使用空間光調製器產生花形模態之研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 使用空間光調製器產生花形模態之研究. Generation of flower type modes using the spatial light modulator. 研究生：王晢剛指導老師：陸亭樺博士. 中華民國一○四年六月.

(2) 摘要大自然中充滿著具對稱性質的事物，像是花朵、雪花、車輪，我們的世界由這些美麗的圖案所構成。在光學雷射的領域，也有這樣的對稱性質的雷射模態。以往這些模態是由調整雷射共振腔中，各個光學元件來產生不同的變化。本篇論文將入射光束經過空間光調製器(spatial light modulator, SLM)，給予不同的光資訊圖，來產生具有輻射對稱性的模態，並分析其結構與特性。使用柱面型共振腔產生的 Laguerre-Gaussian 模態，在經過離軸、離焦、等實驗操作，可以得到具有輻射對稱性的 Laguerre-Gaussian 疊加模態，因為其圖案像花朵一樣漂亮，所以又稱之為花形模態(flower type mode)。在本實驗中，我們將 SLM 當作相位調製板，來改變入射光束在空間中的波前，以及將 SLM 當作光柵，讓入射光產生繞射。再用這兩種方法得到的花形模態，與數值模擬的結果做比照。最後，我們使用 Mach-Zehnder 干涉儀，經由干涉條紋，對照花形模態的相位圖來分析奇異點結構，以及軌道角動量的性質。. 關鍵字：Laguerre-Gaussian 模態,花形模態、空間光調製器. i.

(3) Abstract There are many symmetry objects in the nature, for instance, the flowers, the snowflake and the wheels, which beautiful patterns construct our wonderful world. Laser optics also exist the symmetry laser modes. In the past, those modes generated from the laser cavities by means of setting the optical elements. In this study, we generate the radial symmetry modes using the spatial light modulator (SLM), and analyze the structure and features of laser modes. Laguerre-Gaussian modes can be generated from the hemi-cylindrical cavities. By means of adjusting the off-axis and pumping size, we can observe the radial symmetry Laguerre-Gaussian superposed modes, so called flower type modes due to its patterns is as beautiful as flowers. In the experiments, we take the SLM as a phase plate to modulate the wavefront of incident beams, and use the SLM as a grating, making the incident beams diffract to generate flower type modes. In the end, we compare the experimental results with numerical patterns in these two methods. Finally, we compare the interference pattern with numerical phase pattern to analyze the structure and the feature of singularity by means of the Mach-Zehnder interferometer.. Keywords: Laguerre-Gaussian mode, flower type mode, spatial light modulator. ii.

(4) 致謝披上碩士袍，在磚紅色的校園建築留下影像，兩年半的研究所生涯像是幻燈片般，在眼前一幕接著一幕放映著。當年大五實習結束後，返回師大繼續就讀研究所，很幸運地加入陸亭樺老師的固態雷射物理實驗室，在老師和學長們的教導下，學習如何架設雷射、設計實驗系統、閱讀論文…等，培養各項研究生須具備的素養。在就讀研究所期間參加了物理年會以及 IS-PALD 壁報論文的競賽，並獲得優勝獎的殊榮。學業之外，還帶領物理系排球隊參與校內外的大小盃賽，同時也在國樂社的期末音樂會中演出打擊協奏曲，完成了當初為自己設定的目標。回顧就讀研究所歷程，沒有一絲不精采，十分的充實。在實驗室的大家庭中，陸老師時常教導並提點實驗研究上的問題，以亦師亦友的身分和我分享待人處事的心得。建豪、易哲、政浩三位學長，在實驗上給予我許多幫助，裕雯、仁璽兩位同儕和我一起度過無數個期中、期末考的夜晚，騰德、言均、立文三位碩一的學弟，為實驗室增添更多的歡樂與活力。感謝有你們，讓我能在氣氛如此溫暖的實驗室完成研究所學業。在物理系排球隊處於最低潮的階段時，我以研究生之姿扛下了隊長的職責，前後擔任了一年半的隊長職務，重新建立了一些制度，在最後的學生生涯中還能享受打排球的樂趣。雖然沒能將球隊帶往另一個高峰，我感到十分的遺憾，但至少讓球隊健康地存活下來，未來，就靠學弟你們了，加油! 很幸運地，從小到大學習的國樂，即使在念研究所時都能夠不間斷地有樂團可以參加，感謝舒蓉帶領的師大天籟國樂社 61 屆的幹部、指揮兼好友奕全、以及校友團的大立學長，讓我在成發音樂會能夠演出打擊協奏曲，龍年新世紀第一樂章-太陽，完成我身為音樂人的夢想。最後，更要感謝我的父母、姊姊們、家欣，你們提供了一個無後顧之憂的家庭環境，讓我能夠順利地完成每一階段的學業，並且陪伴在我身邊，分享生活上的喜怒哀樂。如今，我即將從研究所畢業，未來也將以公費生的身分回到金門擔任教職，期許自己能夠春風化雨家鄉的學子們。從學校畢業，並不代表學習的停止，只是換一個身分進入社會繼續學習，因為，我們永遠都是人生的學生。. iii.

(5) 目錄摘要................................................................................................................................. i Abstract .......................................................................................................................... ii 致謝............................................................................................................................... iii 目錄............................................................................................................................... iv 圖目................................................................................................................................ v 第一章緒論............................................................................................................ 1 1.1. 前言............................................................................................................ 1. 1.2. 研究動機.................................................................................................... 2. 第二章. 理論背景.................................................................................................... 3. 2.1. 空間光調製器及其原理介紹.................................................................... 3. 2.2. 雷射模態的電場波函數............................................................................ 6 2.2.1 2.2.2. 圓柱座標下的高斯模態................................................................ 6 圓柱座標下的高階模態通解...................................................... 11. 2.3. 疊加的 Laguerre-Gaussian 模態-花形模態 ............................................ 13. 2.4. 模態的相位圖.......................................................................................... 16. 2.5. 模態的光柵圖.......................................................................................... 18. 第三章. 使用 SLM 產生花形模態的實驗與結果分析 ....................................... 21. 3.1. 實驗裝置及架構...................................................................................... 21. 3.2. 調製平行光相位產生花形模態.............................................................. 22. 3.3. 經反射式光柵繞射產生花形模態.......................................................... 25. 3.4. 花形模態的奇異點結構.......................................................................... 31. 第四章第五章. 總結.......................................................................................................... 36 未來工作.................................................................................................. 37. 參考文獻...................................................................................................................... 38. iv.

(6) 圖目圖 2-1 反射式 SLM ................................................ 3 圖 2-2 SLM 的橫切面結構 .......................................... 3 圖 2-4 球面波的波前變化 .......................................... 8 圖 2-5 曲率半徑與光半徑的關係圖 .................................. 9 圖 2-6 高階 Laguerre-Gaussian 模態 .............................. 12 圖 2-7 二項式定理的高斯分布( N =10) ............................. 14 圖 2-8 花形模態及其本徵態 ....................................... 15 圖 2-9 疊加波函數的強度圖(a) m = 3 (b) m = −8 .................. 15 圖 2-10 LG 本徵模態的(a)強度圖(b)相位圖(c)波前結構 .............. 17 圖 2-11 花形模態的(a)強度圖(b)相位圖 ............................ 17 圖 2-12 LG 本徵態的(a)強度圖(b)光柵圖 ........................... 18 圖 2-13 花形模態的(a)強度圖(b)光柵圖 ............................ 19 圖 2.14 花形模態的(a)強度圖(b)光柵圖 ............................ 20 圖 3.1 實驗裝置圖 ............................................... 21 圖 3.2 入射光經過 SLM 反射後示意圖 ............................... 22 圖 3.3 LG 本徵態的強度、相位和實驗對照圖 ........................ 23 圖 3.4 花形模態的強度、相位和實驗對照圖 ......................... 24 圖 3.5 入射光經過光柵繞射 ....................................... 25 圖 3.6 平面波經過 SLM 的叉狀光柵繞射 ............................. 26 圖 3.7 使用光柵產生 LG 本徵態(p,l)=(0,1)的實驗圖(a) z = 1.2 m (b)z = 3.3 m ............................................................... 27 圖 3.8 兩個透鏡組成的 4f 系統 .................................... 27 圖 3.9 LG 本徵態的強度、光柵和實驗對照 .......................... 28 v.

(7) 圖 3.10 花形模態的強度、光柵和實驗對照圖(a) 四瓣 (b) 五瓣 ....... 29 圖 3.11 花形模態的光柵、強度和實驗對照圖(a) 六辦 (b) 十一瓣 ..... 29 圖 3.12 輻射對稱為五瓣的花形模態 ................................ 30 圖 3.13 輻射對稱為十八瓣的花形模態 .............................. 30 圖 3.14 修正後的實驗架構 ........................................ 31 圖 3.15 LG 本徵態與同調平行光的干涉圖以及相位圖 ................. 32 圖 3.16 花形模態(a)干涉圖案(b)相位圖 ............................ 33 圖 3.17 光柵繞射的第一階繞射模態(a) +x方向 (b)−x方向；. 射圖案的干涉圖 (a’) +x方向(b’) −x方向 ......................................... 34. 圖 3.18 複雜花形模態的理論圖與干涉圖案。 ........................ 35. vi.

(8) 第一章緒論 1.1 前言自從 1958 年，Charles Hard Townes 和 Arthur Leonard Schawlow 等人在貝爾實驗室產生第一道雷射(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, LASER)以來，因為雷射能量集中、同調性等特性，在現今生活中應用的層面非常廣，像是全球衛星導航(GPS)、精密距離量測、工業的切割技術、光碟機的讀取頭、顯示器…等。在波動光學中，我們已知利用波前錯位(wavefront dislocation)，使光束帶有有角動量。在 1970 年，Arthur Ashkin 提出使用帶有角動量的光束，來發展 optical trapping 的理論[1,2]，發展出了光學鑷子(optical tweezer)的技術。接著 1992 年 L.Allen 提出 Laguerre-Gaussian 光束其光場的分布可以被定義成具有軌道角動量(orbital angular momentum) [3]。各種產生具有軌道角動量光束的方法，像是像散轉換法[4,5]、相位板調製光波前[6]，q-Plate 調製[7]，光柵繞射法[8-11]…等，如何產生高質量具有軌道角動量的光束，是目前一直在研究的課題。 1980 年代中期，使用電控型列向液晶面板的空間光調製器 (spatial light modulator, SLM)，來做為儲存資訊的可能被提出並且證實[12]，再加上成本低、高解析度、外加電訊號控制的特性，因此用於產生可改變的相位板、光柵等光學元件。隨著技術的進步，液晶像素解析度的提高，空間光調製器在光學領域的應用上，佔有越來越重要的地位。. 1.

(9) 1.2 研究動機在自然界中，存在許多具有輻射對稱的事物，像是深海的海星、六角形的雪花、原野的花朵等，這些具有規則的對稱性質，建構了我們的大自然。在雷射光學領域中，也存在輻射對稱的性質，像是以近軸近似條件推導，並以圓柱坐標表示的 Laguerre-Gaussian beam 的疊加模態。 M. W. Beijersbergen 等人在 1993 年的文章中提到，以一組柱透鏡將 Hermite-Gaussian 模態轉換為 Laguerre-Gaussian 模態的方法[4]，2011 年陸亭樺博士的文章中，以柱面型雷射共振腔外加一個腔外柱透鏡，不只能產生 LG 模態，藉由調整離軸、腔長、能量等操控變因，能夠產生簡併的 LG 模態，因其模態的幾何結構具有輻射對稱性質，所以又稱之為花形模態[5]。藉由調整雷射共振腔的操控參數，可以產生各式各樣的花形模態，但因為架構複雜、發散角過大等問題，在應用上有過多的限制，因此，我們嘗試以其他方式產生花形模態。在 2008 年，松本直哉教授的文章中提到，藉由給予空間光調製器(SLM)同的相位圖，讓原本入射的平行光被調製成 Laguerre-Gaussian 光束[13]。因此，我們使用高解析度的 SLM，並且給予花形模態的相位圖和光柵圖，來產生花形模態，並且使用 Mach-Zehnder 干涉儀[14]得到的干涉圖案來分析奇異點的結構。. 2.

(10) 第二章理論背景 2.1 空間光調製器及其原理介紹空間光調製器(spatial light modulator，簡稱 SLM)應用於許多方面，例如，全息投影(holographic)、相位調製、光柵繞射、光學鑷子等。本篇論文使用相位調製和光柵繞射法，來產生高階的 Laguerre-Gaussian (LG) 疊加模態。當光束經過 SLM 的液晶層時，會相位延遲，利用此性質達到調製光相位的目的。市面上販售的 SLM 有透射式以及反射式，此篇論文介紹並且使用的是反射式的 SLM，如圖 2-1 所示。. 圖 2-1 反射式 SLM 反射式 SLM 的橫切面，如圖 2-2 所示[13]，最上層是用於保護的玻璃基板，平行排列的液晶層(liquid crystal layer)被夾在兩片鍍有透明導電鍍膜(ITO)的取向層(alignment layer)，在最底部則是陣列排於矽底板(silicon backplane)上的單位像素電極(pixelated electrode)及上方對應的透明電極(transparent electrode)。. 圖 2-2 SLM 的橫切面結構 3.

(11) 液晶分子的形狀是橢球形，過球體中心垂直光傳播方向( z 軸)的中心截面為一橢圓，在液晶截面上的 x 軸和 y 軸，分別對應到 Extraordinary Axis 和 Ordinary Axis，其折射率分別為 ne 和 no ，其中 ne  no 。當改變電壓時，液晶分子會以 y 軸為軸心，沿著 x  z 平面旋轉，液晶分子 ne 方向的長度會改變， no 方向則不會改變。液晶分子的等效折射率可表示為. neff . no ne n cos  ( z )  ne2 sin 2  ( z ) 2 o. 2. ……………..…….(2.1.1). 其中  ( z ) 是液晶層 z 處液晶分子對於 x 軸偏轉的角度。當液晶當分子受到外加電場改變而旋轉時，對於入射光來說，就會有不同的等效折射率[15]，如圖 2-3 所示。. 圖 2-3 液晶橢球在不同旋轉角度的示意圖 4.

(12) 當波長為  的入射光穿過液晶層後，光束的相位變化量可表示為. . 2. . . d /2.  d /2. [neff ( ( z ))  no ] dz ………….……..…….(2.1.2). 其中 d 是液晶層的厚度。光束通過液晶層後，因為空間中不同折射率造成不同的相位延遲，達到相位調製之的目。當入射光為線性偏振光，且偏振方向平行液晶分子中心截面的長軸時，液晶對光為單純的相位調製，入射光的偏振方向不改變；當入射光偏振方向垂直液晶分子中心截面的短軸時，液晶對光無相位調製。當入射光的偏振方向介於兩者之間，液晶對光同時有相位調製及強度調製，輸出光偏振方向不改變。本篇論文使用的 SLM 有取向層，只能讓與其線性偏振方向平行的光束通過，是屬於純相位調製的 SLM，其偏振方向與液晶分子中心截面的長軸平行。表 2-1 為本實驗研究所使用的 SLM 儀器規格及性質。. Part no.. HED 6010xxx. Type:. LCOS(reflective), Active Matrix LCD. Drive scheme:. Digital (pulse width modulation). Mode:. ECB mode, nematic. Phase levels:. 256 (8-bit) grey levels. Active Area:. 15.35 mm  8.64 mm. Weight:. 12 grams. Nominal:. 1920  1080 pixels. Total: Pixel Pitch:. 1952  1088 pixels 8.0  m. Fill Factor:. 87%. Image Frame Rate:. 60 Hz. th. 0 order intensity:. 60%. Illumination (max.). ~2 W / cm2. Operating temp. :. +10 C to +70 C VIS. Waveband: 表 2-1 實驗用 SLM 規格表. 5.

(13) 2.2 雷射模態的電場波函數模態(mode)是指電磁波在特定邊界條件下的強度分布，在這一節中，我們將以近軸近似(paraxial approximation)條件，推導出雷射模態在空間中的電場波函數，並且以圓柱座標來表示 Laguerre-Gaussian 模態(LG mode)。. 2.2.1. 圓柱座標下的高斯模態. 因為雷射光是電磁波，所以在圓柱座標中的電場可以定義為. E(r,  , z)  u(r,  , z)exp(ikz). (2.2.1). u(r ,  , z ) 沿 z 軸傳遞的電場。接著由在均勻介質裡傳遞電磁波的荷姆霍茲波方程式(Helmholtz wave equation)出發. (2  k 2 )u  0. (2.2.2). k 是電場的波數(wave number)，在近軸近似的條件下，電場 u 的波函數表示為.  2u 1 u 1  2u u    2ik 0 2 2 r r r r  z. (2.2.3). 我們假設 u 是以 z 軸對稱的電場，並且與  不相關，因此(2.2.3)的第三項為零，我們得到軸對稱的近軸波方程式(paraxial wave equation)  2u 1 u u   2ik 0 2 r r r z. (2.2.4).  ikr 2  u (r , z )  A( z ) exp    2q ( z ) . (2.2.5). 其波方程的解為. 6.

(14) 將(2.2.5) 代入(2.2.4)軸對稱的近軸波方程，可以得到.  A A  k 2 r 2 A  q  2ik     2   1  0 q  z   q z . (2.2.6). 此方程式要成立的條件為第一項和第二項皆為零，可以得到. q 1 z. (2.2.7a). A A  z q. (2.2.7b). 和. (2.2.7a)的解為. q( z )  q( z0 )  ( z  z0 ). (2.2.8a). q( z )  q(0)  z. (2.2.8b). 我們令 z0  0. q 稱為複數光參數，簡稱為光參數或高斯光參數(Gaussian beam parameter)，在. (2.2.6)中以 1/ q 表示 1 1 1    i  q  q  r  q i. (2.2.9). 代入(2.2.5)，其中指數項.  ikr 2   1   kr 2   1    ikr 2  exp   exp           2q ( z )   2   q  r  2   q  i . 7. (2.2.10).

(15) 在近軸近似條件下，球面波的波前，會使虛數項產生相位變化。在固定位置 z 的等相位面的曲率半徑 R 和相位變化  (r ) 的關係如圖 2-4，當 r. R 時，相位. 延遲便會產生。.  (r ) .  r 2 kr 2   R 2R. (2.2.11). 圖 2-4 球面波的波前變化. 因為 q 是 z 的函數，很明顯地可以知道光的曲率半徑和位置有關；同樣地，相位.  則和方位角  相關。曲率半徑和 1/ q 的關係為 1 1     q r R. (2.2.12a). 1     2  q i . (2.2.12b). 和.  是光束半徑，即光斑邊緣到 z 軸的距離。因此我們可以知道 1 1 i   q R  2. 8. (2.2.13).

(16) 其中 R 和  都是 z 的函數，當 z=0 時 q. i02. . z. (2.2.14). 0 是在 z=0 位置上的光半徑，定義為光腰半徑(beam waist)。我們將(2.2.13)和 (2.2.14)合併，便可得到. 1  02  R z   z  . 2. (2.2.15a). 和 1/2.    z 2    0 1   2     0  . 高斯光的曲率半徑和光半徑的關係如圖 2-5 所示. 圖 2-5 曲率半徑與光半徑的關係圖 9. (2.2.15b).

(17) 為了要導出高斯波函數，由(2.2.7a)和(2.2.7b)可得 A( z) / A(0)  q (0) / q (z ) 代入 (2.2.14)得到. A( z ) 1  i z / 02  A(0) 1  ( z / 02 ) 2. (2.2.16). 在 z=0 的初始相位則可以表示為. z 02. (2.2.17). A( z ) 0  exp(i0 ) A(0) . (2.2.18). tan 0 . 0 為高斯光束相位差，我們可以知道. 因此在圓柱座標的高斯光模態的波函數為.  r 2 i r 2  0 u (r , z )  exp  2   i0   R  . (2.2.19a). 再將式(2.2.19a)代入(2.2.1)，可得到完整的歸一化電場形式  r 2  i r 2  2  E (r , z )   2  exp  2  ikz   i0  R      1/2. 10. (2.2.19b).

(18) 2.2.2. 圓柱座標下的高階模態通解. 在圓柱座標下電場的會隨著極角  改變，在這一小節裡，我們考慮與極角  相關的電場函數通解形式，其電場可表示為.  ikr 2  u (r ,  , z )  A( z ) exp    S (r ) exp(il )  2q ( z ) . (2.2.20). 其中 S (r ) 的通解為 l.  2r  l  2r 2  S (r )    Lp  2      . (2.2.21). Llp 是 Laguerre 多項式。在高斯模態(Gaussian mode)的形式裡， p 是徑向參數，而 l 是方位角參數，同時也是軌道角動量(orbital angular momentum 簡稱 OAM) 量子數。將(2.2.20)帶入 (2.2.3)，變數變換後的形式，正好與 Laguerre 微分方程的通解形式相同 u. d 2 Llp du. 2.  (l  1  u ). dLlp.  pLlp  0. (2.2.22). eu u  l d p  u p  l (e u ) p ! du p. (2.2.23). du. Laguerre 多項式為了表示方便，其展開式可寫為. Llp (u ) . 以下是 Laguerre 多項式 Ll0 (u )  1 L1l (u )  1  l  u 1 (2.2.24) Ll2 (u )  [(2  l )(1  l )  2(2  l )u  u 2 ] 2 1 Ll3 (u )  [(3  l )(2  l )(1  l )  3(3  l )(2  l )u  3(3  l )u 2  u 3 ] 6. 11.

(19) 因此，在圓柱座標下歸一化的電場函數可表示為 1/2.  2 p!  E (r ,  , z )      ( p |l|)! l p. |l |. 1  2 r  |l |  2 r 2    L   exp(il )  ( z)   ( z)  p   2 ( z) .  r 2  i r 2  exp  2  ikz   i(2 p |l|  1)0 ( z)   R( z )  ( z) . (2.2.25). 所以，我們只要給予不同的( p , l )參數，可以得到甜甜圈形狀的高階 Laguerre-Gaussian 模態，如圖 2-6 所示。. 圖 2-6 高階 Laguerre-Gaussian 模態. 12.

(20) 2.3 疊加的 Laguerre-Gaussian 模態-花形模態在上一節中，我們推導出 Laguerre-Gaussian 模態的電場波函數，在這節我們將建構 Laguerre-Gaussian 疊加態的電場波函數，疊加的模態具有更複雜的幾何結構，形成具有輻射對稱性的花形模態(flower type mode)。疊加態是由擁有不同( p, l )參數的 LG 模態所疊加而成，不同的 LG 模態具有不同的波函數，因此，我們將(2.2.25)中的 p 、 l 參數改寫為等差數列的形式 p  p1  Ku. (2.3.1a). l  l1  Kv. (2.3.1b). 和. p1 和 l1 分別是徑向和方位角的首項參數， u 和 v 則分別是它們的公差， K 和疊加. 項數有關。我們將(2.2.25) 1/2.  2 p!  E (r ,  , z )      ( p |l|)! l p. |l |. 1  2 r  |l |  2 r 2    L   exp(il )  ( z)   ( z)  p   2 ( z) .  r 2  i r 2  exp  2  ikz   i(2 p |l|  1)0 ( z)   R( z )  ( z) . (2.2.25). 改寫為有 N  1 項 LG 模態疊加的形式 N.  ( z)   l p. K 0. 1/2.  2 p!    ( p |l|)!  . |l |. 1  2 r  |l |  2 r 2    L   exp(il )  ( z)   ( z)  p   2 ( z) .  r 2  i r 2  exp  2  ikz   i(2 p |l|  1)0 ( z)   R( z )  ( z) . 13. (2.3.2).

(21) 因為我們是模擬柱面型共振腔所產生的雷射簡併模態(degeneracy mode)，所以需考慮在雷射共振腔中的真實形況。我們假設在雷射共振腔中，每個模態是以高斯分布比例的形式，建構出簡併模態。二項定理的形式 CKN . N! K !( N  K )!. (2.3.3). 隨著 N 值變大，會趨近高斯分布，如圖 2-7 250. 200. 150. 100. 50. 2. 4. 6. 8. 10. 圖 2-7 二項式定理的高斯分布( N =10). 將高斯分佈的因素考慮進去，(2.3.2)改寫為 1  ( z)  N 2 l p. N. . K 1. 1/2.  2 p!  N! K !( N  K )!   ( p |l|)!. |l |. 1  2 r  |l |  2 r 2    L   exp(il ) ( z) ( z)  p   2 ( z) .  r 2  i r 2  exp  2  ikz   i(2 p |l|  1)0 ( z )   R( z )  ( z) . (2.3.4). 其中 1/ 2 N 是歸一化常數。到此，我們成功的以參數 ( p1 , l1 , u, v, N ) 建構疊加的 LG 模態波函數。在接下來文章中，我們稱以( p, l )參數表示 LG 模態為本徵態(eigenmode)；以 ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數表示 LG 模態為疊加態。. 14.

(22) 圖 2-8 是用不同參數作數值模擬的強度圖。因為疊加的 LG 模態擁有複雜且輻射對稱的結構，我們將此類型的模態稱之為花形模態。設定不同參數的數值模擬，我們可以簡單的歸納出一個結論，花形模態的瓣數與方位角參數 l 的公差 v 的絕對值有關，即公差 v 的數值決定了花形模態的對稱性結構。. 圖 2-8 花形模態及其本徵態花形模態具有輻射對稱性結構的成因，可以用波動的觀點解釋，我們假設一個波函數表示為 N.    A cos( t   ). (2.3.5). k 0. 其中   km ， m 是角頻率的公差值、  是平移相位、A 是振幅項。波函數疊加後的強度值，如圖 2-9 所示，在 2 週期內高峰值的數量，等於疊加頻率公差的絕對值。同樣的，在花形模態中，方位角參數公差 v 的絕對值，決定了其輻射對稱的結構。. 圖 2-9 疊加波函數的強度圖(a) m = 3 (b) m = −8 15.

(23) 2.4 模態的相位圖相位(phase)，是描述電磁波的波形變化的度量，在空間中所有等相位的集合，稱之為波前(wavefront)，不同模態的電磁波，在空間中會有不同的波前結構。因此，要描述一個電磁波的波前結構，相位圖是一個很方便的工具，這一節中，我們會介紹花形模態的相位圖。電磁波在空間中傳遞時，相位會隨著位置而有變化，會形成不同的波前結構。首先，假設有一個電場波函數 1  ( z)  N 2 l p. N. . K 1. 1/2.  2 p!    ( p  | l |)!  . |l |. 1  2r  |l|  2r 2    L   exp(il )  ( z)   ( z)  p   2 ( z) .  r 2  i r 2  exp  2  ikz   i(2 p  | l | 1)0 ( z)   R( z )  ( z) . (2.3.4). 相位是描述電磁波週期變化的量，在使用 Mathematica 進行數值模擬時，我們可以將波函數的相位  ，在位置 z 的分布定義為   ArcTan Re lp ( z )  , Im lp ( z)  . (2.4.1). 由(2.4.1)可以發現，波函數的相位只和含有虛數的指數項有關，為了要更清楚瞭解相位和波函數參數之間的關係，我們將(2.3.4)整理為 1  ( z)  N 2 l p. N. . K 1. 1/2.  2 p!    ( p  | l |)!  . |l |.  r 2  1  2r  |l|  2r 2  L exp      2   ( z)  ( z)  p   2 ( z)    ( z) .    r2    exp i l  kz   (2 p  | l | 1)0 ( z )    R( z )     . (2.4.2). 由(2.4.2)可以知道花形模態的相位，只和每個本徵態的( p, l )參數有關係。. 16.

(24) 圖 2-10 (b)是不同( p, l )參數的 LG 本徵態在 z  0 位置的相位圖，以灰階漸層表示 0 到 2 的相位，其中 p  0 。由圖中我們可以發現，相位圖中心點的相位無法被定義，稱之為奇異點(singularity)，是因為 LG 本徵態的波前結構是螺旋面，如圖 2-8(c)，波前錯位(wave dislocation)導致奇異點的產生。. 圖 2-10 LG 本徵模態的(a)強度圖(b)相位圖(c)波前結構. 由多個 LG 本徵態疊加而成的花形模態，每個本徵態的螺旋波前結構互相疊加，產生更多波前錯位，因此具有複雜的相位和奇異點結構，如圖 2-9 (b)。由相位圖的分析，我們可以發現花形模態奇異點的結構，和 ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數的 v 參數有關係，相同半徑圓上的奇異點數目，正好等於 v 參數的絕對值。. 圖 2-11 花形模態的(a)強度圖(b)相位圖. 17.

(25) 2.5 模態的光柵圖光柵圖是一種將波函數重新編碼的方法，光束在經過帶有波函數資訊的光柵，會產生繞射圖案。其中第一階的繞射圖案，就是我們編碼光柵圖所給定的波函數之模態。我們使用數值模擬的方法，將 LG 模態的波函數  lp 和一個平面波的波函數.  plane 疊加做干涉，計算其光柵強度圖[11] I fork  lp   plane. 2. (2.5.1). 光柵強度的數值計算，可以簡化為只與指數相關，(2.4.1)可以改寫為. I fork  ei  e. ik p z 2.  2 1  cos(k p z  ) . (2.5.2). 其中  是 LG 模態的相位， k p 是平面波的波數。數值模擬的結果如圖 2-10(b)。光柵圖被應用於全息成像(holograms)的光柵繞射技術上，常用的有穿透式的光柵以及反射式的光柵。LG 模態的叉狀(fork-like)的結構，代表此模態具有軌道角動量，同時也是奇異點結構的位置。. 圖 2-12 LG 本徵態的(a)強度圖(b)光柵圖. 18.

(26) 本論文主要探討的是花形模態，我們同樣使用數值模擬的方法，產生不同的花形模態及其光柵圖，如圖 2-11 及圖 2-12。因為是由 LG 本徵態疊加而成，其光柵圖的結構更為複雜，我們可以看到，除了中心的叉狀結構外，在相同半徑圓上的叉狀結構，都和 ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數的 v 參數有關係，相同半徑圓上的奇異點數目，正好等於 v 參數的絕對值。. 圖 2-13 花形模態的(a)強度圖(b)光柵圖. 19.

(27) 圖 2.14 花形模態的(a)強度圖(b)光柵圖. 20.

(28) 第三章使用 SLM 產生花形模態的實驗與結果分析 3.1 實驗裝置及架構本實驗使用的光源為 532nm 固態雷射以及液晶矽基板空間光調製器(Liquid crystal on silicon spatial light modulator，Lcos-SLM 本文簡稱 SLM)為主體。因為 SLM 的有效工作面積為 15.35 mm  8.64 mm，所以我們使用一組透鏡組 L1 和 L 2 將雷射擴束為光斑直徑約 8mm 的平行光，以利讀取 SLM 上全部的圖片資訊。根據由外接電腦提供的圖片資訊，入射光經過 SLM 反射後，即可達到調製相位或光柵繞射產生花形模態(flower type mode)之目的。最後再經由兩個分光稜鏡及兩個反射鏡所組成的 Mach-Zehnder 干涉儀系統，觀察產生的模態和干涉圖形，分析奇異點結構。干涉儀內部有一組透鏡組 L3 和 L 4 建構而成的 4f 系統，功用除了將模態圖案縮小或放大，方便用相機觀察，同時也有空間濾波器的功能。當使用光柵繞射法產生時，可以用來篩選第一階繞射圖案，選取需要的模態。實驗裝置如圖 3.1 所示。. 圖 3.1 實驗裝置圖 21.

(29) 3.2 調製平行光相位產生花形模態在 2.4 節中提到，電磁波在空間中傳遞時，不同的模態會有不同波前結構，換句話說，只要調製光的波前就可以產生對應波前結構的模態。以往都是使用螺旋相位版，來調製入射光束的波前，在這節中，我們將介紹反射式 SLM 如何調製入射光的波前，來產生特定模態，達到和螺旋相位版類似的結果。電腦和 SLM 主機連接後，SLM 的液晶層會根據輸入的圖片資訊，以 8 位元 256 灰階的相位階層，來改變液晶分子的旋轉角度對應不同的等效折射率[15]。我們將使用數值模擬產生的相位圖資訊輸入 SLM，當入射光經過液晶層時，其空間中的波前結構被調製成 0 ~ 2 不同的相位，出射光則會是我們所要的模態。如圖 3.2 所示，左邊為入射空間，原本的入射平面波的波前經過 SLM 後，在右邊的反射空間被調製成螺旋狀，也就是 LG 本徵態的波前，達到相位調製的目的。. 圖 3.2 入射光經過 SLM 反射後示意圖. 22.

(30) 首先，我們展示由 SLM 調製產生的 LG 本徵態，如圖 3.3 所示。經由給予 SLM 不同 ( p, l ) 參數的 LG 本徵態相位圖來調製入射光的波前，產生高階的 LG 本徵模態，其實驗與理論圖在結構上都有很好的對應性。由實驗可以知道，LG 本徵態中心的暗帶的成因，是因為波前錯位，換句話說，方位角參數 l 決定了 LG 本徵態中心暗帶的大小。而徑向參數 p 則是決定 LG 本徵模態同心圓圈數的多寡。. 圖 3.3 LG 本徵態的強度、相位和實驗對照圖. 23.

(31) 接著，我們給予 SLM 不同 ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數的花形模態相位圖，如圖 3.4 所示。經由相位調製產生的花形模態，因為具有輻射對稱性的波前錯位，使得模態的幾何結構更為複雜，像是花朵一樣美麗。雖然實驗和理論的幾何結構基本上吻合，但由於花形模態的波前結構過於複雜，SLM 的相位階層有調製上的極限，同時因為反射式 SLM 內部多次反射產生產生的雜訊，導致在實驗的效果上並不好。因此，我們將會在下一節介紹另外一種使用 SLM 產生花形模態的方式-光柵繞射法，來產生高質量的花形模態。. 圖 3.4 花形模態的強度、相位和實驗對照圖. 24.

(32) 3.3 經反射式光柵繞射產生花形模態雖然調製相位產生的花形模態，與理論模擬雖然大致結構吻合，但仍有許多雜訊無法消除，全息成像的光柵繞射法提供了一個解決雜訊的方法。經由繞射來篩選我們所要的模態，可以將內部多次反射產生的雜訊給剃除，讓實驗結果與理論模擬更加吻合。以往全息成像都是使用穿透式光柵，使入射光束繞射來產生模態，在這一節中，我們將光柵資訊輸入 SLM，經由液晶分子等效折射率的不同，使入射光束產生相位延遲，達到和經過穿透式光柵一樣的效果-繞射，經由繞射來產生我們所要的模態。如圖 3.5 所示，當光束經過光柵時，會產生繞射，在光路( z 軸)上的模態為第零階繞射模態，左右兩側( x 軸)以繞射角(diffraction angles)分布第一階、第二階繞射模態，其繞射角為  m    D .  m  tan 1 . m 為整數階數，  為入射光的波長， D 是光柵的寬度。. 圖 3.5 入射光經過光柵繞射 25. (3.3.1).

(33) 我們將 2.5 節中，使用數值模擬方法得到的光柵圖輸入 SLM，讓光束經過光柵繞射，產生我們要的模態。如圖 3.6 所示，有一平面波經過 SLM 上 ( p, l )  (0,1) 的光柵繞射後，以繞射角  m 在 x 軸上被分為不同階數繞射圖案。因為光柵的叉狀(fork-like)結構，會使繞射的光束帶有軌道角動量，以第零階圖案左右對稱，產生具有軌道角動量但其方向相反的模態，其軌道角動量量子數為. lm  ml ，. (3.3.2). 其中 m 為整數， l 為光柵的方位角參數，我們可以發現，第二階繞射圖案的軌道角動量參數為第一階的兩倍、第三階則為第一階的三倍[16]，依此類推，並且沿. z 軸對稱，其軌道角動量參數差一個負號。其中第一階繞射圖案，就是我們所要的模態強度圖[11]。. 圖 3.6 平面波經過 SLM 的叉狀光柵繞射. 26.

(34) 因為光柵的繞射角非常小，如果光路徑不夠長，各階繞射圖案會有重疊，所以需要很長的光路徑才能讓每一階繞射圖案不互相重疊，如圖 3.7 所示。為了縮短光路徑，我們在平面波經過 SLM 產生繞射後的光路上，使用一組透鏡組 L3 和 L 4 建構的 4f 系統，當作空間濾波器使用，來篩選需要的模態。如圖 3.8 所示，一整排的繞射圖案經過第一個透鏡後，會在其焦平面(又稱傅立葉平面)形成傅立葉空間的圖案，只要在傅立葉平面(Fourier plane)上放一個光圈，並且沿著 x 軸方向篩選所要的模態，只讓第一階繞射圖案通過，最後經過第二個透鏡將傅立葉像轉為實空間的像，就可以在 4f 的位置上觀察到我們所要的模態。. 圖 3.7 使用光柵產生 LG 本徵態(p,l)=(0,1)的實驗圖(a) 𝑧 = 1.2 𝑚 (b) 𝑧 = 3.3 𝑚. 圖 3.8 兩個透鏡組成的 4f 系統. 27.

(35) 因此，我們只要給予 SLM 不同 ( p, l ) 參數的 LG 本徵態光柵圖，或是不同. ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數的花形模態光柵圖，就可以經由光柵繞射的方法產生繞射圖案，並且使用空間濾波器來篩選我們所需要的模態，如圖 3.8、圖 3.9 和圖 3.10 所示。由實驗結果可以發現，經由光柵繞射產生花形模態的實驗圖，在模態的結構上與理論模擬的強度圖有很高的一致性。此外，比起 3.2 節使用調製相位法所得的實驗結果來得清晰無雜訊。使用光柵繞射產生的花形模態，優點是快速且清晰，只要給予 SLM 不同的光柵圖，就可以產生各式各樣不同的花形模態，如圖 3.12 和圖 3.13 所示。. 圖 3.9 LG 本徵態的強度、光柵和實驗對照. 28.

(36) 圖 3.10 花形模態的強度、光柵和實驗對照圖(a) 四瓣 (b) 五瓣. 圖 3.11 花形模態的光柵、強度和實驗對照圖(a) 六辦 (b) 十一瓣 29.

(37) 圖 3.12 輻射對稱為五瓣的花形模態. 圖 3.13 輻射對稱為十八瓣的花形模態. 30.

(38) 3.4 花形模態的奇異點結構 LG 本徵態是具有奇異點結構的光，因為帶有軌道角動量的性質，所以常被用在光學鑷子、量子電腦及波通訊[17]的研究與應用上。花形模態的幾何結構，比起 LG 本徵態，更加的複雜，並且具有輻射對稱性，將花形模態的奇異點結構做分析，以便在未來的有更多的應用。花形模態是由多個 LG 本徵態疊加而來，具有輻射對稱的幾何結構，以及在暗處具有軌道角動量的性質。我們使用干涉儀系統，將花形模態與平面波做干涉，由叉狀干涉條紋分析軌道角動量的性質以及奇異點的結構。由於是在遠場觀察干涉圖案，經過 SLM 光柵繞射產生的花形模態的直徑，會隨著距離增加而變大，導致原本干涉儀系統中，經過第一個分光鏡透射用來干涉的平面波，其直徑小於花形模態的直徑，無法觀察完整花形模態的干涉條紋。因此我們在透射經過第一個分光鏡的光路上，加上一組透鏡組 L5 和 L 6 ，將平面波的直徑括束為與遠場花形模態的直徑相當，再觀察其干涉條紋結果。由於使用光柵繞射產生的花形模態雜訊較少，所以在做干涉條紋觀察時，我們使用光柵繞射法來產生花形模態。. 圖 3.14 修正後的實驗架構. 31.

(39) 將兩個同調的平行光做干涉，我們會得到平行的干涉條紋，如圖 3.15(a)。但如果將平行光與具有軌道角動量的光做干涉，會得到叉狀干涉條紋，如圖 3.15(b)-(d)，由理論對照實驗得知，在叉狀條紋中間的間格數，和 LG 本徵態的方位角參數 l 數值相同[16]。帶有軌道角動量的 LG 本徵態，其軌道角動量的值. Lz  l ℏ. (3.4.1). l 是軌道角動量量子數，即 LG 模態的方位角參數，ℏ 是狄拉克常數。因此我們. 可以經由干涉儀系統，觀察並且計算叉狀干涉條紋，來推算出 LG 模態的軌道角動量量值。圖 3.15(a’)-(c’)則是各別對應的相位圖。由相位圖的黑白週期間格數知道其方位角參數的值，對照實驗結果可以知道，理論與實驗有很好的對應性。. 圖 3.15 LG 本徵態與同調平行光的干涉圖以及相位圖. 32.

(40) LG 本徵態的奇異點結構只存在於中心，而花形模態的奇異點結構，除了中心之外，會以輻射對稱的方式分布在相同的距離半徑圓上。圖 3.16(a)是參數. ( p1 , l1 , u, v, N ) =(1,3,0,-4,1)的花形模態干涉圖案，我們可以發現，中心和外圍第一圈的叉狀干涉條紋方向相反，這代表形成奇異點結構的軌道角動量方向相反，對應圖 3.16(b)的相位圖，圖中紅色圓圈是奇異點結構的位置，其相位確實方向相反，這說明了實驗與理論有很好的對應性。因此，我們可以藉干涉條紋，來分析花形模態的奇異點結構，並且知道其軌道角動量的方向。花形模態的奇異點結構的成因，是由於不同 ( p, l ) 參數的 LG 本徵態波前結構不同，其相位在疊加後所產生波前錯位，使其相位無法被定義。因為我們建立的花形模態波函數，其疊加的 LG 本徵態參數具有規律性，所以我們只要改變花形模態的 ( p1 , l1 , u, v, N ) 參數，就可以產生出不同奇異點結構的花形模態。. 圖 3.16 花形模態(a)干涉圖案(b)相位圖. 33.

(41) 在 3.3 節有介紹到使用光柵繞射法產生的模態，會以 z 軸為中心產生的第零階繞射模態，並且沿著 x 軸左右對稱，以繞射角  m 產生第一階、第二階等繞射模態，圖 3.17(a)、(b)是使用光柵繞設法以參數 ( p1 , l1 , u, v, N ) =(1,3,0,-4,1)的花形模態，期分別為  x 方向和  x 方向的第一階繞射模態。雖然繞射模態在結構上一樣，但只要使用干涉儀來觀察干涉圖案，就可以發現兩個模態的軌道角動量方向不同，圖 3.17(a’)、(b’)是使用干涉儀後產生的干涉圖案。圖中紅色的圓圈所指的是有同樣的結構位置，我們可以清楚的看見，兩個叉狀干涉條紋的方向相反，也就是說他們的軌道角動量方向相反。因此，我們只要利用干涉儀，就可以分析花形模態的奇異點結構以及其軌道角動量的大小及方向. 圖 3.17 光柵繞射的第一階繞射模態(a) +𝑥方向 (b)−𝑥方向；繞射圖案的干涉圖(a’) +𝑥方向(b’) −𝑥方向. 34.

(42) 雖然使用光柵繞射法產生的花形模態，可以和理論模擬圖有很好的對應性，但是在干涉圖形的實驗上，使用波前結構過於複雜的花形模態，無法清楚地分析其叉狀干涉條紋的性質，如圖 3.18。因此，在使用干涉儀來分析花形模態奇異點結構的研究上，還有值得繼續改進實驗方法的空間，以便在未來能夠分析更加複雜的花形模態。. 圖 3.18 複雜花形模態的理論圖與干涉圖案。. 35.

(43) 第四章總結我們以近軸近似條件，在圓柱坐標系下推導 Laguerre-Gaussian 模態的電場波函數，並且更進一步考慮在簡併共振腔中產生的各個模態的權重係數，建構出 Laguerre-Gaussian 疊加態的電場波函數。只要設定不同的參數，就可以得到各式各樣具有輻射對稱性質的花形模態理論圖。接著藉由給予空間光調製器不同的光場資訊圖，來調製入射的平行光，產生我們所要的花形模態。比較了光波前調製法，以及光柵繞射法，雖然都可以得到花形模態，在幾何結構上理論與實驗都有很高的對應性。光波前調製法的優點在於光元件系統的架設上相對簡單，並且光路的準直性要求較低，但缺點是因光學元件內部多次反射的雜訊太多，不適合用於觀察具有複雜結構的花形模態的干涉圖案；光柵繞射法解決了光學元內部多次反射的缺點，同時也能產生更高質量的花形模態，但因為繞射角度小，需要很長的光路才能讓每一階繞射圖分開，不互相干擾。為了解決這個問題，我們在光路上加裝一組透鏡，建構 4f 系統，經由在 4f 系統傅立葉平面上的光圈來篩選所需要的第一階繞射模態，成功的克服需要長距離光路的問題，並且可以任意的選擇所需要的繞射模態。花形模態因為波前錯位產生奇異點，並且具有軌道角動量特殊模態，為了要分析奇異點在空間中結構，我們使用 Mach-Zehnder 干涉儀來觀察模態的繞射圖案。在具有奇異點結構的位置，可以發現叉狀結構的條紋，藉由觀察干涉條紋，不只可以計算軌道角動量的大小，同時也可以知道其方向。使用空間光調製器產生花形模態，因為只需要給予 SLM 不同的光場資訊圖，可以快速的產生各種模態，在應用上更加方便。同時也解決了傳統上使用共振腔產生的模態，其發散角過大的缺點。. 36.

(44) 第五章未來工作本實驗最初的目的，是為了分析由柱狀型共振腔產生的花形模態的性質，使用空間光調製器產生花形模態，比起傳統由共振腔產生更加簡便，且更方便研究花形模態的性質，對於解析由簡併共振腔產生的花形模態有很大的幫助，在未來改進花形模態波函數模型，使理論與實驗更加貼近。花形模態因為光波前錯位的關係，擁有複雜且輻射對稱的奇異點結構，目前所設計使用的干涉儀系統，只能對疊加項次少，且結構相對簡單的花形模態干涉圖案作分析，太過複雜的花形模態干涉圖案，其叉狀干涉條紋會因互相疊加無法區別。未來如果能改進實驗系統，改用不同波長的光源、提高相機解析度，就能解決干涉條紋分辨率的問題。具有軌道角動量的光束於光學鑷子的應用，已有許多相關的研究，而花形模態同樣具有軌道角動量，解決了原本由共振腔產生的模態，發散角過大的缺點，能將花形模態在光學鑷子上有更進一步的應用，像是使用特殊的花形模態來捕捉粒子、觀察粒子被花形模態捕捉時的運動狀況等。. 37.

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