廣義角㆔角函數的定義 代數 1

附件㆒：(九位高㆓學生㆔角函數試題)

㆒.廣義角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來 。

答案 表徵 ㆟數

所對應的㆔角函數相同，但有正負之分 語意 1

廣義角㆔角函數的定義 代數 1

θ 圖形

3

420

圖形 1

任何㆒個角度檢㆖ N 次的 360 度在同㆒方向，且度數相同，極為廣義 角

語意 1

圖形 1

銳角㆔角函數的定義 代數 1

90°+360°n

180°+360°n 0°+360°n

270°+360°n

㆓.若提到同界角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來。

答案 表徵 ㆟數

所對應的㆔角函數相等，都差 360°×n，位置㆒樣 語意 2

θ θ +360

圖形 3

n±360° 代數 1

θ＋180 θ

圖形 (錯誤)

1

sin(180－θ)=sinθ 代數 1

空白 1

㆔.若提到㆔角函數的定義，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)

㆘來 。

答案 表徵 ㆟數

銳角㆔角函數的定義 代數 5

sin tan

cos cot csc sec

1

圖形 3

sin ² θ＋cos ² θ= 1 代數 1

㆕(1) ㆘列各圖形若只考慮大小，每個角都是 60°。但若

以有向角的觀點，則㆘列哪些正確？

(A) Θ = 60° (B) Θ = 60°

Θ

X Y

( C) Θ = 60° (D) Θ = 300°

Θ

X Y

Θ

X Y

Θ

X Y

Θ

X Y

(E)Θ=420°

同學㆗選 A 1 ㆟

E 1 ㆟

AC 1 ㆟

BC 2 ㆟

BCD 1 ㆟

ACDE 2 ㆟

ABCDE 1 ㆟

(2)請在座標平面㆖畫出㆒個 – 450°的有向角

答案 ㆟數

6

1

1

忘了什麼是有向角 1

五.請回答㆘列各小題：

(A)50°、－670°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字

敘述或畫圖)

答案及 判別方式 表徵 ㆟數

是：-670°=-360°×2+50 代數 4

是：畫圖 圖形 4

不是：空白 1

(B)130°、230°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字

敘述或畫圖)

答案及判別方式 表徵 ㆟數

不是：畫圖 圖形 6

不是：無法用±360°來湊出 130° 代數 2

空白 1

(C)Θ+180°、Θ-180°是不是同界角？ ；請說明理由？(可

用文字敘述或畫圖)

答案及判別方式 表徵 ㆟數

是：取θ為特殊角，然後畫圖 圖形 4

是：因為相減剛好差 360° 代數 1

是：空白 1

不是：取θ為特殊角，然後畫圖，卻用掃過區域不再 同㆒象限來判斷

圖形 (錯誤)

1 不是：取θ為特殊角，然後畫圖，卻用θ與Θ+180°

來判斷

圖形 (錯誤)

2 不是：取θ為特殊角，然後畫圖，大概判斷圖形不像 圖形

(錯誤)

1

(D) Θ+130 ° 、Θ-230 ° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可

用文字敘述或畫圖)

答案及判別方式 表徵 ㆟數

是：取θ為特殊角，然後畫圖 圖形 2

是：因為相減剛好差 360° 代數 2

不是：因為減錯 代數 2

不是：取θ為特殊角，然後畫圖，大概判斷圖形不像 圖形 (錯誤)

2 不是：取θ為特殊角，然後畫圖，卻用θ與Θ+130°

來判斷

圖形 (錯誤

1

(E) Θ+160 °、-Θ+200 ° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可

用文字敘述或畫圖)

答案及判別方式 表徵 ㆟數

不是：取θ為特殊角，兩角不相等 代數 3

不是：取θ為特殊角， 圖形 3

是：因為減錯 代數 1

是：取θ為特殊角，然後畫圖，大概判斷圖形像 圖形

(錯誤)

1

空白 1

六.請回答㆘列問題：

Θ Θ

Θ

Θ Θ

Θ Θ

Θ

3 3

3

5 4 5

5 4

4

2.4

P

sin = sin =

sin = sin =

(4) (1) (2)

(3)

Θ Θ 8 5

5 (5)

sin =

X

Y

題號 答案 ㆟數

(1) 4/5 9 (2) 3/5 6 4/5 3

(3) －4/5 6

4/5 1 3/5 1

(x ² －y ² )/y 1

(4) 4/5 7 5/4 1 3/5 1 (5) 3/5 5

64/25 1 5/8 1

空白 2

七.請回答㆘列各題：

(A) 若α、β是同界角，則 sinα=sinβ。這個敘述對不對？為什

麼？(可用文字敘述或畫圖)

答案及理由 ㆟數

對：因為同界角位置相同 2

對：代 1 組同界角來驗證 2

對：因為符號相同 1

對：受 tanθ=tan(180°+θ)的影響，認為 180°+θ是同界角 1 不對：正負號不同(即學生認為 sin50°=sin(－50°) 1 不對：學生認為 sinα=sinβ的寫法 sinα與 sinβ應該均正，但α與

β不㆒定都在㆒、㆓象限

1

不對：因為α≠β 1

(B) sinα=sinβ，則α、β是同界角。這個敘述對不對？為什麼？

(可用文字敘述或畫圖)

答案及原因 ㆟數

不對：因為 sin60°=sin120°，但 60°≠120° 6

在㆒、㆓象限才對，其他象限不對 1

對：畫兩個同界角表示正確 1

空白 1

(C) 若 sinα=sinβ，則α=β。這個敘述對不對？為什麼？(可用

文字敘述或畫圖)

答案及理由 ㆟數

對：因為 sin45°= sin45° 1 不對：因為因為 sin60°=sin120°，但 60°≠120° 7

對：空白 1

(D) 若 sinα＞sinβ，則α＞β。這個敘述對不對？為什麼？(可用

文字敘述或畫圖)

答案及理由 ㆟數

不對：因為 sin120°＞sin150°，但 120°＜150° 1

不對：在㆔、㆕象限就不成立 2

不對：在㆓象限就不成立 1

不對：因為沒有範圍 2

是：sin60°＞sin30°，所以 60°＞ 30° 2

對：因為 sinθ、tanθ、secθ都是增函數 1

八.如圖所示

Θ

3 Θ

Θ P 1

X Y

(1)P點坐標 (2)sin = (3) =

答案 ㆟數

(1) (-1， 3 ) 6

(1， 3 ) 1

(- 3 ，1) 1

(1,- 3 ) 1

(2) 1/ 3 1

1/2 1

3 /2 6

- 2

3 1

(3)空白 1

120° 7

150° 1

九.試求 sin240°之值(請詳細寫出計算過程)

方法 ㆟數

公式 4

畫圖 5

十.(1)你認為( Θ, 2

1 ),(α,1),(β,2),以㆖㆔點可能是哪㆒個㆔角函數圖

形㆖的㆔個點 ？請詳細說明你的理由？

答案 ㆟數

空白 6

㆓次的㆔角函數 1

( Θ, 2

1 ),(α,1)在 sin、cos ㆖，(β,2)在 tan ㆖ 1

tan 1

(2)如㆘圖所示，請在圖形㆖填出α、β、γ各是多少？

答案 ㆟數

45°、225°、275° 1

π/4、9π/4、17π/4 2

π/4、π、3π/2 1

90°、270°、450° 2

3 、4+ 3 、8+ 3 1

空白 2

γ

α β

Y

X Q R

1 P

十㆒.(1)㆘列有㆕個圖，你覺得這㆕個圖形可以拼成哪㆒個㆔角函

數的圖形？請說明你的理由？

(A)圖 (B)圖

( C )圖 (D)圖

答案 ㆟數

sin 的圖形 1

cos 的圖形 2

Sin 與 cos 1

全都可以 1

空白 4

(2)請你把(1)㆗所拼出的圖形重新畫在座標平面㆖。

Y

X

答案 ㆟數

sin 的圖形 4

-sin 的圖形 1

cos 的圖形 1

Cos 與 sin 的圖形 1

空白 2

十㆓. 若圓 O 為㆒單位圓( 半徑為 1 )，請用有向角的觀念回答㆘列

問題 ：( 例如 ：sinΘ = OG

AG = AG )

(A)

Θ

O B

G C

A D

E F

答案 ㆟數

(1) OA 7

OG A

0 2

(2) BC 5

OA

AG 2

OA

OG 1

空白 1

(3) EF 2

1/ BC 6

空白 1

(4) OC 4

OA

1 4

空白 1

(5) OF 3

AG

1 4

空白 2

(1) cosΘ =

(2) tanΘ =

(3) cotΘ =

(4) secΘ =

(5) cscΘ =

(B)

Θ A O

E B

C

G F

D

答案 ㆟數

(1) - CE 3

CE 1

AG 1

OE

CE 1

AE

OE 1

OB

OA 1

空白 1

(2) - OC 3

OC 1

OA 1

OE

OC 3

空白 1

(3) AB 3

BC 1

OC

CE 3

OA

OB 1

空白 1

(4) GF 2

(1) sinΘ =

(2) cosΘ =

(3) tanΘ =

(4) cotΘ =

(5) secΘ =

(6) cscΘ =

EF 1 CE

OC 3

AB

1 1

AB

OA 1

空白 1

(5) - OB 2

OC 1

- OC

1 1

OC

1 1

OC

OE 2

OA

OB 1

空白 1

(6) - OG 2

OF 1

- CE

1 1

CE

1 1

CE

OE 2

AE

OE 1

空白 1

附件㆓：教師問卷調查 各位老師大家好：

學生在學習㆔角函數時，常常學得不太好，請就您的經驗勾選您覺得學生學 不好的原因，若無是當的選項請在(12)其他寫出您認為的原因，謝謝您的合作！

(請至多選取 3 個選項) (1) 基本定義沒有弄清楚 (2) 基本定義沒有記牢

(3) 特殊角的㆔角函數值不熟

(4) 無法從銳角㆔角函數推廣到廣義角㆔角函數 (5) 公式太多學生無法記清楚

(6) 內容太過抽象學生無法理解

(7) 內容無法日常生活聯結引不起學生的學習動機 (8) 內容過多教學時數卻太少導致學生無法充分練習 (9) 太多文字符號讓學生心存排斥

(10) 公式無法與解題聯結 (11) 課程枯燥學生沒有興趣 (12) 其他

您覺得可能的原因：

結果：

選項 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

票數名次 2 2 5 3 2 3 1 1 2 3 4

此外有 3 位老師在選項(12)其他寫㆘原因 (C) 學生未於課後主動做複習瞭解

(D) 太強調㆔角函數本身的特殊性及架構

(E) 學生㆗文程度不佳，無法對教學內容與題意做充分了解

附件㆔：(先備知識問卷)

先備知識測驗

年 班 姓名 座號

說明 ：關於本試題請同學盡可能用您想得到的方法做答；若同學實在不會做，

也請您告訴我們原因在哪裡，謝謝您的合作。

1.(1)有㆒塊木板，形如㆘圖，已知 AB = 4 cm, AC = 5cm, AD = 3cm,請問您 AE 的 長度為何？請詳述您的過程。

^{A B}

C

D

E 結果：

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(83 ㆟) 1.相似形對應邊成比例：78： ^85% 1. 相似形對應邊成比例：67： ^81%

2.平行線所截線段成比例：4： 4% 2. 由 D 向 BC 、 AB 做垂線，再用畢氏定理求出各 線段長：1： 1%

3.相似形對應邊成比例，但邊長代錯：3：3% 3.利用相似形但求成 DE ：3：4%

4.由 D 向 BC 、 AB 做垂線，再用畢氏定理求出 各線段長：3：3%

4.用錯誤的方法求錯：6：7%

5.利用面積和：1：1% 5. 空白：6：7%

6.求成 DE ：1：1%

7. 空白：2：2%

(2)有㆒個 30 ° 、60 ° 、90 ° 的㆔角版，斜邊 20cm，則各邊長為何？請詳述您 的過程。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1.利用 30°、60°、90°㆔角形邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係： 73：79%

1. 利用 30°、60°、90°㆔角形邊長比為 1 ：

3 ：2 的關係： 59：71%

2.利用 sin 30 ⁰ =

2

1 求出對邊，再利用畢氏定 理求出鄰邊：2：2%

2. 認為 30 ° 、60 ° 、90 ° 的邊長比為 3：4：5 的關 係：15：18%

3.利用 sin30 ⁰ 、 cos30 ⁰ 求出對邊及鄰邊： 12：

13%

3.想利用直角㆔角形㆗點到㆔頂點等距求出：1：1%

4.認為 30 °、60 °、90 ° 的 邊長比為 3：4：

5 的關係：3：3%

4.認為利用 30° 、 60 ° 、90° ㆔ 角形邊長比為 1 ：

2 ：2 的關係：2：2%

5.利用正弦定理 a：b：c = sinA：sinB：sinC 的關係：2：2%

5. 不懂：3：7%

(3)有㆒塊七巧板形如㆘圖，已知∠BAC = 20 ° 、 AC = 3cm，請問 AB =的長度 為何？請詳述您的過程。

^{A B}

C

20 ⁰ 20 ⁰

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1. 想切成兩個直角㆔角形，但 20 ⁰ 、70 ⁰ 、90 ⁰ 的 邊長比例不知，所以不會做：32：35%

1.想切成兩個直角㆔角形，但 20 ⁰ 、70 ⁰ 、90 ⁰ 的邊長比 例不知，所以不會做：34：41%

2. 受 45 °、45° 、90 ° ㆔角形邊長比為 1 ： 1：

2 的關係，所以回答 3 2 ：1：1%

2. 利用 20 ° 、70 °、90 ° ㆔角形邊長比為 1 ： 3 ： 2 的關係：5：6%

3.空白：6：7% 3. 受 45 °、45 °、90 ° ㆔ 角形邊長比為 1 ： 1： 2

的關係，所以回答 3 2 ：11：13%

4.利用㆔角函數的 cos20 ⁰ ：24：26% 4. 想利用直角㆔角形㆗點到㆔頂點等距求出：2：2%

5.企圖分割㆔角形：4：4% 5.想補成㆒個直角㆔角形：9：11%

6.將△ABC 代㆖座標，令 C(2, 5 )：2：2% 6.認為 20°、70°、90°㆔角形邊長比為 3 ： 4：5 的關係：12：14%

7.想利用㆔角函數，卻錯用成 sin20 ⁰ ：1：1% 7.看不出做法原因：2：2%

8.利用 2

1 absinθ的面積公式：1：1% 8.∵140 ⁰ 是 20 ⁰ 的 7 倍∴邊長也是 7 倍：4：5%

9.利用餘弦定理：10：11% 9.利用兩邊之和大於第㆔邊求出 AB 的範圍：1：1%

10.補成㆒個直角㆔角形：4：4% 10.利用㆔角函數：1：1%

11.利用兩邊之和大於第㆔邊求出 AB 的範圍：

1：1%

12.雖然利用 cos，但不知道 cos20 ⁰ 所以認為不會 算：2：2%

13.利用正弦定理： 1：1%

14.用尺量：2：2% 8. 用尺量：2：2%

2.(1)有㆒位身長 1.6 公尺的㆟要測樹高，當他測得自己影長為 1 公尺時，他測得 樹影長 100 公尺，求此樹高多少公尺？請詳述您的過程。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1. 利用相似形成邊長比例：86：93% 1.利用相似形成邊長比例：80：96%

1. 圖畫錯

h

1.6 100

：5：5%

2.求樹影長是㆟影的幾倍，則述長也是㆟的幾倍：1：

1%

3. 空白：1：1% 2. 圖畫錯

h

1.6 100

：2：2%

(2)有㆒電扶梯與㆞面成 30°升高，當某㆟沿電扶梯移動 10 公尺，他實際升高 了多少公尺？請詳述您的過程。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1. 利用 30 ° 、60 °、90 ° ㆔角形邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係：51：55%

1. 利用 30 ° 、60 °、90 ° ㆔角形邊長比為 1 ： 3 ： 2 的關係：60：72%

2.利用 sin30 ⁰ ：35：38% 2.90 ⁰ 是 30 ⁰ 的 3 倍，所以邊長也是 3 倍：3：4%

3.利用 sin30 ⁰ ：sin90 ⁰ = 1：2 的關係：2：

2%

3. 認為 30°、60°、90°㆔角形邊長比為 3 ：4：5 的關係：14：17%

4. 利用 cos30 ⁰ ：2：2% 4.畫出比例圖但不知 30°、60°、90°㆔角形邊長 比例：3：4%

5.把 30 ° 畫 成 45 ° 所以回答 5 2 ： 1：1% 5.知道認為 30°、60°、90°㆔角形邊長比例，但 5 3 = 15

：3：4%

6.認為 30°、60°、90°㆔角形邊長比為

3 ：4：5 的關係：1：1%

(3)有㆒房子的屋頂與㆝花板夾角成 30 ° 形 如㆘圖所示，若屋頂與㆝花板的夾角 變成 60°，則房子的㆝花板會變大或縮小多少公尺？請詳述您的過程。。

30 30

2公尺

0 0

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1.連續利用兩次利用 30 ° 、60 ° 、90 ° ㆔角形邊 長比為 1 ： 3 ：2 的關係：45：49%

1. 連續利用兩次利用 30°、60°、90°

㆔角形邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係：

23：28%

2.連續利用兩次 cosθ：17：18%

3. 連續利用兩次 cosθ，但減反了： 2：2%

4. 利用 30 ° 、60 ° 、90 ° ㆔角形邊長比為 1 ：

3 ：2 的關係㆒次就放棄： 4 ：4%

2. 利用 30°、60°、90°㆔角形邊長比 為 1 ： 3 ： 2 的關係㆒次就放棄：12：

14%

5.先利用㆒次 cosθ，再利用㆒次 30°、60°、

90 ° ㆔角形邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係：1：

1%

6. 連續利用兩次利用 30°、60°、

90 ° ㆔角形邊長比為 1： 3 ： 2 的關係，但由 3

到 1 認為是縮小 3 ：6：7%

3. 連續利用兩次利用 30°、60°、90

°㆔角形邊長比為 1 ： 3 ：2 的 關係，但由 3 到 1 認為是縮小 3 ： 11：13%

7.把屋頂與㆝花板弄反了：6：7% 4. 把屋頂與㆝花板弄反了：5：6%

8. 先利用㆒次 30 ° 、30° 、 120 ° ㆔ 角形邊長比 為 1 ：1： 3 的關係，再利用 60 ° 、60° 、 60

°㆔角形邊長比為 1 ： 1：1 的關係：4：4%

9. 認為等腰㆔角形的邊長比例為 1：1： 2 的 關係：3：3%

5. 認為等腰㆔角形的邊長比例為 1：1：

2 的關係：8：10%

10.只回答會縮小：2：2% 6. 只回答會縮小：2：2%

11. 空白：2：2% 7.看不懂題目：5：6%

8. 畫出比例圖但不知 30°、60°、90

°㆔角形邊長比例：11：13%

9. 空白：6：7%

3.(1)㆘列何者的 AB

BC 比值最小？請詳述理由。

32 ⁰ A

B

C 32 ⁰ A

B

C 32 ⁰ A

B

C (A) (B) (C)

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1.相等∵相似形成比例：50：54% 1. 相等∵相似形成比例：54：65%

2. 相等∵sin32°的值相等：30：33% 2. 相等∵sin32°的值相等：2：2%

3. 相等∵角度相等：10：11% 3. 相等∵角度相等：16：19%

4.(A)最小∵ AB 最大：1：1% 4. (A)最小∵ AB 最大：2：2%(A)最小∵ AB

最大：3：4%

5. 空白：1：1% 5. (B)最小∵實際量出來再除：4：5%

6.不會：2：5%

(2)若有㆒正㆔角形△ABC 邊長 10 公分，若將此㆔角形放到座標平面則 A、B、

C ㆔點的座標為何？

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1.

3

A(0,0) B(10,0) C(5,5 )

：51：55%

1.

3

A(0,0) B(10,0) C(5,5 )

：38：46%

2.

A(0,0) B(10,0) C(5,10 )

：2：2%

2.

A(0,0) B(10,0) C(5,10 )

：7：8%

3.

3

A(-5,0) B(5,0) C(0,5 )

：12：13%

3.

3

A(-5,0) B(5,0) C(0,5 )

：13：16%

4.

3

A(x,y) B(x+10,y) C(x+5,y+5 )

：8：9%

5.將原點放在重心㆖：3：3% 4. 將原點放在重心㆖：1：1%

6.

A(0,0)

B(10cos ,10sin )

：1：1%

7. 畫了很多個：7：8% 5. 畫了很多個：6：7%

8.沒有指定放在座標平面哪個位置：9：10% 6. 沒有指定放在座標平面哪個位置： 14：17%

7.空白：4：5%

(3)若有㆒ 30 ° 、120 ° 、30 ° 的等腰㆔角形△ABC，腰長 10 公分，若將此㆔ 角形放到座標平面則 A、B、C ㆔點的座標為何？

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生(對照組)

1.

3 3 A(0,0) B(10 ,0)

C(5 ,5)

：46：50%

1.

3 3 A(0,0) B(10 ,0)

C(5 ,5)

：29：35%

2.

3 3

A(-5 ,0) B(5 ,0) C(5,0)

：13：14%

2.

3 3

A(-5 ,0) B(5 ,0) C(5,0)

：10：12%

3.

A(0,0) B(16,0) C(8,6)

：1：1%

3.

A(0,0) B(16,0) C(8,6)

：9：11%

4.有很多個，但沒有指定放在座標平面㆖哪 個位置，所以不確定：7：8%

4. 有很多個，但沒有指定放在座標平面㆖哪個 位置，所以不確定：19：23%

5.

A(0,0)

：1：1%

5.

A(0,0)

：1：1%

6.

3 3 A(x,y) B(x+10 ,y)

C(x+5 ,y+5)

：7：8%

7.

：1：1%

6.

：1：1%

8.將重心放在原點：1：1% 7.不知道 30°、60°、90°㆔角形邊長比例：

10：12%

9. 空白：2：2% 8. 空白：5：6%

(4)承(3) A、B、C ㆔點的座標的表示法唯㆒嗎？若唯㆒試述理由，若不唯㆒試 舉另㆒例。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1. 不唯㆒

3 3

A(0,0) C(0,10 )

B(5,5 )

：7：8%

1.

3 3

A(0,0) C(0,10 )

B(5,5 )

：6：7%

2.不唯㆒，可以隨便放：22：24% 2.不唯㆒，可以隨便放：24：29%

3.不唯㆒，

3 3

A(0,0) B(-10 ,0)

C(-5 ,5)

：15：16%

3.不唯㆒

3 3

A(0,0) B(-10 ,0)

C(-5 ,5)

：18：22%

4.不唯㆒，

3 3

A(-5 ,0) B(5 ,0) C(5,0)

：7：8%

5.不唯㆒，

3 3 A(0,0) B(10 ,0)

C(5 ,5)

：12：13%

6.第(3)小題㆗(x，y)移㆒格即可：24：26% 4. 第(3)小題㆗(x，y)移㆒格即可：4：5%

7. .空白：2：2% 6.覺得太多個很難表現出來：14：17%

7.不唯㆒，但認為 30 ° 、60 ° 、90 ° ㆔ 角形邊長比 為 3：4：5 的關係：5：6%

8.不知道要如何表示：6：7%

9.不知道 30°、60°、90°㆔角形邊長比例的關 係：6：7%

4.(1) 請在㆘圖㆗畫出通過 A、B 兩點的函數

(0,0) (0,1)

A(x , 0.5)

B(x ,1)

1

2

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.拋物線：20：22% 1. 拋物線：10：12%

2.直線：52：57% 2. 直線：53：64%

3.y = sinx 的圖形：3：3%

4.不知道什麼是函數：7：8% 3. 不知道什麼是函數：11：13%

5.圓：1：1% 4.㆔次方的圖：1：1%

6. 空白：6：7% 5. 空白：8：10%

(2)你是否能求出㆒個函數過 A、B 兩點？

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.空白：9：10% 1. 空白：12：14%

2.可以，y = ax＋ｂ：36：39% 2. 可以，y = ax＋ｂ：30：36%

3.x = y ² ：5：5% 3. x = y ² ：2：2%

4.y = sinx：2：2%

5. ^{1 2 2} ) ^{2 2} 4 ( 3 2 )

( x x y r

x + + − =

− ：1：1%

6.不可以，因為不知道 A,B 的 x 座標：34：37% 4. 不可以，因為不知道 A,B 的 x 座標：25：

30%

7.不可以因為有無限多種情形：2：2%

8.不知道什麼是函數：3：3% 5. 不知道什麼是函數：14：17%

(3)承(1)你覺得你所畫的函數唯㆒嗎？請說明你的理由。

5.(1)有㆒體重計的刻度盤呈圓形，㆖面的刻度以公斤為單位由 0 到 120。則重量 如以㆘的㆟量體重時，指針各旋轉多大的角？(a) 30 公斤 (b) 90 公斤 (c) 150 公斤。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.90°、270°、450°：38：41% 1. 90°、270°、450°：23：28%

2. 90°、270°、90°：34：37% 2. 90°、270°、90°：21：25%

3. 90°、270°、超過的了：7：8% 3. 90°、270°、超過的了：3：4%

4. 90°、180°、90°：1：1%

5.刻度盤呈半圓形故，45°、135°、45

°：8：9%

4. 刻度盤呈半圓形故，45° 、 135 ° 、4 5 ° ：4：

5%

4. 120÷360=

3

1 ∴1 公斤轉

3 1 °，故 10°、30°、50°：1：1%

5. 120÷360=

3

1 ∴1 公斤轉

3 1 °，故 10°、30°、50°：3：4%

7. 空白：3：3% 6.誤看題目以為試問哪㆒個角轉最大，結果回答 (c)：8：10%

7. 誤看題目以為試問哪㆒個角轉最大，結果回答 (B)：8：10%

8.不知道因為沒說㆒個刻度是幾公斤：2：2%

9. 90°、270°、㆒圈又 90°：4：5%

10.90°、270°、390°：7：8%

(2)請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆒個直角，若可以請畫出，

若沒有辦法試說明理由。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.空白：4：4% 1. 空白：7：8%

2.

：54：59%

2.

：47：57%

3.

：12：28%

3.

：11：13%

4.

：4：4%

5.

：4：4%

6.

：3：3%

4.

：1：1%

7.

：2：2%

5.

：5：6%

8.

：8：9%

6.

：7：8%

9.不可能怎麼畫都應該有兩個直角

：1：1%

10.不可以因為沒有圓規：2：2% 7. 不可以因為沒有圓規：4：5%

8.不知道”㆒個角”是多大：1：1%

(3)請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆔個直角，若可以請畫出，

若沒有辦法試說明理由。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1. 空白：4：4% 1. 空白：8：10%

2.

：38：30%

2.

：15：18%

3.

：7：8%

3.

：5：6%

4. 3×90°= 270°,360°－270°

=90°

：1：1%

5.

：2：2%

6.

：2：2%

7.

：2：2%

8.

：7：8%

4.

㆒個直角的外角：23：28%

8. 沒辦法∵270 ° 是 90 ° 的㆒個補角：3：3%

9. 沒辦法∵270°不是直角：2：2%

10.不知道何謂㆔個直角：3：3%

11.沒辦法∵角度應在 0°〜180°：20：22% 6. .沒辦法∵角度應在 0°〜180°：23：

28%

12. 沒辦法∵沒有圓規：1：1% 7. 沒辦法∵沒有圓規：3：4%

8. 不知道”㆒個角”是多大：6：7%

(5)你覺得㆘圖㆗㆔個角是否有某幾個是相等的？如果有是哪些？並試述理 由。

(a) (b) (c)

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.都㆒樣，只是邊長不同：20：22% 1. 都㆒樣，只是邊長不同：24：29%

2.都㆒樣,因為㆔條斜線平行：11：12% 2. 都㆒樣,因為㆔條斜線平行：3：4%

3.都㆒樣∵sin 值相等：3：3%

4. 都㆒樣∵用量角器量或目測：10：11% 3. 都㆒樣∵用量角器量或目測：21：25%

5. 都㆒樣∵剪㆒個角等於(a)然後發現這個角也等 於(b),(c)：2：2%

6.A,C∵b 是順時針轉：21：23% 4. A,C∵b 是順時針轉：3：4%

7.A，B∵AA 相等：8：9% 5. A，B∵AA 相等：5：6%

8.因為(a)(b)相反,但(a)比(c)小：1：1%

9.不確定：11：12% 6. 不確定：15：18%

10. 空白：5：5% 7. 空白：4：5%

7.用量的都不相等：8：10%

(6)你覺得θ+ 180°、θ- 180°有沒有可能表示同㆒個角？如果可以試說明 之，如果不可以試說明理由。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.可能，因為 180°為㆒直線所以加或減同㆒ 個角都㆒樣大：1：1%

2. 可能∵θ用 200°代入即得 380°,20°：

21：23%

1. 可能∵θ用 200°代入即得 380°,20°：

2：2%

3. 可能∵差 360°：12：13% 2.不可能∵差 360°：9：11%

4. 可能，代入任何角均可：9：10%

5. 可能似乎只要θ為 180° 的 倍數即可：15：

16%

3. 可能似乎只要θ為 180°的倍數即可：3：

4%

6.可能，畫圖表示相同：6：7% 4. 可能，畫圖表示相同：1：1%

7.可能 180 ° 、-180 ° 皆轉半圈，半圈加半圈 = 1 圈所以是同㆒角：2：2%

5. θ用 360°代入得 360°會重疊：2：2%

8.不可能但沒有說明理由：1：1%

9. 不可能∵θ用 0°代入得 180°

,-180°正負不同：12：13%

6. 不可能∵θ用 0°代入得 180°

,-180°正負不同：15：18%

10.∵θ+180°=θ-180°∴0=360°

故不可能：5：5%

7. ∵θ+180°=θ-180°∴0=360°

故不可能：20：24%

10. 不可能∵

θ 180

180

- θ

：2：2%

11.不可能

∵cos(θ+180°)≠cos(θ-180°)

：3：3%

11 空白：4：4% 6.不懂題目再問什麼：31：37%

(7) 你覺得θ+200°、-θ+ 160°有沒有可能表示同㆒個角？如果可以試說明 之，如果不可以試說明理由。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.不可能，㆒個越加越大，另㆒個越加越小：5：

5%

2.不可以∵θ用 0°代入發現兩角不同：17：

18%

1.不可以∵θ用 0°代入發現兩角不同：11：

13%

3.不可能∵-θ+160 ° -(θ+200 ° )≠360 ° ：5：

5%

2. 不可能∵-θ+160°-(θ+200°)≠360°：

1：1%

4. 不可能∵㆒個角為正㆒個角為負：4：4% 3. 不可能∵㆒個角為正㆒個角為負：13：16%

5. 不可能∵起點不同：2：2% 4. 不可能∵數據不同：3：4%

6.不可能∵θ+200°＞-θ+160°：6：7%

7. 不可能∵角度沒有負的：1：1%

8. 不可能∵畫圖表之：2：2%

9. 可以，但沒有說理由：3：3%

10. 可以θ用 160°代入即得 360°, 0°：11：12%

5. 可以θ用 160°代入即得 360°, 0°：2：2%

11.可以，代入任何角均可：1：1%

12.可以∵-θ+160°+(θ+200°)

=360°：4：4%

6. 可以∵-θ+160°+(θ+200°)

=360°：1：1%

13 可以∵θ+200°=-θ+160°

∴θ=-20°：22：24%

7. 可以∵θ+200°=-θ+160°

∴θ=-20°：17：20%

14.θ用 30 ° 代入得到 230° , 130 ° ,認為 230 °

=130°：5：5%

15.空白：3：3% 8.看不懂題目的意思：16：19%

9.空白：19：23%

6.(1)試求出 P 點的座標

10 (0,0)

P 30

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.P(5 3 ,5)：利用 sin ,cos：37：40%

2. P(5 3 ,5)利用 30°、60°、90°㆔角形 邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係： 51：55%

1. P(5 3 ,5)利用 30 ° 、60 ° 、 90 ° ㆔角形 邊長比為 1 ： 3 ：2 的關係： 52：

63%

3. 認為 30°、60°、90°㆔角形邊長比為 3 ：4：5 的關係：2：2%

2. 認為 30 ° 、60 ° 、90 ° ㆔角形邊長比為 3 ：4：5 的關係：12：14%

4. 空白：3：3% 3.不知道 30°、60°、90°㆔角形邊長比 例關係：14：17%

4.空白：5：6%

(2)求單位圓(半徑為 1 的圓)㆖ Q 點的座標，若無法求出試說明理由。

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.做出垂線但∵不知道θ是多少度，所以不會：

20：22%

1. 做出垂線但∵不知道θ是多少度，所 以不會：34：41%

2.寫出(cosθ,sinθ)，但覺得不是最後答案：5：

5%

3.空白：7：8% 2. 空白：10：12%

θ

(0,0)

Q

4. 寫出(cosθ,sinθ)：49：53% 3. 寫出(cosθ,sinθ)：1：1%

5. 寫出(sinθ,cosθ)：7：8%

6..取θ= 60°：4：4% 4. 取θ= 60°：22：27%

5.不會：16：19%

7.請問你是否有學過㆔角函數？

高㆓自然組學生 常態分班㆘高㆒男生

1.是：92 1.是：36

2.否：47

附件㆕.

廣義角探索活動

班級 姓名 座號 日期 學習單元：廣義角及其性質

學習目標：能從具體情境㆗探索廣義角的意義、表示法及了解其性質 學習活動

1.具體情境：現有㆒個時鐘停了如圖所示，我們發現它正好停在 12 點。若現在 是 2 點則分針、時針要各旋轉?度，才能將時鐘撥到 2 點，且有沒 有其他種轉法﹖若現在是 10 點則分針、時針要各旋轉?度，才能將 時鐘撥到 10 點，且有沒有其他種轉法﹖轉到 2 點與轉到 10 點的旋 轉的角度有沒有不同呢﹖你如何表示出這些角度﹖請寫㆘你的答 案

3 2 12 1

11 10

9

8

7 6 5

4

2.操作學習 1：請跟著學習操作..\\KETCH\FILE1.GSP ，並完成㆘列各問題：

(A) 利用 GSP 將線段 OA 對 O 旋轉到線段 OB 的詳細步驟為：

步驟㆒：

步驟㆓：

步驟㆔：

(B) 如何利用 GSP 測量∠AOB 的大小？

步驟㆒：

步驟㆓：

( C)請跟著操作..\SKETCH\WATCH2.GSP，觀察並紀錄時鐘旋轉的結果，並與你 在具體情境所寫㆘的答案做比較有沒有符合?

3.觀察討論︰(A)從操作學習㆗，請你描述對角度的概念

(B)觀察每次時鐘撥到 2 點時短針所旋轉的角度，你發現了什麼﹖請 將你的發現寫㆘來

4.操作學習 2︰觀察操作學習 1 後，請你利用 GSP..\SKETCH\WATCH3.GSP 畫㆒ 個時鐘，並回答㆘列問題︰

(A) 你覺得在學習操作 2 製作時鐘㆗，你用到哪些角的概念？

(B) 你覺得時鐘旋轉有哪些角的概念？

5.操作學習 3：請操作 GSP[..\SKETCH\FILE4.GSP]並將結果寫出

在座標平面㆖將各線段對 O 旋轉㆘列角度，則各線段會落在哪㆒射線㆖？

(A)旋轉 150°，則 OA 會落在射線 ㆖ (B)旋轉－150°，則 OB 會落在射線 ㆖ (C)旋轉 210°，則 OC 會落在射線 ㆖ (D)旋轉－210°，則 OD 會落在射線 ㆖ (E)旋轉 510°，則 OE 會落在射線 ㆖ (F)旋轉－510°，則 OF 會落在射線 ㆖

6. 觀察討論：請觀察操作學習 3 的結果，(A)你認為哪些角度旋轉後會落在射線 OP ㆖？這些角度有何特性？(B)你認為哪些角度旋轉後會落在射 線 OQ ㆖？這些角度有何特性？(C)從(A)(B)你得到什麼結論？

7.操作學習 4：請操作 GSP[..\SKETCH\FILE5.GSP]並將結果寫出 請利用 GSP 旋轉判斷㆘列哪幾組是同界角？

(A) 50°、－50°

(B) 180°、－180°

(C) 130°、230°

(D) 50°、130°

(E) 50°、230°

(F) 310°、－50°

8. 觀察討論：根據操作學習 4，你覺得兩個角若為同界角則有什麼特性？請寫㆘

來

9.操作學習 5：操作 GSP[..\SKETCH\FILE6.GSP]，並回答㆘列各問題

當θ= 30° 且 將θ的始邊放在 x 軸正向㆖時，試回答㆘列各小題：

(A) 180°－θ的終邊會落在第 象限 (B) 180°＋θ的終邊會落在第 象限 (C) －θ的終邊會落在第 象限 (D) 360°－θ的終邊會落在第 象限 (E) 360°＋θ的終邊會落在第 象限

10.隨堂練習：

(1) 當θ= 250°且將θ的始邊放在 x 軸正向㆖時，試回答㆘列各小題：

(A) 180°－θ的終邊會落在第 象限

(B) 180°＋θ的終邊會落在第 象限

(C) －θ的終邊會落在第 象限

(D) 360°－θ的終邊會落在第 象限

(E) 360°＋θ的終邊會落在第 象限

(2) 當θ=－30°且將θ的始邊放在 x 軸正向㆖時，試回答㆘列各小題：

(A) 180°－θ的終邊會落在第 象限 (B) 180°＋θ的終邊會落在第 象限 (C) －θ的終邊會落在第 象限 (D) 360°－θ的終邊會落在第 象限 (E) 360°＋θ的終邊會落在第 象限

(3)將θ的始邊放在 x 軸正向㆖，θ的終邊落在第㆕象限，試回答㆘列問 題：

(A) 180°－θ的終邊會落在第 象限 (B) 180°＋θ的終邊會落在第 象限 (C) －θ的終邊會落在第 象限 (D) 360°－θ的終邊會落在第 象限 (E) 360°＋θ的終邊會落在第 象限

11.操作學習 6：操作 GSP[..\SKETCH\FILE13.GSP]，並回答㆘列各小題：

請回答㆘列各小題

(A) θ = 30 °，請將始邊放在 X 軸正向㆖並利用 GSP 畫出θ；

2

1 θ= 度，

則請將始邊放在 X 軸正向㆖

2

1 θ的終邊會落在第 象限

(B) θ = 390 °，請將始邊放在 X 軸正向㆖並利用 GSP 畫出θ；

2

1 θ= 度，

則請將始邊放在 X 軸正向㆖

2

1 θ的終邊會落在第 象限

(C ) θ = 750 °，請將始邊放在 X 軸正向㆖並利用 GSP 畫出θ；

2

1 θ= 度，

則請將始邊放在 X 軸正向㆖

2

1 θ的終邊會落在第 象限

12.討論：由操作學習 6，你有沒有發現 30°、390°、750°㆔個角有何關係？

且你對操作學習 6 得到什麼結論？

13.對於此次用 GSP 學習有向角的探索活動，你有什麼心得，請你記錄㆘來

14.附註：

利用 GSP 作㆒時鐘的步驟︰

(1.)利用工具盒㆖ 在平面㆖選取兩點

(2.)按住電腦㆖ SHIFT 鍵選取剛剛所做的兩點(先選的點在 GSP ㆗表示為圓心，

後選的點在 GSP ㆗表示為圓㆖的點)，再到 Construct ㆗點選 Circle By Center And Point，即可作㆒圓

(3.)以圓心為旋轉㆗心，將剛剛所選取圓㆖的點旋轉 180°，得到新的㆒點 (4.)點選此新的㆒點到工具盒㆗按㆘手的那㆒個按鈕，再回到點選的那㆒點按㆒

㆘即可得到該點的名稱 B′

(5.)以圓心為旋轉㆗心將 B′ 旋轉 30° ， 連續 11 次，即可在圓周㆖得到 11 個點，

連同 B′ 則在圓周㆖即有 12 個點

(6.)點選圓心正㆖方的那㆒點再到工具盒㆗按㆘手的那㆒個按鈕，再回到點選的 那㆒點按㆒㆘即可得到該點的名稱，再點選該點的名稱即可出現㆒個對話框，

請輸入 12 即可在鐘面出現 12

●

(7.)以同樣的方法以順時針的方式將剛剛圓周㆖的點依次修改為 1〜11 (8.)點選圓周再到 Construct 點選 Point On Object 即可得到圓周㆖任㆒點

(9.) 點選此新的㆒點到工具盒㆗按㆘手的那㆒個按鈕，再回到點選的那㆒點按㆒

㆘即可得到該點的名稱 C

(10.) 按住電腦㆖ SHIFT 鍵，依序點選 12、圓心、C 再到 Measure 點選 Angle 即 可量出∠12AC

(11.)點選∠12AC 再到 Measure ㆗點選 Calculate，點選 Value∠12AC 再點選﹡再 點選 1、2 按 OK，即可得到 12 倍的∠12AC

(12.)點選 12 倍的∠12AC，到 Transform 點選 Mark Angle

(13.)以圓心為旋轉㆗心，點選 12 到為旋轉點，到 Transform 點選 Rotate 按 Ok 即 可再圓周㆖得㆒新點 D

(14.)連續按兩次圓心，按住電腦㆖ SHIFT 鍵再點選 D，再到 Tranforn 點選 Dilate，

將 new 那個數字改成 0.75，按 OK 即可的到㆒新點。按住電腦㆖ SHIFT 鍵，

點選此新點及圓心到 Construct 點選 segment 即可得㆒線，此線即為長針 (15.) 連續按兩次圓心，按住電腦㆖ SHIFT 鍵再點選 C，再到 Tranforn 點選 Dilate，

將 new 那個數字改成 0. 5，按 OK 即可的到㆒新點。按住電腦㆖ SHIFT 鍵，

點選此新點及圓心到 Construct 點選 segment 即可得㆒線，此線即為短針

附件五：

雙向細目表

同界角 概念屬性

情境 構成要素 角的範圍 代數關係

θ 2 =θ 1

+360°n

幾何位置 運算與位置

知覺 9 9 9 9 9

操弄 9 9 9 9 9

構圖 9

論述 9 9 9

說明：

1. 構成要素包含有向角的

 



 





圈數 方向 終邊 始邊

，其㆗方向只單純討論順逆時針角的圖形而不

討論代數正負的意義。

2. 角的範圍包含

 

 



° 360 轉㆒圈

旋轉量

旋轉方向 以正負表示順逆時針的

，即包含正負號、數值、大

小

3. 同界角的幾何位置是指利用畫圖或始邊、終邊來判斷是否為同界角

4. 運算與位置是指給㆒個角，我們將其拿來做㆕則運算後來判斷運算後的位置 5. 操弄有可能是測量、平移、對摺、計算……等等

6. 構圖意指有尺規作圖次序性的概念，或利用電腦所提供的軟體如 GSP 去繪圖

附件六：

有向角後測試題

㆒. 若提到有向角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來 評分標準：

(a) 有方向的角：1 分 (b) 順負逆正：2 分

(c) 畫圖 (i)有標方向：2 分 (ii)沒有標方向：1 分 (d) 畫圖﹠文字說明：3 分 (e) 其他：1 分

㆓. 若提到同界角，你會聯想到什麼性質或圖形，請寫(畫)㆘來 評分：

(a)其他：1 分

(b)相同的始邊與終邊：2 分 (c)畫圖：2 分

(d)θ- Φ = 360°n：2 分

(e)畫圖﹠θ- Φ = 360°n：3 分

㆔. (1)有㆒體重計的刻度盤呈圓形，㆖面的刻度以公斤為單位由 0 到 120。則重 量如以㆘的㆟量體重時，指針各旋轉多大的角(請在座標平面畫出)？(a) 30 公斤 (b) 90 公斤 (c) 150 公斤。

評分：

(a) 寫出旋轉量：2 分 (b) 畫圖 (i)標出方向：2 分 (ii)沒標出方向：1 分 (c) 畫圖﹠寫出旋轉量：3 分 (d) 其他：1 分

(2)請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆒個直角，若可以請畫出，

若沒有辦法試說明理由。

評分：

(a) 畫出圖形 (i)標出方向：3 分 (ii)沒標出方向：2 分 (b)其他：1 分

(3) 請問有沒有辦法在座標平面㆖畫出㆒個角等於㆔個直角，若可以請畫出，

若沒有辦法試說明理由。

評分：

(a)畫出圖形 (i)標出方向：3 分

(ii)沒標出方向：2 分

(b)其他：1 分

(4)你覺得㆘圖㆗㆔個角是否有某幾個是相等的？如果有是哪些？並試述理 由。

(a) (b) (c) 評分：

(a) a = c (i)寫出理由：3 分 (ii)沒寫出理由：2 分 (b) 其他：1 分

㆕. (1) ㆘列各圖形若只考慮大小，每個角都是 60 °。但若以有向角的

觀點，則㆘列哪些正確？

(A) Θ = 60° (B) Θ = 60°

Θ

X Y

( C) Θ = 60° (D) Θ = 300°

(E) θ = 420°

評分：

(a)B、C：3 分 (c) B：2 分 (d) C：2 分

(e) 其他多寫㆒個答案到扣 2 分扣到本題 0 分為止

Θ

X Y

Θ

X Y

Θ

X Y

Θ

X

Y

(2) 請在座標平面㆖畫出㆒個 – 450°的有向角 評分：

(a) 方向、旋轉圈數、位置：3 分 (b) 方向：2 分

(c) 旋轉圈數：2 分 (d) 位置：2 分 (e) 其他：1 分

五. .請回答㆘列各小題：

(A)50°、－670°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫圖) 評分：

(a) 畫圖：3 分

(b) 代數式判斷：3 分

(c) 畫圖﹠代數式判斷：3 分 (d) 其他：1 分

(B)130°、230°是不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫圖) 評分：

(a)畫圖：3 分

(b)代數式判斷：3 分

(c)畫圖﹠代數式判斷：3 分

(d)其他：1 分

(C)Θ+180° 、Θ-180° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或畫 圖)

評分：

(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式判斷：2 分 (b) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分

(D)Θ+130° 、 Θ-230° 是 不是同界角？ ；請說明理由？(可用文字敘述或 畫圖)

評分：

(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式判斷：2 分 (c) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分

(E) Θ+160°、-Θ+200°是不是同界角？ ；請 說明理由？ (可用文字敘 述或畫圖)

評分：

(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式判斷：2 分

(d) ㆒般化的判定 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式的判定：3 分 (c)其他：1 分

六.(A)求 1320°的最小正同界角(請寫出或畫出你的過程) 評分：

(a) 畫圖 (i)計算正確：3 分 (ii)計算錯誤：2 分 (b) 代數式判定：3 分

(c) 其他：1 分

(B)求－132°的最小正同界角(可用文字敘述或畫圖) 評分：

(a)畫圖 (i)計算正確：3 分 (ii)計算錯誤：2 分 (b)代數式判定：3 分

(d) 其他：1 分

七.若θ是第㆒象限角，請回答㆘列各問題：

(A) 3Θ可能是第 象限角(請詳述理由) 評分：

(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式判定：2 分

(b)利用 0°+360°n ＜ θ ＜ 90°+360°n 判定：3 分

(c)其他：1 分

(B) 3

1 θ 可能是第 象限角(請詳述理由)

評分：

(a)代特殊角 (i)畫圖：2 分

(ii)代數式判定：2 分

(b)利用 0°+360°n ＜ θ ＜ 90°+360°n 判定：3 分 (c)其他：1 分

八.如圖所示，有㆒圓形機器，A、B、C…Q 為㆒圓㆖的 12 個等分點，請回答㆘

列問題﹕

A B D C

E F G

H

I J K

L

(A) 在圓周㆖由 A 旋轉到 E 需要旋轉多少度？

(B) 若由 A 旋轉㆒個角度到 E，但在旋轉到㆒半時機器突然壞掉了，則 A 點 會落在那裡？

評分：

(a) 僅考慮順時針：1 分 (b) 僅考慮逆時針：1 分

(c) 標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d) 考慮順時針且逆時針：2 分

(e) 考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分

(f) 其他：1 分

九.有㆒個㆟說他”在座標平面㆖將始邊放在 X 軸正向㆖，然後分別旋轉 2 個角度 θ、Φ，其㆗θ= 2Φ，但θ的終邊卻是Φ的終邊與 X 軸正向的角平分線”你覺 得他的說法有沒有可能？試說明你的理由

評分：

(a) 畫圖：3 分

(b) 利用代數式表之：3 分 (c) 取θ=Φ= 0°：2 分 (d) 其他：1 分

十.圖所示，有㆒圓形機器，A、B、C…Q 為㆒圓㆖的 12 個等分點，請回答

㆘列問題﹕

A B D C

E F G

H

I J K

L

(1) 由 A 轉到 E 需要旋轉多少度？

評分：

(a)僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分

(c) 標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分

(e)考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分

(f)其他：1 分

(2) 由 A 旋轉到 L 需要旋轉多少度？

評分

(a) 僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分

(c)標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分

(e) 考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分 (f)其他：1 分

(3) 由 A 旋轉到 H 需要旋轉多少度？

評分

(a)僅考慮順時針：1 分 (b)僅考慮逆時針：1 分

(c)標明順逆時針，但僅用正角：0 分 (d)考慮順時針且逆時針：2 分

(e)考慮順時針、逆時針且考慮圈數：3 分 (f)其他：1 分

十㆒.牆㆖有㆒時鐘，如圖所示，鐘面停在 12 點鐘。若將時鐘由 12 點撥到 1 點、

2 點…12 點、13 點…24 點，則時針分別旋轉多少度？請完成㆘表

9

8

7 6 5

4

3

2

12 1

11

10

y 1點

2點 6點

3點 4點 30 5點 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

7點 8點

9點 10點

11點 12點

13點 14點

15點 16點

17點 18點

19點 20點

21點 22點

23點 24點

25點

-360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 (度)

評分：

(a) 0°〜720°：1 分

(b) 0°〜360°且 0°〜360°：1 分 (c) 0°〜-360°且 0°〜-360°：2 分 (d) 360°〜0°且 0°〜-360°：2 分 (e) 0°〜-720°：3 分

(f) 其他：1 分

十㆓.如圖所示，有㆒摩㆝輪當它轉到車廂 B 時會與遠方的㆒棟大廈等高，若有

㆒㆟坐入車廂 A，(1)當車廂 A 從㆞面旋轉多少度時會第㆒次與大廈等高？

(2) 當車廂 A 從㆞面旋轉多少度時會第㆓次與大廈等高？(3) 當車廂 A 從㆞

面旋轉多少度時會第㆔次與大廈等高？(4) 當車廂 A 從㆞面旋轉多少度時 會第㆕次與大廈等高？(5)你覺得這些旋轉角度有沒有什麼關係？ (已 知車廂與車廂和㆗心的夾角皆為 45 度)

車廂 車廂 車廂B 車廂

車廂 大廈

車廂

車廂

車廂A

45

評分

(a)135°：3 分 (b)-225°：1 分 (c)-135°：3 分 (d)225°：1 分

(e) 135°且-225°：2 分 (f) -135°且 225°：2 分 (g) ±135°：3 分

(h) 其他：1 分

(2) 評分

(a)225°：3 分

(b)495°：2 分

(c)-225°：3 分

(d)-495°：2 分

(e)495°且-585°：2 分

(f)-495°且 585°：2 分

(g)±225°：3 分

(h)-585°：1 分

(i)585°：1 分

(j)其他：1 分

(3) 評分

(a)495°：3 分 (b)-495°：3 分 (c)855°：2 分 (d)-855°：2 分 (e)855°且-945°：2 分 (f)-855°且 945°：2 分 (g)±495°：3 分 (h)-945°：1 分 (i)945°：1 分 (j)其他：1 分

(4) 評分

(a)585°：3 分 (b)-585°：3 分 (c)1215°：2 分 (d)-1215°：2 分

(e)1215°且-1305°：2 分 (f)-1215°且 1305°：2 分 (g)±585°：3 分

(h)-1305°：1 分

(i)1305°：1 分

(j)其他：1 分

(5) 評分：

(a) 同界角：2 分 (b) 相差 90°：1 分

(c) 當 135°+360°n 到達等高點：2 分 (d) 當-135°+360°n 到達等高點：2 分 (e) 當 135°+360°n 到達等高點

當-135°+360°n 到達等高點：3 分 (f)其他：1 分

十㆔.在座標平面㆖有㆒半徑為 10 的㆒圓，圓㆖有㆒個球，如圖所示。已知球沿 著圓周作運動，記錄球的旋轉角度與球所在位置的 Y 座標，試回答㆘列各 小題：

O 球

x O 304560 90120 150 180

135 225 240 210 270

300 315

330 360 10

球旋轉角度 球

的 Y 座 標

(1) 旋轉多少度？球的 y 座標會最大。

評分：

(a) 90°：1 分 (b) -270°：1 分 (c) 90°、-270°：1 分

(d) 90°、450°、810°…：2 分 (e) 90°+360°n：3 分

(f) 其他：1 分

(2) 旋轉多少度？球的 y 座標會最小。

評分：

(a) -90°：1 分 (b) 270°：1 分 (c) -90°、270°：1 分

(d) -90°、270°、630°…：2 分 (e) 270°+360°n：3 分

(f) 其他：1 分

(3) 旋轉多少度？球的 y 座標會等於 0。

評分：

(a) 0°：1 分 (b) 180°：1 分 (c) 0°、180°：1 分 (d) ±180°、±360°：2 分 (e) 180°+360°n：2 分 (f) 0°+360°n：2 分 (g) 180°+360°n 0°+360°n：3 分 (h) 其他：1 分 (4) 請完成㆘表

評分：

(a) 完整 y = sinx：3 分 (b) ㆒半 y = sinx：2 分 (c) 雙山峰形：2 分

(d) ㆕分之㆒ y = sinx：2 分 (e) 其他：1 分

(5)你覺得球的 y 座標與球的旋轉角度之間有沒有任何的關係？

(a) 當旋轉角度為 90°時，球的位置最高：1 分

(b) 當旋轉角度為 90°的同界角時，球的位置最高：2 分 (c) 當旋轉角度為 90°＋360°n 時，球的位置最高：3 分 (d) 當旋轉角度為 270°時，球的位置最低：1 分

(e) 當旋轉角度為 270°的同界角時或 270°、－90°時，球的位置最 低：2 分

(f) 當旋轉角度為 270°＋360°n 時，球的位置最高：3 分

(g) 其他：視情況而定

附件七. 訪談試題

年 班姓名 訪談時間 年 月 日

1.(1)請畫出㆔角函數的概念圖

(2)請在概念圖㆗的每㆒項標㆖分數(你認為最重要的項目標㆖ 3 分，次要的項

目標㆖ 2 分，最次要的項目標㆖ 1 分；每種分數不限個數)

2.如圖所示，有㆒摩㆝輪當它轉到車廂 B 時會與遠方的㆒棟大廈等高，若大雄坐 入車廂 A，(1)當車廂由車廂 A 依序旋轉到車廂 B、C、D、E、F、G、H、A、

B、C、D、E、F、G、H，請在座標平面紀錄所旋轉的角度 (已知車廂與車廂 和㆗心的夾角皆為 45 度) (2)若不計檯子高度及車廂高度，已知摩㆝輪半徑為 10 公尺，請紀錄旋轉高度及旋轉角度之間的關係 (3) 若不計車廂高度，已知 檯子高度 1 公尺、摩㆝輪半徑為 10 公尺，請紀錄大雄所在的高度及旋轉角度 之間的關係

. .

.

車廂 H 車廂 G 車廂 F 車廂E

車廂 D 大廈

車廂 C

車廂B

車廂 A

45 ⁰

(1)

B C D E F G H A B C D E F G H 車廂

旋轉角度

(2)

旋轉角度 旋轉高度

(3)

旋轉角度 大雄高度

3.有㆒腳踏踏車的車輪如圖所示，(1)氣孔第㆒次旋轉到㆞面需要旋轉多少度 (2) 氣孔第㆓次旋轉到㆞面需要旋轉多少度 (3) 氣孔第㆔次旋轉到㆞面需要旋 轉多少度

腳踏車車輪

氣孔

㆞面

附件八：實驗組數學教師問卷 1.(1)請畫出㆔角函數的概念圖

(2)請在概念圖㆗的每㆒項標㆖分數(你認為最重要的項目標㆖ 3 分，次要的項 目標㆖ 2 分，最次要的項目標㆖ 1 分；每種分數不限個數)

3

相似形

比例

對應邊

對應角 (銳角)

銳角

函數

㆔角函數

六個㆔角函數 (y=sinx,y=cosx...)

廣義角

直角坐標系

函數圖形

鈍角

旋轉

正負性質符號

2 1

1

2 2

3

3 3

2

2 1

2

教師作答：

2.(1)請問你覺得位什麼課本㆖要介紹有向角？試說明你的理由 (2)請問你在課堂㆖花了多少時間介紹有向角？

(1)

A. 繼直角座標系座標判斷後，再介紹由角度來判斷方位的方法 B. 與高㆒的極座標定位有關

C. 延拓廣義角的㆔角函數 (2)約 30 分鐘

教師回答：

3.(1)你如何與學生解釋㆔角函數的換算公式，如 sin(180°-θ)=sinθ？

(2)你教學生如何記憶㆔角函數的換算公式？

(1)

A. θ為銳角時(以θ=30°為實例)

-2 -1 1 2

2

1

-1

-2

30 y r

B. θ為鈍角時(以 150°為實例)

θ θ

180°-θ

-10 10 20 30

10

-10

r r y

y

C. 請學生討論 180°< θ < 270 °後 D. 在以θ = 210 °當例子畫圖說明之。

E. 主要經由㆖面的討論讓學生把θ都當成銳角來看待後，可做簡易的圖形 來記憶。

教師回答：