這 亦 是 原 有 之 課 題 ， 我 們 首 先 要 了 解 三 角 比 不 能 單 靠 算 式 定 義 的 特 性 ， 在 計 算 過 程 中 （ 包 括 求 解 ） 往 往 要 對 照 圖 像
（ 包 括 單 位 圖 和 直 角 三 角 形 ）19。
此 外 ， 正 弦 公 式 和 餘 弦 公 式 是 解 三 角 的 重 要 工 具 ， 它 們 的 使 用 源 自 一 個 重 要 的 基 本 概 念 — 以 直 角 三 角 形 來 解 三 角 ﹗ 在 教 學 時 ， 應 嘗 試 讓 學 生 將 之 與 解 題 連 繫 起 來 。 就 是 若 有 全 等 三 角 形 之 任 一 條 件 （ 即 SSS、SAS、ASA、RHS）， 則 三 角 形 已 完 全 決 定 ， 故 應 可 找 出 三 角 形 之 所
有 邊 長 和 角 ， 若 是 RHS 就 簡 單 了 ， 至 於 其 他 情 況 把 三 角 形 分 割 成 直 角 三 角 形 就 可 找 出 邊 和 角 了 ， 正 弦 和 餘 弦 公 式 基 本 上 只 是 將 這 些 步 驟 一 次 過 做 了 。
這 亦 牽 涉 到 上 面 所 談 的 關 係 性 理 解 ； 兩 三 角 形 之 全 等 條 件 和 一 個 三 角 形 的 決 定 （ 甚 至 是 最 少 決 定 性 ） 條 件 。 三 角 形 求 解 、 正 ／ 餘 弦 公 式 ， 其 實 互 相 連 繫 着20。
至 於 立 體 問 題 的 解 決 ， 雖 然 是 學 生 較 害 怕 的 課 題 ， 但 其 實 有 不 少 可 加 強 的 空 間 ， 首 先 我 們 可 以 讓 學 生 有 （ 按 題 意 ） 製 作 立 體 模 型 的 經 驗 ， 使 他 們 了 解 立 體 圖 形 中 各 部 分 間 之 關
19 黃毅英（2003）。其實「三角學」一課所講的是甚麼？《香港數理教育
學會會刊》21 期 2 號，21－28。
20 見註 7。
續三角
係21。在 新 的 初 中 數 學 課 程 中，這 部 分 的 活 動 其 實 已 加 強 了 許 多。以 下 是 按 過 往 會 考 題 的 一 些 分 析 給 大 眾 參 考22。此 外，我 們 也 可 分 析 學 生 在 立 體 三 角 應 用 題 的 解 題 過 程 中 所 需 要 到 的 技 巧 ， 並 加 以 逐 一 培 養 。
I. 先 備 知 識 （ 三 角 學 ）
(a) 等 腰 三 角 形 性 質 與 畢 氏 定 理 (b) 於 直 角 三 角 形 利 用 正 弦 、 餘 弦 、
正 切 找 未 知 邊 和 角
(c) 用 正 弦 ／ 餘 弦 公 式 找 未 知 邊 和 角
II. 先 備 知 識 （ 平 面 幾 何 ） (a) 認 定 圖 形 是 否 與 長 度 有 關
(b) 若 有 關 ， 試 從 已 知 長 度 出 發 ， 找 出 未 知
(c) 若 有 關 ， 又 或 需 要 設 定 一 邊 長 為 h， 再 嘗 試 找 回 該 值 (d) 若 無 關 ， 試 從 已 知 角 找 未 知 角
(e) 若 無 關，又 或 先 設 定 一 邊 長 為 h，最 後 消 去，如 2005 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II， 47 及 48 題 ， 見 圖 。
21 黃毅英（1990）。立體數學遊戲與空間想像力之訓練。《數學傳播》56 期，
78－96。後載黃毅英（編）（1997）。《邁向大眾數學的數學教育》（頁 294 – 328）。台北：九章出版社。
22 陳美恩、徐雪燕（2006）。《數學變式教學的研究》。教育碩士專題研習論文。
香港：香港中文大學課程與教學系。
設為h 45°
30°
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續三角
4. 利 用 其 他 三 角 形 的 資 料 搬 到 相 關 三 角 形 來 。 例 如 2005 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II， 47 題 （ 這 亦 牽 涉 II (e)的 技 巧 ）
又 例 如 2002 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 I， 12 題 (a)
5. 加 補 助 線 。 例 如 2004 年 中 學 會 考 數 學 科 卷 II， 48 題 。
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9
涉及技巧（4）
設為h
45°
30°
90 h
15°
20° 30°
A B
C
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A B
C
30°
90
9 餘弦法則
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建 議 課 堂 活 動 ： 最 慳 位 方 法
活 動 目 標 ： 學 生 能 利 用 三 角 學 知 識 ， 找 到 並 解 釋 超 級 市 場 在 有 限 空 間 堆 疊 最 多 圓 罐 貨 品 的 方 法 。 活 動 內 容 ： 學 生 利 用 不 同 大 小 的 紙 箱 ， 找 出 能 盛 裝 最 多
大 小 相 同 的 圓 罐 的 方 法 。 活 動 後 學 生 能 發 現 採 用 「 品 」 形 排 法 與 「 井 」 形 排 法 各 優 、 缺 點。「 品 」形 排 法：三 個 相 鄰 的 圓 罐，其 圓 心 可 成 一 等 邊 三 角 形。「 井 」形 排 法：四 個 相 鄰 的 圓 罐 ， 其 圓 心 可 成 一 正 方 形 。
建 議 課 堂 活 動 ： 重 差 術23（ 量 度 大 廈 高 度 ）
活 動 目 標 ： 學 生 能 利 用 三 角 學 知 識 ， 透 過 所 提 供 工 具 計 算 出 大 廈 的 高 度 。
活 動 內 容 ： 已 知 校 舍 的 高 度，在 量 度
θ
和φ
後 同 學 需 計 算 出 大 廈 的 高 度 。
23 這其實源自《海島算經》。見李儼、杜石然（1986）。《中國數學簡史》。
濟南：山東敎育出版社。不過現時利用三角比，問題變得容易得多。
學校
θ 大廈
φ
續三角
相 關 網 站 ：
1. 幾 何 簡 史 與 互 動 教 材 庫
http://www.math.ied.edu.hk/ITProj2003/Geometry/Index.htm 2. 三 角 學
(a) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/sines.html (b) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/cosines.html (c) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/tangents.html (d) http://www.npc.edu.hk/staff/~mkchan/content_maths/
math_my_teaching_materials.htm 3. 三 維 空 間 的 三 角 學
(a) http://resources.edb.gov.hk/trigo/#
(b) http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/geometry.pdf
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