自旋軌道耦合與自旋鬆弛機制

2-1 自旋極化

隨著科學的進步以及製程與製作技術上的改良與突破，磁性薄膜 的研究發展從金屬、氧化物等材料，正逐漸朝向半導體電子應用的材 料發展。半導體積體電路具有高集積度、高訊號處理速度以及極佳的 可靠度，利用載子(電子與電洞)的電荷性質，藉由外加電場來控制半 導體中載子的流動。然而，積體電路為達到更快速更密集的需求時，

奈米級尺寸的元件開發勢在必行，此時載子間自旋有關的交換交互作 用(exchange interaction)必須加以考量，因而電子的自旋特性將更 為重要，而如何有效的產生自旋極化(spin polarization)訊號更成 為發展自旋電子元件的重要關鍵。

多年以前，因為缺乏良好的自旋極化電子源(Spin-Polarized Electron Source)，相關的研究較為稀少，直到以砷化鎵(GaAs)作為 自旋極化電子源出現[2.1]，砷化鎵更被證明是許多原子、原子核和 粒子物理實驗的重要的途徑。砷化鎵是直接能隙(direct bandgap) 的半導體材料，其光電特性遠比非直接能隙的材料(如 Si)佳。

電子自旋解析除了測量光電子的動能和動量外，必須測量光電子 的自旋極化光[2.2]，光電子的躍遷過程必須滿足選擇率(selection rule)，角動量守恆(conservation law of angular momentum)才能

使光電子躍遷，光電子的躍遷現象只在 Δ l = l’ – l 為± 1 的條 件下發生，若物質被線性偏振光激發，Δ m = m’ – m 必須是 0 時 光電子才會被激發，若激發光源為圓偏振光，Δ m = m ’ – m 必 須是± 1。而自旋極化(spin polarization, Pⁿ)的定義為

P_n = ⁿ_n^↑−n↓

↑+n_↓

其中n_↑(n_↓)則是自旋平行於磁場(反平行)量子方向的數量

圖 2-1 接近 Brillouin zone 中心的砷化鎵能帶結構示意圖 為了得到轉移機率(transition probability)，選定角動量量子 化𝑧̂軸垂直於晶體表面，並使用𝜎^±來表示極化光的左右旋，而𝜎^±光學 轉移(optical transitions)偶極運算子(dipole operator)

dipole operator ∝ (X ± iY) ∝ 𝑌₁^±1 𝑌_𝑙^𝑚為球諧函數(spherical harmonic)

(2.2) (2.1)

由表 2-1 和圖 2-2，並根據 Fermi-Golden Rule[2.3]，在單位時 間內電子由初狀態|𝑖⟩到末狀態|𝑓⟩的躍遷率為

𝑃_𝑖→𝑓 = 2𝜋

ℏ |⟨𝑓|𝐻_𝑟𝑎𝑑|𝑖⟩|²∙ 𝛿(𝐸_𝑖 − 𝐸_𝑓 ± ℏ𝜔)

可以推導出重電洞(heavy hole,|𝑚_𝑗 = − 3 2⁄ |)和輕電洞(light

hole, |𝑚_𝑗 = − 1 2⁄ | ) 之 間 的 𝜎⁺ 相 對 轉 移 機 率 (transition

probability)為

|⟨1 2⁄ ,−1 2⁄ |𝑌₁¹|3 2⁄ ,−3 2⁄ ⟩|²

|⟨1 2⁄ ,1 2⁄ |𝑌₁¹|3 2⁄ ,−1 2⁄ ⟩|² = 3 其他的相對轉移機率則可依此類推，如圖 2-2

表 2-1 Γ的角動量與自旋波函數(wave function)

(2.4) (2.3)

圖 2-2 圓形極化光𝜎^±對應𝑚_𝑗之選擇率(selection rule) 因此砷化鎵塊材(GaAs Bulk)的初始極化率為

𝑃_𝑛(𝑡 = 0) = 𝑃₀ = n_↓− n_↑

n_↓+ n_↑ =3 − 1 3 + 1 =

1 2

圖 2-3 GaAs Bulk 的光學取向

當我們把三維空間自由運動的粒子束縛在一個平面區域，形成量 子井(quantum well)，如將砷化鎵(GaAs)夾著兩層擁有較大的能隙的 材料，像是鋁砷化鎵(Al^xGa^1-xAs)，因為 GaAs 和 Al^xGa^1-xAs 存在的晶格 (2.5)

不匹配在界面間形成一個應力，界面受到平行於平面的剪切應力和垂 直於平面的垂直應力影響，晶格對稱性遭到破壞，價帶能階產生了位 移和分裂出重電洞(heavy hole)和輕電洞(light hole)兩個不同的能 階。因此相較於砷化鎵塊材(GaAs Bulk)，GaAs / Al^xGa^1-xAs 量子井 的藉由激發重電洞，初始極化率理論上可以達到 100%，如圖 2-4

圖 2-4 GaAs quantum well 的光學取向

由於電洞受到自旋軌道耦合(spin-orbit coupling)的影響，導 致自旋極化迅速衰退。當利用 pump probe 系統，以波長 800nm(1.55eV) 的𝜎⁺入射光激發，分別讀取波長為 3200nm、3000nm 和 3800nm 的 𝜎⁺和𝜎⁻，如圖 2-5，並由圖 2-6 的結果，推算出重電洞自旋鬆弛(heavy hole spin relaxation)時間大約為 110fs±10%，相較於電子自旋鬆 弛時間還要短，因此可以假設當電子與電洞熱平衡後，電洞已不具有 自旋極化[2.4]。

圖 2-5 電洞鬆弛時間解析量測示意圖

圖 2-6 電洞鬆弛時間解析

因此在熱平衡時間τ，當電子和電洞複合放射出𝜎⁺和𝜎⁻時，如圖 2-7，

螢光的圓偏極化率(the degree of circular polarization)為 𝑃_{𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟} =^𝐼_𝐼⁺₊^−𝐼_+𝐼⁻₋ =^(𝑛_(𝑛^{↑+3𝑛↓)−(3𝑛↑+𝑛↓)}

↑+3𝑛_↓)+(3𝑛_↑+𝑛_↓) =¹₄

圖 2-7 電子與電洞熱平衡時的複合放光

(2.6)

2-2 自旋軌道耦合(spin-orbit coupling, SOC)

在缺乏反稱對稱(inversion symmetry)的晶體結構中，如砷化鎵 (GaAs)，因為自旋軌道的交互作用力(spin-orbit interaction) 下， 導致跟自旋相關的能階分裂。而在半導體中的反稱不對稱主要來源可 以 分 類 成 三 種 。 第 一 種 是 塊 材 反 稱 不 對 稱 (bulk inversion asymmetry)，其來自於晶體結構缺乏反稱中心，如硫化鋅晶體結構 (zinc blende structure)。另外一種非對稱性則是由於在結構外加 電場或是結構組成的不對稱性，稱做結構反稱不對稱(structural inversion asymmetry) 。 最 後 一 種 則 是 介 面 不 對 稱 性 (interface asymmetry)，是由於在材料介面下原子的聯結不同(聯結鍵或是鍵結 方向)所造成。一般情況下，對於在半導體下的電子自旋軌道交互作 用，我們大多只考量前兩類反稱不對稱。

因此，在三五族半導體中自旋軌道耦合 H^so 可以分成兩項，

Dresselhaus 與 Rashba 項[2.5] [2.6] [2.7]，分別來自於基體反 稱不對稱及結構反稱不對稱。

自旋軌道耦合可以由造成電子自旋進動(precession)並與動量k⃗

相關的磁場𝐵⃗⃗⃗ (𝑘⃗ )來描述，在通常的情況下，我們會使用對應於自旋_𝑖 進動的 Larmor precession frequency vectorΩ⃗⃗ (𝑘)來描述自旋分裂。

此時，自旋軌道的交互作用力以 Homitonian 表示為 𝐻_𝑠𝑜 = ℏ𝜎 ∙ Ω⃗⃗ (𝑘)

其中，σ代表 Pauli 向量矩陣

在砷化鎵塊材(Bulk GaAs)結構中，Dresselhaus 項Ω⃗⃗ (𝑘)在三維 電子系統表示成[2.7] 作線性 Dresselhaus 項(linear Dresselhaus term)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

在 量 子 井 中 ， 因 為 結 構 反 稱 不 對 稱 (structural inversion asymmetry)導致自旋軌道耦合的第二項，稱為 Rashba 項，如圖 2-8(b)

Ω⃗⃗ (k)_Rashba = ^α_ℏ∙ [k_y, k_x, 0]

而我們可以藉由兩邊使用不同材質當阻隔層(barrier)或是只用單一 阻隔層，最後也可利用不對稱的 doping 濃度來造成結構反稱不對稱 (structural inversion asymmetry)。Rashba 參數α則受到不對稱方 向的影響，來調整正或副值，另外值得注意的是，Rashba 項不像 Dresselhaus 項，並不會受量子井生長方向的影響。Rashba field 永遠在量子井平面上並平行電子波向量 k。

圖 2-8 (a)(001)方向的線性 Dresselhaus field (b) Rashba field (2.11)

2-3 自旋鬆弛

當我們利用光學取向(optical orientation)來產生非平衡的自 旋極化，而外在的激發源移除時，自旋極化訊號的平衡過程即是自旋 鬆 弛 。 對 於 自 旋 鬆 弛 (spin relaxation) 和 自 旋 去 相 位 (spin dephasing)的常見描述可以追朔到 Bloch 方程式[2.10]，這個方程 式可以解釋磁場中的自旋極化動力學。因此先以 Bloch-Torrey 方程 式來定義自旋鬆弛時間，並接著介紹自旋鬆弛的三大機制。

2-3-1 Bloch-Torrey 方程式

對 於 可 移 動 的 電 子 ， 我 們 利 用 電 子 磁 化 的 自 旋 進 動 (spin precession)、衰退(decay)及擴散(diffusion)的方程式來定義自旋 鬆弛時間(縱向的)𝑇₁和自旋去相位時間(橫向的) 𝑇₂，磁場為

B(𝑡) = 𝐵₀𝑧̂ + 𝐵₁(𝑡)

其中𝐵₀ 為𝑧̂方向外加一個縱向靜磁場，𝐵₁則是垂直於 z 軸的縱向震盪 場(transverse oscillating field)。在磁場B(𝑡)中的電子磁化的自 旋進動為

𝜕𝑀_𝑧

𝜕𝑡 = 𝛾(𝑀 × 𝐵)_𝑧 −𝑀_𝑧− 𝑀_𝑧⁰

𝑇₁ + 𝐷∇²𝑀_𝑧 其中γ = ^𝜇𝐵𝑔

ℏ 是電子磁旋比(electron gyromagnetic ratio)，𝜇_𝐵是波 耳磁子(Bohr magneton)、g 是對 Zeeman 分裂的 g 因子。

自旋鬆弛時間(spin relaxation time)通常被稱作𝑇₁時間又稱為 自旋縱向或自旋-晶格鬆弛(spin longitudinal or spin-lattice relaxation)時間，由式(2.15)所示，¹

𝑇₁代表在非平衡的自旋極化下，

沿著𝑧̂方向的靜磁場𝐵₀，藉由聲子放熱從高能階|↑⟩鬆弛至低能階|↓⟩的 速率大小。而自旋去相位時間(spin dephasing time)通常被稱作𝑇₂時 間又稱為自旋橫向或自旋去相干鬆弛(spin transverse or spin decoherence)時間，由式(2.13)和(2.14)所示，描述是以垂直靜磁場 造成不均勻(inhomogeneous)，因此整體觀察下的自旋去相位時間𝑇₂^∗ 則通常會短於單一自旋去相位時間𝑇₂。

(2.15)

圖 2-9 兩種自旋鬆弛時間

2-3-2 自旋鬆弛機制

在半導體中，有重要的三種機制用來解釋導電帶中的自旋鬆弛，

分別為 EY 機制、DP 機制及 BAP 機制，如圖 2-10，(1)EY 機制跟自 旋與相反方向自旋能階混合相關，由離子誘導的自旋軌道耦合造成；

(2)DP 機制跟形成有效磁場造成自旋鬆弛相關，由具有反稱不對稱的 材料引發自旋軌道耦合造成；(3)BAP 機制則是 P 型半導體中重要的 機 制 ， 由 於 電 子 和 電 洞 的 交 換 作 用 (electron-hole exchange interaction)，引起本身的磁場波動並造成自旋翻轉。

圖 2-10 自旋鬆弛三大機制

2-3-2-1 EY 機制(Elliott-Yafet Mechanism)

Elliott 1955 年首次發現到當晶體離子誘導產生自旋軌道耦合，

自 旋 電 子 會 藉 由 聲 子 或 是 雜 質 產 生 動 量 散 射 ， 引 發 自 旋 翻 轉 (spin-flip)，導致自旋電子的鬆弛[2.11]，如圖 2-11。

因為自旋軌道交互作用力的存在，Hamitonian 的描述為 𝐻_𝑆𝑂 = ℏ

4𝑚²𝑐²∇𝑉_𝑆𝐶 × 𝑝̂ ∙ 𝜎̂

M 為自由電子的質量，𝑉_𝑆𝐶為純的晶格位能(spin-independent)，

p̂ ≡ −iℏ∇為線性動量算符，σ代表 Pauli 向量矩陣，且此時單一電子 的 Bloch 波函數不再是𝜎_𝑧的 eigenstate，而是而是 Pauli 自旋向上|↑⟩

與自旋向下|↓⟩的能階混合。

當固體擁有中心對稱，上述 Elliott 所描述的情況，Bloch 自旋向上

|↑⟩與自旋向下|↓⟩的能階可以由晶格動量(lattice momentum) k 和能 帶指標(energy index)n 寫成

Ψ_𝑘𝑛↑(𝑟) = [𝑎_𝑘𝑛(𝑟)|↑⟩ + 𝑏_𝑘𝑛(𝑟)|↓⟩]𝑒^{𝑖𝑘∙𝑟}

Ψ_𝑘𝑛↓(𝑟) = [𝑎_−𝑘𝑛^∗ (𝑟)|↓⟩ + 𝑏_−𝑘𝑛^∗ (𝑟)|↑⟩]𝑒^{𝑖𝑘∙𝑟} 這兩個 Bloch 為簡併能階且為空間和時間對稱。

為了方便由已知的鍵結和聲子結構計算聲子誘導(phonon-induced) 的¹

𝜏_𝑠，Yafet(1963)有組織地提出相對應的理論[2.12]，聲子散射 (phonon scattering)造成的自旋鬆弛速率可以由 Eliashberg 自旋翻 (2.16)

(2.17)

(2.18)

轉方程式𝛼_𝑠²𝐹(Ω)來解釋 electron-phonon interaction)。

𝛼_𝑠²𝐹(Ω) = 𝑔_𝑠

圖 2-11 EY 機制自旋耦合導致自旋翻轉

由式(2-22)可看出 EY 機制的鬆弛時間𝜏_𝐸𝑌 正比於動量鬆弛時間𝜏_𝑘， 表示強動量散射會導致快速的自旋鬆弛，而弱動量散射有助於延遲自 鬆弛的時間。

2-3-2-2 DP 機制 (D’yakonov-Perel’ mechanism)

DP 機制為 GaAs bulk 和 quantum well 結構上在低溫時最主要的 自旋鬆弛機制，1971 年 D’yakonov and Perel’發現因為系統中缺 乏反稱對稱，導致自旋軌道耦合並造成自旋鬆弛[2.13]。由於 Bravais Hamiltonian 項為

H(𝑘) =1

是說單獨的電子自旋進動完一圈後，才會散射至另外一個動量能階，

圖 2-12 DP 鬆弛機制 (a)三五族塊材(Bulk III-V)半導體

在三五族塊材半導體中，因為反稱不對稱，式(2.23)中的內在 Larmor

在二維三五族半導體系統中，像是量子井，有兩種 Hamiltonian 項可 提 供 給 DP 自 旋 去 相 位 ：𝐻_𝐵𝐼𝐴(bulk inversion asymmetry) 和 𝐻_𝑆𝐼𝐴(structure inversion asymmetry)，這兩項根據量子井的方向 預測了不同的自旋鬆弛時間𝜏_𝑠相關性，如圖 2-13。

(2.26)

(2.27)

圖 2-13 SIA 和 BIA 的 Larmorr 進動頻率向量 BIA 項來自於 Dresselhaus 自旋分裂，

𝜅_𝑥 = 𝑘_𝑛²[2𝑛_𝑥(𝑛_𝑦𝑘_𝑦 − 𝑛_𝑧𝑘_𝑧) + 𝑘_𝑥(𝑛_𝑦² − 𝑛_𝑧²)]

y 和 z 值依此類推，將式(2.28)帶回式(2.26)，可以得到 1

𝜏_𝐷𝑃(𝐸_𝑘)= 𝛼²ℏ²(𝑘_𝑛²)²

2𝑚_𝑐²𝐸_𝑔 𝐸_𝑘𝜏_𝑝(𝐸_𝑘)

SIA 項來自於 Bychkov-Rashba 自旋分裂，其進動向量變成 Ω(𝑘) = 2𝛼_𝐵𝑅(𝑘 × 𝑛)

𝛼_𝐵𝑅為與自旋軌道耦合相關的參數 將其帶回式(2.23)，得到鬆弛速率維

1

𝜏_𝐷𝑃(𝐸_𝑘) = 4𝛼_𝐵𝑅² 𝑚_𝑐

ℏ² 𝐸_𝑘𝜏_𝑝(𝐸_𝑘)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

2-3-2-3 BAP 機制 (Bir-Aronov-Pikus mechanism)

Bir 在 1975 年發現由於電洞的存在，電子和電洞可以直接進行 交換作用，造成自旋鬆弛[2.16]，尤其是 p 型半導體，此交換作用的 Hamiltonian 項為

𝐻_𝐵𝐴𝑃 = 𝐴𝑆⃑ ∙ 𝐽⃑𝛿(𝑟⃑)

其中 A 是在導帶與價帶狀態的交換積分(exchange integral)，𝑆⃑為電 子自旋算符，𝐽⃑為角動量算符，r 為電子與電洞的相對距離。

而自旋翻轉散射的機率取決於電洞的狀態，如簡併或非簡併，快或慢，

為了定義 BAP 自旋鬆弛機制，可以臨界電洞濃度(critical hole concentration)𝑁_𝐶的大小來判別半導體是否簡併。

對於非簡併的電洞系統(𝑁_𝐴 < 𝑁_𝐶)，自旋鬆弛時間為 𝜏₀是交換分裂常數(exchange splitting parameter)：

ℏ

1

𝜏_𝐵𝐴𝑃 =_𝜏³

0𝑝𝑎_𝐵^{3 𝑣}_𝑣^𝑘

𝐵 𝑘_𝐵𝑇 𝐸_𝐹ℎ

𝐸_𝐹ℎ是電洞的 Fermi 能量

1

𝜏_𝐵𝐴𝑃是由與溫度相關的|𝜓(0)|²和 p 所主宰。對於非簡併的電洞系統的 系統來說， ¹

𝜏_𝐵𝐴𝑃 ∝ 𝑁_𝐴，對於簡併的電洞系統的系統來說 ¹

𝜏_𝐵𝐴𝑃 ∝ (𝑁_𝐴)^1⁄3。 (2.35)

2-4 參考文獻

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在文檔中 砷化鎵(001)量子井的自旋動力學 (頁 18-43)