第三章 使用 SLM 產生花形模態的實驗與結果分析
3.4 花形模態的奇異點結構
LG 本徵態是具有奇異點結構的光，因為帶有軌道角動量的性質，所以常被 用在光學鑷子、量子電腦及波通訊[17]的研究與應用上。花形模態的幾何結構，
比起 LG 本徵態，更加的複雜，並且具有輻射對稱性，將花形模態的奇異點結構 做分析，以便在未來的有更多的應用。
花形模態是由多個 LG 本徵態疊加而來，具有輻射對稱的幾何結構，以及在 暗處具有軌道角動量的性質。我們使用干涉儀系統，將花形模態與平面波做干涉，
由叉狀干涉條紋分析軌道角動量的性質以及奇異點的結構。
由於是在遠場觀察干涉圖案，經過 SLM 光柵繞射產生的花形模態的直徑，
會隨著距離增加而變大，導致原本干涉儀系統中，經過第一個分光鏡透射用來干 涉的平面波，其直徑小於花形模態的直徑，無法觀察完整花形模態的干涉條紋。
因此我們在透射經過第一個分光鏡的光路上，加上一組透鏡組L5和L6，將平面 波的直徑括束為與遠場花形模態的直徑相當，再觀察其干涉條紋結果。由於使用 光柵繞射產生的花形模態雜訊較少，所以在做干涉條紋觀察時，我們使用光柵繞 射法來產生花形模態。
圖 3.14 修正後的實驗架構
將兩個同調的平行光做干涉，我們會得到平行的干涉條紋，如圖 3.15(a)。
但如果將平行光與具有軌道角動量的光做干涉，會得到叉狀干涉條紋，如圖 3.15(b)-(d)，由理論對照實驗得知，在叉狀條紋中間的間格數，和 LG 本徵態的 方位角參數 l 數值相同[16]。帶有軌道角動量的 LG 本徵態，其軌道角動量的值
Lz lℏ (3.4.1)
l是軌道角動量量子數，即 LG 模態的方位角參數，ℏ 是狄拉克常數。因此我們 可以經由干涉儀系統，觀察並且計算叉狀干涉條紋，來推算出 LG 模態的軌道角 動量量值。
圖 3.15(a’)-(c’)則是各別對應的相位圖。由相位圖的黑白週期間格數知道其 方位角參數的值，對照實驗結果可以知道，理論與實驗有很好的對應性。
圖 3.15 LG 本徵態與同調平行光的干涉圖以及相位圖
LG 本徵態的奇異點結構只存在於中心，而花形模態的奇異點結構，除了中 心之外，會以輻射對稱的方式分布在相同的距離半徑圓上。圖 3.16(a)是參數
1 1
(p l u v N =(1,3,0,-4,1)的花形模態干涉圖案，我們可以發現，中心和外圍第一, , , , ) 圈的叉狀干涉條紋方向相反，這代表形成奇異點結構的軌道角動量方向相反，對 應圖 3.16(b)的相位圖，圖中紅色圓圈是奇異點結構的位置，其相位確實方向相 反，這說明了實驗與理論有很好的對應性。因此，我們可以藉干涉條紋，來分析 花形模態的奇異點結構，並且知道其軌道角動量的方向。
花形模態的奇異點結構的成因，是由於不同
( , ) p l
參數的 LG 本徵態波前結 構不同，其相位在疊加後所產生波前錯位，使其相位無法被定義。因為我們建立 的花形模態波函數，其疊加的 LG 本徵態參數具有規律性，所以我們只要改變花 形模態的(p l u v N 參數，就可以產生出不同奇異點結構的花形模態。 1, , , ,1 )圖 3.16 花形模態(a)干涉圖案(b)相位圖
在 3.3 節有介紹到使用光柵繞射法產生的模態，會以z軸為中心產生的第零 階繞射模態，並且沿著x軸左右對稱，以繞射角m產生第一階、第二階等繞射模
態，圖 3.17(a)、(b)是使用光柵繞設法以參數(p l u v N =(1,3,0,-4,1)的花形模態，1, , , ,1 ) 期分別為x方向和x方向的第一階繞射模態。雖然繞射模態在結構上一樣，但 只要使用干涉儀來觀察干涉圖案，就可以發現兩個模態的軌道角動量方向不同，
圖 3.17(a’)、(b’)是使用干涉儀後產生的干涉圖案。圖中紅色的圓圈所指的是有同 樣的結構位置，我們可以清楚的看見，兩個叉狀干涉條紋的方向相反，也就是說 他們的軌道角動量方向相反。因此，我們只要利用干涉儀，就可以分析花形模態 的奇異點結構以及其軌道角動量的大小及方向
圖 3.17 光柵繞射的第一階繞射模態(a) +𝑥方向 (b)−𝑥方向；
繞射圖案的干涉圖(a’) +𝑥方向(b’) −𝑥方向
雖然使用光柵繞射法產生的花形模態，可以和理論模擬圖有很好的對應性，
但是在干涉圖形的實驗上，使用波前結構過於複雜的花形模態，無法清楚地分析 其叉狀干涉條紋的性質，如圖 3.18。因此，在使用干涉儀來分析花形模態奇異點 結構的研究上，還有值得繼續改進實驗方法的空間，以便在未來能夠分析更加複 雜的花形模態。
圖 3.18 複雜花形模態的理論圖與干涉圖案。