漫談數學學與教新高中數學課程必修部分

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數學百子櫃系列（一）

漫談數學學與教

新高中數學課程必修部分

作者張家麟、黃毅英、韓藝詩

教育局

課程發展處數學教育組

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版權

ISBN 978-988-8019-62-5

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前言

為配合香港數學教育的發展，並向教師提供更多參考資料，課程發展處數學教育組於 2007 年開始邀請大學學者及資深老師撰寫專文，並蒐集及整理講座資料，輯錄成《數學百子櫃系列》。本書《漫談數學學與教 ─ 新高中數學課程必修部分》是這個系列的其中一冊，作者黃毅英教授、張家麟博士和韓藝詩女士對中學數學教學素有研究，本書除談及高中數學課程的學科知識外，對學科教學知識、學習難點等，都有精闢的見解。本書不僅可供教師參考，亦可作為學生讀物。作者撰文期間，高中數學課程仍在修訂，本書內容或與課程最後定稿偶有出入，祈請讀者留意。此外，本書只屬作者個人觀點，並不代表教育局的意見。

本系列能夠出版，實在是各方教育工作者共同努力的成果。在此，謹向提供資料、撰寫文章的老師、學者，以及所有為本書勞心勞力的朋友，致以衷心的感謝。

如有任何意見或建議，歡迎致函：

九龍油麻地彌敦道 405 號九龍政府合署 4 樓教育局課程發展處

總課程發展主任（數學）收

(傳真： 3426 9265 電郵： ccdoma@edb.gov.hk )

教育局課程發展處數學教育組

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作者簡介

黃毅英，文學學士、哲學碩士、教育證書、哲學博士（香港大學），文科教育碩士（香港中文大學），現任香港中文大學課程與教學學系教授。於境內外學報發表學術論文二百餘篇。2001 年獲香港研究資助局重點專案資助（Competitive Earmarked Grant）、

2005 年獲學院優秀教學獎、2006 年第三屆全國教育科學研究優秀成果獎三等獎、2008 年獲香港中文大學研究卓越獎。編著有《邁向大衆數學的數學教育》、《數學教育實地觀察》、《數學教育實地再觀察》、《香港近半世紀漫漫「數教路」：從新數學談起》、《華人如何學數學》（與范良火、蔡金法、李士錡合編）、《迎接新世紀：重新檢視香港數學教育 ─ 蕭文強教授榮休文集》、《香港近半世紀漫漫「小學數教路」：現代化、本土化、普及化、規範化與專業化》（與鄧國俊、霍秉坤、黃家樂、顏明仁合寫）、《變式教學課程設計原理：數學課程改革的可能出路》（與林智中、孫旭花合寫）等。香港數學教育學會創會會長，現爲上海師範大學小學教育研究所客座研究員、天津《數學教育學報》及韓國《數學教育研究學報》編委。

張家麟，學數於香港中文大學數學系，先後獲學士、碩士及博士學位。研究興趣為非綫性偏微分方程。曾任職中學教師、香港教育學院及香港中文大學數學系導師，2005 年獲中文大學理學院優秀教學獎。2006 年 7 月任香港教育學院助理教授至今，對數學解難，以及幾何的教與學至感興趣。

韓藝詩，香港科技大學獲得理學士（數學）和哲學碩士（數學）學位，香港浸會大學取得學位教師教育文憑，現於香港中文大學修讀教育碩士課程。曾於香港教育學院擔任專任導師，亦曾於中學任教數學。

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緒論

1. 緒論

新高中數學課程推行在即，一些前線老師對新課程有關學科知識的要求感到憂慮，在施教方面，未具信心。作為教師的培訓者，理應協助他們鞏固這方面的知識。但細心審視新課程的內容時，便會發現其必修部分中超出現行數學與附加數學範圍的內容不多。故此，教師似乎並不需要學習什麼新的數學知識來裝備自己。我們估計老師的憂慮，一方面是源於新高中並無文理分流，致使一些先前只任教初中數學的老師需要教高中數學；另一方面，可能是一些老師對高等數學生疏了。也許，這是一個讓我們重溫這些內容的好機會。

縱使將來的教科書會把教學內容清楚列出，詳細講解，但我們仍希望多走一步，就是為老師說明每一個課程的知識結構，分析當中一些難點，提供一些活動建議，與及網上資源等。換言之，本文不只是學科知識的介紹，更是「學科教學知識」（Pedagogical Content Knowledge）的闡述 ﹗ 不過，我們並不打算（亦不可能）在這本小冊子中介紹所有相關的資料，我們只能把其中一些放在註腳內簡述，有興趣的讀者請繼續沿這些資料進一步搜尋。

事實上，本文的介紹距完整的「教學指引」尚遠，不過，我們相信與其朝發展一套教學藍本的方向邁步，倒不如啟動老師及老師群體，透過專業討論，讓他們自行建立「知識基礎」。我們不會說什麼「拋磚引玉」，然而，藉此引發更深入的討論與探究，這正是我們的期望。

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漫談數學學與教一新高中數學課程必修部分

2. 一元二次方程

一元二次方程其實已在現行中學課程中存在。故此不難掌握其中的教學¹。這裡有所不同的當然是引進了複數系 C。

首先我們看到（猶如不少代數／分析上的問題），把考慮的範圍擴充，圖像更為完整。例如在複數系統裡就會有任何（係數為複數的）二次方程均有兩個根（只是有時是重根）。一般來說，當 n 為正整數時， n 次方程均有 n 個根，這是代數基 本定理，在未擴展到 C 前，這件事是不明顯的。

此外，數系之擴展往往受到忽略，對於由 R 擴至到 C，

這個問題顯得尤為重要，因為我們要知道哪些 R 中的法則可 以保有、同時哪些不可「過檔」－又為甚麼？例如有一例題是求−3+4i的平方根。當然透過比較(a+bi)²=−3+4i的實與虛部份就可求出。但怎知複數必有平方根 ﹖ 複數是否「一切如常」的當作實數的進行運算 ﹖

眾所周知，由 N 到 Z 是為了減法之緣故（群），而卻「喪失」了「首元」（first element－ 0），由 Z 到 Q 是為了除法（域），

但沒有了「下一個元」（在 Z 中 7 之下一個元素是 8，在 Q 中 7/8 的下一個元素沒有意義），由 Q 到 R 不是為了x²−2=0 有解而是使到所有收歛序列均有極限（拓樸完備 topologically complete），而 R 卻喪失了「可數性」（ countability），由 R 擴展 到 C 才能使所有非常數的多項式皆有根（代數封閉algebraically

1 黃毅英（2004)。「二次方程」這一課所講的是甚麼？《進志數學通訊》3 月，

3－4。

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一元二次方程

a + bi

± )

^{c + di}

(a±

c) + (b

±

d)i

a + bi

×

⁾

^{c + di}

ac + bci adi + bdi

² (ac – bd)+ (bc + ad)i closed），然而 C 中沒有了序之關係²。

由於 C 是 R 的擴展（嚴格來說，就是 C = R(i)），實數的 四則運算得以保持，故此我們可以用處理實數二項式之形式處理複數的+、－和 ×，除則沒有那麼直接了，於是就動用了「共軛」。雖說學生在低年班見過

a

p (a ∈ Z)一類數型的「有

理化」（嚴格來說是將分母有理化），但其實做法轅出一轍。首先是利用分子、分母各乘以 a 以「消滅」分母中的 a ：

a a p a a

a p a

p =

⋅

= ⋅

推而廣之，利用 (a + b)(a – b) = a² – b² 或 s

r s r s

r + )( − ) = −

( 「消滅」

s r

p

+ (r, s ∈ Z)分母中的 s

r+ ，如 2 3

8 +

= ( 3 2)( 3 2) ) 2 3 ( 8

− +

−

= 3 2 ) 2 3 ( 8

−

= 8( 3− 2) 類似地：

) )(

(

) )(

(

di c di c

di c bi a di c

bi a

− +

−

= + +

+ = ₂ ₂ ₂ ₂

d c

ad ibc d c

bd ac

+ + − + +

有些人認為 i 是「正數」，– i 是「負數」。其實所謂「 a 是正數」是指「a > 0」，既然在 C 中沒有「 >」的關係，就沒 有正、負數可言。事實上，假若當初我們用了所謂 – i 作為 擴展元數，得出的數系是一樣（同構）的，即：若x²+1=0之

2 Wong, N.Y. (1981). What is a real number, Mathematics Bulletin, 1, 18－22.

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二根為

α

^及

β

^{， R (}

α

^{) 與 R (}

β

^{) 同構}³^。

阿根圖 / 阿氏圖（ Argand diagram）並非課程範圍，但

可順帶一提。其實在 R 時已很難如 Q 的以代數定義 (Q = Z × Z*/~，(a,b) ~ ( c,d ) 當 ad = bc），必須透過數線作

圖像的表示，Argand 圖之用意也是如是。建議課堂活動：軟件 Winplot

活動目標：同學利用軟件製作不同的一元二次方程圖像，明白函數 ax² + bx + c = 0 中， a , c 與圖 像的關係和各係數與根的關係。

活動內容：同學利用軟件製作不同的一元二次方程圖像。

3 Fung, C.I., Siu, M.K., Wong, K.M., & Wong, N.Y. (1998). A dialogue on the teaching of complex numbers and beyond. Mathematics Teaching, 164, 26－31.

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一元二次方程

相關網站：

1. 計算機程式

(a) http://hk.geocities.com/kl_cheuk/50F/quadratic2.htm

(b) http://subject.skhlkyss.edu.hk/maths/casio/Quadratic%20Equations

%205.htm

(c) http://www.mfbmclct.edu.hk/~maths/calculator/quadratic_eqtn.htm 2. 與一元二次方程有關的數學史

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no11c.htm 3. 教案範例

http://202.175.82.54/tplan/2003/sche/G085.pdf 4. 一元二次方程軟件 M－ Lab（試用版）

http://www.mindworksys.com/partners/mlab.htm

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漫談數學學與教－新高中數學課程必修部分

3. 函數及其圖像

這亦不是新的課題，但可以看到其中強調了函數與圖像間的連繫。其實函數的概念與數的變動關係密切，在小學階段，我們見到的數學是定態的，但後來一個數就可以有多個表徵（如 0.4 = 40% = 4/10 = 2/5，故有「互化」的計算），透過比（ratio）、率（ rate）、變（ variation），有所轉變。學生所接觸到的「x」亦從一個代號、一個未知數（定態）慢慢變成動 態（最後引出變數的概念），故此函數是走入變量數學（微積分）之門檻⁴。而函數也有不同的表示方法，如代數式、表格

（table），而從圖像則可看到整體的畫像，有強烈的視覺效果。例如由 y= 轉到 x² y= x²+1 ，整個圖就會「上升」一個單位等。本課題以二次方程這個簡單的函數為例，考究其頂點、對稱軸等，若能配合電腦效果，學生就會對一般的函數及其圖像（不局限於二次方程）有整體的認識而不是只機械性地背誦「頂點為

a x b

−2

= 」 … … 之類。

當然要確切找出各特徵值（characteristic value），便要倚重代數方法了。

4 黃毅英（2003）。從認識論的課程分析看現行中小學課程的幾個問題。

載鄧幹明、曾倫尊（編）《學會學習：數學課程改革評析》，3－24。香港：香港數學教育學會。

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函數及其圖像

相關網站：

1. 種籽計畫試教材料

http://www.edb.gov.hk/index.aspx?nodeid=5036&langno=2 2. 三角函數

http://resources.edb.gov.hk/trigintegral/Math/cal.html

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4. 指數及對數函數

當然不少老師會把注意力集中於幾條公式上，但這樣是很枯燥的，其實我們可考究：

1. 指數之定義涉及定義上之擴展，這是數學上常見的思維方式：a 就是自乘 n 次，故此ⁿ a 起初（⁰ a≠0）沒有定義。理論上既然沒有定義，我們可以加以任何定義。但我們希望仍能保持各指數定律，故此a 別無選擇，⁰ 只可能是 1（a =⁰ aⁿ⁻ⁿ= a /ⁿ a = 1，ⁿ n Z∈ ⁺）（這裡就是吊詭之處，既然a 暫未有定義，何以能動用指數定律 ⁰ 呢？）我們繼續探討在各指數定律仍能滿足的前提下，當 n ∈ Z^– ∪ {0}時 aⁿ的定義。為讓 a^m

⋅

^aⁿ⁼ ^a^m⁺ⁿ^得以成立，當 n = 0， m ∈ Z⁺，

a ≠ 0 有 a^m

⋅

^a⁰^{= a}^{m+ 0}^{= a}^m

⇒ 1

0

=

⋅ =

m m m m

a a a

a a

⇒ a⁰ = 1 故此有 a⁰ = 1

當 n = – m， m ∈ Z⁺，a ≠ 0

有 a^m

⋅

^aⁿ^{= a}^m

⋅

^a^{– m}^{= a}^{m – m}^{= a}⁰^{= 1} ⇒ ^m _m

a a1

− =

因為 m > 0 即 –m < 0，所有 ^m _m ^m _m a a

a⁻(⁻ )=a1₋ ⇒ = 1₋ ，故此 ^m _m

a =a1₋

。

當指數推廣至有理數時，為使 ^q

p q p

a

a ²

2

= 等仍能成立，

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指數及對數函數

其中 p

、

q∈Z，就限定了 a > 0。對於 a < 0，情況變得 複雜，以下討論規限於 R。若 n 為奇數，由於xⁿ = 只a 有一個實根，故理論上我們仍可以論aⁿ

1

（因為是唯一定義）。例如³ −8=−2。上面的定義是與指數定律有衝突的，例如 2 ( 8) ( 8) [( 8) ] 64⁶ 2

1 6 1 6 2

2 3

1

=

−

=

−

=

−

=

− 。

故此，一般來說，我們把討論規範在 a > 0。此外，我 們還需要注意 a 的意義。它在 a > 0，用以表示取 a 的 正根，即取 x > 0，使 x² = a 成立。這做法會使當 a

、

b > 0 時， ab= a⋅ b 成立。然而，當 a < 0 時， 則記號 a 便會失卻了取正根的選擇而變得意義含糊。 作為例子，我們可考慮 − 的意義，記號 i 和 – i 1 ⁵表示從實數軸的 1 出發，沿複平面反時針分別轉 90°及 270° 所得的虛數，這樣 i 和 – i 均是虛數，無所謂正負，但 ( i )² = (–i )² = –1。雖然，我們會沿用「慣常的做法」，取 −1=i及在 a < 0 時，取 a=( −a)i （例如

−10= ⁽ 10 )i ），但這做法的缺點是不能保證 ab = a⋅ b 的成立。例如取 a= b=−1 ，則 ¹=

( )( )

−¹ −¹ ≠ −¹⋅ −¹=−¹。

2. 指數定律與對數定律會一對對的出現，指數與對數其實是「孿生」的，因為指數函數與對數函數根本有著互逆之關係，即 exp (log (x)) = x。

5 教師在介紹 i 的時候，常常會利用解方程 x² + 1 =0 作引入。但要注意，

數學歷史上，人類認識 i 是從解三次方程開始的。有關這段歷史可參

閱Nahin, Paul J. (1998). An imaginary tale: the story of −1. New Jersey:

Princeton University Press.

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3. 指數與對數除了代數（算術）之定義外，它們本身其實是一個常見的函數，在不少現實情境中都能找到指數和對數的趨勢⁶。

6 Wong, N.Y. (1984). The teaching of logarithms in junior forms. Datum, 24, 29

－30.

黃毅英（2005）。再談「學這些東西幹嗎？」—從 20 多年前一文談起。《數學教育期刊》（Datum）42 期，6－12。

黃毅英（2006）。如何溫習數學科？以指數一課爲例。《香港數理教育學會會刊》23 期 1 號，17－18。

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續多項式

5. 續多項式

學生在初中已學過多項式了，這又是一次將數字的技巧

（四則）推到符號來。故此除了多項式所涉及特徵（如冪、常數、係數等）之引入外（其實引入這些定義也可技巧一些，不一定一股腦兒抽離處境 out of context 的要學生記住），就是要借助數學的方法進行四則，同樣地，＋、－和×比較易辦， 由於 R[x]不是一個域（ field），故兩多項式相除不一定是多項 式，故有長除並有可能有餘式，這與小學課程所牽涉的整除性概念相關，即對於任何 p ∈ Z，p = q ⋅ g + r，其中0≤r<g和 q、

g、r∈ Z。把 p、q、g、r 延伸至多項式，有 p(x) = q(x) ⋅ g(x) + r(x)，

其中 0≤degr(x)<degg(x) 。這便是歐氏算法（ Euclidean algorithm）。由此引入餘式定理及因式定理。對於一些分式（即兩個多項式的相除），透過因式定理可以得到簡化。

這類法則之引申（由數字到多項式）往往在大部分情況下都能借助舊有法則。不過，有時就要有所調節了，例如多項式之公因式就與數字的有所不同（只是對於常數倍數唯一，所謂 unique up to scalar multiple）⁷。換言之， (1−2x)是

) 1 )(

2 1

( − x x+ 及 )² 2

(x−1 的最大公因式。但(2x−1)、 ) 2 (x−1 等也

是，其實 )

2 (x−1

k (k∈

R

\{0})均是。不過這是指實系數多項式集

R [ ]

x 。若指明規限於整數系數多項式又不同，在這種情況， 在計算4(x+ x1)( −2)及6(x+1)²的最大公因式時，仍須運算 4 和

7 見黃毅英（2005）。最大公因數、最小公倍數要講的是些甚麼？《數學

教育》20 期，70－74。又見 Leung, K. T., Mok, I. C. & Suen, S. N. (1994).

Polynomials and equations. Hong Kong: Hong Kong University Press.

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6 的最大公因數得出2(x+1)。

相關網站：

內容和公式概要

http://www.chi-edu.com.tw/1teach/1teaa/1teaaf/1teaaf-1b/1teaaf-1b-menu2.htm

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續方程

6. 續方程

雖然這單位內容在原來的中學課程已存在（且現時撥入非基礎部分），學生常感混亂的是何時用代數解、何時用圖解，這應超越按題意選定解法的應試技巧，而是兩種取向之根本差異。縱然代數解較為精確，且對於二次方程不難得代數解，但我們要為日後作準備，不少方程是沒法有代數解的，只能以數值迫近。圖解便是為數值解而鋪路的。現時開發了的分半法其實便是結合了圖像意識的數值解，雖然分半法不在課程範圍內，但於此我們仍介紹一個相關活動給讀者參考。

建議課堂活動：我有一對透視眼 ﹖ （分半法）

活動目標：學生能透過發問懂得把目標範圍不斷減半，從而掌握分半法的概念。

活動內容：兩位同學為一組，其中一位同學於紙寫上一字母不讓對方知道。另一位同學只能向他發問是非題（例如：字母是不是a− ），希望 m 能發問最少問題找出答案。

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同面積矩形

（及周界）的變化

7. 變分

這亦是耳熟能詳的一課，正變、反變等機械性運算亦不困難，但這種數學的變動不單涉及數學上變量的觀念，學生亦應從中感受到量與量之間可以有的美妙關係（例如「與日俱增」、「此消彼長」、「日盡江河」、「每個成功男士背後必定有一個女人 — 女人愈多愈成功？」 … … ）而關係性理解（relational

understanding）⁸正是數學理解中重要一環，透過圖像的變化例如同面積矩形的變化，這種理解更能深刻。電腦當然也能加以協助。

建議課堂活動：身體質量指數（ BMI）

活動目標：透過活動引入聯變的概念，讓學生知道日常生活中應用聯變的例子。

活動內容：學生可於課堂中量度自己的身高和體重，利用公式 BMI = ₂

身高

體重計算自己的 BMI，從而討論自己身體脂肪存量與身高和體重的關係。

8 黃毅英（2007）。數學化過程與數學理解。《數學教育》25 期，2－18。

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變分／等差與等比數列

8. 等差與等比數列

有人說數學是「關於規律的科學」（mathematics is a science of pattern），而有限序列（ finite sequence 即「……」背後的意思）正是體現一種規律、一種趨勢的甚佳例子⁹，故此只背誦了六道公式了事實屬可惜，這概念可上連到極限和數學歸納式的思維（inductive thinking）。事實上，學生在初中時已有接觸，它又可連繫到指數與對數間的關係，中間亦可連結到數學名題，如三角形數、正方形數、高斯的故事¹⁰、中國的隙積術等故事¹¹。

建議課堂活動：河內塔

活動目標：學生透過遊戲歸納出 1.圓板移動的方向。 2.圓板數目與移動圓板次數間的關係。若設 n 為圓板數目， Tn為移動圓板的最少次數，則 Tn = 2ⁿ– 1 和Tn = 2 Tn – 1 + 1。

活動內容：首先在檯桌豎立三根棒子，其中一根棒子已經把圓板依大小順序疊放著。其餘兩根棒子上沒有圓板。按照規則，把圓板全部移到另一根棒子上。圓板移動的規則

9 Wong, N.Y. (1994). Some key concepts in school mathematics－Ideas for better learning, Horizon, 35, 86－89.

10 Bell, E.T. (1937). Men of mathematics. New York: Simon & Schuster.

11 黃毅英（2004）。把數學史引進數學教學真是那麽困難嗎？《數學教育

期刊》（Datum）41 期，7－15。後載 HPM 通訊第八卷第十期（10/2005）, 1－9

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（1）每次只能移動一枚圓板。

（2）較小的圓板上方不可放置較大的圓板。

（3）圓板一定要套在棒子上，不可拿在手上或放在其他地方而再拿另一枚圓板。按照以上的方法，並盡量減少拿起圓板的次

數，將全部的圓板從一根棒子移到另一根棒子而圓板的排列與原來相同。下圖是三枚圓板的移動方法，可作參考。

c逆時針方向 d順時針方向 c逆時針方向

e逆時針方向 c逆時針方向 d順時針方向 c逆時針方向

【c、 d、 e是指由細至大第一、二、三個圓板】

如選定了第一步是逆時針方向的話，c 永遠逆時針方向，d永遠順時針方向， e永遠逆時針方向。這種遊戲「最易玩」，除非陷入不斷重複狀態，否則解決途徑只有一個（沒有岔口）¹²。關於這個遊戲也有一段傳說¹³：在印度北部的印度教聖地貝那拉斯的一座大寺院裡，有 3 支金剛鑽的針柱豎

12 倪進、朱明書（1986）。《智力遊戲中的數學方法》。南京：江蘇教育出版社。

13 關於河內塔的故事可見 Gamow, G. (1988). 1, 2, 3, … infinity: Facts and speculation of science. New York: Dover Publications.

Bell, W. W. R. & Coxeter, H.S.M. (1987). Mathematical recreations and essays.

New York: Dover Publications.

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等差與等比數列

立在一塊黃鋼的合金板上。在宇宙初創時，神用金子鑄成 64 枚圓板，依大小順序套在一支針柱上。寺院內的僧侶們需要不分晝夜地把圓板從一支針移到另一支針。據說當這件事完成的時候，也就是世界末日來臨之時。倘若僧侶們以每秒移動圓板一次，還需要 5800 億年才能完成全部移舉。因此不必擔心世界末日來臨，我們還是很安全呢！

另一個關於等比數列的有趣傳說¹⁴是印度的舍罕王

（Shirham）打算重賞發明象棋的宰相。宰相要求在象棋的棋盤第一格內賞一粒麥子，第二格內賞二粒麥子，下一格賞的麥子比前一格多一倍，直至第 64 格。換句話說，宰相可得 18 446 744 073 709 551 615 顆麥子，即全世界在 2000 年內所生產的全部小麥。

這都是要表現等比數列上升速度的震撼性。其實可讓學生（借助電腦）比較等差數列 10000, 11000, 12000…（即 10000 + 1000n，n = 0, 1, 2, …等比數列 1, 1.1, (1.1)2, …（即 (1.1)n, n = 0, 1, 2, …），雖然前者開始很大，「步幅」也不小，最終會被後者趕上。這亦可為將來學習極限鋪路。

14 亦見 Gamow, G. (1988). 1, 2, 3, … infinity: Facts and speculation of science.

New York: Dover Publications.

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建議課堂活動：摺報紙

活動目標：學生透過摺報紙的活動，找出對摺報紙的次數與報紙厚度與面積成等比的關係。

活動內容：詢問同學究竟把 512 張報紙同一時間對摺一次還是把 1 張報紙不斷重複對摺 9 次較困難 ﹖

同學把一張報紙不斷對摺，寫出摺報紙的次數與報紙厚度與面積的關係，並發現報紙厚度隨對摺次數以等比數列增加，而其面積則以同樣比例減少。

相關網站： 1. 黃金比例

http://lhk.hkcampus.net/~lhk-mat/gold2.htm 2. 斐波那契數列

http://cd1.edb.hkedcity.net/cd/maths/tc/ref_res/ld_c/Fibonc.pdf 3. 數學趣題

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/numbers%

20and%20algebra.pdf 4. 網上練習題

http://www.ktklgss.edu.hk/interactive/math/exercise/apgp/apgpmcc.htm 5. 香港校本資優數學課程試驗實例

http://prod1.e1.com.hk/education5/Maths_TTP/pv.htm

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不等式與線性規劃

a b

9. 不等式與線性規劃

雖然不少學生感到不等式的處理有點麻煩，這正正體現到一個體系的法則轉移到另一體系時需要（按其性質）調整的這種數學思維。首先方程之「確切性」於不等式遭到打破，不等式方程往往沒有唯一解。此外，歷來處理方程的移項工序有時可以照做，有時卻不可以，例如

3 4 4

3> ⇔ > −

+ x

x

8 2 16 16

8x> ⇔x> = −x>7⇒x>−7

x x x

x 1 8 1 8

>

⇒ + + >

由一元不等式推廣到複合不等式涉及邏輯推理及配合圖示，雖然二次不等式可透過圖像把數線分成三段，但亦可看到複合不等式的一種運用：

(x – a)(x – b) > 0

⇒ (x – a > 0 及 x – b > 0) 或 (x – a < 0 及 x – b < 0)

而二元不等式把問題擴展到坐標平面的領域，帶出「解集」的觀念（即所謂容許解 feasible solution），而線性規劃把問題牽到高潮。同時引入最優化的這種數學思維方式。

移項

(26)

相關網站： 1.工作紙

http://hk.geocities.com/certmath/mcPdf/mcLprogamme.pdf 2.Cauchy - Schwarz 不等式之本質與意義

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d241/24104.pdf 3.網上練習題

http://www.angelfire.com/pro/lee-kl/ineqn/test.htm 4.拋物線與不等式

http://library.ccsh.tp.edu.tw/lin/pg.html

(27)

續圖形與空間

10. 續圖形與空間

前已談到，假若只是想求解，而對於低冪多項式方程（如一次、二次），求代數解往往比較方便。故此我們不應把眼光局限於求解，而是希望對函數的完整理解。圖像就能給出函數上升、下降，最終趨勢（eventual tendency）等認識。對於非多項式函數，如三角、對數、指數等，就有更多的討論。透過簡單的變換（如 f (x) + k、f (x + k)、kf (x)和 f (kx) 等）（電腦 可發揮不少作用），更能突顯函數與圖像的整體認識，故此本課重點應在認識上之整體性，亦可銜接將來可能有機會學到的曲線描繪（curve sketching）。

建議課堂活動：軟件 M-Lab

活動目標：同學利用軟件製作不同的一元二次方程圖像，從圖像角度研究 f (x)、f (x) + k、f (x + k)、

kf (x) 和 f (kx) 的變換。

活動內容：同學利用軟件製作不同的一元二次方程圖像。

(28)

11. 圓形的基本性質

這其實是原有的課題，不過往往學生對眾多的性質比較恐慌，我們應對這些性質適當的分類和向學生解釋每個性質在做數學題時的作用，學生才會覺得這些是活生生的性質。詳可參閱「其實「平面幾何」這一課所講的是甚麼？」一文¹⁵，於此不贅。不過除了分類外，亦可點出不同定理之關係，例如三角形的 SSS、三點決定一三角形、圓心垂線平分弦、四點卻不一定決定一圓（除非圓內接四邊形）¹⁶等之關係。

建議課堂活動：最有利位置

活動目標：學生能明白同弓形內的圓周角的概念。

活動內容：學生在足球場的圓形場地內找出射門的最有利位置。

15 黃毅英（1990）。解題與數學教育。《數學傳播》54 期，71－81。後載黃毅英（編）（1997）。《邁向大眾數學的數學教育》（頁59－82）。台北：九章出版社。

黃毅英（2003）。其實「平面幾何」這一課所講的是甚麼？《數學教育》17 期，43－50。

16 見註 7。

龍門

足球場

(29)

圓形的基本性質

相關網站：

圓形的基本性質

(a) http://www.tpsss.edu.hk/~maths/circle.htm

(b) http://www.tlt.ab.ca/projects/Div4/Grade11/Propcircles/task.html (c) http://www.kcmc.edu.hk/~ytc/teaching/control-math.html

(d) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/chords.html

(e) http://www.npc.edu.hk/staff/~mkchan/content_maths/math_my_teachi ng_materials.htm.

(30)

12. 軌跡

軌跡的概念在新課程中，於初中階段經已出現，軌跡可以有「動態」和「靜態」的理解。「動態」就是參數的觀念，就是一個變量（因變量）隨著另一變量（自變量）走，甚至想像自變量是時間，因變量是自由落體的位移

d =−gt² （見圖 (a)）

又或可考慮動點 ( x , y ) 因

θ

^{而變化}

⎩⎨⎧

=

θ θ

cos sin x y

。（見圖 (b)）

「靜態」就是解集的想法，就是問在平面中哪些點適合既定之條件，例如拋物線產生軌跡的方式有多種，最簡單是參照著固定的物體而變所得的軌跡，如對兩定點等距的動點軌跡就是這兩

ax y

a x y a x

FP PL

4 ) ( )

(

2 2 2

= +

−

=

（見圖 (c)）

圖 (a) 圖 (b) 圖 (c) θ

Q P

F （a , 0 ）

L

– a

(31)

軌跡

定點連的垂直平分線（見圖(d)）。參照的物體也可以是不固定的。如對定點及直線等距，直線中之接觸點 Q 就是變動， 又例如圖（見圖(e)）中半徑之中點就更複雜及有趣了，不過此例不在課程範圍¹⁷。

圖 (d) 圖 (e)

17 Wong, N.Y. (1987). The tackling of locus problems. Mathematics Bulletin.

14, 21－25.

Wong, N.Y. (1989). Locus problems. Mathematics Bulletin, 18, 1－4.

P

Q

(32)

13. 直線與圓的方程

這亦是原有的課題，但若只列舉甚麼「兩點式」、「點斜式」等就太「八股」和枯燥乏味了。我們可用以下基本思路串透這課：兩點決定一直線，一般而言，兩個特徵就可定義一條直線。這些特徵基本上是點或斜率，又或加上截距。而截距提供的資料基本上是一點。故此整個直線方程的部分就是知道這些特徵求直線方程，又或反過來知直線方程找回這些特徵（例如測驗一點是否在直線上或求直線的斜率）¹⁸。

圓的方程、兩直線的相交及直線與圓之相交其實可連繫到早段聯立方程、二次方程及軌跡之學習。

直線與圓之相交雖屬非基礎部分，但若選教，不少學生會對之轉化成一元二次方程，並考慮判別式感到迷惑，這其實在聯立方程（一為線性、一為二次）經已出現。首先有時學生會因疏忽而無法消去其中一元，如

⎩

⎨⎧ +

= +

= 7

2

y x

x x y

2 7

2+ +

⇒y=x y

此外，他們不明白何以一個圖形（平面上之物件）會變成一元之方程。

如果在聯立一次方程時已經有限制條件數量的意識，整個關係就會更為清楚，而這個關係亦是應嘗試讓學生體會

18 黃毅英（1997）。讓數學變得耐人尋味。《數學教育期刊》36期，6 －10。

黃毅英（1997）。從一節數學課談起。《數學教育期刊》36期，11－13。

(33)

直線與圓的方程

的。就是一般而言（當然有特例），n 條方程恰恰足夠解 n 個

「未知數」。故此聯立兩條二元方程組（無論一次或二次），

用了消去法或代入法之後就可消去一元，變成一條的一元方程，如此類推。

相關網站： 1. 有趣例題

(a) http://www.mathland.idv.tw/jsp4/lenthmid.htm (b) http://www.mathland.idv.tw/jsp4/drawpara.htm (c) http://www.mathland.idv.tw/jsp4/drawell.htm

(d) http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d283/28303.pdf (e) http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30204.pdf 2. 軌跡方程

(a) http://www.ccpass.edu.hk/subj/math/am/Blk-2-10C.ppt#266,1,Slide 1 (b) http://sciedu.cc.nctu.edu.tw/practice/moon/presentation1/presentation.html (c) http://course.fed.cuhk.edu.hk/2004_1_EDD5169D_9/quit.htm

3. 教學範例

(a) http://www.cmi.hku.hk/Teaching/Guangzhou/maths_03/index08.htm (b) http://www.cmi.hku.hk/teaching/Guangzhou/maths_04/index08.htm (c) http://www.ktklgss.edu.hk/interactive/classes/6s/important/circle.doc 4. 圓錐曲線

http://www.math.ied.edu.hk/ITProj2003/Module_2/Conic_Sections.htm

(34)

3 ?

3

14. 續三角

這亦是原有之課題，我們首先要了解三角比不能單靠算式定義的特性，在計算過程中（包括求解）往往要對照圖像

（包括單位圖和直角三角形）¹⁹。

此外，正弦公式和餘弦公式是解三角的重要工具，它們的使用源自一個重要的基本概念 — 以直角三角形來解三角 ﹗ 在教學時，應嘗試讓學生將之與解題連繫起來。就是若有全等三角形之任一條件（即 SSS、SAS、ASA、RHS），則三角形已完全決定，故應可找出三角形之所

有邊長和角，若是 RHS 就簡單了，至於其他情況把三角形分割成直角三角形就可找出邊和角了，正弦和餘弦公式基本上只是將這些步驟一次過做了。

這亦牽涉到上面所談的關係性理解；兩三角形之全等條件和一個三角形的決定（甚至是最少決定性）條件。三角形求解、正／餘弦公式，其實互相連繫着²⁰。

至於立體問題的解決，雖然是學生較害怕的課題，但其實有不少可加強的空間，首先我們可以讓學生有（按題意）製作立體模型的經驗，使他們了解立體圖形中各部分間之關

19 黃毅英（2003）。其實「三角學」一課所講的是甚麼？《香港數理教育

學會會刊》21 期 2 號，21－28。

20 見註 7。

(35)

續三角

係²¹。在新的初中數學課程中，這部分的活動其實已加強了許多。以下是按過往會考題的一些分析給大眾參考²²。此外，我們也可分析學生在立體三角應用題的解題過程中所需要到的技巧，並加以逐一培養。

I. 先備知識（三角學）

(a) 等腰三角形性質與畢氏定理 (b) 於直角三角形利用正弦、餘弦、

正切找未知邊和角

(c) 用正弦／餘弦公式找未知邊和角

II. 先備知識（平面幾何） (a) 認定圖形是否與長度有關

(b) 若有關，試從已知長度出發，找出未知

(c) 若有關，又或需要設定一邊長為 h，再嘗試找回該值 (d) 若無關，試從已知角找未知角

(e) 若無關，又或先設定一邊長為 h，最後消去，如 2005 年中 學會考數學科卷 II， 47 及 48 題，見圖。

21 黃毅英（1990）。立體數學遊戲與空間想像力之訓練。《數學傳播》56 期，

78－96。後載黃毅英（編）（1997）。《邁向大眾數學的數學教育》（頁 294 – 328）。台北：九章出版社。

22 陳美恩、徐雪燕（2006）。《數學變式教學的研究》。教育碩士專題研習論文。

香港：香港中文大學課程與教學系。

設為h 45°

30°

(36)

III. 所涉及之基本技巧

1. 對於要找的角能集中注意力於相關的三角形上，如 2005 年中學會考數學科卷 I， 14 題 (c)。求圖中 ∠ CDE。

2. 對於要找的邊，能集中注意力於相關的三角形上，如 2004 年中學會考數學科卷 I，20 題 (a)(i)。求圖中 FF 。

考慮

Δ

^{FF E，而非}

Δ

^{FF A。}

3. 找出相關的三角形後，把

它畫出來。（這種技巧不絕對需要，眼利的可省去此步驟）如 2005-I-14(b) 雖說不一定需要，但其實這是將立體問題化成平面問題。

A

F

F 

E

D E

C

A

B

C

A

80°

?

120 60° ?

B C

正弦法則

(37)

續三角

4. 利用其他三角形的資料搬到相關三角形來。例如 2005 年中學會考數學科卷 II， 47 題（這亦牽涉 II (e)的技巧）

又例如 2002 年中學會考數學科卷 I， 12 題 (a)

5. 加補助線。例如 2004 年中學會考數學科卷 II， 48 題。

?

9

涉及技巧（4）

設為h

45°

30°

90 h

15°

20° 30°

A B

C

9

A B

C

30°

90

9 餘弦法則

(38)

建議課堂活動：最慳位方法

活動目標：學生能利用三角學知識，找到並解釋超級市場在有限空間堆疊最多圓罐貨品的方法。活動內容：學生利用不同大小的紙箱，找出能盛裝最多

大小相同的圓罐的方法。活動後學生能發現採用「品」形排法與「井」形排法各優、缺點。「品」形排法：三個相鄰的圓罐，其圓心可成一等邊三角形。「井」形排法：四個相鄰的圓罐，其圓心可成一正方形。

建議課堂活動：重差術²³（量度大廈高度）

活動目標：學生能利用三角學知識，透過所提供工具計算出大廈的高度。

活動內容：已知校舍的高度，在量度

θ

^和

φ

^{後同學} 需計算出大廈的高度。

23 這其實源自《海島算經》。見李儼、杜石然（1986）。《中國數學簡史》。

濟南：山東敎育出版社。不過現時利用三角比，問題變得容易得多。

學校

θ 大廈

φ

(39)

續三角

相關網站：

1. 幾何簡史與互動教材庫

http://www.math.ied.edu.hk/ITProj2003/Geometry/Index.htm 2. 三角學

(a) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/sines.html (b) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/cosines.html (c) http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/tangents.html (d) http://www.npc.edu.hk/staff/~mkchan/content_maths/

math_my_teaching_materials.htm 3. 三維空間的三角學

(a) http://resources.edb.gov.hk/trigo/#

(b) http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/geometry.pdf

(40)

15. 排列與組合

當然排列組合（尤以P 、_rⁿ C 的符號）在將來的學習（如_rⁿ 二項式定理）會用得著，但在這核心部分與其他課題之關係甚少，這其實可看成是一個自給自足的課題。首先，過往十數年來，香港與外地都提出了中學學習較為側重連續量而忽略數學中之離散技巧²⁴，外國甚至提出「淡化微積分」之想法。

無論如何，「數」（count）之方法是很值得學習的，而這些「數」的方法其實在概率等是用得著的，而不是區限於P 、_rⁿ C 這兩_rⁿ 個符號（及其定義與法則）。故此應配合不同之實例（如用較小的 n 去表明通則）、圖表（ table）、樹形圖（ tree diagram）等， 先培養學生這種數的方法與技巧，才轉到P 及_rⁿ C 之定義和法_rⁿ 則。

建議課堂活動：幻方²⁵

活動目標：從同學討論必勝方法中，同學能寫出相方對壘時所有組合的可能性，從而研究排列與組合的關係。

活動內容：兩個同學輪流在九格紙上分別寫上 1 至 9 九個數目，數字不能重複，最快能使橫行、縱列或斜對角線之和是 15 的三個數的組合便勝。

24 Kenny, M. J. & Hirsch C. R. (1991). Discrete mathematics across the curriculum, K－12 (The 1991 NCTM Yearbook) . Reston, Virginia: National

Council of Teacher of Mathematics.

25 其歷史故事可在不少文獻中找到，亦可參考註 10。

(41)

排列與組合

8 1 6 3 5 7 4 9 2

建議課堂活動：數一數

活動目標：從活動中，讓同學明白火柴的數目分別與行數和長方形的關係，從而建立排列、組合的概念。

活動內容：同學數一數下列的圖形共用了多少根火柴和有多少個長方形，並討論火柴的數目分別與行數和長方形的關係。

相關網站： 1. “e” 的引入

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/fk.pdf 2. 排列與組合

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/com_per.pdf

(42)

16. 續概率

到了高中學習概率，應已脫離了概率實驗而正式轉入概率空間之運算（所謂理論概率：雖然我們不必提及「概率空間」之名稱。關於實驗概率與理論概率之分別與關係，雖非本課題之範圍，但小心不要墮進「實驗次數越多，實驗概率會趨於理論概率」的常見誤解²⁶。例如圖中的兩顆骰子，一個呈正方體，另一個呈長方體，直覺上認為後者較前者偏差，但其實很難證明這點，亦很難算出偏差的程度。一些老師讓 40 多名學生各自擲毫得出 P(H) = 0.6 之類便說若有時間多擲一 點即令其趨近 0.5 就是犯了這個毛病（況且這個擲 40 多個毫而不重覆擲一個毫）。

首先，一些概率根本沒有所謂理論概率( 當然這句有語病，更確切的是沒有公認的理論概率)。如 1969 年版（ The School Mathematics Project Book 5, Cambridge University Press）第五冊第十二章第 5 節中（頁 225）便指出「實驗概率是大量試驗後的總結。它並不準確，因為再多點實驗會輕微影響結果，雖然正常情況下這種調整是細的。故此在過往 20 年，生男之機會十

26 蕭文強、黃毅英（2009）。實驗概率和理論概率的關係—中學數學教學如何受益于大學數學。《數學教育》27期。

(43)

續概率

分接近51.4%（於前文介紹了英國於 1966 年共有 504000 男孩及 476000 女孩出生），但於上世紀末，其概率為 51.1% … … 。此外以擲毫為例，我們不應亦不可能斷定其得到正面的概率是二分之一，若經過一連串實驗，其概率是 0.48，就是 0.48 了，不能說多擲點就會變成 0.5。假定 P(H) = 0.5 只是一種約定 俗成，也之所以叫做理論 (a priori) 概率。更準確的是給 P(H)

「指派」為 0.5（或其他數值）完全沒問題。只要它遵守概率 空間的公設就可以了。即概率乃為由抽樣空間 S 到 R 之函數，

對於 S 中每一事件 A：

1. 0≤P(A)≤1 2. P(S)=1

3. 若 Ai ∩Aj =

φ

，i≠ , 則 j

...

) ( ) ( ) ( ...)

(A₁∪A₂∪A₃∪ =P A₁ +P A₂ +P A₃ + P

其實統計學上共有兩條大數定律：弱大數定律和強大數定律。和我們有較密切關係的是弱大數定律。詳情在附錄中介紹。

在高中階段，概率的討論其實已進入數學建模。所以一切應在概率法則（所謂公設）的層面上操作，故此，由實際處境中引出（其實不是「證明」）幾條公設後，便應依照這些法則運作。

利用集合符號不只是為了方便的緣故，更是與學習相輔相成的。在以往利用符號邏輯運算（所謂 statement calculus）

介紹數學中重要的「和」、「或」、「非」等邏輯關係比較抽離乏味，而以方程或不等式之解集，又或概率關係是比較自然的方法。

(44)

建議課堂活動：相同生日

活動目標：學生在計算概率過程中明白互補事件的應用。

活動內容：老師就班內同學作一生日日期的統計，統計有多少位同學有相同生日。假設一班同學有 n 人， 然後計算那麼同一班同學最少有兩個人同一天生日的概率。

P（最少有兩個人同一天生日）

= 1 – P（沒有人同一天生日）

= 1 –

365 1 ... 365

365 363 365

364× × × −n+

相關網站：

1. 教育局教學資源套（照顧學習差異）

http://cd1.edb.hkedcity.net/cd/maths/tc/ref_res/ld_c/LD_c%20content.htm 2. 教學討論（教育局 — 數學教育組）

(a) http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4687/fp.pdf (b) http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4957/card%

20game.pdf

n P（E）

2 0.0027 5 0.0271 10 0.1169 15 0.2529 20 0.4114 21 0.4437 22 0.4757 23 0.5037 24 0.5383 25 0.5687 30 0.7063 40 0.8912 50 0.9704 60 0.9941 70 0.9992

(45)

離差的度量

17. 離差的度量

一些老師可能比較集中留意各統計量之計算，這不一定是統計學上之原意，反而各統計量之適用性及詮釋更為重要。例如，在實際來說，計算連續分佈之四分位數間距

（inter-quartile range），利用累積頻數曲線，在圖像上畫出來就可以了，不必太準確，只不過香港太著重標準答案吧了。

比如三種常用的集中趨勢，其實各有用處。例如眾數

（mode）不一定少用。比如報告幾個候選人（或明星）之支持度，眾數就最直接。至於中位數，除了避開了極端數據外，不少常用的事件如公屋住戶的租金訂定是根據公屋住戶的入息比例中位數、政府統計處每五年公佈香港人入息中位數等都會利用到中位數的。

與此相連的，分佈域（range）、四分位數間距（inter-quartile range）及標準差亦各有運用的場合。理論上，連續分佈的分佈域沒有多大意義，因為它的分佈域就是（–∞ , ∞ ）！但對於不少實際問題，分佈域就常常會用得，例如在一項對年青人進行的調查中，說明如受訪者年齡的分佈域是 13 至 18 歲，就很常見且甚有意義了。同理，在教一班學生前，知道這班青年的成績為 60－80 分就提供了重要的資料。

四分位數間距是中位之「延伸」，故此其作用亦是排除了極端的數據。當然標準差是最常用了，因為它可以用代數式

（或用計數機、電腦）機械地計算出來，且每個數據都動用了，亦有圖像上的意義，即各數據與平均值距離平方之總和

（再除以數據總數 N）的平方根。至於為何用 N 而非 N 當然

(46)

是為了統計上的意義，使之成為無偏估量（unbiased estimate）。

在計算方面，如課程中說，可分開分組數據（grouped data）

及不分組數據（ungrouped data）的不同處理方法。非基礎部分有涉及將數據組移動後，這些統計量之變化。這當然有其實際用途，例如我們派了數個資料搜隻員得出了不同樣本的平均和標準差，如何可將之計算出合起來（pooled）的平均和標準差。與此同時，亦可以幾何變換去看待這個問題，例如加入常數乃為平移，乘以非單位常數則為放大／縮小

（enlargement / contraction）。這亦可看成為單位的轉變（例如以 cm 為單位，平均值為 325cm，若換以 m 為單位，平均值為 3.25m，至為明顯！）

建議課堂活動：評判團

活動目標：學生能找到體操比賽中剔除評判團中給出最高和最低分的原因和剔除分數的數目準則，從而引入四分位數和標準差的概念。

活動內容：讓學生討論在體操比賽中剔除評判團中給出最高和最低分的原因和剔除分數的數目準則。

(47)

統計之應用與誤用

18. 統計之應用與誤用

當然，The Use and Abuse of Statistics 及 How to Lie with Statistics 為必不可錯過之讀物，這個課題最好配合專題研習去學習²⁷。統計習作亦可分階段進行，以避免混亂。香港統計習作比賽早期要求參賽者只分析／表述已發表（現成）的數據，雖然不涉及數據搜集，但亦大有可為²⁸。而這些統計習作最好由小做起；例如初中的習作只運用現成數據，而高中則擴展到自行搜集數據等。

至於統計之誤用，對現成的報章雜誌及各種報告進行分析最實際，且能令學生覺得有實質之需要（誤導就在你身邊！）。

不過可注意的是，有一種「誤用」其實是一種「誤導」，

例如圖中用視覺（縱軸不以 0 為起點，即所謂「off origin design」）

誇大了 Y 的銷量，但這個圖基本上是準確的，只是利用了視覺效果，精明的讀者仍可由此得出準確的數據－這亦正正是這課的一個重要目的，讓學生變成精明統計圖表／報告的解讀者！

27 P.H. Cheung, K. Lam, M.K. Siu, & N.Y. Wong (1986). An appraisal of the teaching of statistics in secondary school of Hong Kong. Paper presented at the 2nd International Conference on the Teaching of Statistics. Victoria, Canada.

28 黃毅英（1992）。習作在統計教學上的效能。《學校數學通訊》11 期，11－

21。

黃毅英（1993）。統計圖表誤用。《學校數學通訊》12 期，1－4。

漫談數學學與教 新高中數學課程必修部分

數學百子櫃系列（一）