行列式

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第一章·行列式

.... . 线性代数课程 . 2019 年 5 月 1 日 . „暨南大学数学系 _„吕荐瑞

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行列式的来源

行列式的概念来源于线性方程组的求解问题． 17 世纪末由日本数学家关孝和及德国数学家莱布尼茨 引入． 1 2 3 4 5 6 „ƒ

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行列式的来源

行列式的概念来源于线性方程组的求解问题． 17 世纪末由日本数学家关孝和及德国数学家莱布尼茨 引入． 1 2 3 4 5 6 „ƒ

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第一节

二阶和三阶行列式

.

..

第二节

行列式的性质

.

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第三节

行列式的展开

.

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第四节

克莱姆法则

.

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第五节

行列式的显式定义

.

12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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第一节

二阶和三阶行列式

.

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1.1

二阶行列式

.

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1.2

三阶行列式

.

12 3 4 5 6 „ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 我们先来看看下面的二元线性方程组： ( 11+ 12y= b1 21+ 22y= b2 , 利用消元法，可求得它的解为（设分母不为零）：       = b122− 12b2 1122− 1221 y= 11b2− b121 1122− 1221 . 12 3 4 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 我们先来看看下面的二元线性方程组： ( 11+ 12y= b1 21+ 22y= b2 , 利用消元法，可求得它的解为（设分母不为零）：       = b122− 12b2 1122− 1221 y= 11b2− b121 1122− 1221 . 12 3 4 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 如果我们定义二阶行列式为：      11 12 21 22     = 1122− 1221, 则方程的解可以简单地表示为：  =      b1 12 b2 22           11 12 21 22      = D1 D , y =      11 b1 21 b2           11 12 21 22      = D2 D . 12 3 4 5 6 „ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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二阶行列式示意图

     11 12 21 22     = 1122− 1221, 主对角线两个元素 11 和 22 的乘积，减去副对角线 两个元素 12 和 21 的乘积． . . 11 . 12 . 21. 22 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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二阶行列式示意图

     11 12 21 22     = 1122− 1221, 主对角线两个元素 11 和 22 的乘积，减去副对角线 两个元素 12 和 21 的乘积． . . 11 . 12 . 21. 22 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 1 求下列二阶行列式的值． (1)      3 2 4 −1     ；(2)      1 2 3 4      练习 1 求下列二阶行列式的值． (1)      0 1 2 6     ; (2)      cos t − sin t sin t cos t     . 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 1 求下列二阶行列式的值． (1)      3 2 4 −1     ；(2)      1 2 3 4      练习 1 求下列二阶行列式的值． (1)      0 1 2 6     ; (2)      cos t − sin t sin t cos t     . 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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第一节

二阶和三阶行列式

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1.1

二阶行列式

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1.2

三阶行列式

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12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 类似地，对于一般的三元线性方程组：    11+ 12y+ 13z = b1 21+ 22y+ 23z = b2 31+ 32y+ 33z = b3 , 利用消元法，可求得它的解为（设分母不为零）：            = b12233+1223b3+13b232−b12332−12b233−1322b3 112233+122331+132132−112332−122133−132231 y= 11b233+b12331+1321b3−1123b3−b12133−13b231 112233+122331+132132−112332−122133−132231 z= 1122b3+12b231+b12132−11b232−1221b3−b12231 112233+122331+132132−112332−122133−132231 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ

. 类似地，对于一般的三元线性方程组：    11+ 12y+ 13z = b1 21+ 22y+ 23z = b2 31+ 32y+ 33z = b3 , 利用消元法，可求得它的解为（设分母不为零）：            = b12233+1223b3+13b232−b12332−12b233−1322b3 112233+122331+132132−112332−122133−132231 y= 11b233+b12331+1321b3−1123b3−b12133−13b231 112233+122331+132132−112332−122133−132231 z= 1122b3+12b231+b12132−11b232−1221b3−b12231 112233+122331+132132−112332−122133−132231 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ

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三阶行列式的定义

对表示三元方程组的解，定义三阶行列式为：       11 12 13 21 22 23 31 32 33       = 112233 + 122331 + 132132 −112332 − 122133 − 132231 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ ƒ

.

三阶行列式示意图

.. 11 . 12 . 13 . 21 . 22 . 23 . 31... 32 33 =+112233+ 122331+ 132132 . − 112332− 122133− 132231 .. 11 . 12 . 13 . 21 . 22 . 23 . 31... 32 33 = +112233+ 122331+ 132132 . − 112332− 122133− 132231 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ

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三阶行列式示意图

.. 11 . 12 . 13 . 21 . 22 . 23 . 31... 32 33 =+112233+ 122331+ 132132 . − 112332− 122133− 132231 .. 11 . 12 . 13 . 21 . 22 . 23 . 31... 32 33 = +112233+ 122331+ 132132 . − 112332− 122133− 132231 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ

. 例 2 求下列三阶行列式的值． (1)        1 2 3 8 0 4 7 6 5        ； (2)        1 2 0 0 1 3 2 7 8        ． 练习 2 求下列三阶行列式的值． (1)        0 1 2 3 −1 0 4 7 9        ; (2)        2 0 2 0 1 5 4 −1 0        ; (3)        1 2 3 4 5 6 7 8 9        . 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ

. 例 2 求下列三阶行列式的值． (1)        1 2 3 8 0 4 7 6 5        = 96； (2)        1 2 0 0 1 3 2 7 8        ． 练习 2 求下列三阶行列式的值． (1)        0 1 2 3 −1 0 4 7 9        ; (2)        2 0 2 0 1 5 4 −1 0        ; (3)        1 2 3 4 5 6 7 8 9        . 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ

. 例 2 求下列三阶行列式的值． (1)        1 2 3 8 0 4 7 6 5        = 96； (2)        1 2 0 0 1 3 2 7 8        = −1． 练习 2 求下列三阶行列式的值． (1)        0 1 2 3 −1 0 4 7 9        ; (2)        2 0 2 0 1 5 4 −1 0        ; (3)        1 2 3 4 5 6 7 8 9        . 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ

. 复习 1 求下列行列式的值． (1)      1 −2 −5 −1     ； (2)        1 1 1 1 3 4 1 9 16        ． 12 3 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

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第一节

二阶和三阶行列式

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第二节

行列式的性质

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第三节

行列式的展开

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第四节

克莱姆法则

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第五节

行列式的显式定义

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123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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第二节

行列式的性质

.

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2.1

行列式的基本性质

.

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2.2

行列式的公理定义

.

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2.3

四阶行列式的计算

.

..

2.4

n 阶行列式的计算

.

123 4 5 6 „ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

行列式的规范性

主对角线：从左上角到右下角的对角线 副对角线：从右上角到左下角的对角线 单位行列式：主对角线上元素为 1 其他元素为 0 二阶的：      1 0 0 1     ；三阶的：        1 0 0 0 1 0 0 0 1        性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 123 4 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

行列式的规范性

主对角线：从左上角到右下角的对角线 副对角线：从右上角到左下角的对角线 单位行列式：主对角线上元素为 1 其他元素为 0 二阶的：      1 0 0 1     ；三阶的：        1 0 0 0 1 0 0 0 1        性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 123 4 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

行列式的规范性

主对角线：从左上角到右下角的对角线 副对角线：从右上角到左下角的对角线 单位行列式：主对角线上元素为 1 其他元素为 0 二阶的：      1 0 0 1     ；三阶的：        1 0 0 0 1 0 0 0 1        性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 123 4 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的反称性

性质 2 (反称性) 行列式交换两行（列）后，它的值 变号． 例如，D ₌      3 5 1 4      = 7，则交换该行列式两行后得到 D′ =      1 4 3 5      = −7． 123 4 5 6 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

行列式的反称性

性质 2 (反称性) 行列式交换两行（列）后，它的值 变号． 例如，D ₌      3 5 1 4      = 7，则交换该行列式两行后得到 D′ =      1 4 3 5      = −7． 123 4 5 6 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的数乘性

性质 3 (数乘性) 行列式某行（列）每个元素都乘以 k 倍后，它的值变为原来的 k 倍． 例如，        1 −1 3 0 5 4 1 6 3       = −28 =⇒        1 −1 3k 0 5 4k 1 6 3k       = −28k 注记 行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式 外边． 123 4 5 6 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的数乘性

性质 3 (数乘性) 行列式某行（列）每个元素都乘以 k 倍后，它的值变为原来的 k 倍． 例如，        1 −1 3 0 5 4 1 6 3       = −28 =⇒        1 −1 3k 0 5 4k 1 6 3k       = −28k 注记 行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式 外边． 123 4 5 6 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的数乘性

性质 3 (数乘性) 行列式某行（列）每个元素都乘以 k 倍后，它的值变为原来的 k 倍． 例如，        1 −1 3 0 5 4 1 6 3       = −28 =⇒        1 −1 3k 0 5 4k 1 6 3k       = −28k 注记 行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式 外边． 123 4 5 6 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的可加性

性质 4 (可加性) 若行列式 D1 和 D2 在某行（列） 之外的其他元素都相同，则两者之和等于另一个行列 式 D．其中 D 在该行（列）的元素等于 D1 和 D2 对 应元素之和，其他位置的元素与 D1 和 D2 相同． 例如：        2 0 5 7 9 5 1 −1 3        =        2 0 5 3 2 4 1 −1 3       +        2 0 5 4 7 1 1 −1 3        123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式的可加性

性质 4 (可加性) 若行列式 D1 和 D2 在某行（列） 之外的其他元素都相同，则两者之和等于另一个行列 式 D．其中 D 在该行（列）的元素等于 D1 和 D2 对 应元素之和，其他位置的元素与 D1 和 D2 相同． 例如：        2 0 5 7 9 5 1 −1 3        =        2 0 5 3 2 4 1 −1 3       +        2 0 5 4 7 1 1 −1 3        123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式基本性质总结

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式基本性质总结

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式基本性质总结

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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行列式基本性质总结

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 5 若行列式其中某行（列）所有元素都为零，则 它的值为零． 例如，        2 0 5 7 0 9 1 0 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 5 若行列式其中某行（列）所有元素都为零，则 它的值为零． 例如，        2 0 5 7 0 9 1 0 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 6 若行列式其中两行（列）对应元素相同，则它 的值为零． 例如，        1 −1 3 7 9 6 1 −1 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 6 若行列式其中两行（列）对应元素相同，则它 的值为零． 例如，        1 −1 3 7 9 6 1 −1 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 7 若行列式其中两行（列）对应元素成比例，则 它的值为零． 例如，        2 0 6 7 9 21 1 −1 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 7 若行列式其中两行（列）对应元素成比例，则 它的值为零． 例如，        2 0 6 7 9 21 1 −1 3        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 8 行列式的某行（列）的每个元素都加上另一 行（列）对应位置元素的 k 倍，它的值不变． 例 1 利用行列式的性质说明        1 2 3 4 5 6 7 8 9        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 性质 8 行列式的某行（列）的每个元素都加上另一 行（列）对应位置元素的 k 倍，它的值不变． 例 1 利用行列式的性质说明        1 2 3 4 5 6 7 8 9        = 0． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

符号说明

行列式有如下三种初等运算： 1 r_ ↔ r_j 表示第  行和第 j 行交换 2 r_× k 表示第  行乘以 k 倍 3 r_+ kr_j 表示第  行加上第 j 行的 k 倍 1 c_ ↔ c_j 表示第  列和第 j 列交换 2 c_× k 表示第  列乘以 k 倍 3 c_+ kc_j 表示第  列加上第 j 列的 k 倍 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

符号说明

行列式有如下三种初等运算： 1 r_ ↔ r_j 表示第  行和第 j 行交换 2 r_× k 表示第  行乘以 k 倍 3 r_+ kr_j 表示第  行加上第 j 行的 k 倍 1 c_ ↔ c_j 表示第  列和第 j 列交换 2 c_× k 表示第  列乘以 k 倍 3 c_+ kc_j 表示第  列加上第 j 列的 k 倍 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

符号说明

行列式有如下三种初等运算： 1 r_ ↔ r_j 表示第  行和第 j 行交换 2 r_× k 表示第  行乘以 k 倍 3 r_+ kr_j 表示第  行加上第 j 行的 k 倍 1 c_ ↔ c_j 表示第  列和第 j 列交换 2 c_× k 表示第  列乘以 k 倍 3 c_+ kc_j 表示第  列加上第 j 列的 k 倍 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

符号说明

行列式有如下三种初等运算： 1 r_ ↔ r_j 表示第  行和第 j 行交换 2 r_× k 表示第  行乘以 k 倍 3 r_+ kr_j 表示第  行加上第 j 行的 k 倍 1 c_ ↔ c_j 表示第  列和第 j 列交换 2 c_× k 表示第  列乘以 k 倍 3 c_+ kc_j 表示第  列加上第 j 列的 k 倍 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 在利用行列式的性质 3 时，下面两种说法是一样的： 1 行列式第  行乘以 1 k 倍 . . . .r × 1 k； 2 行列式第  行除以 k 倍 . . . .r_÷ k． 在利用行列式的性质 8 时，下面两种说法是一样的： 1 第  行加上第 j 行的 −k 倍...r_+ (−k)r_j； 2 第  行减去第 j 行的 k 倍 . . . . r_ − kr_j． 注意此时第  行元素改变，而第 j 行元素保持不变． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 在利用行列式的性质 3 时，下面两种说法是一样的： 1 行列式第  行乘以 1 k 倍 . . . .r × 1 k； 2 行列式第  行除以 k 倍 . . . .r_÷ k． 在利用行列式的性质 8 时，下面两种说法是一样的： 1 第  行加上第 j 行的 −k 倍...r_+ (−k)r_j； 2 第  行减去第 j 行的 k 倍 . . . . r_− kr_j． 注意此时第  行元素改变，而第 j 行元素保持不变． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 在利用行列式的性质 3 时，下面两种说法是一样的： 1 行列式第  行乘以 1 k 倍 . . . .r × 1 k； 2 行列式第  行除以 k 倍 . . . .r_÷ k． 在利用行列式的性质 8 时，下面两种说法是一样的： 1 第  行加上第 j 行的 −k 倍...r_+ (−k)r_j； 2 第  行减去第 j 行的 k 倍 . . . . r_− kr_j． 注意此时第  行元素改变，而第 j 行元素保持不变． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

符号说明

例如：       1 2 3 4 5 6 7 8 9       r3−r2 ====       1 2 3 4 5 6 3 3 3       c1↔c2 ===== −       2 1 3 5 4 6 3 3 3       r3÷3 ==== −3       2 1 3 5 4 6 1 1 1       123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

..

第二节

行列式的性质

.

..

2.1

行列式的基本性质

.

..

2.2

行列式的公理定义

.

..

2.3

四阶行列式的计算

.

..

2.4

n 阶行列式的计算

.

123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的性质

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 实际上，n 阶行列式也满足这些基本性质，而且由这 些性质唯一确定． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的性质

性质 1 (规范性) 单位行列式的值为 1． 性质 2 (反称性) 交换两行 (列) 后，值变号． 性质 3 (数乘性) 某行 (列) 乘 k 倍，值变 k 倍. 性质 4 (可加性) 两式仅一行 (列) 不同可相加. 实际上，n 阶行列式也满足这些基本性质，而且由这 些性质唯一确定． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的定义

定义 1 由 n 行 n 列共 n2 _{个元素 j（,j= 1,· · · ,n）} 组成的，满足前面所述的性质 1 至性质 4 的多项式           11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n ... ... ... ... n1 n2 · · · nn           称为 n 阶行列式． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 按照性质 1，n 阶单位行列式的值同样为 1．即                1 1

0

1

0

. .. 1                = 1. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 主对角线之外都为零的行列式称为对角行列式．由性 质 3，它的值为：                11 22

0

33

0

. .. nn                = 1122· · · nn. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 计算四阶行列式 D ₌           3 9 7 −2 0 −1 3 6 0 0 1 4 0 0 0 2           ． 例 3 计算四阶行列式 D ₌           3 9 7 −2 0 0 3 6 0 0 1 4 0 0 0 2           ． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 主对角线下面都为零的行列式称为上三角行列式．上 三角行列式的值和相应的对角行列式的值相同：               11 22

∗

33

0

. .. nn               = 1122· · · nn, 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 主对角线上面都为零的行列式称为下三角行列式．下 三角行列式的值和相应的对角行列式的值相同：               11 22

0

33

∗

. .. nn               = 1122· · · nn. 上三角行列式和下三角行列式合称三角行列式． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 定义 2 对一个行列式 D，将它的行和列交换，即将 所有 j 和 j 元素交换，得到的新行列式，称为行列 式 D 的转置行列式，记为 DT_． 例如，设行列式 D₌        1 −4 3 0 5 4 1 6 3        = −40，则它的转置 行列式为 DT ₌        1 0 1 −4 5 6 3 4 3        = −40． 性质 9 行列式转置之后值不变，即 DT_{= D．} 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 定义 2 对一个行列式 D，将它的行和列交换，即将 所有 j 和 j 元素交换，得到的新行列式，称为行列 式 D 的转置行列式，记为 DT_． 例如，设行列式 D₌        1 −4 3 0 5 4 1 6 3        = −40，则它的转置 行列式为 DT ₌        1 0 1 −4 5 6 3 4 3        = −40． 性质 9 行列式转置之后值不变，即 DT_{= D．} 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 定义 2 对一个行列式 D，将它的行和列交换，即将 所有 j 和 j 元素交换，得到的新行列式，称为行列 式 D 的转置行列式，记为 DT_． 例如，设行列式 D₌        1 −4 3 0 5 4 1 6 3        = −40，则它的转置 行列式为 DT ₌        1 0 1 −4 5 6 3 4 3        = −40． 性质 9 行列式转置之后值不变，即 DT _{= D．} 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

..

第二节

行列式的性质

.

..

2.1

行列式的基本性质

.

..

2.2

行列式的公理定义

.

..

2.3

四阶行列式的计算

.

..

2.4

n 阶行列式的计算

.

123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法一

           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           r−kr1 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗           r_−kr2 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 ∗ ∗           =            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 0 d           =  · b · c · d 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法一

           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           r−kr1 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗           r_−kr2 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 ∗ ∗           =            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 0 d           =  · b · c · d 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法一

           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           r−kr1 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗           r_−kr2 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 ∗ ∗           =            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 0 d           =  · b · c · d 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法一

           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           r−kr1 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗           r_−kr2 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 ∗ ∗           =            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 0 d           =  · b · c · d 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法一

           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           r−kr1 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗           r_−kr2 =====            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 ∗ ∗           =            ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗ 0 0 0 d           =  · b · c · d 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 4 计算四阶行列式 D ₌           0 −1 −1 2 1 −1 0 2 −1 2 −1 0 2 1 1 0           . 练习 1 计算四阶行列式 D ₌           1 0 −1 2 −1 1 0 1 2 2 1 1 2 1 −1 1           . 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 4 计算四阶行列式 D ₌           0 −1 −1 2 1 −1 0 2 −1 2 −1 0 2 1 1 0           . 练习 1 计算四阶行列式 D ₌           1 0 −1 2 −1 1 0 1 2 2 1 1 2 1 −1 1           . 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 4 计算四阶行列式 D ₌           0 −1 −1 2 1 −1 0 2 −1 2 −1 0 2 1 1 0           . 练习 1 计算四阶行列式 D ₌           1 0 −1 2 −1 1 0 1 2 2 1 1 2 1 −1 1           = −12. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 5 计算四阶行列式           0 −4 −2 2 1 5 2 0 5 −2 3 1 5 3 4 −1           . 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

. 例 5 计算四阶行列式           0 −4 −2 2 1 5 2 0 5 −2 3 1 5 3 4 −1           = −62. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

..

第二节

行列式的性质

.

..

2.1

行列式的基本性质

.

..

2.2

行列式的公理定义

.

..

2.3

四阶行列式的计算

.

..

2.4

n 阶行列式的计算

.

123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的计算

例 7 求下面 n 阶行列式的值．                  1 2 3 · · · n− 2 n− 1 n −1 0 3 · · · n− 2 n− 1 n −1 −2 0 · · · n− 2 n− 1 n ... ... ... ... ... ... ... −1 −2 −3 · · · 0 n− 1 n −1 −2 −3 · · · −(n − 2) 0 n −1 −2 −3 · · · −(n − 2) −(n − 1) 0                  123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法：使用批量变换 1 先将它的很多元素变成零 2 再将它变化为三角行列式 在计算 n 阶行列式时，下面两种批量变换不同： 从第 2 行到第 n 行，各行依次加上前一行． 从第 n 行到第 2 行，各行依次加上前一行． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ ƒ

.

n 阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法：使用批量变换 1 先将它的很多元素变成零 2 再将它变化为三角行列式 在计算 n 阶行列式时，下面两种批量变换不同： 从第 2 行到第 n 行，各行依次加上前一行． 从第 n 行到第 2 行，各行依次加上前一行． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ ƒ

. 例 8 求下面 n 阶行列式的值．                  0 1 1 · · · 1 1 1 1 0 1 · · · 1 1 1 1 1 0 · · · 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 0 1 1 1 1 · · · 1 1 0                  方法一：从第 n 行到第 2 行，各行减去前一行． 方法二：从第 2 行起，各行减去第一行（练习）． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ

. 例 8 求下面 n 阶行列式的值．                  0 1 1 · · · 1 1 1 1 0 1 · · · 1 1 1 1 1 0 · · · 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 0 1 1 1 1 · · · 1 1 0                  方法一：从第 n 行到第 2 行，各行减去前一行． 方法二：从第 2 行起，各行减去第一行（练习）． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ

. 例 8 求下面 n 阶行列式的值．                  0 1 1 · · · 1 1 1 1 0 1 · · · 1 1 1 1 1 0 · · · 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 0 1 1 1 1 · · · 1 1 0                  方法一：从第 n 行到第 2 行，各行减去前一行． 方法二：从第 2 行起，各行减去第一行（练习）． 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ

.

复习与提高

复习 1 将行列式化为三角行列式，并计算其值： D =           1 3 −1 3 0 1 1 −5 −1 −4 2 −3 2 −5 3 1           . 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ

.

复习与提高

复习 1 将行列式化为三角行列式，并计算其值： D =           1 3 −1 3 0 1 1 −5 −1 −4 2 −3 2 −5 3 1           = −40. 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ

.

复习与提高

注记 行列式的初等运算与一般与先后顺序有关．        1 2 3 4 5 6 7 8 9        r_2−r3 ==== r3−r2        1 2 3 −3 −3 −3 3 3 3        = 0 上面的做法是错误的！ 123 4 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

.

..

第一节

二阶和三阶行列式

.

..

第二节

行列式的性质

.

..

第三节

行列式的展开

.

..

第四节

克莱姆法则

.

..

第五节

行列式的显式定义

.

1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

..

第三节

行列式的展开

.

..

3.1

行列式的展开式

.

..

3.2

行列式展开式的使用

.

..

3.3

n 阶行列式的展开

.

1 234 5 6 „ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

三阶行列式的展开式

      11 12 13 21 22 23 31 32 33       = 11    2232 2333    − 12    2131 2333    + 13    2131 2232     = 11M11 − 12M12 + 13M13 = 11A11 + 12A12 + 13A13. 其中规定 Aj _{= (−1)}+j_Mj. 1 234 5 6 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 假设 D 为一个 n 阶行列式： 余子式 Mj 是将 D 的第  行和第 j 列去掉之后得 到的 n_{− 1 阶行列式．} 代数余子式 Aj = (−1)+jMj． 定理 1 对 n 阶行列式，取第  行，我们有行列式按 行展开公式 D= 1A1 + 2A2+ · · · + nAn 类似地，取第 j 列，我们有行列式按列展开公式 D= 1jA1j + 2jA2j+ · · · + njAnj 1 234 5 6 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 假设 D 为一个 n 阶行列式： 余子式 Mj 是将 D 的第  行和第 j 列去掉之后得 到的 n_{− 1 阶行列式．} 代数余子式 Aj = (−1)+jMj． 定理 1 对 n 阶行列式，取第  行，我们有行列式按 行展开公式 D= 1A1 + 2A2+ · · · + nAn 类似地，取第 j 列，我们有行列式按列展开公式 D= 1jA1j + 2jA2j+ · · · + njAnj 1 234 5 6 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 假设 D 为一个 n 阶行列式： 余子式 Mj 是将 D 的第  行和第 j 列去掉之后得 到的 n_{− 1 阶行列式．} 代数余子式 Aj = (−1)+jMj． 定理 1 对 n 阶行列式，取第  行，我们有行列式按 行展开公式 D= 1A1 + 2A2+ · · · + nAn 类似地，取第 j 列，我们有行列式按列展开公式 D= 1jA1j+ 2jA2j+ · · · + njAnj 1 234 5 6 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 1 将行列式 D ₌        1 2 3 4 5 6 7 8 9        按第 2 行展开计算它 的值． 练习 1 将行列式        1 1 1 2 3 4 4 9 16        分别按第 3 行和第 3 列 展开并计算它的值． 1 234 5 6 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 1 将行列式 D ₌        1 2 3 4 5 6 7 8 9        按第 2 行展开计算它 的值． 练习 1 将行列式        1 1 1 2 3 4 4 9 16        分别按第 3 行和第 3 列 展开并计算它的值． 1 234 5 6 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 对上面的行列式，我们也可以利用行列式的性 质，先作简化再展开：        1 1 1 2 3 4 4 9 16        =        1 0 0 2 1 2 4 5 12        = 1 · (−1)1₊₁      1 2 5 12      = 2 练习 2 用上面的方法计算行列式        4 3 2 1 0 1 2 5 7        ． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 对上面的行列式，我们也可以利用行列式的性 质，先作简化再展开：        1 1 1 2 3 4 4 9 16        =        1 0 0 2 1 2 4 5 12        = 1 · (−1)1₊₁      1 2 5 12      = 2 练习 2 用上面的方法计算行列式        4 3 2 1 0 1 2 5 7        ． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 对上面的行列式，我们也可以利用行列式的性 质，先作简化再展开：        1 1 1 2 3 4 4 9 16        =        1 0 0 2 1 2 4 5 12        = 1 · (−1)1₊₁      1 2 5 12      = 2 练习 2 用上面的方法计算行列式        4 3 2 1 0 1 2 5 7        ． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 对上面的行列式，我们也可以利用行列式的性 质，先作简化再展开：        1 1 1 2 3 4 4 9 16        =        1 0 0 2 1 2 4 5 12        = 1 · (−1)1₊₁      1 2 5 12      = 2 练习 2 用上面的方法计算行列式        4 3 2 1 0 1 2 5 7        ． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 2 对上面的行列式，我们也可以利用行列式的性 质，先作简化再展开：        1 1 1 2 3 4 4 9 16        =        1 0 0 2 1 2 4 5 12        = 1 · (−1)1₊₁      1 2 5 12      = 2 练习 2 用上面的方法计算行列式        4 3 2 1 0 1 2 5 7        ． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

四阶行列式的计算方法二

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗      1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 3 利用行列式展开计算           1 2 3 4 1 0 1 2 3 −1 −1 0 1 2 0 −5           ． 练习 3 计算四阶行列式           1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3           . 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 3 利用行列式展开计算           1 2 3 4 1 0 1 2 3 −1 −1 0 1 2 0 −5           ． 练习 3 计算四阶行列式           1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3           . 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 3 利用行列式展开计算           1 2 3 4 1 0 1 2 3 −1 −1 0 1 2 0 −5           ． 练习 3 计算四阶行列式           1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3           = 160. 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

高阶行列式的计算方法

利用行列式性质，高阶行列式有两种计算方法： 1 三角法：从左到右，逐步变成上三角行列式 2 降阶法：从高到低，展开以降低行列式阶数 我们推荐使用降阶法，因为它更加灵活方便． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

高阶行列式的计算方法

利用行列式性质，高阶行列式有两种计算方法： 1 三角法：从左到右，逐步变成上三角行列式 2 降阶法：从高到低，展开以降低行列式阶数 我们推荐使用降阶法，因为它更加灵活方便． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

高阶行列式的计算方法

利用行列式性质，高阶行列式有两种计算方法： 1 三角法：从左到右，逐步变成上三角行列式 2 降阶法：从高到低，展开以降低行列式阶数 我们推荐使用降阶法，因为它更加灵活方便． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

高阶行列式的计算方法

利用行列式性质，高阶行列式有两种计算方法： 1 三角法：从左到右，逐步变成上三角行列式 2 降阶法：从高到低，展开以降低行列式阶数 我们推荐使用降阶法，因为它更加灵活方便． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

..

第三节

行列式的展开

.

..

3.1

行列式的展开式

.

..

3.2

行列式展开式的使用

.

..

3.3

n 阶行列式的展开

.

1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

由展开式得到行列式

₂₁A₂₁+ ₂₂A₂₂+ ₂₃A₂₃=        ₁₁ ₁₂ ₁₃ 21 22 23 31 32 33        = D

=⇒ A21+ A22+ A23 =

       11 12 13    31 32 33        =⇒ 11A21+ 12A22+ 13A23 =        11 12 13 11 12 13 31 32 33        = 0 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

由展开式得到行列式

₂₁A₂₁+ ₂₂A₂₂+ ₂₃A₂₃=        ₁₁ ₁₂ ₁₃ 21 22 23 31 32 33        = D

=⇒ A21+ A22+ A23 =

       11 12 13    31 32 33        =⇒ 11A21+ 12A22+ 13A23 =        11 12 13 11 12 13 31 32 33        = 0 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

由展开式得到行列式

₂₁A₂₁+ ₂₂A₂₂+ ₂₃A₂₃=        ₁₁ ₁₂ ₁₃ 21 22 23 31 32 33        = D

=⇒ A21+ A22+ A23 =

       11 12 13    31 32 33        =⇒ 11A21+ 12A22+ 13A23 =        11 12 13 11 12 13 ₃₁ ₃₂ ₃₃        = 0 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

由展开式得到行列式

₂₁A₂₁+ ₂₂A₂₂+ ₂₃A₂₃=        ₁₁ ₁₂ ₁₃ 21 22 23 31 32 33        = D

=⇒ A21+ A22+ A23 =

       11 12 13    31 32 33        =⇒ 11A21+ 12A22+ 13A23 =        11 12 13 11 12 13 ₃₁ ₃₂ ₃₃        = 0 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 定理 2 对于行列式的第  行和第 r 行，我们有 1Ar1 + 2Ar2+ · · · + nArn = ( D, 如果  _{= r} 0, 如果  ̸= r 而对于行列式的第 j 列和第 s 列，有 1jA1s+ 2jA2s+ · · · + njAns = ( D, 如果 j _{= s} 0, 如果 j ̸= s 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 5 已知 D ₌           4 2 8 4 2 −2 3 0 1 0 1 −1 6 5 7 0           , 求 M13 + 2M23 + 3M33+ 4M43. 练习 5 已知行列式 D ₌           3 2 1 −2 0 1 3 0 4 −6 0 5 −1 3 −2 1           ，求 3M41+ 4M42 − 5M43 − 2M44． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 5 已知 D ₌           4 2 8 4 2 −2 3 0 1 0 1 −1 6 5 7 0           , 求 M13 + 2M23 + 3M33+ 4M43. 练习 5 已知行列式 D ₌           3 2 1 −2 0 1 3 0 4 −6 0 5 −1 3 −2 1           ，求 3M41+ 4M42 − 5M43 − 2M44． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 6 求行列式 D₌           1 1 1 1 1 2 3 4 2 1  2 2  2 3  2 4 3 1  3 2  3 3  3 4           的值. 这个行列式我们称为范德蒙行列式． 例 7 求四阶行列式           1 −1 1 −1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 −2 4 −8           的值． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ

. 例 6 求行列式 D₌           1 1 1 1 1 2 3 4 2 1  2 2  2 3  2 4 3 1  3 2  3 3  3 4           的值. 这个行列式我们称为范德蒙行列式． 例 7 求四阶行列式           1 −1 1 −1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 −2 4 −8           的值． 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ

.

范德蒙行列式

实际上，有任何 n(n_¾ 2) 阶的范德蒙行列式： Vn =           1 1 1 · · · 1 1 2 3 · · · n 2₁ 2₂ 2₃ · · · 2_n ... ... ... . .. ... n₁−1 n₂−1 n₃−1 · · · n_n−1           = ∏ 1_¶<j¶n (j − ). 1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ

.

..

第三节

行列式的展开

.

..

3.1

行列式的展开式

.

..

3.2

行列式展开式的使用

.

..

3.3

n 阶行列式的展开

.

1 234 5 6 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ