線性轉換的核空間及值域 - 第六章線性轉換

 線性轉換之核空間 (kernel) 令為一線性轉換

則向量空間 V 中滿足的所有向量所構成的 集合稱為 T 的核空間，並記作 ker(T)

W V

T : 

0 )

(v  T

} ,

0 )

(

| { )

ker(T  v T v  vV

22/101

 範例 1 ：求線性轉換的核空間

解：

線性代數 : 6.2 節 p.466

) :

( )

(A  A T M₃_₂  M₂_₃

T ^T











 

0 0

) ker(T

 範例 2 ：零轉換及相等轉換的核空間

(a) 零轉換的核空間包含了向量空間 V 中所有 向量

(b) 相等轉換的核空間只包含了向量空間 V 中 的零向量

W V

T : 

V T)  ker(

V V

T : 

} 0 { ) ker(T 

24/101

 範例 3 ：求線性轉換的核空間

解：

線性代數 : 6.2 節 pp.466-467

) :

( )

0 , , ( ) , ,

(x y z x y T R³ R³

T  

? )

ker(T 

}

| ) , 0 , 0 {(

)

ker(T  z z為實數

 範例 5 ：求線性轉換的核空間

26/101 span{(

ker(



 定理 6.3 ：核空間為 V 的子空間

線性轉換的核空間為 V 的子空間 證明：

 注意：

T 的核空間亦可稱為 T 的零空間 (null space) W

V T : 

) 1 6.

( 0 )

(  定理

T

的非空子集合為V

T )

ker(

的核空間中的向量，則為

及

令u v T

0 0

0 )

( )

(u  v  T u T v    T

0 0

) ( )

(c  cT  c 

T u u  uc ker(T)

) ker(T





 u v

的子空間為

因此， ker(T ) V

28/101

 範例 6 ：求核空間的基底

線性代數 : 6.2 節 p.470



















8 2

0 0

1 0

2 0

0 1

3 1

1 1

0 2

) (

: ⁵ ⁴ ⁵

R x

A T

R R

T 定義為，其中為中的向量

將 x x

的基底求ker(T)

解：

 

30/101

 定理 6.3 的推論

線性代數 : 6.2 節 p.471

的解空間的核空間等同於

則

為一線性轉換且定義為令

) ( :





x x

A T

R R

T ⁿ ^m



^| ⁰ ^,



⁽ ⁾

) ( )

(

) :

( )

(

的子空間線性轉換

m m

m n

R R

A A

NS T

Ker

R R

T A













x x

 線性轉換之值域 (range)

) ( )

( :

T range T

T W

W V

的值域，並記作稱為

所構成的集合的所有像

中滿足則向量空間

為一線性轉換令

w w

v 



}

| ) ( { )

(T T V

range  v v

32/101

 定理 6.4 ： T 的值域為 W 的子空間

證明：

線性代數 : 6.2 節 p.471

的子空間的值域為

線性轉換 T :V W W

) 1 6.

( 0 )

(  定理

T

的非空子集合為W

T range )(



的值域裡的向量，則為

與

令T(u) T(v) T

) ( )

( )

( T T range T

T u  v  u  v  ) ( )

( )

(c cT range T T u  u 

) ,

(uV vV  u  v V )

(uV  cuV 的子空間

為因此， range )(T W

 注意：

 定理 6.4 的推論

的子空間為V

T Ker )( )

1 (

為一線性轉換，則 W

V T : 

的行空間的值域相同於

則

為一線性轉換且定義為令

A T

Ax x

T R

T:R

ⁿ  ^m ( ) 

的子空間為W

T range )( )

2 (

) ( )

(

T CS A

range



34/101

 範例 7 ：求線性轉換值域的基底

線性代數 : 6.2 節 p.473



















8 2

0 0

1 0

2 0

0 1

3 1

1 1

0 2

) (

: ⁵ ⁴ ⁵

R x

A T

R R

T 定義為，其中為中的向量且

將 x x

的值域的一組基底求T

解：

CS(A) c

c c

CS(B) w

36/101

 線性轉換 T:V→W 的秩 (rank)

 線性轉換 T:V→W 的核次數 (nullity)

 注意：

線性代數 : 6.2 節 p.473

的值域的維度 T

T rank( ) 

的核空間的維度 T

T nullity ( ) 

) ( )

(

) ( )

(

) ( :

A nullity T

nullity

A rank T

rank

A T

R R

T ⁿ ^m



 為一線性轉換且定義為，則

令 x x

 定理 6.5 ：秩與核次數的和 dim(

) dim(

)

nullity T

rank



rank

A T

T rank

 dim(

) dim(

) nullity T nullity



dim(

) dim(

) ( )

( 的核空間 x 的解空間

38/101

 範例 8 ：求線性轉換的秩與核次數

解：

線性代數 : 6.2 節 p.474











 





0 0

1 1

2 0

: ³ ³ A

R R

T 的秩與核次數

性轉換求下列矩陣所表示的線

1 2

3 )

( )

dim(

) (

2 )

( )

(











T rank T

T nullity

A rank T

rank

的論域

 範例 9 ：求線性轉換的秩與核次數

Ker c

dim(

) dim(

5 )

dim(

)

40/101

 一對一 (one-to-one)

一對一非一對一

線性代數 : 6.2 節 pp.475-476

為一對一一向量時，則稱函數

的反像均為單的值域中的每一個向量

若函數

T W

T :  w

v u



 即代表

當

及中的向量

所有為一對一若且唯若對於

) ( )

( T

V T

 映成 (onto)

為映成中，稱函數

在

均有一個反像的值域中的每一個向量

若函數

T V

W V

T :  w

) (當T的值域相等於W時，T為映成

42/101

 定理 6.6 ：一對一線性轉換

證明：

線性代數 : 6.2 節 pp.475-476

} 0 { ) ( :





T Ker

T W

V T

若且唯若

為一對一為一線性轉換，則

令

為一對一 假設T

0 0

)

(v  v 

T 只有唯一解

則

} 0 { ) (T  所以Ker

) ( )

( }

0 { )

(T T u T v

Ker  且 

假設

0 )

( )

(u v  T u T v  T

為線性轉換 T

0 )

(   



 v Ker T u v

u

為一對一

T

 範例 10 ：線性轉換的一對一與非一對一

為一對一

的線性轉換表示成

: )

( )

(a T A  A^T T M_m__n  M_n__m

的零矩陣它的核空間只有mn



不是一對一

零線性轉換 : ³ ³

)

(b T R  R

空間它的核空間為整個R³



44/101

 定理 6.7 ：映成線性轉換

線性代數 : 6.2 節 p.476

的維度的秩相等於

為映成若且唯若則

為有限維度為線性轉換，其中

令

W T

W W

V T : 

 定理 6.8 ：一對一與映成線性轉換

證明：

為映成映射為一對一若且唯若

則

維向量空間均為

及為線性轉換，其中

令

T T

n W

V W

V T : 

0 ))

( dim(

} 0 { )

(T  Ker T  Ker

T為一對一則且

若

) dim(

)) ( dim(

)) (

dim(Ker T  n  Ker T  n  W 為映成

所以T

0 )

dim(

)) (

dim(Ker T  n  T的值域  n  n  為一對一

所以T

n W

T為映成，則dim( 的值域)  dim( )  若

46/101

 同構 (isomorphism)

) isomorphic (

被稱為彼此互為同構的和

構，則

的同到

存在一個從和

間同構。此外，若向量空

們稱之為為一對一且映成，則我

若線性轉換 W V

W V

T 

48/101

 定理 6.9 ：同構的空間及維度

證明：

線性代數 : 6.2 節 pp.478-479

具有相同的維度

為同構的若且唯若他們和

間

兩個有限維度的向量空 V W

n V

V與是同構的，且dim( )  假設從

為一對一且映成存在線性轉換T V W

 :

為一對一

T

n n

T Ker T

T Ker

















0 ))

( dim(

) dim(

0 ))

( dim(

的論域的值域

n W

V及的維度均為假設

為映成

T

n W

T  

 dim( 的值域) dim( ) n W

V)  dim( )  所以dim(

  

及



分別為及的一組基底

令 v₁ ,v₂,, v_n w₁ ,w₂ ,,w_n V W

n nv c v

c v

V中的任意向量v  1 1  2 2  則

n nw c w

c w

c T

W V









2 2 1

) 1

(

: v

則則則則則則則則則則則

為一對一且映成 因此得知線性轉換T

為同構的與

所以V W

50/101

 範例 12 ：同構的向量空間

線性代數 : 6.2 節 p.479

構的以下的向量空間互為同

維向量空間 4

)

(a R⁴ 

矩陣向量空間 1

4 )

(b M₄_₁  

矩陣向量空間 2

2 )

(c M₂_₂  

階以下多項式向量空間 3

) ( )

(d P₃ x 

) }(

), 0 , , , , {(

)

(e V  x₁ x₂ x₃ x₄ x_i為實數 R⁵的子空間

在文檔中第六章線性轉換 (頁 21-51)