多頻道頻率波速轉換分析方法

本研究主要是利用多頻道波場轉換法中頻率波數轉換法進行資料的分 析(Lin and Chang, 2004)。其在頻散曲線分析上(圖 3.2)，主要是將震測資料 由時間-空間域(t-x domain)以離散傅立葉轉換轉換至頻率-空間域(f-x

domain)，再經離散空間域傅立葉轉換(discrete-space Fourier Transform)將頻 率-空間域轉換至頻率-波數域(f-k domain, Prokis and Manolakis, 1992)，再透 過變數轉換而獲得頻率-波速域(f-v domain)的結果。在實際操作中，由於在

圖 3.2 多頻道波場轉換法分析流程：(a) 時間域資料(t-x domain)；(b) 頻率 域資料(f-x domain)；(c) 空間域離散化至波數域；(d) 頻散曲線 3.1.2 三維震波模擬軟體 SPECFEM3D 架構說明

本研究關於前處理建立模型的部分，軟體主要採用 Cubit 13.1，由聖地 亞國家實驗室(Sandia National Laboratories)於 1990 年初開發，開發者為 Ted Blacker 與 Michael Stephenson。Cubit 是一個高階的六面體網格快速生成工

(a) (b)

(c) (d)

具，適用於 CFD 和 FEA 分析所需的結構化網格。其好處是它能夠從多種 CAD 軟體導入幾何體再加以劃分網格，並擁有直觀的圖形界面環境(如圖 3.3)，輔以大量的命令語言命令行界面。

圖 3.3 Cubit 圖形化使用介面

SPECFEM3D 這套模擬三維地震波之軟體最早是從 1998 年開始，由 Dimitri Komatitsch 和 Jeroen Tromp 兩位學者在美國哈佛大學和加州理工學 院發展出來，基於 1995 年至 1997 年由 Dimitri Komatitsch 和 Jean-Pierre Vilotte 在法國巴黎地球物理研究院早期之研究，根據 spectral element method 撰寫出 Fortran 90 程式碼，具有可移植性，且支援 Linux 系統平行運算。

軟體架構主要如圖 3.4 所示，Cubit 主要功能是建立模型、劃分網格、

給定材料參數並加上邊界條件；Scotch 可將模型劃分為較小的塊體，透過 Mass Passing interface(MPI)分配給 CPU 內各個核心去處理工作；

xgenerate_databases 將分析所需的格點與特定模型參數之資訊建立後，最後 再由 xspecfem3D 進行運算求解。

圖 3.4 SPECFEM3D 模擬流程圖

對於波譜元素模擬首要關鍵便是三維模型需有高質量的網格，主要受 到以下幾點的限制：

(1)每一最小波長之格點數量(2)數值收斂穩定條件(3)數值計算代價與計算 機運算效能之平衡。

質量差的網格可能會產生諸多數值問題例如增加計算上的耗費，模擬缺乏 收斂性，或是不正確的結果。SEM 有一特性影響網格的建立是用於離散波 場之多項式階次 n，如果 n < 4 不精確性與標準 FEM 相似；當 n > 10 精確 性可以提昇但是數值模擬計算之代價也相對變得提高。n 之選擇與網格間距 Δh 也有關：每一最小波長的點數須等於或大於 5，也就是(n+1)λmin/Δh≧5。

網格設計另一限制條件為穩定的時間計畫，步進時間有一計算穩定之上限 值，定義庫倫穩定數：C =Δt(v/Δh)_max，Δt 選擇的步進時間，(v/Δh)_max壓縮 波速與網格間距之最大比值，此庫倫收斂穩定條件庫倫穩定數不應超過

Cmax之上限，C≦Cmax，然而 Cmax之值並沒有理論式來決定，經驗上一般的

圖 3.5 探討均質化行為地層模型簡圖 II. 側向取樣空間範圍：

參考圖 3.6，W 表示未改良區域土體之寬度，表面波震測測線將只會佈 置於未改良區域，並使測線至兩旁改良區域的距離相同，也就是當 W=2 m 時，測線各離兩邊 1 m，測試頻散曲線速度變化之影響程度。

圖 3.6 側向取樣空間範圍地層模型簡圖 III. 重建地盤改良場址：

對照圖 2.21，以現有案例重建地盤改良地層模型，d 為改良樁於地表下 的深度，L 為改良樁的垂直高度，D 為改良樁的直徑，W 為改良樁與鄰近 改良樁之中心距離。有一點值得說明，因考慮 SPECFEM3D 採用的網格為

六面體之因素，圓柱狀之改良樁網格化之質量品質難以提昇，特此採用方 柱體之改良樁，而此模型下地盤改良率則為改良樁之總面積比上改良區域 總面積，因此增加改良樁的密度，也就是調整間距以達到提昇改良率。

圖 3.7 含改良樁地層模型簡圖：(a) 俯視圖；(b) 側視圖 3.1.4 地層剪力波速反算軟體簡介

本研究採用美國 Kansas Geological Survey 所發展之 SurfSeis v3.06 進行 剪力波速反算分析，軟體使用介面如圖 3.8 所示，震波時間域之資料可透過 Dispersion Analysis 轉換成頻率域的資料，得到相位速度對頻率之頻散曲線 後，再經由一維剪力波速反算可獲得一維地層剖面下剪力波速之變化，並 提供視覺化影像以利使用者判釋。

(a)

(b)

圖 3.8 SurfSeis 使用者介面圖

(見圖 3.9)，採用如表 3.3 的設定主要是為了能夠貼近現場用鐵槌敲擊產生 的表面波可能影響時間與頻率涵蓋範圍。

圖 3.9 高斯函數模擬震源時間函數示意圖 表 3.3 數值模擬參數表

網格參數 震源參數

x (m)

y (m)

z (m)

dx, dy, dz (m)

time step (ms)

tCMT

(s)

α τ (s) 200 200 100 1 0.2 0.024 1d5 0.01

第四章 結果與討論

數值模擬所得震波資料進行頻散曲線分析結果如圖 4.2 所示，圖中灰色 細實線為頻散曲線基態理論值，虛線與點線為高次振態之理論值，陰影處 為頻散曲線能量分布，白色圓圈為透過波場轉換法分析得到之結果，可以 發現模擬結果在頻率範圍 15~100Hz 之基態相位波速相當接近理論值，高次 振態的能量分布也符合理論值之曲線，因此後續的剪力波速反算分析皆採 用此頻率範圍為基準。

圖 4.2 頻散曲線分析結果

透過上述案例對於 SPECFEM3D 這套震波模擬軟體已建立初步數值模 擬資料的合理性，於後續的各小節將會進一步說明各類地層模型之模擬結 果。

4.1 地層均質化傾向之行為模式

由前述二維數值模擬結果顯示，表面波震測於高度異質性土壤所得之 剪力波速剖面在均質化的過程中很可能是依循波速等值理論之下限值，為 了確定模擬的合理性，因此，於本節中將進一步採用三維數值模擬之方式 進行驗證比較。

數值模擬之地層配置參考高壓噴射灌漿場址案例如圖 4.3 所示，在三維 的條件下，共進行改良率 20%、30%以及 40%三種不同現地改良率之情形，

改良深度自地表下 5 公尺至 25 公尺，牆型改良樁寬度固定 1.2 公尺，淨空 間距在改良率 20%、30%以及 40%時分別為 4.8、2.8 與 1.8 公尺；而在材 料參數的設定上，原土壤之剪力波速為 170 m/s，壓縮波速 330 m/s，密度為 1.7 g/cm³，改良樁之剪力波速為 800 m/s，壓縮波速 1920 m/s，密度為 2 g/cm³， 其中，改良樁與原土壤之剪力波速比(velocity contrast, VC)為 4.7，相關之參 數設定一併整理於表 4.2。

圖 4.3 數值模擬地層模型與測線位置示意圖

表 4.2 土壤參數設定表 所有模擬案例得到的頻散曲線結果採用美國 Kansas Geological Survey 所發 展之 Surfseis v3.06 進行反算分析，於反算參數中設定反算層數為 2 層，地

圖 4.4 表面波震測數值模擬分析結果：(a) 改良率 40% 時間域震波模擬資 料；(b) 改良率 40% 頻散曲線影像圖；(c) 反算分析之剪力波速剖面；(d) 對

應剪力波速提升率

(a) (b)

(c) (d)

將上述結果繪入剪力波速提升率與改良率之關係圖中(如圖 4.5 所示，

剪力波速比為 4.7)，比較圖中各個資料點可以發現，A1~A6 為二維模擬之 結果，Ⅰ- 1~Ⅰ- 3 為三維模擬之結果，兩者模擬結果皆顯示改良後土層之 均值化行為貼近波速等值速度行為之下限，而 SEM 相較於 FDM 能夠提供 更高的精度，三維模擬之結果更為接近。在此仍須注意的是，因地層模型 參考一維簡化概念模型而來，增加改良樁的寬度在三維空間等同增加改良 牆的寬度，真實地盤改良場址則是含有許多改良樁柱體，雖然可以驗證簡 化概念模型模擬之正確性，現場卻無此種地層存在，因此後續 4.3 節將會進 一步作探討。

圖 4.5 剪力波速提升率與改良率之關係圖

4.2 地層側向變化之影響

由前述文獻回顧可以發現，當表面波震測測線通過側向高度變化之區 域，表面波同時涵蓋測線上未改良段與測線兩旁之改良段，為了進一步了 解可能的取樣空間範圍，進行以下的探討：

模擬配置如圖 4.6 所示，表面波震測測線佈置僅通過未改良區之中線，

表 4.4 材料參數設定表(剪力波速比固定為 2)

圖 4.7 (a) 基態相位速度對頻率的關係圖(剪力波速比為 4.7)；(b) 基態相位 速度對頻率的關係圖(剪力波速比為 2)

為了更加了解頻散曲線相位速度高估對於剪力波速量測的影響，將速 度差異達 5%之頻率挑選出來並轉換成波長，由於表面波波長與可探測的深 度有關，因此對於反算剪力波速剖面有相當程度的影響。

如圖 4.8，菱形標記資料點為當剪力波速比固定為 4.7 時不同寬度下相 位速度差異達 5%之頻率轉換成波長的結果，方型標記資料點則是剪力波速 比固定為 2 轉換之結果，可以發現兩者發生速度變化的分歧點相當接近，

因為較低頻的波有較長的波長，相對表面波可探測的深度也較深，然而低 頻的相位速度高估的情況下對於最後反算得到的剪力波速也會高估，若以 圖中 4 m 資料點為例，表面波波長在某種程度上反映了表面波可探測的深 度，超過波長 2.65 m 的資料將會相當不可靠，又測線離兩邊改良土壤的距

(a) (b)

離為 2 m，當表面波波長大於 2 m 時開始進入改良土壤區域，因此相位速度 會受到改良土壤的影響而偏高，這是合理的結果。所以表面波震測施作時 若想要純粹得到測線以下一定深度範圍內的剪力波速資料，最好能夠避開 兩旁勁度較高的土壤，除了可以避免局部誤判的情況發生，更有利於工程 師們做出更加準確之判釋。

圖 4.8 波長與相位速度關係圖

由前述可之，改變剪力波速度比似乎對於頻散曲線的結果影響不大，

推測可能是原土壤的剪力波速控制頻散曲線偏移的行為，因此嘗試調整土 壤的速度參數，如表 4.5 所示，原土壤之剪力波速為 100 m/s，壓縮波速 200 m/s，密度為 1.7 g/cm³，改良區之剪力波速為 470 m/s，壓縮波速 1130 m/s，

密度為 2 g/cm³，改良區與原土壤之剪力波速比為 4.7，對照表 4.3 設定，用 以檢視速度發生變化之頻率對應的波長有無相同規律可循。

表 4.5 土壤參數設定表

圖 4.9 基態相位速度對頻率的關係圖(剪力波速比為 4.7)

圖 4.10 測線至改良土壤之距離與表面波波長關係圖

4.3 地盤改良成效檢測之適用性

4.1 節模擬結果顯示若將簡化地層模型三維化後表面波之均質化行為會 傾向一維等效波速理論下限值，但實際上地盤改良場址是含有許多柱狀固 結物於地層中，並非簡化模型所呈現之牆狀改良土體，因此本小節將進一 步建立含柱狀改良樁之地層模型，模擬表面波並詳加檢視其行為模式。

4.1 節模擬結果顯示若將簡化地層模型三維化後表面波之均質化行為會 傾向一維等效波速理論下限值，但實際上地盤改良場址是含有許多柱狀固 結物於地層中，並非簡化模型所呈現之牆狀改良土體，因此本小節將進一 步建立含柱狀改良樁之地層模型，模擬表面波並詳加檢視其行為模式。