二元一次不等式

全文

(1)

二元一次不等式及其應用

第 章

02

2-1 二元一次聯立方程式

重點一 二元一次聯立方程式的解法 1. 二元一次聯立方程式

abc為實數,且ab不同時為0,則形如ax by c  或 ax by c0   的方程式稱 為xy 的二元一次方程式。由兩個或多個二元一次方程式並列組合而成的方程式,我 們稱為二元一次聯立方程式或二元一次方程組。

2 3 0 3 4 0 x y

x y

  

   

 ,

2 3 0

3 4 0

2 1 0

x y x y x y

  

   

   

,均為二元一次聯立方程式。

2. 二元一次聯立方程式的解

若能同時讓二元一次聯立方程式中,各方程式等號成立的xy 值,稱為二元一次聯立 方程式的解。

3.二元一次聯立方程式的解法 (1)代入消去法。

(2)加減消去法。

用代入消去法解 2 5 3 1 x y x y

  

   

 泝

沴。 由①得y 5 2x沊

代入②得x3(5 2 ) x   1 x15 6 x 1 7x14x2 代入③得y   5 4 1

∴聯立方程式的解為x2y 1

用代入消去法解 3 11 2 3 0

x y x y

  

  

 泝

沴。 由①得y3x 沊 11

代入②得2x3(3x11) 0 2x9x33 0 11x33x3 代入③得y 9 11  2

∴聯立方程式的解為x3y  2 例

演練

例題 1 代入消去法 1

二元一次不等式

及其應用

(2)

用加減消去法解 3 2 13 0 2 5 4 0

x y x y

   

   

 泝 沴 。

5 2

  

泝 沴 得

19x57 0 x 3 代入②得 6 5y  4 0 5y10y 2

∴聯立方程式的解為x 3y 2

用加減消去法解 3 4 10 2 3 7

x y x y

  

  

 泝 沴 。

3 4

  

泝 沴 得x2 代入①得6 4 y10  4y 4 y 1

∴聯立方程式的解為x2y 1

xy 為實數,已知聯立方程式

3 8

4 2 3

x y x y

x y k

  

  

  

有解,試求k的值。

3 8

4 2 3

x y x y

x y k

  

  

  

 泝 沴

將泝 沴4x12x3 代入②得3  y 4 y 1 再將x3y 代入③得 1

2 3 3 1 9 k     

xy 為實數,已知聯立方程式 3 2 12 0

5 4 2 0

3 0

x y x y x y k

  

   

   

有解,試求k的值。

3 2 12 0 5 4 2 0

3 0

x y x y x y k

   

   

   

 泝 沴 沊

將泝 2 沴得11x22 0x2 代入②得10 4 y  2 0 y  3 再將x2y  代入③得 3

2 9  k 0k 11

演練

例題 2 加減消去法 2

演練

例題 3 加減消去法 3

(3)

二元一次不等式及其應用

解聯立方程式

2 3 4 4 1

1 x y

x y

  



  



 泝 沴

將沴3得12 3

x   沊 y 3 由泝 沊 得14

x  7 x2 代入①得 3

1 4

  y y 1

∴聯立方程式的解為x2、y 1

解聯立方程式

1 2 1 3 1

7 x y

x y

   



  



 泝 沴

將沴2得6 2

x  沊 y 14 由沊 泝 得5

x 15 1 x 3 代入②得 1

9 7

  y 1

y  2 1 y 2

∴聯立方程式的解為 1

x 、3 1 y 2

若方程組 3 4

13 x y ax by

  

  

 與 7

3 12 ax by

x y

 

  

 有相同

的解,試求ab之值。

先解 3 4

3 12 x y

x y

   

  

 泝 沴

由沴 3 泝得8x40x 5 代入②得15 y 12y 3

再將x 、5 y 代入含3 ab的方程式 得 5 3 13

5 3 7 a b a b

  

  

 沊 沝

由沊 + 沝得10a20a2 代入③得10 3 b13b1

a2、b1

若 方 程 組 3 2 5 1 x y bx ay

 

   

 與 2 3 12

4 x y ax by

 

  

 有 相

同的解,試求ab之值。

先解 3 2 5 2 3 12

x y x y

  

  

 泝

由泝 3213x39x3 代入①得9 2 y 5 y  2

再將x3y  代入含2 ab的方程式 得 2 3 1

3 2 4 a b a b

   

  

 沊 沝

由沊 235a10a2 代入③得 4 3b 1b1

a2、b1

演練

例題 4 加減消去法 4

演練

例題 5 方程組相同解的意義 5

(4)

已知香蕉每公斤 20 元、蘋果每公斤 50 元,

若兩種水果總共買了10 公斤,花了 320 元,

試求香蕉、蘋果各買幾公斤?

設香蕉買x公斤,蘋果買y 公斤

則 10

20 50 320 x y

x y

  

  

 泝

沴 由①得y10 x

代入②得20x50(10x) 320 30x 180x6 代入①得y 4

∴香蕉買6 公斤,蘋果買 4 公斤

有一個二位數,其十位數字和個位數字的和 為 15,若將十位數字和個位數字對調,則新 數比原數小9,試求原數。

設原數之十位數字為x,個位數字為y

則 15

10 (10 ) 9 x y

x y y x

  

    

 15

1 x y x y

  

  

 泝 沴

由泝 + 沴得2x16x8 代入①得y 7

∴原數為87

重點二 三元一次聯立方程式的解法 1. 三元一次聯立方程式

abcd為實數,且abc不同時為 0,則含有三個未知數xy 、 z 且形如 0

ax by cz d    或 ax by cz d   的方程式,稱為xy 、 z 的三元一次方程式。由兩 個或多個三元一次方程式並列組合而成的方程式,我們稱為三元一次聯立方程式或三元 一次方程組。

2. 三元一次聯立方程式的解法 (1)代入消去法。

(2)加減消去法。

演練

例題 6 二元一次聯立方程式應用問題 6

(5)

二元一次不等式及其應用

試解方程組

5 2 7

4 5

3 2 2 10 x y z x y z

x y z

   

    

   

 泝 沴

 2

泝 沴 得3x3y  沝 3

泝 沊得4x3y 沀 17

沝 沀得7x14x2 代入⑤得8 3 y17y 3 代入②得2 12   z 5z 5

∴方程組的解為x2y 、3 z 5

試解方程組

2 3 8

2 2 3

2 3 9 x y z x y z x y

   

   

  

 泝 沴 沊

 3

泝 沴 得7x4y 沝 17

4 3

  

沊 沝 得29x87x3 代入③得6 3 y 9 y 1 代入②得6 2  z 3z 1

∴方程組的解為x3y 、1 z 1

試解方程組

1 1 5 1 1

7 1 1 6 x y

y z

x z

  



  



  









 

泝 沴 沊得 1 1 1 2( ) 18

x y z

1 1 1

x   沝 y z 9

沝 泝得1

z  4 1 z 4

沝 沴得1

x  2 1 x 2

沝 沊得1

y  3 1 y 3

∴方程組的解為 1

x 、2 1

y 、3 1 z 4

試解方程組

4 2 8 x y y z x z

  

  

  







泝 沴 沊

 

泝 沴 沊得2(x y z  ) 14 x y z   沝 7

沝 泝得z3

沝 沴得x 5

沝 沊得y  1

∴方程組的解為x 、5 y  、1 z3 演練

例題 7 三元一次聯立方程式 7

演練

例題 8 三元一次聯立方程式 8

(6)

已知三數和是 54,若第一數除以第二數得商 為 3,餘數為 2;第二數除以第三數得商為 1,餘數為 3,試求此三數的積。

設三數依序為xy 、 z

54 3 2

3 x y z x y y z

   

  

  







泝 沴 沊

將③代入②得x3z 沝11 得③、④代入①得

(3z11) (   z 3) z 54

5z40z8 代入③得y 11 代入②得x35

∴三數之積為8 11 35 3080  

有一工程甲、乙、丙三人合做需 5 天才能完 成,若只有甲、乙二人合做需 10 天才能完 成,若由甲先做9 天,剩下由乙獨做還需 12 天才能完成,試求由甲、乙、丙獨做各需幾 天才能完成。

設甲、乙、丙各需獨做xy 、z 天可完 成一工程

則甲、乙、丙各自獨做一天可完成1 x、1

y、 1

z工程

5 5 5 1 10 10

1 9 12 1 x y z

x y x y

   



  



  









泝 沴 沊 由泝 2 沴得10

z  1 z10

6 5

  

沴 沊 得15

x  1 x15 代入②得10 10

15 y  1 y30

故由甲、乙、丙獨做各需15 天、30 天、

10 天可以完成。

演練

例題 9 三元一次聯立方程式應用問題 9

(7)

二元一次不等式及其應用

重點三 二元一次聯立方程式的幾何圖形 1. 二元一次方程式

二元一次方程式ax by c   的圖形為一直線。 0 2. 二元一次方程組的幾何意義

設二元一次方程組 1 1 1

2 2 2

0 0 a x b y c a x b y c

  

   

 ,其中a 、1 b 不同時為 0,且1 a 、2 b 不同時為 0。 2 令直線L :1 a x b y c11   ,直線1 0 L :2 a x b y c222  ,則 0

(1)當 1 1

2 2

a b

ab 時,直線L 與1 L 相交於一點,方程組恰有一組解,稱為相容方程組(如圖2 一)。

(2)當 1 1 1

2 2 2

a b c

abc 時,直線L 與1 L 重合,方程組有無限多組解,稱為相依方程組(如圖2 二)。

(3)當 1 1 1

2 2 2

a b c

abc 時,直線L 與1 L 平行,方程組無解,稱為矛盾方程組(如圖三)。 2

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x2y 的圖形。 6

x 0 2

y 3 0

在坐標平面上畫出二元一次方程式 4 0

xy 的圖形。

x 0 4 y 0 1

圖一 圖二 圖三

演練

例題 10 二元一次方程式的圖形 10

(8)

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 3 6

2 x y x y

 

  

 的圖形,並求

(1)二元一次聯立方程式圖形的交點坐標。

(2)二元一次聯立方程式圖形與x軸所圍成的 面積。

x 0 6

y 2 0 x 0 2 y  02

∴二元一次聯立方程式 3 6

2 x y x y

 

  

的圖形為交於一點(3,1) 的兩條直線。

(1) 3 6 2 x y x y

  

  





泝 沴

泝 沴得 4y 4 y 1 代入②得x 1 2x3 ∴交點坐標為(3,1)

(2)與x軸所圍成的面積 1

4 1 2

    2

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2 3 6

3 x y x y

  

   

 的圖形,並求

(1)二元一次聯立方程式圖形的交點坐標。

(2)二元一次聯立方程式圖形與y 軸所圍成的 面積。

x 0 3

y 2 0 x 0 3 y 3 0

∴二元一次聯立方程式 2 3 6 3 x y x y

  

   

的圖形為交於一點( 3,0) 的兩條直線。

(1) 2 3 6 3 x y x y

   

   





泝 沴

 3

泝 沴 得5x 15x 3 代入②得    3 y 3 y 0 ∴交點坐標為( 3,0)

(2)與y 軸所圍成的面積 1 15 2 5 3 2

    演練

例題 11 二元一次聯立方程式的圖形 11

(9)

二元一次不等式及其應用

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2

2 2 4 x y

x y

  

  

 的圖形。

x 0 2

y  0 2 x 0 2 y  02

∴二元一次聯立方程式 2

2 2 4 x y

x y

  

  

 的圖形為兩條重合的直線。

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式

2 2

4 2 4 x y x y

  

  

 的圖形。

x 0 1

y 2 0 x 0 1

y 2 0

∴二元一次聯立方程式 2 2

4 2 4 x y x y

  

  

 的圖形為兩條重合的直線。

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式

3 3

6 2 12 x y x y

  

  

 的圖形。

x 0 1

y 3 0 x 0 2

y 6 0

∴二元一次聯立方程式 3 3

6 2 12 x y x y

  

  

 的圖形為兩條平行的直線。

在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2 2

2 4 8 x y

x y

  

  

 的圖形。

x 0 2

y 1 0 x 0 4 y  02

∴二元一次聯立方程式 2 2

2 4 8 x y

x y

  

  

 的圖形為兩條平行的直線。

演練

例題 12 二元一次聯立方程式的圖形 12

演練

例題 13 二元一次聯立方程式的圖形 13

(10)

試判斷下列各方程組中兩條直線相交的情形 及方程組解的個數。

(1) 3 2 6 0 2 4 0

x y x y

  

   

 (2) 2 4 0

2 4 8 0 x y

x y

  

   

(3) 3 9 6 2 12

x y x y

  

  

 。

(1)∵3 2 2 1



∴兩條直線交於一點,方程組恰有一組 解。

(2)∵1 2 4 2 4 8

  

∴兩條直線重合,方程組有無限多組 解。

(3)∵3 1 9 6 2 12

∴兩條直線平行,方程組無解。

試判斷下列各方程組中兩條直線相交的情形 及方程組解的個數。

(1) 2 3 0 2 4 6 0 x y

x y

  

   

 (2)

3 4 1 0 3 2 5 0 2

x y x y

  



   



(3) 2 3 1 0 6 9 4 0

x y x y

  

   

 。

(1)∵ 1 2 3 2 4 6

 

 

∴兩條直線重合,方程組有無限多組 解。

(2)∵ 3 4 3 2 2

 

∴兩條直線交於一點,方程組恰有一組 解。

(3)∵2 3 1 6 9 4

  

∴兩條直線平行,方程組無解。

演練

例題 14 二元一次聯立方程式的幾何意義 14

(11)

二元一次不等式及其應用

已知二元一次方程組 2 3 6

x by x y c

 

  

 的圖形為兩

條直線重合,試求3b c 之值。

∵兩條直線重合

∴2 3

6 1 b

c

 

 1

b  、3 c9

3b c 8

已知二元一次方程組 2 3

3 9

ax y x by

 

  

 有無限多組

解,試求a b 之值。

∵方程組有無限多組解

∴ 2 3

3 9

a

  b

a1、b6

a b 7

設兩直線L : 41 x ay   , 8 L :2 ax9y12

(1)若L 與1 L 平行,試求2 a之值。

(2)若L 與1 L 重合,試求2 a之值。

4 9 a a

 

a2 36a 6

(1)當a6時,4 6 8 6 9 12

 

 

L 與1 L 平行 2

(2)當a 6時, 4 6 8 6 9 12

  

 

L 與1 L 重合 2

設二元一次方程組 2 4

2 4

kx y x ky

 

  

 ,

(1)若方程組無解,試求k之值。

(2)若方程組有無限多組解,試求k之值。

2 2 k

k

k24k 2

(1)當k  2時, 2 2 4 2 2 4

  

方程組無解

(2)當k 2時,2 2 4 2  2 4

方程組有無限多組解

演練

例題 15 二元一次聯立方程式的幾何意義 15

演練

例題 16 二元一次聯立方程式的幾何意義 16

(12)

自我 評量 評量

自我

1 1. 二元一次聯立方程式 15 2 3 5 x y

x y

  

   

 之解為x 8 ,y 7 。

2 2. 二元一次聯立方程式 5 8 33 3 4 11

x y x y

 

  

 之解為x 5 ,y 1 。

3 3. 設xy 為實數,已知聯立方程式

2 3 7

3 5

9 x y x y ax y

 

  

  

有解,則a 4 。

4 4. 聯立方程式

3 2 1 1 1 2 x y

x y

  

 

   



的解為x 1 ,y 1 。

5 5. 若方程組 3 2 5

2 5

x y ax by

 

  

 與 2 0

2 3 1 ax by

x y

 

   

 有相同的解,則a b  1 。

■ 對應例題

(13)

二元一次不等式及其應用

02

自我 評量 評量

自我

二元一次不等式及其應用

6 6. 有一件工程,若由甲、乙二人合做,則 10 天可完成,若先由甲一人做 6 天,剩下由乙去 做,則還須18 天才可完成。若由甲一人獨做,須 15 天才能完成。

7 7. 解方程組

2 9 8

3 2 9

3 4 5

x y z

x y z x y z

  

   

   

,得y 2 。

8 8. 解方程組

1 1 4 1 1

5 1 1 6 x y

y z

x z

  



  



  



,則5x6y7z 8 。

9 9. 某餐廳有 A 、 B 、C三種套餐,小明訂2 個 A 套餐,2 個 B 套餐,總共 2000 元;小華訂 3 個 A 套餐、1 個 B 套餐,總共 2400 元;小花訂 1 個 A 套餐、1 個 B 套餐和 2 個C套餐,

總共3200 元,則訂 1 個C套餐需要 1100 元。

(14)

自我 評量 評量

自我

10 10. 坐標平面上二元一次方程式 5x2y   的圖形不通過第10 四 象限。

11 11. 二元一次聯立方程式 2 4 3 9 x y x y

  

  

 的圖形與y 軸所圍成的面積為 21 2 。

14 12. 方程組 3 2 1 0 6 4 2 0

x y x y

  

   

 之解的個數有 1 個。

15 13. 設兩直線L :1 ax4y b  與2 L : 32 x2y a ,若L 與1 L 重合,則2 a b  4 。

16 14. 設聯立方程式 2 3 2 ( 3) 6 kx y

x k y

 

   

 ,

(1)若方程組無解,則k 4 。

(2)若方程組有無限多組解,則k 1 。

(15)

二元一次不等式及其應用

2-2 二元一次不等式

重點一 二元一次不等式的圖解 1. 二元一次不等式的解

abc為實數,且ab不同時為 0,則形如ax by c   、0 ax by c   、0 0

ax by c   、ax by c   的不等式,均稱為二元一次不等式。滿足二元一次不等式0 的實數對( , )x y 稱為二元一次不等式的解。

2. 二元一次不等式的圖形解:

(1)左、右側半平面:

設直線L :ax by c   ,且0 a0,則

ax by c  的圖形為直線 L 的右側半平面(如圖一)。 0

ax by c  的圖形為直線 L 及直線 L 的右側半平面(如圖二)。 0

ax by c  的圖形為直線 L 的左側半平面(如圖三)。 0

ax by c  的圖形為直線 L 及直線 L 的左側半平面(如圖四)。 0

ax by c   (0 a0) ②ax by c   (0 a0)

ax by c   (0 a0) ④ax by c   (0 a0) 圖二

圖一

小叮嚀

1. 若a0,可以將二元一次不等式兩邊同乘以1,使得x項係數為正。

2. 若二元一次不等式的圖形包含直線L,則直線L以實線畫出,若圖形不 包含直線L,則直線L以虛線畫出。

(16)

(2)上、下方半平面

設直線L : y k ,其中k為常數,則

y k 的圖形為直線 L 的上方半平面(如圖五)。

y k 的圖形為直線 L 及直線 L 的上方半平面(如圖六)。

y k 的圖形為直線 L 的下方半平面(如圖七)。

y k 的圖形為直線 L 及直線 L 的下方半平面(如圖八)。

① ②

③ ④

3. 同側或異側判別法

已知直線L :ax by c   及相異兩點0 A x y 、( , )1 1 B x y , ( ,2 2) (1)若 A 、 B 在 L 的異側,則(ax1by1c ax)( 2by2  。 c) 0 (2)若 A 、 B 在 L 的同側,則(ax1by1c ax)( 2by2  。 c) 0

(3)若AB 與 L 相交(異側或線上),則(ax1by1c ax)( 2by2  。 c) 0 圖八

圖七

圖六 圖五

(17)

二元一次不等式及其應用

圖示下列各不等式的解:

(1)2x y   (2)4 0 x3y 。 0 (1) x 0 2

y 4 0

(2) x 0 3

y 0 1

圖示下列各不等式的解:

(1)2x3y (2) 30  x 2y  。 6 0 (1) x 0 3

y 0  2

(2)原式 3x2y  6 0 x 0 2

y 3 0

演練

例題 1 二元一次不等式 1

(18)

圖示下列各不等式的解:

(1)2x4 (2) 2 3 1

yx (3) x 2y 3 2x y  。 3

(1)原式x 2

(2)原式3y2x  23 x3y  3 0

(3)原式 3x3y  6 0 x y   2 0

圖示下列各不等式的解:

(1)3x 9 0 (2) 3 2 3

y  x (3) 2x y     。 2 x y 2

(1)原式x 3 0

(2)原式 2y    33x 6 x2y  6 0

(3)原式x2y  4 0

演練

例題 2 二元一次不等式 2

(19)

二元一次不等式及其應用

xy 為正整數,則滿足不等式 3x2y12的解共有多少組?

∴滿足不等式3x2y12的正整數解 有7 組

【另解】 x 1 2 3

y 1,2,3,4 1,2 1 ∴滿足不等式3x2y12的正 整數解有7 組

xy 為正整數,則滿足不等式x y 4 的解共有多少組?

∴滿足不等式x y  的正整數解 4 有6 組

【另解】 x 1 2 3

y 1,2,3 1,2 1 ∴滿足不等式x y  的正整 4 數解有6 組

圖示下列不等式的解:

(1)y (2)2 y  。 4 (1)

(2)

圖示下列不等式的解:

(1)y (2)3 y  。 1 (1)

(2)

演練

例題 3 二元一次不等式 3

演練

例題 4 二元一次不等式 4

(20)

試判別下列各組點在直線L :2x y  4 0 的同側或異側:

(1) ( 3,1)A  、B(2,5) (2) ( 1,3)C  、D( 2,2) (1)將 ( 3,1)A  、B(2,5)代入直線L

得( 6 1 4)(4 5 4) 0      ∴A 、 B 在直線 L 的異側

(2)將 ( 1,3)C  、D( 2,2) 代入直線L 得( 2 3 4)( 4 2 4) 0       ∴CD 在直線 L 的同側

試判別下列各組點在直線L :x3y 2 0 的同側或異側:

(1) (6, 1)P  、 ( 1,2)Q  (2) ( 2,1)R  、S(1,1) (1)將 (6, 1)P  、 ( 1,2)Q  代入直線L

得(6 3 2)( 1 6 2) 0      ∴P 、Q 在直線 L 的同側 (2)將 ( 2,1)R  、S(1,1)代入直線L 得( 2 3 2)(1 3 2) 0      ∴R 、S在直線L 的異側

A(1,1)、B( 2,2) 在直線L :x3y k 0 的同側,試求k的範圍。

∵ A 、 B 在直線 L 的同側

∴(1 3 k)( 2 6  k) 0

 (k2)(k  8) 0

k 8或k2

A k( ,1)、B(3, )k 在直線 L :x2y 5 0 的異側,試求k的範圍。

∵ A 、 B 在直線 L 的異側

∴(k 2 5)(3 2 k  5) 0

(k3)(2k2) 0

1 k 3

演練

例題 5 同側、異側 5

演練

例題 6 同側、異側 6

(21)

二元一次不等式及其應用

重點二 二元一次聯立不等式的圖解 1.二元一次聯立不等式

將兩個或兩個以上的二元一次不等式並列在一起,稱為二元一次聯立不等式。

2. 二元一次聯立不等式的圖解

二元一次聯立不等式的解必須是同時滿足所有列出的不等式,所以二元一次聯立不等式 的圖解,就是聯立不等式中各不等式圖形的共同部分。

圖解二元一次聯立不等式 2 4 0 3 0 x y x y

  

   

 。

(1)先作直線L :1 2x y   4 0

則2x y   為直線4 0 L 及1 L 的左半 1 平面

(2)再作直線L :2 x y   3 0

x y   為直線3 0 L 及2 L 的右半 2 平面

(3)取(1)(2)重疊區域即為二元一次聯立不 等式 2 4 0

3 0 x y x y

  

   

 的解,如下圖所示

圖解二元一次聯立不等式 3 2 6 4 x y x y

 

  

 。

(1)先作直線L :1 3x2y  6

則3x2y 為直線6 L 及1 L 的右半 1 平面

(2)再作直線L :2 x y  4

x y  為直線4 L 及2 L 的右半平面 2 (3)取(1)(2)重疊區域即為二元一次聯立不 等式 3 2 6

4 x y x y

 

  

 的解,如下圖所示

小叮嚀

若二元一次聯立不等式沒有共同部分,則此二元一次聯立不等式無解。

演練

例題 7 二元一次聯立不等式 7

(22)

圖解下列二元一次聯立不等式:

(1) 2 2 0 2 4 0 x y

x y

  

   

 (2) 3 6 0

3 3 0 x y

x y

  

   

 。

(1)

x2y  的圖解為直線 2 0 x2y  及其右半平面 2 0 且x2y  的圖解為直線 4 0 x2y  及其左半平面 4 0 ∴聯立不等式 2 2 0

2 4 0 x y

x y

  

   

 的解為

中間陰影部分 (2)

∵3x y   的圖解為直線 6 0 3x y   及其左半平面 6 0 且3x y   的圖解為直線 3 0 3x y   及其右半平面 3 0 ∴無重疊部分

故聯立不等式 3 6 0

3 3 0

x y x y

  

   

 無解

圖解下列二元一次聯立不等式:

(1) 4 3 12 4 3 0

x y x y

 

  

 (2) 4

1 x y x y

  

   

 。

(1)

∵4x3y12的圖解為直線 4x3y12及其左半平面 且4x3y 的圖解為直線 0 4x3y 及其右半平面 0 ∴聯立不等式 4 3 12

4 3 0 x y x y

 

  

 的解為

中間陰影部分 (2)

x y  的圖解為直線 4 x y  及其右半平面 4 且x y   的圖解為直線 1 x y   及其左半平面 1 ∴無重疊部分

故聯立不等式 4

1 x y x y

  

   

 無解

演練

例題 8 二元一次聯立不等式 8

(23)

二元一次不等式及其應用

圖解二元一次聯立不等式 0

0

2 4 0 2 4 0 x

y x y

x y

 

 

   

   

圖解二元一次聯立不等式 0

1 5

2 3 6 0 x

y x y

 

  

   

求聯立不等式

0 4

2 6

6 x x y x y

  

  

  

所圍成的區域面

積。

∴圍成的面積 1

12 4 24

   2

求不等式組 0

2

2 4 0

x y

x y

 

  

   

所圍成的區域面

積。

∴圍成的面積 1

3 6 9

    2

演練

例題 9 二元一次聯立不等式 9

演練

例題 10 二元一次聯立不等式圍成區域面積 10

(24)

自我 評量 評量

自我

1 1. 不等式 3x2y  解的圖形不通過第6 0 二 象限。

2 2. 若不等式 3

y4x k 的圖形包含點 ( 4,1) ,則k的範圍為 k4 。

3 3. 二元一次不等式 4x3y16 0 的正整數解共有 7 組。

5 4. ( D ) 下列哪一點與點 (2,1)A 在直線L :5x2y  的同側? (A) ( 1,3)7 0  (B)( 3, 4)  (C) ( 2, 1)  (D) (0,3) 。

6 5. 設 (5, 3)P  、 ( 3,1)Q  兩點在直線x y k   的異側,則0 k的範圍為   2 k 2 。

■ 對應例題

(25)

二元一次不等式及其應用

02

自我 評量 評量

自我

二元一次不等式及其應用

7 6. 二元一次聯立不等式 2 3 6 2 0 x y x y

  

  

 的圖形不通過第 一 象限。

7 7. 已知點 (3, )P k 為二元一次聯立不等式 2 4 0 3 7 0

x y x y

  

   

 的解,則k的範圍為

2 k 10

   。

10 8. 在坐標平面上,不等式方程組y x  ,2 x0,y 的區域面積為0 2 。

10 9. 在坐標平面上,滿足不等式組 5x2y180,x y 45,x0y 的區域面積為0 945 。

10 10. 在坐標平面上,聯立不等式

3 6

9 3 6 x x y x y

  

  

  

所圍成的區域面積為 12 。

(26)

2-3 線性規劃

重點一 線性規劃 1. 線性規劃

線性規劃是在二元一次聯立不等式的條件下,求得線性函數 f x y 的最大值與最小值。( , )

2. 線性規劃的解法

(1)畫出二元一次聯立不等式的圖形,找出可行解區域。

(2)求出可行解區域的頂點坐標。

(3)將頂點坐標代入目標函數 ( , )f x y 求值,所得之最大函數值即為最大值,最小函數值即 為最小值。

在同時滿足 x0y , 30 y2x 的所6 有 點( , )x y 中,試求 ( , ) 2f x yx y 的最大 值。

( , )x y (0,2) ( 3,0) (0,0) 2x y 2 6 0

f x y 的最大值為 2 ( , )

xy 滿足不等式2 x 5,x y  ,8 0

y ,試求 ( , ) 2f x yx y 的最小值。

( , )x y (2,0) (5,0) (5,3) (2,6) 2x y 4 10 7 2

f x y 的最小值為 2( , ) 

小叮嚀

1. 在坐標平面上,滿足這個二元一次聯立不等式的區域,稱為可行解區域。

2. 線性函數 f x y( , )稱為目標函數。

3. 在可行解區域中使目標函數 f x y( , )有最大值、最小值的點( , )x y ,稱為最佳解。

小叮嚀

若為應用問題,則依題意的條件限制列出聯立不等式及目標函數。

演練

例題 1 求目標函數最大值、最小值 1

(27)

二元一次不等式及其應用

在不等式組 0 0 2 20 3 30

x y x y

x y

 

 

  

  

的限制條件下,試求

( , )

f x y   的最大值。 x y

2 20 3 30 x y

x y

 

  

  ( , ) (8,6)x y  ( , )x y (0,0) (10,0) (8,6) (0,10)

x y 0 10 2 10

f x y 的最大值為 10 ( , )

在不等式組

0

2 2 0

2 3 6 0 y

x y x y

 

   

   

的限制條件下,

試求 f x y( , )  的最大值與最小值。 x y

( , )x y ( 1,0) (3,0) (0,2)

x y 1 3 2

f x y 的最大值為 3, ( , ) 最小值為 1

演練

例題 2 求目標函數最大值、最小值 2

(28)

某工廠用甲、乙兩種不同原料均可生產同一 產品,若採用甲種原料,每公斤成本 400 元,運費20 元,可得產品 4 公斤;若採用乙 種原料,每公斤成本100 元,運費 30 元,可 得產品5 公斤,預算成本不得超過 4000 元,

運費不得超過 600 元之條件下,此工廠每日 最大產量為多少公斤?

設採用甲種原料x公斤,乙種原料y 公斤

甲 乙

成本 400 100 4000 運費 20 30 600

產量 4 5

在 0 0

400 100 4000 20 30 600 x

y

x y

x y

 

 

  

  

 0 0 4 40 2 3 60 x

y x y x y

 

 

  

  

條件限制下,求 f x y( , ) 4 x5y之最大值

4 40 2 3 60

x y x y

  

  

 交點 (6,16)

( , )x y (0,0) (10,0) (6,16) (0,20) 4x5y 0 40 104 100

∴當採用甲原料6 公斤,乙原料 16 公斤 最大產量104 公斤

老王有 4 甲農地,若在田地種水稻每甲地產 量為 8000 公斤,種花生每甲地產量 2000 公 斤,但種水稻的成本每甲地須 12000 元,種 花生每甲地須4000 元,且水稻每公斤可賣 6 元,花生每公斤可賣 10 元,現在老王只有 40000 元,試問老王要如何分配耕種農地,

才能有最大收入?

設種水稻x甲、花生y 甲

則在 0 0

12000 4000 40000 4

x y

x y

x y

 

 

  

  

條件限制下

f x y( , ) 8000 6  x2000 10 y 48000 x20000y的最大值

( , ) 48000 20000 f x yxy

(0,4) 80000

f

(3,1) 164000

f

(10,0) 160000 f 3 

∴種水稻3 甲、花生 1 甲,

最大收益164000 元

演練

例題 3 線性規劃 3

(29)

二元一次不等式及其應用

某汽車公司有兩家裝配廠,生產甲、乙兩種 不同型的汽車,若 A 廠每小時可完成 1 輛甲 型車與3 輛乙型車;B 廠每小時可完成 2 輛甲 型車與1 輛乙型車。今若欲製造 40 輛甲型車 與30 輛乙型車,應如何分配工作,方能使工 作總時數最少?

設 A 廠工作x小時,B 廠工作 y 小時 A B

甲 1 2 40 乙 3 1 30

在 0 0 2 40 3 30 x

y x y

x y

 

 

  

  

條件限制下

f x y( , )  之最小值 x y

2 40 3 30 x y

x y

 

  

 交點 (4,18) ( , )x y (0,30) (4,18) (40,0)

x y 30 22 40

∴當A 廠工作 4 小時, B 廠工作 18 小時 工作總時數最少22 小時

為預防禽流感,養雞場的主人須由飼料中提 供至少44 單位的營養素 A,及至少 72 單位的 營養素 B 給他的雞群。這兩種營養素可由 甲、乙兩種飼料中獲得,且知甲飼料每公斤 6 元並含有 8 單位的營養素 A,4 單位的營養B;乙飼料每公斤5 元並含有 2 單位的營養 素A,6 單位營養素 B。試問養雞場主人如何 以最少飼料成本來達到雞群的營養需求?

設使用甲飼料x公斤,乙飼料y 公斤 甲飼料 乙飼料

營養素A 8 2 44 營養素B 4 6 72

飼料售價 6 5

條件限制

0 0

8 2 44 4 6 72

x y

x y

x y

 

  

  

目標函數 f x y( , ) 6 x5y最小值

8 2 44 4 6 72

x y x y

 

  

  ( , ) (3,10)x y  ( , )x y (0,22) (3,10) (18,0) 6x5y 110 68 108

∴當甲飼料用3 公斤、乙飼料 10 公斤,

最少費用68 元

演練

例題 4 線性規劃 4

(30)

自我 評量 評量

自我

1 1. 滿足不等式

0 4

0 3

2 6

x y x y

  

  

  

的條件下,求 f x y( , ) 4 x3y的最大值為 15 。

1 2. 滿足聯立不等式

0 0

20 10

x y

x y x y

 

  

   

的條件下,則 f x y( , ) 3 y x 的最大值為 40 。

2 3. 設點 ( , )x y 滿足不等式組

3

2 4

0 0

x y x y

x y

  

  

  

 ,

,若 f x y( , ) 4 x3y12的最大值為M ,最小值

m,則M m  34 。

2 4. 在x0, y , 30 x y 30,x2y20的條件下,函數 f x y( , )  的最小值為x y 14 。

■ 對應例題

(31)

二元一次不等式及其應用

02

自我 評量 評量

自我

二元一次不等式及其應用

3 5. 在面積 3000 平方公尺的建築用地上,以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不 同形式的住宅;已知甲種每戶佔地200 平方公尺,造價 400 萬元,可獲利 200 萬元;乙 種每戶佔地300 平方公尺,造價 100 萬元,可獲利 250 萬元。則在此建地建築甲、乙兩 種住宅,總共最多可獲利 2600萬 元。

4 6. 有甲、乙兩種食物,甲每份含 A 營養素 7 單位,B 營養素 3 單位;乙每份含 A 營養素 2 單位、B 營養素6 單位,又甲食物每份價格 12 元,乙食物每份價格 10 元,已知每人一 天至少須要A 營養素84 單位,B 營養素 72 單位,若要能夠獲得足夠的營養,費用最少 要 190 元。

(32)

* 表示進階題

【2-1】

( A ) 1. 設xy 為實數,若(3x2y13)2(2x5y4)2  ,則0 x y 之值為何? (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 5。

( B ) 2. 若二元一次聯立方程式 3 9 ax by ax by

 

  

 的解為x4y ,則3 2a b 之值為何?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( D ) 3. 已 知 2 3 2 x y x y

 

  

 , 若 令 x a b y c d

 

 

 

  

 , 則b c  ? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 。

( B ) 4. 解方程組

1 1 2 3 2

1 x y

x y

  



  



,則x y ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( B ) 5. 若方程組 2 3 2 x y ax by

 

  

 與 3 2 1

2 1

ax by x y

 

  

 有相同的解,則a b ? (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2。

( C ) 6. 某班同學開慶生會,共吃掉點心 32 份,其中男生每人吃兩份,女生每 3 人合吃一 份,已知該班學生共有36 人,則下列敘述何者正確? (A)女生人數是男生人數的 3 倍 (B)男生人數不到 10 人 (C)女生人數超過 20 人 (D)男生人數超過 15 人。

( A ) 7. 解聯立方程式

3 6

2 3 22 13 22 x y z

x y z x y z

   

    

    

,可得y ? (A) 80 (B) 104 (C) 210

(D) 240。

( D ) 8. 設三數之和為 36,且第二數為第一數的二倍,第三數除以第二數,得商為 2,餘數 為1,則第三數為何? (A) 5 (B) 10 (C) 18 (D) 21。

( D ) 9. 下列各方程組何者無限多組解? (A) 2 3 4 0 3 2 1 0

x y x y

  

   

 (B) 2 3 0

2 3 0 x y

x y

  

   

(C) 1

3 2 2 3 1

x y

x y

  



  

(D)

1 2 3

3 6

x y x y

  



  

(33)

二元一次不等式及其應用

( C ) 10. 若方程組 ( 1) 3 6

4 8

k x y x ky

  

   

 無解,則k之值為何? (A) 4 (B)3 (C) 3 (D) 4。

( A ) 11. 求二元一次聯立方程式 4 0 2 0 x y

x y

  

   

 的圖形與y 軸所圍成的面積為何? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 9。

【2-2】

( B ) 12. 右圖為下列哪一個不等式的圖形?

(A)y2x (B)2 y2x 2 (C)y2x (D)2 y2x 。 2

( B ) 13. 設xy 為正整數,則滿足不等式 2x3y12的解共有多少組? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10。

( D ) 14. 下 列 哪 一 點 與 原 點 在 直 線 L :5x2y  的 同 側 ? (A) (1,5) (B) ( 1,1)4 0  (C) ( 2, 3)  (D) (1,3) 。

( A ) 15. 若點 ( ,1)A kB( 2,3) 在直線L : 2x3y  的異側,則7 0 k的範圍為何?

(A)k 2 (B)k 2 (C)k 2 (D)k2。

( B ) 16. 已知點 (2, 3)A  、 (1, 2)B  ,若 AB 與直線 L :x2y k  相交,則0 k的範圍為何?

(A)3 k 4 (B)3 k 4 (C)k 4或k3 (D)k4或k3。 ( A ) 17. 滿足不等式 2 4 0

3 2 6 0 x y

x y

  

   

 之解的圖形不通過第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。

( C ) 18. 右圖為下列哪一個聯立不等式的圖形?

(A)

2 2 0

0 2 0 x y x y y

  

  

  

(B)

2 2 0

0 2 0 x y x y y

  

  

  

(C)

2 2 0

0 2 0 x y x y y

  

  

  

(D)

2 2 0

0 2 0 x y x y y

  

  

  

( C ) 19. 求聯立不等式 0

0 6

12 x

y x y

 

  

  

所圍成的區域面積為何? (A) 36 (B) 48 (C) 54

(34)

( A ) 20. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組x0, y ,0 x y   , 37 0 x y 15 0 之區 域,則R 之面積為何? (A) 21.5 (B) 22.5 (C) 23.5 (D) 24.5。

【2-3】

( C ) 21. 在坐標平面上,若不等式組

0 0

6

2 8

x y

x y x y

 

  

  

所圍區域為R ,則 ( , )f x y  2x3yR

上的最大值為何? (A) 0 (B) 8 (C) 18 (D) 20。

( C ) 22. 已知xy 滿足聯立不等式 0

1 1 y

x y x y

 

  

   

,則 f x y( , ) x 2y的最小值為何? (A)3

(B) 2 (C) 1 (D) 0。

( B ) 23. 已知xy 為實數且滿足不等式x0,y , 40 x3y18,x3y ,則9 x y 的最小值為何? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9。

( B ) 24. 在二元一次聯立不等式

0 0

3

2 4

x y

x y x y

 

  

  

的條件下,函數 f x y( , ) 5 x6y的最大值為

何? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20。

( C ) 25. 在聯立不等式

120 20 10 x y x y

  

 

 

的條件下,若 f x y( , ) 20 x10y的最大值為M ,最小值

m,則M m  ? (A) 500 (B) 1250 (C) 1800 (D) 2300。

( C ) 26. 若 R 為坐標平面上滿足不等式組2 x 5,x y   ,8 0 x3y  之區域,則5 0 ( , ) 2 4

f x yx y  在 R 上之最大值為何? (A) 7 (B) 11 (C) 14 (D) 16。

( D ) 27. 毛線織成的手套有兩種款示,甲款式用紅色毛線 50 公尺,白色毛線 40 公尺,可賺 50 元;乙款式用紅色毛線 20 公尺,白色毛線 40 公尺,可賺 30 元。現有紅色毛線 900 公尺,白色毛線 1200 公尺,若毛線全用來織甲、乙兩款手套,最多可賺多少 元? (A) 950 (B) 1000 (C) 1050 (D) 1100。

(35)

二元一次不等式及其應用

* 表示進階題

【2-1】

*( D ) 1. 已知方程組 1 2 1 1

4 5 2

x y   x  y 的解為( , )a b ,求a b 之值 (A) 2 (B) 1

(C) 0 (D) 1。 【102 統測-B】

( A ) 2. 已知ab為實數,若 2 6 8 2 x y ax by

  

  

 與 3 5 4

2 ( ) 6 x y

ax a b y

  

   

 有相同的解,則

(a b )2  ? (A) 9 (B) 16 (C) 25 (D) 36。 【104 統測-B】

( A ) 3. 若 二 元 一 次 方 程 組 2 3 4 3 4 5

x y x y

  

  

 的 解 為 x a 、 y b , 則a b  ? (A) 23 17

(B) 21 17

 (C)21

17 (D)23

17。 【104 統測-C】

( A ) 4. 已知

2 3 2 4 9

1 x y

x y

  



   



,則下列何者正確? (A)x2,y (B)3 1

x ,2 1 y 3

(C)x3,y (D)2 1

x ,3 1

y 。 2 【改105 統測-B】

( B ) 5. 設

3 5 15

2 4 12

5 2 3

x y z x y z x y z

  

   

   

,則y ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 【107 統測-C】

【2-2】

( D ) 6. 已知點Q 為二元一次聯立不等式 2 3 6 0 5 4 20 0

x y x y

  

   

 圖形上的一點,則Q 之坐標可能為

下列何者? (A) ( 5,0) (B) ( 2,0) (C) (0,5) (D) (0,6) 。 【101 統測-B】

( B ) 7. 在坐標平面上,求二元一次聯立不等式 | 2 | 2

| 2 | 2 x y x y

 

  

 的解所圍成的區域面積為何?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。 【102 統測-A】

(36)

( C ) 8. 下列何者陰影區域為聯立不等式 2

2 3

x y x y

  

  

 之圖解?

(A) (B)

(C) (D)

【103 統測-A】

( A ) 9. 在坐標平面上,滿足聯立不等式

9 3 5 0 0 x y x y x y

  

  

 

 

區域的面積為何? (A)77

2 (B)79 2

(C)81

2 (D)83

2 。 【104 統測-A】

( A ) 10. 已知直線L 的方程式為 3x y k  。若平面上兩點 ( 1,1)P  、Q(2, 1) 分別在直線 L 的 左右側,則k的範圍為何? (A)  4 k 7 (B)  7 k 4 (C)7 k 或k 4

(D)4kk 7。 【104 統測-S】

( A ) 11. 若二元一次聯立不等式

0 1

0 y x y a x

  

  

 

,在坐標平面圍成的封閉區域為T ,且 T 的面積

為1

2,則a 之值為何? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【105 統測-A】

( A ) 12. 下列聯立不等式中,何者之圖解如圖陰影的部分?

(A) 1 0 x y x y

  

  

 (B) 1

0 x y x y

  

  

 (C) 1

0 x y x y

  

  

 (D) 1

0 x y x y

  

  

 。 【106 統測-A】

( A ) 13. 滿足二元一次不等式 2x3y12 0 的正整數解x

y ,所成的 ( , )x y 數對共有多少組? (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 15。

【107 統測-A】

(37)

二元一次不等式及其應用

( B ) 14. 坐標平面上滿足不等式

2 10

2 8 0 , 0 x y x y

x y

  

  

  

的區域面積為何? (A) 12 (B) 13 (C) 15

(D) 16。 【107 統測-C】

( A ) 15. 已知兩直線L :1 x2y  和3 0 L : 22 x y   ,若 A 、 B 二點在1 0 L 的異側且1 A 、C二點在L 的同側,其中 A 、 B 、2 C三點坐標分別為A( 2, ) kB k( ,3)和

( , )

C k k  ,則實數k的範圍為何? (A) 1 1 3 k 2

   或3 k 5 (B)1

2  k 5 (C) 1

k 3 或k3 (D)無解。 【108 統測-A】

( B ) 16. 有兩條直線L : 31 x5y 、2 L :2 x2y 將平面平3 分成四個區域,如圖所示,試問區域A 可用哪一組不 等式表示? (A) 3 5 2

2 3 x y x y

 

  

 (B) 3 5 2

2 3 x y x y

 

  

(C) 3 5 2 2 3 x y x y

 

  

 (D) 3 5 2

2 3 x y x y

 

  

 。

【108 統測-C】

【2-3】

( C ) 17. 若變數xy 滿足x y  、6 x3y  、2 x1,則2x3y的最小值為何?

(A) 17 (B) 14 (C) 5 (D) 3。 【101 統測-A】

( C ) 18. 在x0,y ,1 x y  的條件下, 2x y2  的最大值為何? (A) 2 (B) 1

(C) 1 (D) 2。 【101 統測-C】

( D ) 19. 某汽車公司擁有甲、乙兩家工廠,生產A 、 B 兩種不同的汽車,若甲廠每天可完成 10 台A 型的汽車與 20 台 B 型的汽車,乙廠每天可完成 30 台 A 型的汽車與 10 台 B 型 的汽車。如果公司要製造 150 台A 型汽車與 100 台 B 型汽車,則兩工廠各工作幾 天,才能使兩工廠所花費的工作天數之和最少? (A)甲廠 10 天,乙廠 10 天 (B)甲廠 1 天,乙廠 6 天 (C)甲廠 15 天,乙廠 0 天 (D)甲廠 3 天,乙廠 4 天。

【102 統測-A】

( C ) 20. 受制於 0 0

3

2 4

x y x y

x y

 

 

  

  

的條件下,求 f x y( , ) x 3y的最大值 (A)0 (B)7 (C)9

(D)12。 【102 統測-B】

(38)

( C ) 21. 在聯立不等式

0 6

2 2

x y y

x y

  

 

  

的條件下,若 f x y( , ) x 2y的最大值為M ,最小值為

m,則M m  ? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。 【106 統測-A】

( C ) 22. 若xy 滿足聯立不等式

2 8

3 9 0 , 0 x y x y

x y

  

  

  

,則 f x y( , ) 2 x3y的最大值為何? (A) 6

(B) 8 (C) 12 (D) 16。 【107 統測-A】

( C ) 23. 在滿足二元一次聯立不等式 1

0 3 4 x

y x y x y

 

 

  

  

的條件下。若3x5y的最大值及最小值分別

M 及m,則M m 之值為何? (A)9 (B) (C)4 3 (D) 3。 【107 統測-B】

( D ) 24. 某飼料工廠製造一包豬飼料需要大豆 5 公斤、玉米 2 公斤;製造一包雞飼料需要大 豆 2 公斤、玉米 3 公斤;此工廠共有大豆 200 公斤、玉米 180 公斤,若每包豬飼料 可獲利22 元,且每包雞飼料可獲利 44 元,試求其可獲得之最大利潤為何?

(A) 2310 元 (B) 2480 元 (C) 2560 元 (D) 2640 元。 【108 統測-A】

( C ) 25. 設 ( , )x y 滿足 y 、0 0 x 4、  2 x 2y ,試問 ( , )2 f x y   之最大值為x y 何? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【108 統測-B】

數據

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參考文獻

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