肆、相關概念的檢討
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哥德爾的不完備性定理通常是針對形式化的演繹系統，而一個 演繹系統是基於某個「合理」的第一階邏輯的語言並由有限多的推 論規則及可被決定 (decidable) 的一組公理所構成，26 在這樣的設 定下，我們可以用一個圖靈程式 (Turing program) 來模擬該系統，
這程式可被視為一個「定理證明器」(theorem prover)。所以在上文 的討論脈絡裏所指的機器或圖靈機器，嚴格來說，其實是一個圖靈 程式。我們也知道現今的任何電腦語言的程式都可改寫成一個等價 的圖靈程式，因此只要考慮圖靈程式即可。理論上，我們可以把一 個 定 理 證 明 器 當 作 是 一 個 局 部 遞 迴 函 數 (partial recursive func-tion)，也就是我們可將一個語句的哥德碼輸入，如果它是一個定理，
則在有限步驟內，定理證明器會輸出一個數字，例如 1，以表示肯
26 所謂合理的語言是指可被遞迴編碼 (recursively numbered) 的語言，見Enderton, 2001:142-3 和 225。 「 可 被 決 定 性 」 在 此 可 換 為 「 可 有 效 枚 舉 的 」 (effectively enumerable)（根據 Church’s thesis，這兩個概念分別等價於「遞迴的」及「可遞迴 枚舉的」），因為在一個合理的語言下，任何由一組可有效枚舉的公理所形成的理 論必然可被某一組可被決定的公理所公理化，這是眾所周知的後設邏輯定理（亦即 Craig’s theorem），可見 Monk, 1976: 262-3。又，有些演繹系統可能沒有公理而僅 有推論規則，例如自然演繹法的純邏輯系統 (pure logic of natural deduction)。
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定，否則有可能永遠不會輸出任何數字。27 因此一個定理證明器能 證 明 的 定 理 （ 的 哥 德 爾 碼 ） 所 形 成 的 集 合 一 定 是 遞 迴 可 枚 舉 的 (recursively enumerable)。28 在當前的討論脈絡下，「機器」必須如 是理解。
那麼機器要如何「模擬」或「代表」心靈呢？文獻中常常語焉 不詳。當然在我們的討論脈絡下並不要求機器能夠全面地模擬心 靈，而是僅就數學推論的能力而言，甚至可以只限定在關於自然數 算術理論的推論能力上。一個立即的觀察是：數學家通常不可能用 機器的方式來尋找證明（見註解 27），例如費弗曼 (Feferman) 指 出：
實際上，數學家們透過不可思議的以下幾項的組合來 得到證明：啟發性的推論 (heuristic reasoning)，洞察 (insight)，靈感 (inspiration)……而在此並沒有普遍的 法則存在……要得到數學上的成功並沒有公式……
27 這是因為從一組可被決定的公理所得到的所有的證明的哥德爾碼所形成的集合 會是可被決定的，因此定理證明器可以從數字 0 開始執行以下的步驟：(1) 檢查它 是否為一個證明的哥德爾碼，若是，進行 (2) 若不是則跳到下一個數字並回到 (1)；
(2) 檢查這證明的最後一項是否為輸入之語句的哥德爾碼，若是，輸出數字 1，若 不是則跳到下一個數字並回到 (1)。
28 根據這裏的設定，若一個語句可被所考慮的定理證明器所證明，則前者的哥德爾 碼會在後者所對應的局部遞迴函數的定義域中，而任何一個局部遞迴函數的定義域 都是遞迴可枚舉的。又，如果該定理證明器所模擬的是一個可被決定的系統，則若 所輸入的語句不是一個定理，它也會輸出某個數字來表示，不過它的定義域仍會是 遞迴可枚舉的。
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就這面向來看，數學的想法，就其如何被産生而言，
不會是機器式的 (Feferman, 1995: 4.2 and 4.3)。
如果機器能不能模擬心靈指的是機器是否能夠依心靈的思惟 方式來得到證明，大部分的邏輯學家或數學家應會肯定地回答「不 能」。或許會有人認為這樣的回答過於武斷，因為人工智慧的發展 常就是試圖用機器來模擬人類的思維方式。但如此一來，要考慮機 器是否能模擬心靈就必須考量心靈的種種數學思惟方式，但這些思 惟方式是無法清楚界定的（更遑論要將之形式化了），因此不是一 個用邏輯就能處理的問題，更不用說僅依靠不完備性定理了。
林德斯仲曾區分強及弱的兩個「心靈不是機器」的主張。弱的 主張：機器不可能完整地模擬人類發現數學證明的方式；強的主 張：不可能存在有某個機器其所能證明的數學命題所成的集合包含 了（或等於）心靈所能證明的數學命題所成的集合 (Lindström, 2001:
242)。剛才已經提到，弱的主張，在我們的討論脈絡下，不會有什 麼爭議，所以若有問題應是在強的主張上。同樣的，這裏的數學命 題也可以限定在自然數的算術理論上。換言之，機器在這個脈絡下 可以用它所能證明的自然數算術的定理所形成的集合來取代。如果 我們這樣子界定問題，則就相當明確，因而能從形式邏輯的觀點來 考慮。很明顯的，剛提到的弱的主張其實是反對強的機器論的主 張，亦即機器可以模擬人類數學證明的方式，而強的主張是反對弱 的機器論的主張，亦即心靈所能證明的數學命題所成的集合包括於
（或等於）某個機器所能證明的數學命題所成的集合。所謂的強弱 之分是根據邏輯蘊涵的方向來定義：強的主張蘊涵弱的主張。據 此，潘若斯等人的反機器論立場應該界定為反對弱的主張。當然，
若潘若斯等人的論證成立的話，強的機器論主張也不能成立。
要注意的是，就算潘若斯等人的論證成立，也不蘊涵「實際上」
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機器一定無法模擬人類的心靈，這是因為機器論者與反機器論者之 間的爭辯所涉及的其實是「理想化」的心靈及「理想化」的機器。
如同夏皮洛所指出的 (Shapiro, 2003: 20-21)，現實中的機器有記憶 體的限制，硬體有時會故障，軟體有時會有錯誤，但理想化的機器 沒有記憶體的限制，且我們常用一個演算法或形式化的演繹系統或 語句所構成的集合來取代實體的機器，故也不需要考慮硬體可能會 發生的問題。而理想化的心靈所指的並非任何特定個體的心靈，它 沒有生命的限制，不會疲勞，不論一個計算要花多長的時間，它都 能專注在上面，並且不會犯錯。據此及上文所述，文獻中所討論的 問題，精確地說，應是：「是否有一理想化的機器能證明理想化的 心靈能證明的所有的自然數算術的語句」。
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「證明」這個概念在形式邏輯上有很清楚的定義（見註解3），
但是此定義通常僅適用於公理化系統，可是要給出一個數學證明，
不見得要先給出一個公理化的系統。在早期，許多數學家大都訴諸 一些數學上的直覺來建構證明。公理化系統的提倡是晚近的事，而 最為人所知的提倡者是希爾伯特 (Hilbert)，他的主張一般稱之為
「希爾伯特計畫」(Hilbert’s program)，其內容大致如下：所有的數 學理論都應該進行公理化，並且要能證明它本身是一致的，而對其 一致性的證明僅能運用「有限方式的方法」(finitary methods)。29 希
29 希爾伯特對有限主義 (finitism) 的詮釋訴諸某種康德式的直覺，這是一種對有限 符號的操作的直覺。根據他自己所擧的例子，“1” 是一個符號，任何一個以 “1” 開 頭，以 “1” 結尾，且任兩個 “1” 中間有個 “+” 的序列也是符號，這些符號就是數 字，而且構成了所有的數字。它們是某種「邏輯之外的具體事物」(extra-logical
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爾伯特在上個世紀的二零年代提出上述的計畫。該計畫的産生肇因 於十九世紀末及二十世紀初所發現的一些悖論，其中最有名的就是 羅素悖論 (Russell’s paradox) 。30 羅素悖論帶來了一個警訊：見似 理所當然的數學直覺卻有可能導致矛盾。羅素悖論所牽涉的直覺 是：考慮任何的性質，具備這性質的事物可視為一個整體，而我們 也可考察這個整體是否具備某些性質。在羅素悖論出現之前，大概 不會有人去質疑這樣的直覺有何不妥，事實上，眾所周知的，弗雷 格 (Frege) 還把它用在其邏輯體系的建構。31 但羅素悖論的發現，
使得一些邏輯學家及數學家懷疑僅訴諸見似無可質疑的數學直覺 來進行證明的方式，有可能暗藏矛盾，而這也是希爾伯特鼔吹公理 化系統的原因，如此一來，所有證明能用的憑藉（除了純邏輯的真 理以外），都必須事先被交代清楚，也就是以公理方式列出，這增
concrete objects)，而我們能夠立即、直接地掌握它們的呈現（這蘊涵了數字不會是 無限長的序列）。例如，我們可以不假任何論證，馬上看出在 “1+1=1+1” 等號兩 端有同樣多的 “1” 及 “+” 出現。對希爾伯特而言，這類型的等式為真的命題 (true propositions)，見Hilbert (1922)。希爾伯特的有限主義並不是很清楚，也必須面對哲 學上的一些難題，見 Zach (1998) 的討論。
30 羅素悖論是利用「不屬於自己」這個一元述詞所構造出來的，現簡述如下：讓我 們用 x∈y 來表示 x 是 y 的一個元素（或 x 屬於 y）。現在考慮 x∉x 這個性質
（這是一個一元述詞，故可視為一種性質）。將所有具備這個性質的集合放在一起 形成一個集合 R，亦即 R={x: x∉x}。顯然地，R∈R 或 R∉R。若R∈R，則因為 R 的元素必須滿足 x∉x 這個性質，所以我們得到 R∉R。若 R∉R，則因為 R 滿足 x∉x 這個性質，所以 R∈R。換句話說，無論是 R∈R 或 R∉R，我們都推導出矛盾。
31 見弗雷格的 “Conceptual Notation” 一文，並見羅素與弗雷格的通信。兩者可見 Beaney, 1997。
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加了數學證明的嚴謹性 (rigor)。但更重要的是，一個公理化的系統 必須能證明其自身的一致性，這樣才能一勞永逸，不會再受到悖論 的困擾。然而，如同哥德爾的第二個不完備性定理所示，有一些重 要的公理化的系統不能證明自身的一致性，希爾伯特的計畫也因而 破滅。32
公理化系統雖然增加了證明的嚴謹與清晰，但也可能帶來意想 不到的限制。例如集合論最為人所知的獨立性結果是康托爾的連續
公理化系統雖然增加了證明的嚴謹與清晰，但也可能帶來意想 不到的限制。例如集合論最為人所知的獨立性結果是康托爾的連續