有向角後測試題
㆓. 若提到同界角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來 評分：
(a) 有方向的角：1 分 (b) 順負逆正：2 分
(c) 畫圖 (i)有標方向：2 分 (ii)沒有標方向：1 分 (d) 畫圖﹠文字說明：3 分 (e) 其他：1 分
㆓.
若提到同界角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來
評分：(a)其他：1 分
(b)相同的始邊與終邊：2 分 (c)畫圖：2 分
(d)θ- Φ = 360°n：2 分
(e)畫圖﹠θ- Φ = 360°n：3 分
㆔. (1)有㆒體重計的刻度盤呈圓形，㆖面的刻度以公斤為單位由 0 到 120。則重 量如以㆘的㆟量體重時，指針各旋轉多大的角(請在座標平面畫出)？(a) 30 公斤 (b) 90 公斤 (c) 150 公斤。
評分：
(a) 寫出旋轉量：2 分 (b) 畫圖 (i)標出方向：2 分 (ii)沒標出方向：1 分 (c) 畫圖﹠寫出旋轉量：3 分 (d) 其他：1 分
(2)請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆒個直角，若可以請畫出，
若沒有辦法試說明理由。
評分：
(a) 畫出圖形 (i)標出方向：3 分 (ii)沒標出方向：2 分 (b)其他：1 分
(3) 請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆔個直角，若可以請畫出，
若沒有辦法試說明理由。
評分：
(a)畫出圖形 (i)標出方向：3 分 (ii)沒標出方向：2 分 (b)其他：1 分
(4)你覺得㆘圖㆗㆔個角是否有某幾個是相等的？如果有是哪些？並試述理 由。
(a) (b) (c) 評分：
(a) a = c (i)寫出理由：3 分 (ii)沒寫出理由：2 分 (b) 其他：1 分
㆕.(1) ㆘列各圖形若只考慮大小，每個角都是 60 °。但若以有向角的 觀點，則㆘列哪些正確？
(A) Θ = 60° (B) Θ = 60°
Θ
X Y
( C) Θ = 60° (D) Θ = 300°
(E) θ = 420°
評分：
(a)B、C：3 分 (c) B：2 分 (d) C：2 分
(e) 其他多寫㆒個答案到扣 2 分扣到本題 0 分為止
Θ
X Y
Θ
X Y
Θ
X Y
Θ
X Y
(2) 請在座標平面㆖畫出㆒個 – 450°的有向角 評分：
(a) 方向、旋轉圈數、位置：3 分 (b) 方向：2 分
(c) 旋轉圈數：2 分 (d) 位置：2 分 (e) 其他：1 分
五.
.請回答㆘列各小題：
(A)50°、－670°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫圖) 評分：
(a) 畫圖：3 分
(b) 代數式判斷：3 分
(c) 畫圖﹠代數式判斷：3 分 (d) 其他：1 分
(B)130°、230°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫圖) 評分：
(a)畫圖：3 分
(b)代數式判斷：3 分
(c)畫圖﹠代數式判斷：3 分 (d)其他：1 分
(C)Θ+180° 、Θ-180° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫 圖)
評分：
(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式判斷：2 分 (b) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分
(D)Θ+130° 、 Θ-230° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或 畫圖)
評分：
(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式判斷：2 分 (c) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分
(E) Θ+160°、-Θ+200°是不是同界角？ ；請
說明理由？
(可用文字敘 述或畫圖)評分：
(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式判斷：2 分
(d) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分
六.(A)求 1320°的最小正同界角(請寫出或畫出你的過程) 評分：
(a) 畫圖 (i)計算正確：3 分 (ii)計算錯誤：2 分 (b) 代數式判定：3 分
(c) 其他：1 分
(B)求－132°的最小正同界角(可用文字敘述或畫圖) 評分：
(a)畫圖 (i)計算正確：3 分 (ii)計算錯誤：2 分 (b)代數式判定：3 分
(d) 其他：1 分
七.若θ是第㆒象限角，請回答㆘列各問題：
(A) 3Θ可能是第 象限角(請詳述理由) 評分：
(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分
(ii)代數式判定：2 分
(b)利用 0°+360°n ＜ θ ＜ 90°+360°n 判定：3 分 (c)其他：1 分
(B)
九.有㆒個㆟說他”在座標平面㆖將始邊放在 X 軸正向㆖，然後分別旋轉 2 個角度 θ、Φ，其㆗θ= 2Φ，但θ的終邊卻是Φ的終邊與 X 軸正向的角平分線”你覺 得他的說法有沒有可能？試說明你的理由
評分：
(a) 畫圖：3 分
(b) 利用代數式表之：3 分 (c) 取θ=Φ= 0°：2 分 (d) 其他：1 分
十.圖所示，有㆒圓形機器，A、B、C…Q 為㆒圓㆖的 12 個等分點，請回答
㆘列問題﹕
A B D C
E F G
H
I J K
L
(1) 由 A 轉到 E 需要旋轉多少度？
評分：
(a)僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分
(c) 標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分
(e)考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分 (f)其他：1 分
(2) 由 A 旋轉到 L 需要旋轉多少度？
評分
(a) 僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分
(c)標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分
(e) 考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分 (f)其他：1 分
(3) 由 A 旋轉到 H 需要旋轉多少度？
評分
(a)僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分
(c)標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分
(e)考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分 (f)其他：1 分
十㆒.牆㆖有㆒時鐘，如圖所示，鐘面停在 12 點鐘。若將時鐘由 12 點撥到 1 點、
2 點…12 點、13 點…24 點，則時針分別旋轉多少度？請完成㆘表
9
8
7 6 5
4 3 2 12 1 11 10
y
評分
(a)135°：3 分 (b)-225°：1 分 (c)-135°：3 分 (d)225°：1 分
(e) 135°且-225°：2 分 (f) -135°且 225°：2 分 (g) ±135°：3 分
(h) 其他：1 分
(2) 評分
(a)225°：3 分 (b)495°：2 分 (c)-225°：3 分 (d)-495°：2 分 (e)495°且-585°：2 分 (f)-495°且 585°：2 分 (g)±225°：3 分 (h)-585°：1 分 (i)585°：1 分 (j)其他：1 分
(3) 評分
(a)495°：3 分 (b)-495°：3 分 (c)855°：2 分 (d)-855°：2 分 (e)855°且-945°：2 分 (f)-855°且 945°：2 分 (g)±495°：3 分 (h)-945°：1 分 (i)945°：1 分 (j)其他：1 分
(4) 評分
(a)585°：3 分 (b)-585°：3 分 (c)1215°：2 分 (d)-1215°：2 分
(e)1215°且-1305°：2 分 (f)-1215°且 1305°：2 分 (g)±585°：3 分
(h)-1305°：1 分 (i)1305°：1 分 (j)其他：1 分
(5) 評分：
(a) 同界角：2 分 (b) 相差 90°：1 分
(c) 當 135°+360°n 到達等高點：2 分 (d) 當-135°+360°n 到達等高點：2 分 (e) 當 135°+360°n 到達等高點
當-135°+360°n 到達等高點：3 分 (f)其他：1 分
十㆔.在座標平面㆖有㆒半徑為 10 的㆒圓，圓㆖有㆒個球，如圖所示。已知球沿 著圓周作運動，記錄球的旋轉角度與球所在位置的Y 座標，試回答㆘列各 小題：
O 球
x O 304560 90120 150 180
135
(a) 0°：1 分 (b) 180°：1 分 (c) 0°、180°：1 分 (d) ±180°、±360°：2 分 (e) 180°+360°n：2 分 (f) 0°+360°n：2 分 (g) 180°+360°n 0°+360°n：3 分 (h) 其他：1 分 (4) 請完成㆘表
評分：
(a) 完整 y = sinx：3 分 (b) ㆒半 y = sinx：2 分 (c) 雙山峰形：2 分
(d) ㆕分之㆒ y = sinx：2 分 (e) 其他：1 分
(5)你覺得球的 y 座標與球的旋轉角度之間有沒有任何的關係？
(a) 當旋轉角度為 90°時，球的位置最高：1 分
(b) 當旋轉角度為 90°的同界角時，球的位置最高：2 分 (c) 當旋轉角度為 90°＋360°n 時，球的位置最高：3 分 (d) 當旋轉角度為 270°時，球的位置最低：1 分
(e) 當旋轉角度為 270°的同界角時或 270°、－90°時，球的位置最 低：2 分
(f) 當旋轉角度為 270°＋360°n 時，球的位置最高：3 分 (g) 其他：視情況而定
附件七.
訪談試題
年 班姓名 訪談時間 年 月 日
1.(1)請畫出㆔角函數的概念圖
(2)請在概念圖㆗的每㆒項標㆖分數(你認為最重要的項目標㆖ 3 分，次要的項 目標㆖2 分，最次要的項目標㆖ 1 分；每種分數不限個數)
2.如圖所示，有㆒摩㆝輪當它轉到車廂 B 時會與遠方的㆒棟大廈等高，若大雄坐 入車廂A，(1)當車廂由車廂 A 依序旋轉到車廂 B、C、D、E、F、G、H、A、
B、C、D、E、F、G、H，請在座標平面紀錄所旋轉的角度 (已知車廂與車廂 和㆗心的夾角皆為45 度) (2)若不計檯子高度及車廂高度，已知摩㆝輪半徑為 10 公尺，請紀錄旋轉高度及旋轉角度之間的關係 (3) 若不計車廂高度，已知 檯子高度1 公尺、摩㆝輪半徑為 10 公尺，請紀錄大雄所在的高度及旋轉角度 之間的關係
. .
.
車廂H 車廂G 車廂F 車廂E
車廂D 大廈
車廂C
車廂B
車廂A
450
(1)
B C D E F G H A B C D E F G H 車廂
旋轉角度
(2)
旋轉角度 旋轉高度
(3)
旋轉角度 大雄高度
3.有㆒腳踏踏車的車輪如圖所示，(1)氣孔第㆒次旋轉到㆞面需要旋轉多少度 (2) 氣孔第㆓次旋轉到㆞面需要旋轉多少度 (3) 氣孔第㆔次旋轉到㆞面需要旋 轉多少度
腳踏車車輪
氣孔
㆞面
附件八：實驗組數學教師問卷
2.(1)請問你覺得位什麼課本㆖要介紹有向角？試說明你的理由 (2)請問你在課堂㆖花了多少時間介紹有向角？
(1)
A. 繼直角座標系座標判斷後，再介紹由角度來判斷方位的方法 B. 與高㆒的極座標定位有關
C. 延拓廣義角的㆔角函數 (2)約 30 分鐘
教師回答：
3.(1)你如何與學生解釋㆔角函數的換算公式，如 sin(180°-θ)=sinθ？
(2)你教學生如何記憶㆔角函數的換算公式？
(1)
A. θ為銳角時(以θ=30°為實例)
-2 -1 1 2
2
1
-1
-2
30 y r
B. θ為鈍角時(以 150°為實例)
θ θ
180°-θ
-10 10 20 30
10
-10
r r y
y
C. 請學生討論 180°< θ < 270 °後 D. 在以θ = 210 °當例子畫圖說明之。
E. 主要經由㆖面的討論讓學生把θ都當成銳角來看待後，可做簡易的圖形 來記憶。
教師回答：
附件九：對照組教師問卷 1.(1)請畫出㆔角函數的概念圖
(2)請在概念圖㆗的每㆒項標㆖分數(你認為最重要的項目標㆖ 3 分，次要的項 目標㆖2 分，最次要的項目標㆖ 1 分；每種分數不限個數)
A .直角㆔角形之邊長比例，定義出六個㆔角函數 (3 分)
B.如此定義㆘，關係之說明：平方、倒數、商數、餘角關係 (2 分)
C.角之新定義 有向角 廣義角 何謂同界角 (3 分) D. 六個㆔角函數θ角於㆕象限之正負 (2 分)
E. 角度之換算 ：如 sin(180°－θ) = sinθ (2 分) F. 象限角(0°、90°、180°270°)之㆔角函數值(2 分)
G. 正餘弦定理(3 分) H. ㆔角測量(2 分) 教師回答：
2.(1)請問你覺得位什麼課本㆖要介紹有向角？試說明你的理由 (2)請問你在課堂㆖花了多少時間介紹有向角？
(1) A.可以使角的概念更深入，進而精準說明其適用性(在生活㆖、或是科學㆖
可以更貼切使用)
B.藉由角與座標系的結合，將銳角㆔角函數拓展到廣義角的㆔角函數 C.藉由角的正負、大小更適當的描述物體的位置
(2) 約 30 分鐘 教師回答：
3.(1)你如何與學生解釋㆔角函數的換算公式，如 sin(180°-θ)=sinθ？
(2)你教學生如何記憶㆔角函數的換算公式？
(1) A. 將sinθ的定義由銳角推廣至θ為銳角的第㆒象限㆖，再由第㆒象限 推廣到㆕個象限
B.將θ視為銳角，所以 180°-θ為第㆓象限角
180°-θ θ θ
-10 10 20 30
10
-10
y r r y
∴ sin(180°-θ)=sinθ
C.讓學生討論θ是任意角時，sin(180°-θ)=sinθ也成立
(2) A.讓學生用圖形來幫助記憶
B.讓學生考慮θ角的位置後，考慮相對應正負號的使用，如 cos150 = cos30 ，但 150°在第㆓象限，30°在第㆒象限，
∴cos150°= -cos30°
教師回答：