第六章 線性轉換

第六章 線性轉換

6.1 線性轉換介紹

6.2 線性轉換的核空間及論域空 間

6.3 線性轉換矩陣

6.4 轉換矩陣及相似矩陣

6.5 線性轉換的應用

2/101

6.1 線性轉換介紹

 函數 (function)

函數 T 映射一個向量空間到另一個向量空間

線性代數 : 6.1 節 p.450

映射 , , :向量空間

:

V W V W

T

 ) domain (

:

T

的論域

V

) codomain (

:

T

的對應論域

W

 像、值域與反像

若向量 v 在向量空間 V 中，向量 w 在向量空間 W 中 使得

則

(1) w 稱為在 T 映射下 v 的像 (image)

(2) 在 V 中所有向量的像的集合稱為 T 的值域 (range)

(3) 在 V 中所有可以使得 之向量 v 的集合 稱為向量 w 的反像 (preimage)

w v

)  (

T

w v

)  (

T

4/101

 範例 1 ：從 R² 映射到 R² 的函數

(a) 求 的像 (b) 求 的反像 解：

線性代數 : 6.1 節 p.451

2

:

R

2

R

T



) 2 ,

( ) ,

(

v

₁

v

₂

v

₁

v

₂

v

₁

v

₂

T

  

2 2

1, )

(

v v



R



v )

2 , ( 1



v ^w

^{ (1 ,11)}

) 3 , 3 ( )) 2 ( 2 1 , 2 1 ( ) 2 , 1 ( )

(

) 2 , 1 (

) (

























T T

a

v v

) 11 , 1 (

, )

( )

(

b T v



w w

 

) 11 , 1 ( ) 2 ,

( ) ,

(

v

₁

v

₂ 

v

₁ 

v

₂

v

₁ 

v

₂  

T

11 2

1

2 1

2 1













v v

v v

4

, 3 ₂

1  



v v

{(3,4)}為

w

 (1 ,11)的反像

 線性轉換 (linear transformation)

的線性轉換 到

：

：向量空間

W V

W V

T W V

:  ,

V T

T

T

(

u



v

)  (

u

)  (

v

), 

u

,

v



(1)

R c

cT c

T

( )  ( ),  

) 2

(

u u

6/101

 注意：

(1) 向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或

之後做運算均產生相同的結果

在 V 上

的加法 在 W 的加法上

在 V 上的

純量相乘 在 W 上 的純量相乘

(2) 從一個向量空間映射到自己本身的線性轉換 被稱為線性運算子 (linear operator)

線性代數 : 6.1 節 pp.451-452

) ( )

( )

( u v T u T v

T    T ( c u )  cT ( u )

V V

T

: 

 範例 2 ：證明 T 是從 R² 映射到 R² 的線性轉換

證明：

( , ) ( , 2 )

T a b



a b a

 

b

實數 中的向量, :

: ) ,

(

), ,

(

u

₁

u

₂ 

v

₁

v

₂

R

²

c



v

u

) ,

( ) , ( ) , (

(1)

2 2

1 1

2 1 2

1

u v v u v u v

u    



 v u

向量加法

) ( )

(

) 2 ,

( ) 2 ,

(

)) 2

( ) 2 (

), (

) ((

)) (

2 ) (

), (

) ((

) ,

( )

(

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

v u

v u

T T

v v

v v

u u

u u

v v

u u

v v

u u

v u

v u

v u

v u

v u

v u

T T





















































8/101

故 T 為線性轉換

線性代數 : 6.1 節 p.452

) ,

( ) , (

) 2 (

2 1

2

1

u cu cu

u c

c u

 

向量的純量相乘

) (

) 2 ,

(

) 2

, (

) ,

( )

(

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

u u

cT

u u

u u

c

cu cu

cu cu

cu cu

T c

T

















 範例 3 ：非線性轉換的函數

x

x f

a

) ( ) sin

( 

) 2

( )

(

b f x



x

1 )

( )

(

c f x

 x 

) sin(

) sin(

)

sin(

x

₁ 

x

₂ 

x

₁ 

x

₂ ) sin(

) sin(

)

sin(^₂  ^₃  ^₂  ^₃

2 2 2

1 2

2

1 )

(

x



x



x



x

2 2

2 1 2

) 2 1

(   

1 )

(

x

₁ 

x

₂ 

x

₁ 

x

₂ 

f

2 )

1 (

) 1 (

) ( )

(

x

₁ 

f x

₂ 

x

₁  

x

₂  

x

₁ 

x

₂ 

f

) ( )

( )

(

x

₁

x

₂

f x

₁

f x

₂

f

  

不是線性轉換

x

x

f

( )  sin



不是線性轉換 ) 2

(

x x

f





不是線性轉換 1

)

(  



f x x

10/101

 注意：二個關於“線性”的觀念

(1) 被稱作是線性函數 (linear function) ， 因為它在圖形上是一條直線

(2) 不是從向量空間 R 到 R 的線性轉換，

因為它沒保有向量加法及純量相乘的特性

線性代數 : 6.1 節 p.453

1 )

(

x

 x 

f

1 )

(

x

 x 

f

 零轉換 (zero transformation)

 相等轉換 (identity transformation)

V

V

T :  T

(

v

) 

v

, 

v



V V T

(

v

)  0, 

v



W

V

T : 

12/101

 定理 6.1 ： 線性轉換的性質

線性代數 : 6.1 節 pp.453-454

V W

V

T

:  ,

u, v

 0

) 0 (

(1)

T



) ( )

(

(2)

T



v

 

T v

) ( )

( )

(

(3)

T u



v



T u



T v

) ( )

( )

(

) (

) (

(4)

2 2

1 1

2 2 1

1 2 2 1

1

n n

n n n

n

v T c v

T c v

T c

v c v

c v

c T T

v c v

c v

c































v

v

則

則

 範例 4 ：線性轉換與基底

令 為線性轉換，其使得

解：

(T 為線性轉 換 )

3

:

R

3

R

T



) 4 , 1 , 2 ( ) 0 , 0 , 1

(  

T

) 2 , 5 , 1 ( ) 0 , 1 , 0

(  

T

) 1 , 3 , 0 ( ) 1 , 0 , 0

( 

T

) 2 , 3 , 2

( 

求 T

) 1 , 0 , 0 ( 2 ) 0 , 1 , 0 ( 3 ) 0 , 0 , 1 ( 2 )

2 , 3 , 2

(    

) 0 , 7 , 7 (

) 1 , 3 , 0 ( 2 ) 2 , 5 , 1 ( 3 ) 4 , 1 , 2 ( 2

) 1 , 0 , 0 ( 2 ) 0 , 1 , 0 ( 3 ) 0 , 0 , 1 ( 2 )

2 , 3 , 2 (





















T T T

T

T

14/101

 範例 5 ：矩陣定義的線性轉換 函數 被定義為

解：

( 向量相 ( 純量相加 )

線性代數 : 6.1 節 pp.455-456 乘 )

3

:

R

2

R

T



_ ^ _ ^

 





 













2 1

2 1

1 2

0 3

)

( v

A v T v v

的線性轉換 到

是由 證明

，其中

求 ( ) (2, 1) ( ) ^{2 3} )

(

a T v v

 

b T R R

) 1 , 2 ( )

(

a v

 

 





 



 

 

 

 







 













0 3 6 1

2 2

1

1 2

0 3

)

( v A v T

) 0 , 3 , 6 ( ) 1 , 2

(  

T

2中的向量

R R

³中的向量

) ( )

( )

( )

( )

( b T u  v  A u  v  A u  A v  T u  T v )

( )

( )

( )

( c u A c u c A u cT u

T   

 定理 6.2 ：矩陣之線性轉換

令 A 為一 mn 矩陣，函數 T 被定義為

是一從 Rⁿ 到 R^m 的線性轉換

 注意：

v v A T ( ) 

 

 





 

 

























 

 





 

 





 

 





 

 







n mn m

m

n n

n n

n mn

m m

n n

v a v

a v

a

v a v

a v

a

v a v

a v

a

v v v

a a

a

a a

a

a a

a A























2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

v

v v A T ( ) 

m

n

R

R

T :  

中的向量

R

n

R

^m中的向量

16/101

所表示的線性轉換 具有將 R² 中的向量以原點 為基準逆時針旋轉



_{角度的特性}

 範例 7 ：平面的旋轉 證明矩陣

解：

( 極座標表示法 )

r

： v 的長度



：從正 x 軸以逆時針計 算到 v 的角度

線性代數 : 6.1 節 p.458

2

:

R

2

R

T





 



   

cos sin

sin

A

cos

) sin ,

cos (

) ,

(

x y r  r 

v

 

r

： T(v) 的長度

 + 

：從正 x 軸以逆時針計算到 T(v) 的角度

因此，向量 T(v) 和 v 有相同的長度，除此之外，從 正 x 軸到 T(v) 的角度為

 + 

，也就是 T(v) 將使 v 逆時針旋轉



_度







 







 







 

 

 



 

 





) sin(

) cos(

sin cos

cos sin

sin sin

cos cos

sin cos cos

sin

sin cos

cos sin

sin ) cos

(



  







    

 



  



  

r r

r r

r r

r r y

A x

T v v

18/101

稱作 R³ 上的投影運算子

 範例 8 ： R³ 上的投影

下列矩陣表示的線性轉換

線性代數 : 6.1 節 p.459

3

:

R

3

R

T













 

0 0

0

0 1

0

0 0

1

A

證明 T 是線性轉換

 範例 9 ：從 M_mn 到 M_{n m} 的線性轉換

解：

因此， T 是從 M_mn 到 M_{n m} 的線性轉換 )

: ( )

(

A A

^T

T M

_{m n}

M

_{n m}

T

 _  _

n

M

m

B

A

,  _

) ( )

( )

( )

(

A B A B A B T A T B T

   ^T  ^T  ^T  

) ( )

( )

(

cA cA cA cT A

T

 ^T  ^T 

20/101

摘要與復習 (6.1 節之關鍵詞 )

 function: 函數

 domain: 論域

 codomain: 對應論域

 image of v under T: 在 T 映射下 v 的像

 range of T: T 的值域

 preimage of w: w 的反像

 linear transformation: 線性轉換

 linear operator: 線性運算子

 zero transformation: 零轉換

 identity transformation: 相等轉換

6.2 線性轉換的核空間及值域

 線性轉換之核空間 (kernel) 令 為一線性轉換

則向量空間 V 中滿足 的所有向量所構成的 集合稱為 T 的核空間，並記作 ker(T)

W V

T : 

0 )

( v  T

} ,

0 )

(

| { )

ker( T  v T v   v  V

22/101

 範例 1 ：求線性轉換的核空間

解：

線性代數 : 6.2 節 p.466

) :

( )

( A  A T M

_32

 M

_23

T

^T

 





 



 

0 0

0 0

0 0

)

ker(T

 範例 2 ：零轉換及相等轉換的核空間

(a) 零轉換 的核空間包含了向量空間 V 中所有 向量

(b) 相等轉換 的核空間只包含了向量空間 V 中 的零向量

W V

T : 

V T )  ker(

V V

T : 

}

0

{

)

ker( T 

24/101

 範例 3 ：求線性轉換的核空間

解：

線性代數 : 6.2 節 pp.466-467

) :

( )

0 , , ( ) , ,

( x y z x y T R

³

R

³

T  

? )

ker( T 

}

| ) , 0 , 0 {(

)

ker( T  z z 為實數

 範例 5 ：求線性轉換的核空間

解：

) :

( 3

2 1

2 1

) 1

(

^{3 2}

3 2

1

T R R

x x x A

T 

 





 





 

 

  



 x x

? )

ker( T 

} )

, , ( ),

0 , 0 ( ) , , (

| ) , , {(

)

ker( T  x

₁

x

₂

x

₃

T x

₁

x

₂

x

₃

 x  x

₁

x

₂

x

₃

 R

³

)

0 , 0 ( ) , ,

( x

₁

x

₂

x

₃

 T

 

 

 







 





 

 







0 0 3

2 1

2 1

1

3 2 1

x

x

x

26/101 線性代數 : 6.2 節 p.468

 





 



 

 







 



 

 







 



 

1 1 1

3 2

1

t

t t t x

x x

)}

1 , 1 , 1 span{(

}

| ) 1 , 1 , 1 ( { ) ker(









 T t t 為實數

 

  



 

 

 

   

0 1

1 0

0 1 0

1 0

3 2

1

0 2

1

1

_{G. EJ.}

 定理 6.3 ：核空間為 V 的子空間

線性轉換 的核空間為 V 的子空間 證明：

 注意：

T

的核空間亦可稱為 T 的零空間 (null space)

W

V T : 

) 1 6.

( 0 )

0

(  定理

 T

的非空子集合 為V

T )

 ker(

的核空間中的向量，則 為

及

令 u v T

0 0

0 )

( )

( )

( u  v  T u  T v    T

0 0

) ( )

( c  cT  c 

T u u  u c  ker(T )

) ker(T





 u v

的子空間 為

因此， ker( T ) V

28/101

 範例 6 ：求核空間的基底

線性代數 : 6.2 節 p.470

 

 





 

 

















8 2

0 0

0

1 0

2 0

1

0 1

3 1

2

1 1

0 2

1

) (

:

^{5 4 5}

A

R x

A T

R R

T 定義為 ，其中 為 中的向量

將 x x

的基底

求 ker(T )

解：

 

 

 





 

 



  





 



 

 





 

 













0 0

0 0

0 0

0 4

1 0

0 0

0 2

0 1 1

0

0 1

0 2

0 1

0 8

2 0

0 0

0 1

0 2

0 1

0 0

1 3

1 2

0 1 1

0 2

1 0

. . EJ G

A

s t

 

 







 

 











 

 







 

 









 

 







 

 

















 

 







 

 









1 4 0 2 1

0 0 1 1

2

4 2 2

5 4 3 2 1

t s

t t s

t s

t s

x x x x x x

  為T 的核空間的一組基底

B  (  2 , 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 2 , 0 ,  4 , 1 )

30/101

 定理 6.3 的推論

線性代數 : 6.2 節 p.471

的解空間 的核空間等同於

則

為一線性轉換且定義為 令

0

) ( :







x

x x

A T

A T

R R

T

^{n m}

 ^{| 0 ,}  ^{( )}

) ( )

(

) :

( )

(

的子空間 線性轉換

m m

m n

R R

A A

NS T

Ker

R R

T A

T

















x x

x x

x

 線性轉換之值域 (range)

) ( )

( :

T range T

T W

W V

T

的值域，並記作 稱為

所構成的集合 的所有像

中滿足 則向量空間

為一線性轉換 令

w w

v 



}

| ) ( { )

( T T V

range  v  v 

32/101

 定理 6.4 ： T 的值域為 W 的子空間

證明：

線性代數 : 6.2 節 p.471

的子空間 的值域為

線性轉換 T : V  W W

) 1 6.

( 0 )

0

(  定理

 T

的非空子集合 為W

T range ) (



的值域裡的向量，則 為

與

令 T ( u ) T ( v ) T

) ( )

( )

( )

( T T range T

T u  v  u  v  ) ( )

( )

( c cT range T T u  u 

) ,

(

u



V v



V



u



v



V

)

(

u



V



c u



V 的子空間

為

因此， range ) ( T W

 注意：

 定理 6.4 的推論

的子空間 為V

T Ker ) ( )

1 (

為一線性轉換，則 W

V T : 

的行空間 的值域相同於

則

為一線性轉換且定義為 令

A T

Ax x

T R

T:R

ⁿ  ^m ( ) 

的子空間 為W

T range ) ( )

2 (

) ( )

(

T CS A

range



34/101

 範例 7 ：求線性轉換值域的基底

線性代數 : 6.2 節 p.473

 

 





 

 

















8 2

0 0

0

1 0

2 0

1

0 1

3 1

2

1 1

0 2

1

) (

:

^{5 4 5}

A

R x

A T

R R

T 定義為 ，其中 為 中的向量且

將 x x

的值域的一組基底

求T

解：

B

A

^{G J E}



 

 





 

 



  



 



 

 





 

 













0 0

0 0

0

4 1

0 0

0

2 0

1 1

0

1 0

2 0

1

8 2

0 0

0

1 0

2 0

1

0 1

3 1

2

1 1

0 2

1

. .

5 4

3 2

1

c c c c

c w

₁

w

₂

w

₃

w

₄

w

₅

 

  為 的一組基底

的一組基底 為

CS(A) c

c c

CS(B) w

w w

4 2 1

4 2

1

, ,

,

 ,

 ( 1 , 2 ,  1 , 0 ), ( 2 , 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 1 , 0 , 2 )  為T 的值域的一組基底



36/101

 線性轉換 T:V→W 的秩 (rank)

 線性轉換 T:V→W 的核次數 (nullity)

 注意：

線性代數 : 6.2 節 p.473

的值域的維度 T

T rank ( ) 

的核空間的維度 T

T nullity ( ) 

) ( )

(

) ( )

(

) ( :

A nullity T

nullity

A rank T

rank

A T

R R

T

^{n m}







 為一線性轉換且定義為 ，則

令 x x

 定理 6.5 ：秩與核次數的和

證明：

轉換，則

的線性 到向量空間

維向量空間 為一從

令 T : V  W n V W

表示 的矩陣

以一

令線性轉換

T m



n A

) dim(

) dim(

) dim(

) ( )

(

的論域 的核空間

的值域 T T

T

n T

nullity T

rank









r A

rank

( )  假設

r A

rank

A T

T rank







 ) (

) dim(

) dim(

) ( )

1

( 的值域 的行空間

n r

n r

T nullity T

rank

    

 ( ) ( ) ( )

r n

A T

T nullity











) 0

dim(

) dim(

) ( )

2

( 的核空間

x

的解空間

38/101

 範例 8 ：求線性轉換的秩與核次數

解：

線性代數 : 6.2 節 p.474

 





 



 





0 0

0

1 1

0

2 0

1

:

^{3 3}

A

R R

T 的秩與核次數

性轉換 求下列矩陣所表示的線

1 2

3 )

( )

dim(

) (

2 )

( )

(















T rank T

T nullity

A rank T

rank

的論域

 範例 9 ：求線性轉換的秩與核次數

解：

的秩

，求 若

的秩

，求 的核次數為

若

的核空間的維度

，求 若值域的維度為

為一線性轉換 令

T T

Ker c

T T

b

T a

R R

T

} 0 { ) ( )

(

4 )

(

2 )

(

:

^{5 7}





3 2

5 )

dim(

) dim(

5 )

dim(

) (













的值域 的核空間

的論域

T n

T T a

1 4

5 )

( )

( )

(

b rank T



n



nullity T

   5 0

5 )

( )

( )

(

c rank T



n



nullity T

  

40/101

 一對一 (one-to-one)

一對一 非一對一

線性代數 : 6.2 節 pp.475-476

為一對一 一向量時，則稱函數

的反像均為單 的值域中的每一個向量

若函數

T W

V

T :  w

v u

v u

v u



 即代表

當

及 中的向量

所有 為一對一若且唯若對於

) ( )

( T

T

V

T

 映成 (onto)

為映成 中，稱函數

在

均有一個反像 的值域中的每一個向量

若函數

T V

W V

T :  w

)

( 當 T 的值域相等於 W 時， T 為映成

42/101

 定理 6.6 ：一對一線性轉換

證明：

線性代數 : 6.2 節 pp.475-476

} 0 { ) ( :





T Ker

T W

V T

若且唯若

為一對一 為一線性轉換，則

令

為一對一 假設T

0 0

)

( v  v 

T 只有唯一解

則

} 0 { ) ( T  所以 Ker

) ( )

( }

0 { )

( T T u T v

Ker  且 

假設

0 )

( )

( )

( u  v  T u  T v  T

為線性轉換

T

0 )

(   



 v Ker T u v

 u

為一對一

 T

 範例 10 ：線性轉換的一對一與非一對一

為一對一

的線性轉換 表示成

: )

( )

( a T A  A

^T

T M

_mn

 M

_nm

的零矩陣 它的核空間只有 m  n



不是一對一

零線性轉換 :

^{3 3}

)

( b T R  R

空間 它的核空間為整個 R

³



44/101

 定理 6.7 ：映成線性轉換

線性代數 : 6.2 節 p.476

的維度 的秩相等於

為映成若且唯若 則

為有限維度 為線性轉換，其中

令

W T

T

W W

V

T : 

 定理 6.8 ：一對一與映成線性轉換

證明：

為映成映射 為一對一若且唯若

則

維向量空間 均為

及 為線性轉換，其中

令

T T

n W

V W

V T : 

0 ))

( dim(

} 0 { )

( T  Ker T  Ker

T 為一對一則 且

若

) dim(

)) ( dim(

)) (

dim( Ker T  n  Ker T  n  W 為映成

所以T

0 )

dim(

)) (

dim( Ker T  n  T 的值域  n  n  為一對一

所以T

n W

T

T 為映成，則 dim( 的值域 )  dim( ) 

若

46/101

 範例 11 ：

解：

T:Rⁿ→R^m dim(T 的論

域 ) rank(T) nullity(T) 一對一 映成

(a)T:Rⁿ→R^m 3 3 0 Yes Yes

(b)T:Rⁿ→R^m 2 2 0 Yes No

(c)T:Rⁿ→R^m 3 2 1 No Yes

(d)T:Rⁿ→R^m 3 2 1 No No

線性代數 : 6.2 節 pp.477-478

兩者都不是 是否為一對一、映成或

秩並判斷

的核次數、

，求 表示成

線性轉換 T

T A

T R

R

T :

ⁿ



^m

( x )  x











 

1 0 0

1 1 0

0 2 1 )

( Aa











 

0 0

1 0

2 1 )

( Ab





 

1 1

0

0 2 ) 1

( Ac











 

0 0 0

1 1 0

0 2 1 )

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