Majumdar 於1993 年把聲子類比光子，以波茲曼傳輸方程式為基礎，推導出聲子輻 射傳輸方程式(equation of phonon radiative transfer,EPRT)[30]。在半導體與介電 材料下，熱傳導主要是藉由聲子的傳輸。熱載子的基本性質於表4-1。我們從聲子波茲 曼方程式(phonon Boltzmann transport equation)開始，波茲曼方程式常被用來模擬 聲子、光子、電子與氣體的傳輸。考慮粒子在運動過程可能會散射碰撞，其波茲曼方程 其中f為在時間t時的分佈函數(distribution equation)，v為聲子速度。考慮聲子 在介質中運動速度接近定值，忽略加速項。( f)s state)，為普朗克常數(Planck constant)，v 為聲子群速度(group velocity)。將 4-3 式乘上v D( )並使用 4-4 式的定義，可得聲子輻射方程式[33]-[37]。
Id I dispersion model，C=0.93×106(J/m3K)、v=1804(m/s)、Λ=260 (nm)。在室溫下，大多 數的 acoustic phonon 在 zone boundary 附近被激發，聲子群速度比聲速小很多，而 optical phonon 貢獻大部分的比熱但由於其近乎零的群速度所以只有少部分的熱傳導 係 數 。 所以 較好估計平均自由路徑與群速度的方法是將橫向 (transverse) 與 縱向 (longitudinal)的 acoustic phonon 色散用 sine function 簡化，並扣掉 optical phonon 對比熱的影響來計算平均自由路徑[38]。
44
4-2 數值方法
聲子輻射方程式為一積微分方程式，本文使用離散座標法(discrete ordinate method)或稱 SN Method 來簡化聲子強度對空間立體角的積分。把整個立體角的聲子輻 射強度分成 n 分量乘上對應的權重函數 w(quadrature weights)相加。權重函數需滿足 總合為立體角:
則縮減為四個方向，權重函數要兩倍以維持總合為 4π。所使用的方向餘弦與權重函數
我們取 Kn=10、1、0.1 來探討二維薄膜的熱傳，溫度分布情形如圖 4-3、4-4、4-5。設 X=0 時，T0=1。當紐森數為 0.1 時，聲子以擴散方式傳熱，邊界並沒有太大影響。當紐 鏡面反射。我們分別模擬紐森數 0.1、1、10 與孔洞大小 d=0.16L、d=0.35L 與 d=0.55L，
聲子強度分布如圖 4-8、4-9、4-10。並將不同 Kn 等效熱傳導係數與塊材熱傳導係數的 比值對孔洞大小作圖於圖 4-11。可看出孔洞越大則熱傳導值越小。
4-3-3 二維奈米線薄片
46 邊界要用鏡面反射還是散射處理，我們參考 Ziman[40]提出的 interface specularity parameter p，
其中δ是界面粗糙度(interface roughness)，λ是聲子的波長(dominant phonon wavelength)。p=1 表示完全的鏡面反射，p=0 表示完全的散射。在室溫下，聲子波長λ
們取奈米線與空氣比例為 3:2 來，即奈米線占 60%來模擬，設 Lg:Lh 為 3:2。從模擬結 果可以看出，當奈米線長度越長，其等效熱傳導係數越低。此種結果在熱阻串聯模型可 解釋為空氣的影響，因其降低來自於奈米線與矽基板的截面積不同。而在聲子輻射方程 式的模擬裡，除了空氣造成的影響，還有來自奈米線尺寸效應的影響，所以等效熱傳導 係數比熱阻串聯還要來的低。其聲子輻射方程式所模擬的結果即為裡想狀況，實際的試 片裡，較細的奈米線由於長寬比過高容易傾斜或斷裂，較多為直徑較粗的奈米線，所以 熱傳導值沒有聲子輻射方程式模擬的值那麼低。然而，單根矽奈米線的直徑要到 4μm，
其熱傳導係數模擬值才會接近塊材，因此直徑小於 4μm 的奈米線，多少都會有尺寸效 應。而單根奈米線，長度超過 30μm 後熱傳導模擬值則達到穩定，所以圖 4-13，聲子輻 射方程式的結果，其奈米線小於 30μm 時斜率較大，之後斜率則漸漸變小。
48
Free Electron Phonon Photon Generation Ionization or
Excitation
Lattice Vibration Atomic, Molecule Transition Propagation Media Vacuum or Media Media only Vacuum or Media
Statistics Fermion Boson Boson Frequency Zero-Infinity Debye cut-off Zero-Infinity Dispersion E=ℏq2/2m E=E(q) v=c/λ
Velocity ~106 m/s ~103 m/s ~108 m/s 表 4-1.熱載子的基本性質。
圖 4-1.聲子傳輸座標系統。
Order of Approximation
Ordinates Weights w
ξ η μ
S2 symmetric 0.5773503 0.5773503 0.5773503 1.5707963 S2 nonsymmetric 0.5000000 0.7071068 0.5000000 1.5707963 S4 0.2958759 0.2958759 0.9082483 0.5235987 0.2958759 0.9082483 0.2958759 0.5235987 0.9082483 0.2958759 0.2958759 0.5235987
表 4-2.權重函數與方向餘弦。
圖 4-2.二維薄膜聲子方向示意圖。
50
圖 4-3.Kn=0.1 二維薄膜溫度分布。
圖 4-4.Kn=1 二維薄膜溫度分布。
圖 4-5.Kn=10 二維薄膜溫度分布。
圖 4-6.二維薄膜有效熱傳導係數 與塊材比值和紐森數作圖。
圖 4-7.二維奈米孔洞聲子方向示意圖。
52
(a)
(b)
(c)
圖 4-8.二維奈米孔洞溫度分布
Kn=0.1，(a)d=0.16L(b)d=0.35L(c)d=0.55L
(a)
(b)
(c)
圖 4-9.二維奈米孔洞溫度分布 Kn=1，(a)d=0.16L(b)d=0.35L(c)d=0.55L
54
(a)
(b)
(c)
圖 4-10.二維奈米孔洞溫度分布 Kn=10，(a)d=0.16L(b)d=0.35L(c)d=0.55L
圖 4-11. 不同 Kn 等效熱傳導係數與 塊材熱傳導係數的比值對孔洞大小作圖。
圖 4-12.二維奈米線薄片邊界散射與幾何結構示意圖。
56
圖 4-13.模擬與實驗結果。
第五章 總結與未來展望
本文使用瞬態平面熱源法量測矽奈米線薄片的熱傳導值，發現其等效熱傳導值將隨 著奈米線的高度而降低，以 320μm 的奈米線薄片來說，熱傳導值降低了約 43%。更進一 步使用聲子輻射方程式模擬，可得到有奈米結構尺寸效應的理想值趨勢變化，以利得知 未來研究方向，例如矽奈米線越細越好。由於量測的關係，我們使用厚度 650μm 的矽 晶片做為基板，然而真正達到熱傳導係數降低可使用更薄的基板，利用現有的半導體技 術，可大量生產低成本的生產較薄的矽奈米線，使得此結構不再像超晶格或量子點熱電 材料，只能做為學術研究。
58
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