等式2 x 5，x y ，8 0
y ，試求 ( , ) 2f x y x y 的最小值。
( , )x y (2,0) (5,0) (5,3) (2,6) 2x y 4 10 7 2
∴ f x y 的最小值為 2( , )
小叮嚀
1. 在坐標平面上，滿足這個二元一次聯立不等式的區域，稱為可行解區域。
2. 線性函數 f x y( , )稱為目標函數。
3. 在可行解區域中使目標函數 f x y( , )有最大值、最小值的點( , )x y ，稱為最佳解。
小叮嚀
若為應用問題，則依題意的條件限制列出聯立不等式及目標函數。
演練
例題 1 求目標函數最大值、最小值 1
二元一次不等式及其應用
在不等式組 0 0 2 20 3 30
x y x y
x y
的限制條件下，試求
( , )
f x y 的最大值。 x y
2 20 3 30 x y
x y
( , ) (8,6)x y ( , )x y (0,0) (10,0) (8,6) (0,10)
x y 0 10 2 10
∴ f x y 的最大值為 10 ( , )
在不等式組
0
2 2 0
2 3 6 0 y
x y x y
的限制條件下，
試求 f x y( , ) 的最大值與最小值。 x y
( , )x y ( 1,0) (3,0) (0,2)
x y 1 3 2
∴ f x y 的最大值為 3， ( , ) 最小值為 1
演練
例題 2 求目標函數最大值、最小值 2
某工廠用甲、乙兩種不同原料均可生產同一
400 100 4000 20 30 600
12000 4000 40000 4
二元一次不等式及其應用
自我 評量 評量
自我
1 1. 滿足不等式
0 4
0 3
2 6
x y x y
的條件下，求 f x y( , ) 4 x3y的最大值為 15 。
1 2. 滿足聯立不等式
0 0
20 10
x y
x y x y
，
的條件下，則 f x y( , ) 3 y x 的最大值為 40 。
2 3. 設點 ( , )x y 滿足不等式組
3
2 4
0 0
x y x y
x y
，
，若 f x y( , ) 4 x3y12的最大值為M ，最小值
為m，則M m 34 。
2 4. 在x0， y ， 30 x y 30，x2y20的條件下，函數 f x y( , ) 的最小值為x y 14 。
■ 對應例題
二元一次不等式及其應用
02
自我 評量 評量
自我
二元一次不等式及其應用
3 5. 在面積 3000 平方公尺的建築用地上，以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不 同形式的住宅；已知甲種每戶佔地200 平方公尺，造價 400 萬元，可獲利 200 萬元；乙 種每戶佔地300 平方公尺，造價 100 萬元，可獲利 250 萬元。則在此建地建築甲、乙兩 種住宅，總共最多可獲利 2600萬 元。
4 6. 有甲、乙兩種食物，甲每份含 A 營養素 7 單位，B 營養素 3 單位；乙每份含 A 營養素 2 單位、B 營養素6 單位，又甲食物每份價格 12 元，乙食物每份價格 10 元，已知每人一 天至少須要A 營養素84 單位，B 營養素 72 單位，若要能夠獲得足夠的營養，費用最少 要 190 元。
* 表示進階題
二元一次不等式及其應用
( Ａ ) 20. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組x0， y ，0 x y ， 37 0 x y 15 0 之區 域，則R 之面積為何？ (A) 21.5 (B) 22.5 (C) 23.5 (D) 24.5。
【2-3】
( Ｃ ) 21. 在坐標平面上，若不等式組
0 0
6
2 8
x y
x y x y
，
所圍區域為R ，則 ( , )f x y 2x3y在R
上的最大值為何？ (A) 0 (B) 8 (C) 18 (D) 20。
( Ｃ ) 22. 已知x、y 滿足聯立不等式 0
1 1 y
x y x y
，則 f x y( , ) x 2y的最小值為何？ (A)3
(B) 2 (C) 1 (D) 0。
( Ｂ ) 23. 已知x、y 為實數且滿足不等式x0，y ， 40 x3y18，x3y ，則9 x y 的最小值為何？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9。
( Ｂ ) 24. 在二元一次聯立不等式
0 0
3
2 4
x y
x y x y
，
的條件下，函數 f x y( , ) 5 x6y的最大值為
何？ (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20。
( Ｃ ) 25. 在聯立不等式
120 20 10 x y x y
的條件下，若 f x y( , ) 20 x10y的最大值為M ，最小值
為m，則M m ？ (A) 500 (B) 1250 (C) 1800 (D) 2300。
( Ｃ ) 26. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組2 x 5，x y ，8 0 x3y 之區域，則5 0 ( , ) 2 4
f x y x y 在 R 上之最大值為何？ (A) 7 (B) 11 (C) 14 (D) 16。
( Ｄ ) 27. 毛線織成的手套有兩種款示，甲款式用紅色毛線 50 公尺，白色毛線 40 公尺，可賺 50 元；乙款式用紅色毛線 20 公尺，白色毛線 40 公尺，可賺 30 元。現有紅色毛線 900 公尺，白色毛線 1200 公尺，若毛線全用來織甲、乙兩款手套，最多可賺多少 元？ (A) 950 (B) 1000 (C) 1050 (D) 1100。
二元一次不等式及其應用
( Ｃ ) 8. 下列何者陰影區域為聯立不等式 2
二元一次不等式及其應用
( Ｃ ) 21. 在聯立不等式
0 6
2 2
x y y
x y
的條件下，若 f x y( , ) x 2y的最大值為M ，最小值為
m，則M m ？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。 【106 統測-A】
( Ｃ ) 22. 若x與y 滿足聯立不等式
2 8
3 9 0 , 0 x y x y
x y
，則 f x y( , ) 2 x3y的最大值為何？ (A) 6
(B) 8 (C) 12 (D) 16。 【107 統測-A】
( Ｃ ) 23. 在滿足二元一次聯立不等式 1
0 3 4 x
y x y x y
的條件下。若3x5y的最大值及最小值分別
為M 及m，則M m 之值為何？ (A)9 (B) (C)4 3 (D) 3。 【107 統測-B】
( Ｄ ) 24. 某飼料工廠製造一包豬飼料需要大豆 5 公斤、玉米 2 公斤；製造一包雞飼料需要大 豆 2 公斤、玉米 3 公斤；此工廠共有大豆 200 公斤、玉米 180 公斤，若每包豬飼料 可獲利22 元，且每包雞飼料可獲利 44 元，試求其可獲得之最大利潤為何？
(A) 2310 元 (B) 2480 元 (C) 2560 元 (D) 2640 元。 【108 統測-A】
( Ｃ ) 25. 設 ( , )x y 滿足 y 、0 0 x 4、 2 x 2y ，試問 ( , )2 f x y 之最大值為x y 何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【108 統測-B】