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行列式各项的符号

在文檔中 行列式 (頁 152-179)

行列式各项的符号

行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得.

二阶行列式为:

11 12

21 22

=  11 22 −  12 21

三阶行列式为:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= 11 22 33 +  12 23 31 +  13 21 32

− 11 23 32 −  12 21 33 −  13 22 31

1 2 3 456 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

行列式各项的符号

行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得.

二阶行列式为:

11 12

21 22

=  11 22 −  12 21

三阶行列式为:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= 11 22 33 +  12 23 31 +  13 21 32

− 11 23 32 −  12 21 33 −  13 22 31

1 2 3 456 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

行列式各项的符号

行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得.

二阶行列式为:

11 12

21 22

=  11 22 −  12 21

三阶行列式为:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= 11 22 33 +  12 23 31 +  13 21 32

− 11 23 32 −  12 21 33 −  13 22 31

1 2 3 456 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

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问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项

取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

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问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

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问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项

取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

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问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项

取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

问题:四阶行列式的表达式应该有多少项?

二阶行列式一共有 2

= 2! 项,正负各半

三阶行列式一共有 6

= 3! 项,正负各半

猜测四阶行列式一共应该有 4!

= 24 项

猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.

1 2 3 456 „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 1 由 n 个不同的数 1,2,

· · · ,n 组成的有序

数组 

1 2 · · ·  n

,称为一个

n 级排列.

定义 2 在一个 n 级排列中,如果有较大的数 

t

排在 较小的数 

s

前面(

s <  t

), 则称 

t

和 

s

组成一个逆 序.一个 n 级排列的逆序的总数,称为它的逆序数, 记为 N

( 1 2 · · ·  n ).

定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数(偶数),则称 它为奇排列(偶排列).

1 2 3 456 „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 1 由 n 个不同的数 1,2,

· · · ,n 组成的有序

数组 

1 2 · · ·  n

,称为一个

n 级排列.

定义 2 在一个 n 级排列中,如果有较大的数 

t

排在 较小的数 

s

前面(

s <  t

), 则称 

t

和 

s

组成一个逆 序.

一个 n 级排列的逆序的总数,称为它的逆序数, 记为 N

( 1 2 · · ·  n ).

定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数(偶数),则称 它为奇排列(偶排列).

1 2 3 456 „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 1 由 n 个不同的数 1,2,

· · · ,n 组成的有序

数组 

1 2 · · ·  n

,称为一个

n 级排列.

定义 2 在一个 n 级排列中,如果有较大的数 

t

排在 较小的数 

s

前面(

s <  t

), 则称 

t

和 

s

组成一个逆 序.一个 n 级排列的逆序的总数,称为它的逆序数,

记为 N

( 1 2 · · ·  n ).

定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数(偶数),则称 它为奇排列(偶排列).

1 2 3 456 „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 1 由 n 个不同的数 1,2,

· · · ,n 组成的有序

数组 

1 2 · · ·  n

,称为一个

n 级排列.

定义 2 在一个 n 级排列中,如果有较大的数 

t

排在 较小的数 

s

前面(

s <  t

), 则称 

t

和 

s

组成一个逆 序.一个 n 级排列的逆序的总数,称为它的逆序数,

记为 N

( 1 2 · · ·  n ).

定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数(偶数),则称 它为奇排列(偶排列).

1 2 3 456 „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

例 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性:

(1) 3142;(2) 4231;(3) 31524.

练习 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性: (1) 1432;(2) 2431;(3) 54321.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

例 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性:

(1) 3142;(2) 4231;(3) 31524.

练习 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性:

(1) 1432;(2) 2431;(3) 54321.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 交换排列中其中两个数的位置,而保持其他数 的位置不变,就得到一个新排列.这个新排列称为原 来排列的一个对换.

定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变. 注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变,所以在所 有 n 级排列中,奇排列和偶排列各占一半.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 交换排列中其中两个数的位置,而保持其他数 的位置不变,就得到一个新排列.这个新排列称为原 来排列的一个对换.

定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变.

注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变,所以在所 有 n 级排列中,奇排列和偶排列各占一半.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 交换排列中其中两个数的位置,而保持其他数 的位置不变,就得到一个新排列.这个新排列称为原 来排列的一个对换.

定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变.

注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变,所以在所 有 n 级排列中,奇排列和偶排列各占一半.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ „ ƒ ƒ

.

第五节 行列式的显式定义 .. . 5.1 排列及逆序数 .. .

5.2 n 阶行列式的定义 .. . 5.3 用定义计算行列式 .. .

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ „ ƒ ƒ

.

定义 4 由 n

2

个元素 

j

(,j

= 1,2,· · · ,n)组成

的记号

11 12 · · ·  1n

21 22 · · ·  2n

... ... ... ...

n1 n2 · · ·  nn

=

j 1 j 2 ···j n ∈S n

(−1) N (j 1 j 2 ···j n ) 1j 1 2j 2 · · ·  nj n ,

就称为

n 阶行列式,其中 S n

是所有 n 级排列组成的 集合.

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒ„ ƒ ƒ

.

第五节 行列式的显式定义 .. . 5.1 排列及逆序数 .. .

5.2 n 阶行列式的定义 .. . 5.3 用定义计算行列式 .. .

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ„ƒ ƒ

.

例 2 在四阶行列式展开式中,确定下列各项的符号:

(1) 

13 21 34 42

(2) 

33 24 12 41

练习 2 在四阶行列式展开式中,确定下列各项符号: (1) 

12 21 34 43

(2) 

42 24 11 33

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ „ƒƒ

.

例 2 在四阶行列式展开式中,确定下列各项的符号:

(1) 

13 21 34 42

(2) 

33 24 12 41

练习 2 在四阶行列式展开式中,确定下列各项符号:

(1) 

12 21 34 43

(2) 

42 24 11 33

1 2 3 456 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ „ƒƒ

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第二节 行列式的性质 .. . 第三节 行列式的展开 .. . 第四节 克莱姆法则 .. .

第五节 行列式的显式定义 .. . 第六节 行列式的几何意义 .. .

1 2 3 4 56 ƒ ƒ

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在文檔中 行列式 (頁 152-179)

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