行列式各项的符号
行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得．
二阶行列式为：
11 12
21 22
= 11 22 − 12 21
三阶行列式为：
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32
− 11 23 32 − 12 21 33 − 13 22 31
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行列式各项的符号
行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得．
二阶行列式为：
11 12
21 22
= 11 22 − 12 21
三阶行列式为：
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32
− 11 23 32 − 12 21 33 − 13 22 31
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行列式各项的符号
行列式的每一项都是每行每列各取一个元素共 n 个元 素相乘所得．
二阶行列式为：
11 12
21 22
= 11 22 − 12 21
三阶行列式为：
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32
− 11 23 32 − 12 21 33 − 13 22 31
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
⋆
猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
⋆
猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项取正号或负号的关键在于下标的排列.
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6
= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.1 2 3 456
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.1 2 3 456
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.1 2 3 456
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项取正号或负号的关键在于下标的排列.
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项取正号或负号的关键在于下标的排列.
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问题：四阶行列式的表达式应该有多少项？
二阶行列式一共有 2
= 2! 项，正负各半
三阶行列式一共有 6= 3! 项，正负各半
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猜测四阶行列式一共应该有 4!= 24 项
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猜测四阶行列式取正号和负号的各有 12 项 取正号或负号的关键在于下标的排列.1 2 3 456
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定义 1 由 n 个不同的数 1，2，
· · · ，n 组成的有序
数组 1 2 · · · n
，称为一个n 级排列．
定义 2 在一个 n 级排列中，如果有较大的数
t
排在 较小的数 s
前面（s < t
）, 则称 t
和 s
组成一个逆 序．一个 n 级排列的逆序的总数，称为它的逆序数， 记为 N( 1 2 · · · n )．
定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数（偶数），则称 它为奇排列（偶排列）．
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定义 1 由 n 个不同的数 1，2，
· · · ，n 组成的有序
数组 1 2 · · · n
，称为一个n 级排列．
定义 2 在一个 n 级排列中，如果有较大的数
t
排在 较小的数 s
前面（s < t
）, 则称 t
和 s
组成一个逆 序．一个 n 级排列的逆序的总数，称为它的逆序数， 记为 N
( 1 2 · · · n )．
定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数（偶数），则称 它为奇排列（偶排列）．
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定义 1 由 n 个不同的数 1，2，
· · · ，n 组成的有序
数组 1 2 · · · n
，称为一个n 级排列．
定义 2 在一个 n 级排列中，如果有较大的数
t
排在 较小的数 s
前面（s < t
）, 则称 t
和 s
组成一个逆 序．一个 n 级排列的逆序的总数，称为它的逆序数，记为 N
( 1 2 · · · n )．
定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数（偶数），则称 它为奇排列（偶排列）．
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定义 1 由 n 个不同的数 1，2，
· · · ，n 组成的有序
数组 1 2 · · · n
，称为一个n 级排列．
定义 2 在一个 n 级排列中，如果有较大的数
t
排在 较小的数 s
前面（s < t
）, 则称 t
和 s
组成一个逆 序．一个 n 级排列的逆序的总数，称为它的逆序数，记为 N
( 1 2 · · · n )．
定义 3 如果一个排列的逆序数为奇数（偶数），则称 它为奇排列（偶排列）．
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例 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性：
(1) 3142；(2) 4231；(3) 31524．
练习 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性： (1) 1432；(2) 2431；(3) 54321．
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例 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性：
(1) 3142；(2) 4231；(3) 31524．
练习 1 求下面这些排列的逆序数并判定其奇偶性：
(1) 1432；(2) 2431；(3) 54321．
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定义 交换排列中其中两个数的位置，而保持其他数 的位置不变，就得到一个新排列．这个新排列称为原 来排列的一个对换．
定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变． 注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变，所以在所 有 n 级排列中，奇排列和偶排列各占一半．
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定义 交换排列中其中两个数的位置，而保持其他数 的位置不变，就得到一个新排列．这个新排列称为原 来排列的一个对换．
定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变．
注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变，所以在所 有 n 级排列中，奇排列和偶排列各占一半．
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定义 交换排列中其中两个数的位置，而保持其他数 的位置不变，就得到一个新排列．这个新排列称为原 来排列的一个对换．
定理 1 任何排列经过一个对换之后奇偶性改变．
注记 因为排列经过对换之后奇偶性改变，所以在所 有 n 级排列中，奇排列和偶排列各占一半．
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第五节 行列式的显式定义 .. . 5.1 排列及逆序数 .. .
5.2 n 阶行列式的定义 .. . 5.3 用定义计算行列式 .. .
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定义 4 由 n
2
个元素 j
（，j= 1，2，· · · ，n）组成
的记号 11 12 · · · 1n
21 22 · · · 2n
... ... ... ...
n1 n2 · · · nn
= ∑
j 1 j 2 ···j n ∈S n
(−1) N (j 1 j 2 ···j n ) 1j 1 2j 2 · · · nj n ,
就称为
n 阶行列式，其中 S n
是所有 n 级排列组成的 集合．1 2 3 456
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第五节 行列式的显式定义 .. . 5.1 排列及逆序数 .. .
5.2 n 阶行列式的定义 .. . 5.3 用定义计算行列式 .. .
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例 2 在四阶行列式展开式中，确定下列各项的符号：
(1)
13 21 34 42
； (2) 33 24 12 41
．练习 2 在四阶行列式展开式中，确定下列各项符号： (1)
12 21 34 43
； (2) 42 24 11 33
．1 2 3 456
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例 2 在四阶行列式展开式中，确定下列各项的符号：
(1)
13 21 34 42
； (2) 33 24 12 41
．练习 2 在四阶行列式展开式中，确定下列各项符号：
(1)
12 21 34 43
； (2) 42 24 11 33
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第二节 行列式的性质 .. . 第三节 行列式的展开 .. . 第四节 克莱姆法则 .. .
第五节 行列式的显式定义 .. . 第六节 行列式的几何意义 .. .
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