原 time-independent 薛丁格方程式
2
兩邊同乘以 2 ⁄ exp 然後再對整個空間積分，我們發現使用(1)之後
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2 2 ⁄ exp
接著使用(2)，可得
2 3
上述方程式為在動量空間下的薛丁格方程。其中 1
2 exp 4
因為在座標空間下， 可以用球座標表示。相同地，動量座標下的波函數可 以表示成(附錄 B)
, , , (5)
另外，我們也可以把 | | 用勒讓得多項式展開
| | , (6)
其中 ⁄ 以及 , | |
將(5)(6)代入(3)中，則結果變成
2 , , , 7
其中
, 2 | | (8)
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這裡 為第一類勒讓德方程 Legendre function of the first kind)。不過，當
z 1 ，在 z 會產生奇異點。所以為避免數值計算上的困難，我們用 Lande’
subtraction technique 將 , , 改寫。
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Lande’ subtractiontechnique
在動量空間下解薛丁格方程式雖然是個很好的方法，不過在庫倫位能項會遇到第二類 勒讓德方程在z 1分母為零的情形，也就是所謂的奇異點，這會造成在計算波函數 時，不易得到精準的值，也就喪失了在動量空間下解薛丁格方程式的好處了。為了避 掉奇異點，Lande’ subtraction technique 提供一個聰明的方法。
, ,
13 需要最大的距離。所以我們知道，與 Lande’ subtraction 最大的差異就在於我們必須決 定適當的 R 值，否則我們很容易造成計算上的損失。
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廣義擬似譜法 Generalized pseudospectral method
接下來，把動量空間薛丁格方程轉變為解特徵值問題。因為電子動能絕大部分都 是有限值，故我們可以很放心的判斷波函數在動量空間下會被侷限在一個有限的體積，
只要選定的 max足夠實際電子運動的最大動能。藉由解決特徵值問題，我們可以得 到一組完備的函數可以描述我們要的波函數，這種方法就叫做廣義擬似譜法
Generalized pseudospectral method。
從座標空間的氫原子波函數可以得知，在 r 比較小的範圍震盪比較劇烈，故在選
在這裡我們透過 Gauss–Legendre–Lobatto quadrature 來選定 和相對應的 ω ，其中 x 和 ω 為勒讓得多項式的零點和所對應的權重。當然亦可以選擇高斯積分
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· , (17)
, ,
,
, , ,
其中，電場 / 。這裡我們假定雷射是線性極化場，所以不考慮磁軌道
量子數 ，而 ， 分別代表主量子數和軌道量子數。我們將波函數代入薛丁格方程做 更進一步的化簡
, , , , , ,
, , , (18)
其中
2 1 2 1
我們可以把 分成實部和虛部，再利用蛙跳法 stagger leap-frog algorithm 或四 階隆巨—庫塔法 4th Order Runge-Kutta Method 等數值方法來對(18)來求解隨時間傳 播改變的波函數，但其所花費的時間過長。對於處理這一類的問題的演算法有很多，
我們必須尋求一個更有效且快速地解析方法來解決這個非定態薛丁格方程
(non-stationary Schrodinger equation)，在這裡我們採用二階劈裂算符法(two-order split-operator method)的數值方法為來計算(17)。
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接著我們可以用二階劈裂算符法(two-order split-operator method)，也就是將 Δt, 分解成對稱的形式[12]，如
Δt, (21)
其中 , , , 為 的特徵向量，且 , , , , | 為完備集合，又
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| | 1Σ| | 1 (22)
故將(21)作用在(19)，並適當插入(22)，可得
∑ , , , , , | | | | | | | | | |
其中
Σ e exp
2 化簡後可得
∑, , ,
我們用勒讓得多項式展開波函數
, , cos
其中 cos 為規一化勒讓得多項式，我們可以得到 透過高斯-勒讓得積分 (Gauss-Legendre guadrature)
w cos , ,
{ cos }為 的 l+1 個零點，而{w }為與零點對應的權重。這裡的規一化相當重要，
可以避免中途一些不必要的係數，使得整個傳遞能夠簡單明瞭。當波函數作用到場的 部份時，必須將波函數分解成不同角動量的成分再進行作用，因為不同角動量的波函 數對於與雷射場的效應不同，根據選擇規則，每個角動量只會與其鄰近正負一角動量
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三重微分電離機率(triple differential ionization probability)為光電子在 , , 能量為 ⁄2 的機率密度
P
Ω ,
二重微分電離機率(double differential ionization probability) (DDIP)因為整個原子 系統是軸對稱，所以與 無關
P 2 P
Ω
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微分電離機率(differential ionization probability) (DIP)可以看到光電子閥上電離(ATI) 光譜
P P
總電離機率(total ionization probability )(TIP) P
20 2 -0.125 -0.12512 0.000118 3 -0.05556 -0.05559 3.73E-05 4 -0.03125 -0.03127 1.61E-05 5 -0.02 -0.02001 8.33E-06 6 -0.01389 -0.01389 4.85E-06 7 -0.0102 -0.01021 2.80E-06 8 -0.00781 -0.00779 -2.53E-05 9 -0.00617 -0.00577 -0.00041 10 -0.005 -0.0034 -0.0016 11 -0.00413 -0.00063 -0.0035
表二、np 能量數值解，解析解和其誤差值 n np 數值解 np 解析解 誤差
1 - - -
2 -0.125 -0.12501 8.28E-06 3 -0.05556 -0.05556 3.13E-06 4 -0.03125 -0.03125 1.43E-06 5 -0.02 -0.02 7.58E-07 6 -0.01389 -0.01389 4.47E-07 7 -0.0102 -0.0102 1.31E-07 8 -0.00781 -0.00779 -2.50E-05 9 -0.00617 -0.00579 -0.00038 10 -0.005 -0.00345 -0.00155 11 -0.00413 -0.00072 -0.00341